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Repaso somero de números complejos - Contenido educativo

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Subido el 24 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Venga, vamos, 23 de febrero. Números complejos, ¿no? Venga, vamos a ver, si hacemos aquí una cosilla. Los números complejos. Los números complejos existen para dar solución, por ejemplo, a las raíces negativas, ¿vale? 00:00:00
Entonces, un número complejo es un par ordenado, ¿vale? Un par AB, ¿de acuerdo? Por ejemplo, 5, 3, pues es un número complejo. Menos 7, 2 es un número complejo, ¿vale? Y entonces hay, eso es una notación, una notación como par ordenado, donde aquí sí que es importante que A y B pertenecen a los números reales, ¿de acuerdo? A y B pertenecen a los números reales. 00:00:18
Entonces yo aquí puedo tener incluso, yo puedo tener aquí raíz de 3, 504 o logaritmo neperiano de raíz de 23 y aquí yo que sé, menos 1, yo que sé, menos 10, que me da igual. 00:00:45
El caso es que eso es un número complejo. ¿Qué ocurre? Que hay distintas notaciones, ¿vale? Distintas notaciones. Entonces, la A se conoce como la parte real, ¿vale? Como la parte real, y B se conoce como la parte imaginaria, ¿de acuerdo? 00:01:03
Entonces, ¿qué ocurre? Que cuando yo tengo un número que es a cero, ¿vale? Esto realmente es un número complejo, pero que realmente la parte imaginaria es cero. 00:01:21
La parte imaginaria es cero, por lo tanto, es un número real puro que se conoce, ¿vale? 00:01:38
Y cuando yo tengo, por ejemplo, la parte real cero y la parte imaginaria, pues, por ejemplo, b, se conoce como número complejo imaginario puro, ¿vale? 00:01:55
Imaginario puro. 00:02:09
¿Hasta ahí bien? Vale. 00:02:11
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo realmente, si yo tengo un par de coordenadas, porque al final esto no deja de ser coordenadas, 00:02:14
yo tengo aquí mi eje real, ¿de acuerdo? Este es mi eje real y este de aquí es mi eje imaginario. 00:02:25
¿De acuerdo? Vale. 00:02:35
Pues, ¿qué ocurre? Que cuando yo tengo el número complejo AB, yo puedo representar, si esto es A, que es la parte real, y esto, por ejemplo, es B, pues mi número complejo es aquí el par ordenado AB, pues este es el afijo, ¿vale? El afijo, ¿de acuerdo? 00:02:38
¿Qué ocurre? Que yo puedo hacer uniendo el origen de coordenadas con el de este, con el abe, ¿vale? Y aquí yo represento mi número complejo, ¿vale? 00:03:00
Entonces, si yo, por ejemplo, tengo el número complejo, yo que sé, 5, 3, la notación binómica significa que esto es 5 más 3i, ¿vale? 00:03:21
Esta es la forma binómica, ¿vale? 00:03:35
El par ordenado 5, 3 en forma binómica es 5 más raíz de 3. 00:03:44
¿Qué ocurre? Si yo digo que es 5, ¿vale? Que es la parte real y esto es 3, pues creo que mi afijo, que aquí está representado como 5, 3, ¿verdad? Tiene aquí una distancia al 0, 0, ¿verdad? Es una distancia al 0, 0. De hecho, para que salga más bonito, voy a poner 4. 00:03:49
¿Vale? Ahora vas a entender por qué 00:04:14
Sí 00:04:17
Claro, claro 00:04:23
Entonces, este es el número complejo 4, 3 00:04:26
El par ordenado 00:04:30
Que se corresponde con la forma binómica 00:04:31
4 más 3i 00:04:33
¿Vale? Entonces, este de aquí 00:04:35
Que es el 4, 3 00:04:37
¿Vale? 00:04:38
Tú ves que hay aquí un módulo, ¿verdad? 00:04:39
Este de aquí, el que une la distancia que hay del 0, 0 a la fijo 00:04:43
es el módulo del complejo, ¿de acuerdo? 00:04:47
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:04:52
Que tú aquí, ¿qué tienes, Paula? 00:04:53
Tienes aquí un triángulo rectángulo, además, ¿vale? 00:04:55
Pues entonces, si el número complejo Z es 4 más 3Y, 00:05:00
resulta que el módulo de Z, ¿vale? 00:05:07
El módulo de Z es lo que mide esto de aquí, 00:05:10
¿estás de acuerdo, no? 00:05:15
Lo que está encolorado. 00:05:15
Y entonces, ¿qué ocurre? Que yo esto como mide 4 y esto mide 3, pues yo aquí puedo aplicar el teorema de Pitágoras, ¿vale? Este es un triángulo rectángulo donde precisamente la hipotenusa es el módulo de vector. 00:05:16
Bueno, pues entonces resulta que si yo aplico el teorema de Pitágoras, el módulo de esto es la raíz cuadrada de qué? De precisamente a al cuadrado más b al cuadrado. En este caso, que es la raíz de 4 al cuadrado más 3 al cuadrado. ¿Vale? Que es 5 con premio. ¿Vale? Por eso he elegido el 4 y el 3, porque 3, 4, 5 es una terna pitagórica. ¿Vale? 00:05:34
Entonces, igual que tiene un número complejo un módulo, ¿vale? 00:06:03
Un número complejo tiene un módulo y un argumento. 00:06:07
Un número complejo tiene un módulo, ¿vale? 00:06:11
Un número complejo zeta, ¿vale? 00:06:22
Tiene un módulo, que es módulo de zeta, y un argumento, que es el teta. 00:06:24
Y ese argumento teta es el ángulo que forma con el eje OX, ¿vale? Con el vector que une el 0, 0 con el afijo del complejo, ¿de acuerdo? Esto es teta, ¿vale? 00:06:30
¿Z es un ángulo? Sí, mide un ángulo, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Que precisamente, no sé si te das cuenta aquí, por definición de trigonometría, cuando tú tienes un triángulo, perdona, un ángulo, ¿vale? 00:06:46
Un ángulo agudo, es decir, menos de 90 grados, ¿vale? Esto es teta, ¿lo ves? Y esto hemos dicho que es 4 y esto hemos dicho que es 3, ¿de acuerdo? 00:07:13
Vale, pues entonces tú puedes hallar este ángulo de aquí, este ángulo teta, pues precisamente si tú haces tangente de teta, la tangente de teta que era, 00:07:27
¿Cómo es la definición de tangente? Cateto opuesto, que en este caso es 3, es decir, que es la b, partido de cateto opuesto contiguo, que es la a. 00:07:37
Recuerda que a vale 4 y que b vale 3. ¿Lo ves? ¿Sí o no? 00:07:49
Pues entonces, ¿qué ocurre? Que yo, conociendo esto, pues yo puedo pasar de una forma a otra, ¿de acuerdo? 00:07:56
Es decir, yo un número complejo está formado por ese par de números, es decir, si me dicen que es 4 más 3, sí, yo sé que la parte real es 4 y que 3 es la parte imaginaria, yo también lo puedo poner en forma polar, ¿qué se llama? Forma polar, donde mi z es precisamente el módulo de z, el ángulo teta, que es el que forma con el eje o x, ¿vale? 00:08:05
Y luego, otra cosilla. Precisamente, si volvemos a representar esto de aquí, ¿vale? Date cuenta que esto es el 0,0, ¿verdad? Esto de aquí es lo que mide A y esto de aquí es lo que mide B, ¿sí o no? 00:08:32
Con lo cual, este punto de aquí, ¿cuál es? El AB, ¿verdad? 00:08:58
Esto de aquí es el módulo. Recuerda que esto de aquí es el módulo, ¿verdad? 00:09:03
Vale, bueno, pues resulta que en el caso nuestro, donde esto era igual a 4 y esto es igual a 3, ¿vale? 00:09:08
Pues resulta que mi número complejo, que es 4, 3, que yo lo puedo poner como 4 más 3i, ¿vale? 00:09:19
¿Esto qué ocurre? Que precisamente 4, que es 4, o bueno, este es el módulo, perdona, este de aquí es el módulo, que hemos dicho que es 5, ¿verdad? 00:09:33
Este es el módulo, el módulo de zeta. Bueno, pues este 4 resulta que es la proyección de zeta sobre el eje real, ¿verdad? 00:09:45
¿Sí o no? O por la definición, si esto es zeta, ¿cómo se define el coseno de zeta? 00:09:59
El coseno de teta era cateto contiguo, ¿verdad? 00:10:06
Cateto contiguo partido de hipotenusa. 00:10:12
¿Te acuerdas de eso? 00:10:16
El cateto contiguo partido de hipotenusa. 00:10:19
Y el seno de teta, al ser ángulos agudos, era cateto opuesto partido de hipotenusa. 00:10:26
¿Sí o no? 00:10:38
Que precisamente este es el cateto opuesto, ¿verdad? 00:10:40
Y este es el cateto contiguo, ¿sí o no? 00:10:43
Entonces el 4, si yo despejo de aquí cateto contiguo, el 4 aquí es igual a hipotenusa, ¿verdad? 00:10:46
Me refiero a general. 00:10:56
Si yo de aquí despejo, que resulta que el cateto contiguo es igual a hipotenusa, ¿vale? 00:10:59
Por el coseno de teta. 00:11:07
Y el cateto opuesto, ¿qué es? 00:11:10
Si yo despejo de aquí, Paula. Sí, efectivamente. ¿Cuánto vale aquí el cateto contiguo, Paula, en este ejemplo? Cuatro. Entonces, cuatro, ¿a qué es igual? A la hipotenusa. ¿Y cuánto vale la hipotenusa? Cinco, ¿verdad? Esto es cinco por el coseno de teta. ¿Sí o no? 00:11:13
Este 4 es 5 por el coseno de teta más el 3, el 3 que es, Paula, el cateto opuesto. 00:11:48
Y el cateto opuesto que es 5 por el seno de teta y ahora pongo la i, ¿lo ves? 00:11:58
Entonces al final esto que es 5 por el coseno de teta más i seno de teta, ¿lo ves? 00:12:06
entonces mi notación que era 4 3 que es igual a 4 más 3 y resulta que yo también lo puedo poner como 5 en este caso 00:12:13
que es el cuadrado de este, lo voy a hacer para ver de dónde saca, es raíz cuadrada de 4 al cuadrado más 3 al cuadrado que 5 00:12:26
que multiplica a coseno de teta más y seno de teta, ¿vale? 00:12:35
Esto al final, ¿qué ocurre? Que esto es igual a 5 por el coseno de teta más y seno de teta, ¿vale? Entonces, esta de aquí es la forma trigonométrica, ¿vale? 00:12:43
Y esto resulta que al final, Paula, si yo tengo un módulo y tengo un argumento, yo tengo definido a mi número complejo, ¿sí o no? 00:13:01
Sí, ¿no? Pues entonces precisamente yo tengo el módulo, la teta, pues esta es la forma polar, ¿vale? 00:13:10
Entonces, todas relacionadas. 00:13:25
Y precisamente, ¿cuánto vale esta teta? 00:13:27
Pues esta teta de aquí, precisamente, es el arco tangente de b partido de a. 00:13:30
Recuerda que aquí habíamos llegado a que tangente de teta es b partido de a. 00:13:37
Pues entonces, teta es el arco tangente de b partido de a. 00:13:42
En este caso es arco tangente, ¿de qué? De 3 cuartos. 00:13:47
¿Lo ves? Y voy a coger el calculador aquí. 00:13:54
Arco tangente de 3 cuartos. 00:13:59
¿Pero te enteras más o menos lo que estamos haciendo? 00:14:02
Y esto resulta que es 36 grados con 87. 00:14:04
¿Vale? 00:14:12
Entonces, mi número complejo sería 536,87, ¿vale? 00:14:13
Lo que te estoy explicando un poco así, de forma somera, es los distintos tipos de representación de un mismo número, ¿vale? 00:14:21
Hemos empezado con la forma del par ordenado, la hemos puesto como de forma binómica, con el 4 más 3i, ¿de acuerdo? 00:14:31
Aquí está el par ordenado, esto es binómica, esto es par ordenado, esta es la forma trigonométrica y luego llegamos a la forma polar. 00:14:40
¿Y por qué hay tantas formas? Porque en función de la operación que hacemos con los números complejos, nos es más fácil utilizar unas u otras, ¿vale? 00:14:56
Entonces, cuando yo sumo sumas y restas de complejos, lo suyo es hacerlo en forma, ¿lo sabes o no? 00:15:04
En forma binómica, efectivamente, binómica. 00:15:24
De hecho, por ejemplo, si yo tengo que z sub 1 es, yo que sé, 4 menos 7i y z sub 2 es igual a menos 15 más 4i, ¿vale? 00:15:27
Pues resulta que z sub 3, que es z sub 1 más z sub 2, pues esto cuánto daría si yo sumo estos números complejos? 00:15:43
¿Cuánto crees que daría? Efectivamente. Entonces, 4 más menos 15, ¿cuánto es? 00:15:53
¡Ey, hombre! Si ya 4 más menos 15, ¡el coño, tu prima! 00:16:05
4 más menos 15, menos 11, Paula. 00:16:16
¿Vale? Y ahora, menos 7, ah, bueno, estoy sumando, ¿no? 00:16:21
Menos 7 más 4, ¿cuánto es? Menos 3, sí. 00:16:25
¿Vale, Paula? Y ahora, si z4 es igual a z1 menos z2, ¿ahora esto cuánto da? Es 4 menos menos 15. ¿Y eso cuánto da? Eso es. Ahora sí. ¿Vale? 00:16:31
Y ahora, menos 7 menos 4, ¿cuánto es? Efectivamente, pues ya lo tengo. Fácil. Lo que tú has dicho, parte real con parte real, parte imaginaria con parte imaginaria, ¿vale? 00:16:50
Pero claro, si a mí me dicen que Z1 es, yo qué sé, 30 grados y Z2 me dicen que es 4, 45 grados, ¿cómo lo sumo los restos? 00:17:08
No sé, no sé. Tengo que pasar de polar a binómica, ¿vale? 00:17:26
¿Y sabes pasar de polar a binómica o no? 00:17:37
¿Aquí dónde es? 00:17:45
Aquí. 00:17:46
Vale. 00:17:47
Pues es muy fácil, es muy fácil. 00:17:48
Tú tienes que esto es 3, 30 grados, ¿no? 00:17:50
Vale. 00:17:53
Pues, ¿qué ocurre? 00:17:54
¿Qué es esto en polar? 00:17:55
¿Qué era? 00:17:56
¿Te acuerdas? 00:17:58
El 3 este, ¿qué es lo que era? 00:17:59
El módulo. 00:18:01
Perfecto, perfecto. 00:18:02
¿Y esto de aquí qué era? 00:18:04
El argumento, ¿vale? 00:18:07
Pues es muy fácil. Z sub 1 es 3. No sé si te acuerdas la forma. Esta es la forma polar. ¿Cuál es la forma trigonométrica? ¿Te acuerdas? Eso sería 3. 00:18:09
Claro, en este caso sería coseno de 30 grados más y seno de 30 grados. ¿Lo ves? 00:18:24
Y entonces, ¿qué ocurre? ¿Cuánto vale el coseno de 30? Vale, si no me equivoco, raíz de 3 medios, ¿no? Y el seno de 30 grados es un medio, un medio de i, ¿vale? 00:18:36
Te sale 0,5, ¿no? 00:19:02
Seno de 30. 00:19:05
Entonces, ¿esto qué es? 00:19:06
3 raíz de 3 y lo dejas así. 00:19:08
No te comas la cabeza, ¿eh? 00:19:10
Más. 00:19:12
¿Eh? 00:19:13
¿No te sale seno de 30? 00:19:14
¿Cómo va a ser eso, Maribel? 00:19:23
Seno de 30 porque lo tendrá la calculadora en otra cosa. 00:19:26
¿Vale? 00:19:33
Está en radianes. 00:19:33
Pásalo a grado. 00:19:35
¿Vale, guía? 00:19:42
Entonces, ¿qué ocurre? 00:19:43
Ocurre que yo aquí hago lo mismo, z sub 2, que es 4 por el coseno de 45 grados más y por el seno de 45 grados, ¿vale? 00:19:45
Y esto, ¿qué es? Esto es 4 y esto es raíz de 2 partido de 2 más raíz de 2 por y, porque el coseno y el seno de 45 es el mismo, ¿vale? 00:19:58
Y entonces, ¿qué me queda? 2 raíz de 2 más 2 raíz de 2i. ¿Lo ves? Y ahora, si yo tengo que sumar, claro, aquí lo que pasa es que la suma es asquerosa, ¿vale? Pues aquí sería la parte real, es decir, 3 raíz de 3 medios más 2 raíz de 2, ¿vale? Más 3 medios más 2 raíz de 2 por i, ¿vale? 00:20:10
Que aquí poco podemos agrupar, podemos hacer que esto es 3 raíz de 3 más 4 raíz de 2 medios, ¿vale? Porque podemos sumar la raíz de 3 con raíz de 2 y aquí lo único que sería 3 más 4 raíz de 2 medios y ya está. 00:20:40
ya lo tenemos sumado, ¿vale? 00:21:00
¿Vale? Lo que me refiero 00:21:05
que al final 00:21:06
si yo tengo forma binómica 00:21:08
es sumar parte real con parte real 00:21:10
parte imaginaria con parte imaginaria 00:21:12
pero si tengo polar no me queda 00:21:14
más remedio que pasarlo 00:21:16
de polar a binómica 00:21:18
¿Vale? 00:21:20
A binómica para poder sumar 00:21:22
¿De acuerdo? 00:21:24
Vale. Vamos a poner 00:21:28
un ejemplito yo creo que más 00:21:30
más fácil, si yo quiero sumar 00:21:32
590 grados 00:21:35
con 3 00:21:38
180 grados, por ejemplo 00:21:40
¿cómo sería? 00:21:42
dime tú 00:21:45
¿y cómo lo paso? 00:21:46
seno de 00:21:56
¿cuánto vale el coseno de 90? 00:21:58
aquí ya, 0 00:22:04
eso tienes que saber 00:22:07
y seno de 90, 1 00:22:08
por lo tanto, esto que es 00:22:11
¿Vale? 00:22:16
¿Lo veis o no? 00:22:18
Y 380, ¿qué sería? 00:22:20
3 por coseno de 180 grados más i por el seno de 180 grados. 00:22:22
¿Y esto cuánto da? 00:22:30
Menos. 00:22:32
¿Vale? 00:22:34
Entonces, lo que yo también quiero que veas, que te he puesto dos ejemplos para que tú veas bien la representación. 00:22:35
¿Vale? 00:22:41
Mi eje real, este que es mi eje real, es como siempre. 00:22:44
¿Vale? Mi eje real, si yo estoy aquí, este es el número 3, ¿verdad? Y si yo estoy aquí, este es el número menos 3, ¿verdad? ¿Sí o no? 00:22:48
Vale, entonces, si te das cuenta, si yo uno el 0, 0, Paula, con el 0 menos 3, yo tengo este vector, ¿verdad? Bueno, vectores. Este aquí está de unión, que es como si fuera un vector. 00:23:06
Entonces, ¿cuánto mide esto? 00:23:21
¿Cuál es el módulo del vector aquí? 00:23:23
¿Cuánto mide esto? 00:23:25
Si voy de 0 a 0, a menos 3, 0, ¿cuánto mide esto? 00:23:29
3, ¿lo ves? 00:23:34
3, ¿sí? 00:23:35
Y ahora, Paula, esto que está aquí en este punto, 00:23:38
respecto a lo x positivo, ¿qué grado es teta aquí? 00:23:41
¿Cuánto grado es esto? 00:23:46
Claro, pues mira, 180 grados, ¿lo ves? 00:23:49
Entonces, el número menos 3, que es un número real puro, ¿vale? Real puro, un número real puro, siempre va a significar que su representación esté en el eje real. ¿Lo ves? Entonces, un número real puro, la teta o vale 0 o vale 180 grados. Siempre. ¿Lo ves? ¿Sí? 00:23:52
Y ahora fíjate aquí, este número de aquí, 590 grados, 590 grados, me dice que es 5i, ¿vale? Resulta que la i es de imaginario, ¿verdad? 00:24:22
¿Verdad? Entonces, ¿este cómo sería su par? ¿Me sabré decir cuál es su par de números aquí? Efectivamente, muy bien, que ya estás on fire. Este es 0, 5 y este de abajo, menos 3, 0. ¿Vale? 00:24:37
Entonces, si yo sé que el 5i es 0,5, ¿verdad? Pues entonces, Paula, ¿qué ocurre? Que el 5,0 es este, ¿verdad? ¿Estás de acuerdo tú conmigo o no? Vale. ¿Y cuánto mide si yo uno el 0,0 con el 0,5? ¿Cuánto mide esto? 5i, ¿vale? 5i. 00:25:00
Y ahora, Paula, ¿cuál es el ángulo que forma la teta, el 0, 0, con este ángulo de aquí? 00:25:26
90. Pues fíjate dónde lo tengo. ¿Lo ves? 00:25:33
Y entonces es un número imaginario puro. ¿Lo ves? 00:25:37
Entonces, cuando es un número imaginario puro, su representación está en el eje imaginario. 00:25:42
¿Lo ves? Y entonces, ¿qué ocurre si el ángulo teta o vale 90 grados o cuánto más puede valer? Porque si yo tengo este punto de aquí, este punto es el, me voy a ir aquí, el 0 menos 4. 00:25:55
Entonces, ¿cómo sería en binómica el 0 menos 4, Paula? 00:26:19
¿Cómo? 00:26:29
Recuerda, AB es igual a A más BI, ¿vale? 00:26:43
Y ahora tengo 0 menos 4, entonces esto sería 0 menos 4I, es decir... 00:26:50
Espera, es que luego me has dicho que no. 00:26:59
Pues, a ver, he de guía. 00:27:02
vale, entonces este es el 0 menos 4 00:27:04
y es lo que yo te pregunto 00:27:08
¿es un número imaginario puro? 00:27:10
sí 00:27:13
entonces, ¿cuánto vale la distancia 00:27:13
desde 0, 0 a 0 menos 4? 00:27:16
¿cuánto vale esto? 00:27:19
4, ¿vale? 00:27:21
este en polar es un 4 00:27:23
y ahora sí 00:27:25
¿cuánto va el ángulo de 0, 0 hasta aquí? 00:27:26
¿cuánto vale todo esto? 00:27:29
el coño, tu prima 00:27:32
De aquí a aquí, ¿cuánto hay? 00:27:33
De aquí a aquí. 00:27:39
De aquí a aquí, ¿cuánto hay? 00:27:40
90. Muy bien. 00:27:44
De aquí a aquí, ¿cuánto hay? 00:27:46
Bueno, de aquí a aquí, ¿cuánto hay? 00:27:49
90. 00:27:52
Que al final tienes tu razón. 00:27:53
De aquí hasta aquí son 180, pero yo te estaba preguntando de aquí, ¿vale? 00:27:56
Y ahora, Paula, de aquí a aquí, ¿cuánto hay? 00:28:01
Si no digo de aquí, de aquí a aquí, ¿cuánto? 90. Entonces, claro, tú vas aquí y resulta que aquí son 90 más 90, 180 más 90, 270 grados. ¿Sí o no? 00:28:03
Entonces, ¿cuál es el argumento? 00:28:21
La teta, ¿cuánto vale? 00:28:27
No, la teta, ¿cuánto vale? 00:28:29
270 grados. 00:28:36
¿Lo ves? 00:28:37
Pues el par ordenado 0 menos 4 es lo mismo que menos 4i, pero es lo mismo que 4270 grados, ¿vale? 00:28:39
Entonces, si es un número imaginario puro, los únicos argumentos posibles son 90 grados o 270 grados. 00:28:48
¿Lo ves? 00:29:00
¿Sí? 00:29:02
Vale. 00:29:03
Si es 90 grados, resulta que la B es mayor que 0. 00:29:06
Y si es 270 grados, la B es menor que 0. 00:29:10
¿Lo ves? 00:29:13
¿Aquí? 00:29:15
Y aquí, ¿qué ocurre? Si es 0, la A es mayor que 0 y si es 180, la A es menor que 0. ¿Lo ves? ¿Vale? Pues yo creo que esto es fácil, ¿no? Es pasar de polar a binómica y al revés, ¿de acuerdo? 00:29:15
de polar a binómica fácil a través de la trigonométrica 00:29:37
y luego para pasar de binómica a polar 00:29:41
lo que yo tengo que ver es 00:29:49
si es real puro o imaginario puro 00:29:55
es haciéndome el dibujito, ¿vale? 00:29:58
No, si yo tengo, por ejemplo, este número 00:30:03
Yo qué sé, volvemos al 4, 3, ¿no? 00:30:07
¿El 4, 3 es imaginario puro o real puro? 00:30:11
¿Es real puro el 4, 3? 00:30:17
Pero estamos en el par ordenado. 00:30:21
Este es un 4, 3. 00:30:23
Y ya el 4, 3, ¿cómo es en binómico? 00:30:27
Sí, pero en binómico, en binómico, ¿cuánto es el 4, 3? 00:30:33
El par ordenado 4, 3. 00:30:36
No, 4 más 3, sí. 00:30:43
¿Vale? 00:30:46
¿Es la primera componente cero, Paula? 00:30:47
La A es cero. Si fuera cero, ¿qué sería? Un número imaginario puro. 00:30:50
La B es cero. Si fuera la B cero, es un número real puro. ¿Vale? ¿Lo ves? 00:30:57
Aquí. No sé dónde lo puse. Aquí. ¿Lo ves? Cero B es un número imaginario puro. ¿Lo ves? 00:31:06
Porque A es la parte real y B es la parte imaginaria. 00:31:18
Si es a cero, es un número complejo con el par de imaginaria cero, un número real puro. 00:31:21
Y si es cero b, pues un número complejo imaginario puro. 00:31:28
¿De acuerdo? 00:31:32
Vale. 00:31:34
Entonces, ¿qué ocurre? 00:31:36
Que este de aquí no está su representación. 00:31:37
Su representación no está ni en cero, ni en 90, ni en 180, ni en 270. 00:31:41
¿Vale? 00:31:46
Entonces, aquí lo que tú dices, como bien dices, esto sería raíz de 4 al cuadrado más 3 al cuadrado, 00:31:48
que multiplica a coseno de teta más seno de teta, ¿verdad? 00:31:55
Más y seno de teta. Eso sería trigonométrica. 00:32:02
¿Hace falta esto de aquí? No. 00:32:05
Aquí hay una fórmula que me dice que teta es el arco tangente de b partido de a, ¿vale? 00:32:07
Que esto lo habíamos hecho antes y creo que daba 38 y pico, ¿no? 00:32:17
36,87, ¿vale? 00:32:21
Esto es el arco tangente de 3 cuartos, que era 36,87 grados, ¿vale? 00:32:24
Pues entonces, cuando yo voy a pasar de binómica, por ejemplo, 00:32:33
vamos a hacer otro ejemplo. 00:32:40
¿Tu número favorito, Guilla? Venga, 1 y otro, 1 más 4i, ¿vale? 1 más 4i. Ese sabemos que es el par ordenado 1, 4, ¿verdad? 00:32:41
¿Ese 1, 4 en qué cuadrante está, Paula? 00:32:57
Pero si tú representas, este es el 1, ¿eh? 00:33:10
1, 2, 3 y 4. 00:33:13
¿En cuál de los 4 está? 00:33:18
Este de aquí es el 1. 00:33:23
Este de aquí es el 2. 00:33:26
El 3 y el 4. 00:33:30
Si tú representas el 1, 4, ¿dónde está el punto 1, 4? 00:33:31
El 1 está aquí y el 4 está aquí, ¿no? 00:33:35
Claro, a eso voy, que lo representes, ¿vale? 00:33:37
Me voy a ir... 00:33:42
Venga, vamos a ver, ejemplo. 00:33:44
1 más 4i. 00:33:47
Entonces, te lo digo porque nosotros vamos a pasar de binómica, vamos a pasar a polar. 00:33:49
De binómica a polar, ¿vale? 00:33:56
Entonces, ¿qué ocurre? 00:34:01
Que yo esto, si yo lo represento, el 1, 4 está aquí. 00:34:03
Este es el 1 y este es el 4. 00:34:08
Este es el 1, 4. 00:34:10
¿Vale? 00:34:11
Y entonces esto pertenece al primer cuadrante. 00:34:13
Y el primer cuadrante, ¿saben qué cuadrante está? 00:34:16
Es muy importante para saber manejar la calculadora. 00:34:17
¿Vale? 00:34:22
Entonces, este es el módulo, ¿verdad? 00:34:22
Este es el módulo. 00:34:26
Y esto es teta, ¿lo ves o no? 00:34:29
Entonces, ¿el módulo cuánto sería? 00:34:32
Si mi z es igual a 1 más 4y, ¿cuánto vale el módulo de z? 00:34:34
Sería la raíz, perfecto. 00:34:46
Y esto que es la raíz de 17, un número asqueroso, pero número es raíz de 17, ¿vale? 00:34:52
Y ahora para hallar el argumento, esto es igual al arco tangente de b partido de a, de 4 partido de 1, ¿vale? 00:34:59
Y entonces nos vamos a la calculadora y lo hacemos. Arco tangente de 4, que es 75,96 grados. 00:35:10
¿75,96, Paula, pertenece al primer cuadrante? Sí, pues entonces está perfecto. 00:35:24
Perfecto. ¿Vale? Entonces mi z que es igual a 1 más 4i, polares, raíz de 17 y aquí 75,96 grados. ¿Lo ves complicado? Bueno, ahora vamos a hacer lo mismo, pero es menos 1 más 4i. ¿Vale? 00:35:31
Entonces, menos 1 más 4 es... ¿Cuál es el par ordenado, Paula? 00:36:01
Menos 1, 4. 00:36:08
¿Y esto sabes tú en qué cuadrante está? 00:36:09
En el segundo, ¿verdad? Yo esto aquí lo represento, ¿verdad? 00:36:15
Y entonces esto es menos 1 y esto es 4, ¿vale? 00:36:19
Esto es menos 1, esto es 4, pues esto es menos 1, 4, ¿vale? 00:36:24
¿Por qué me interesa mucho saber el argumento? 00:36:29
porque yo aquí voy a tener el módulo, pero la teta va a pertenecer al segundo cuadrante, 00:36:32
por lo tanto, va a ser mayor que 90, pero más chico que 180, ¿lo entiendes? 00:36:40
¿Sí? Vale, entonces, si z sub 1 es menos 1 más 4y, ¿cuánto vale el módulo de z sub 1? 00:36:47
¿Cuánto vale? Efectivamente, más 4 al cuadrado que vuelva a salir otra vez la raíz de 17. 00:36:58
Pero es que teta ahora no es 4 entre 1, es 4 entre menos 1. 00:37:11
¿Vale? 00:37:20
Efectivamente, lo que pasa, pero no es el ángulo. 00:37:24
arco tangente de menos 4 00:37:26
esto es el arco tangente 00:37:29
de menos 4 00:37:32
y ahora si lo ponemos en la calculadora 00:37:35
¿qué nos sale? 00:37:38
menos 75,96 00:37:40
¿vale? 00:37:43
menos 75,96 00:37:45
es este ángulo de aquí ¿verdad? 00:37:47
esto es menos 75,96 00:37:51
¿lo ves? 00:37:54
¿Y entonces qué ocurre? Que no se corresponde, ¿lo ves? 00:37:55
Entonces, cuando me sale en la calculadora, que no me sale de mi cuadrante, ¿vale? 00:38:03
Cuando es del segundo cuadrante, yo aquí le tengo que sumar, lo voy a poner en colorado, 00:38:10
le tengo que sumar más 180 grados, ¿vale? 00:38:17
Cuando estoy en el segundo cuadrante, al hacer la fórmula del arco tangente, me va a salir un ángulo del cuarto cuadrante, ¿vale? 00:38:24
porque la calculadora, cuando yo hago el cuarto cuadrante, 00:38:46
la calculadora cuando tú haces el arco tangente de un ángulo te va a salir 00:38:53
o del primero o del cuarto, no te va a salir ni del segundo ni del tercero, ¿vale? 00:38:57
Y entonces ¿qué ocurre? Pues que yo le tengo que sumar, 00:39:03
entonces se le suma más 180 grados. 00:39:06
¿Y esto cuánto es? Pues esto sale como 104,04 grados. 00:39:09
Que este ya sí es el correcto, ¿lo ves? Y entonces esto es 104,04 grados, ¿lo ves? 00:39:16
Venga, ahora nos vamos a ir a uno del tercer cuadrante, es decir, yo tengo aquí un ejemplo donde z sub 3, por ejemplo, es menos 1 menos 4i. 00:39:28
Date cuenta que estoy cogiendo el mismo pero cambiando el signo, ¿vale? 00:39:39
menos 1 menos 4 00:39:41
y entonces si yo represento 00:39:44
este que para ordenado es 00:39:46
efectivamente esto es igual 00:39:48
vaya hombre por dios 00:39:54
vaya por dios 00:39:57
esto que es menos 1 menos 4 00:39:58
¿vale? 00:40:00
entonces si yo esto lo represento 00:40:05
tú ya sabes 00:40:07
que en qué cuadrante va a estar 00:40:09
este es el menos 1 00:40:11
este es el menos 4 00:40:12
está aquí 00:40:13
más o menos ¿no? 00:40:14
este es menos 4 00:40:16
este es menos 1 00:40:17
Y este es el menos 1 menos 4. 00:40:18
Vaya mierda, digo. 00:40:22
¿Vale? 00:40:24
Y entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:40:24
Que yo tengo aquí mi módulo. 00:40:26
¿Cuánto crees que te va a salir este módulo? 00:40:29
Raíz de 17. 00:40:35
Pero es que ahora la teta va desde aquí hasta aquí, ¿lo ves? 00:40:37
Y la teta que está entre 180 y 270, porque está en el tercer cuadrante. 00:40:42
¿Vale? 00:40:48
Entonces, ¿qué ocurre? 00:40:49
¿Qué módulo de z? Pues igual, ¿qué sería? 00:40:50
Menos 1 al cuadrado más menos 4 al cuadrado, ¿lo ves? 00:40:54
Y esto da raíz de 17. 00:40:59
Y si yo hago la fórmula, la fórmula solo lo aplico cuando no es ni imaginario puro ni real puro, ¿vale? 00:41:02
Si es real puro, lo puedo aplicar, ¿vale? 00:41:10
Pero si es imaginario puro, no, porque se va a infinito, ¿vale? 00:41:15
Como es b partido de a, esto es igual a la arcotangente de menos 4 partido de menos 1, esto es igual a la arcotangente de 4. 00:41:18
Esto ya, Paula, lo habíamos visto aquí, la arcotangente de 4, que era 75,96, ¿lo ves? 00:41:32
Pero claro, 75,96 pertenece al primer cuadrante, ¿lo ves? 00:41:41
¿Y el mío pertenece al tercero? Pues le sumo, efectivamente, le sumo 180 grados, ¿vale? No, en el segundo y en el tercero sí, ¿vale? En el segundo y en el tercero sí. 00:41:47
Entonces, ¿cuánto vale realmente teta? Pues teta vale, voy a quedar fatal, 255, ¿no? 255,96. ¿Vale? Entonces aquí ¿qué pongo? 255,96 grados. ¿Vale? 00:42:04
De hecho, si tú aquí, aquí porque hemos pasado de los coños esto, hemos pasado de los decimales, pero Paula, si tú haces el arco tangente de 4, ¿vale? Y tú lo memorizas en la calculadora, ¿vale? Bueno, mentira, y le sumas 180 y tú esto lo almacenas en la calculadora. 00:42:38
Si tú haces raíz de 17, ¿vale? Raíz de 17 por el coseno de este ángulo con todos los decimales, que tiene que salir menos 1. 00:43:03
Claro, pruébalo. 00:43:15
Haz primero arco tangente de 4. 00:43:20
Arco tangente, por ejemplo, yo tengo raíz de 17, ¿vale? 255,96 grados. 00:43:36
Lo que pasa es que aquí lo suyo es mantener todo. 00:43:42
Si lo hacemos con 255,96 nos falla porque hemos despreciado decimales, ¿vale? 00:43:47
Pero si tú haces raíz de 17 por coseno de 200... 00:43:52
Ah, bueno, has hecho arcotangente de cuadro, ¿no? 00:43:59
Vale, súmale 180 grados. 00:44:02
Le das al igual, que te da 75,96 y le sumas 180 grados, ¿vale? 00:44:07
y te sale 255, una retaíla enorme, ¿verdad? 00:44:12
Vale, ¿eso lo puedes memorizar? 00:44:18
Vale, pues memorízalo. 00:44:21
Si tú ahora le haces el coseno de answer, le das al coseno de answer, ¿vale? 00:44:25
Y ahora lo multiplicas, le das al igual y lo multiplicas por raíz de 17, 00:44:35
te tiene que salir menos 1. 00:44:42
¿Lo ves? 00:44:50
¿Lo ves? 00:44:52
Te sale menos uno. 00:44:53
Tienes memorizado el 255,96, ¿verdad, Paula? 00:44:56
Vale. 00:45:01
Pues, sácalo de la memoria. 00:45:02
Hostia, la otra. 00:45:06
¿Dónde la has guardado? 00:45:10
No, el ANS no. 00:45:13
Es que no sé cómo es tu calculadora. 00:45:16
No tienes una ABC. 00:45:19
Venga, pues vamos a hacerla aunque sea más largo, ¿vale? 00:45:20
Pero lo suyo es que lo memorices, ¿vale? Y tráete el signo de la calculadora nueva clase y te explico un poco, ¿vale? Entonces haz otra vez arco tangente de 4 igual más 180, ¿vale? Igual más 180, 150, ¿vale? 00:45:22
Pues ahora haz el seno de 255,96 que es el que tienes en la calculadora, ¿verdad? 00:45:46
Y ahora le das al igual y lo multiplicas por raíz de 17. 00:45:57
Y te tiene que salir menos 4, ¿lo ves? 00:46:04
Te sale al final menos 1, ¿vale? 00:46:10
Menos 1, menos 4i. 00:46:16
¿Lo ves? 00:46:20
Es igual a menos 1, menos 4i. 00:46:25
Y así es como yo paso. 00:46:28
Esto sale menos 4, ¿vale? 00:46:31
Entonces yo he pasado, fíjate, yo he hecho esto del proceso inverso. 00:46:35
He pasado de menos 1, menos 4 con el módulo y con esta fórmula. 00:46:39
He pasado a forma polar, que es esto, ¿de acuerdo? 00:46:42
Y luego, la forma polar he utilizado la fórmula trigonométrica, ¿vale? 00:46:47
Y he vuelto a pasar a la forma binómica. 00:46:53
¿Veis cómo está todo relacionado? 00:46:59
Está todo relacionado. 00:47:02
Vale, pues ahora vamos a irnos a uno del cuarto cuadrante, ¿vale? 00:47:05
que sería 00:47:11
espérate que justo 00:47:13
este justo 00:47:15
me estaba esto con la batería 00:47:20
¿vale? 00:47:22
estoy cargando 00:47:24
entonces si yo estoy en el 00:47:24
cuarto cuadrante, el ejemplo 00:47:28
sería 00:47:32
el ejemplo 00:47:33
sería 00:47:39
1 menos 4i 00:47:41
¿vale? 00:47:43
1 menos 4y, si yo esto lo represento, ¿de acuerdo? 00:47:46
Aquí, ¿qué es lo que tengo? 00:47:51
Yo tengo aquí el 1 y aquí tengo el menos 4, ¿verdad? 00:47:53
Y tú ves aquí perfectamente que esto está en el cuarto cuadrante, ¿verdad? 00:47:58
Mi módulo es el que va de aquí a aquí. 00:48:04
Y mi teta va de aquí a aquí, ¿verdad? 00:48:07
Tiene que ser mayor que 270 y tiene que ser más chico que 360. 00:48:11
¿Vale? Pues entonces nada. Esto de aquí es el par 1 menos 4, ¿verdad? Y entonces, ¿esto qué es? El módulo de z que es la raíz de 1 al cuadrado más menos 4 al cuadrado, que ya sabemos que es raíz de 17. 00:48:16
Y el arco tangente, la teta, perdona, es el arco tangente de menos 4 partido de 1, ¿verdad? 00:48:34
Que es menos 4. 00:48:44
Y esto nos salía menos 75 con algo, ¿no? 00:48:45
Menos 75,96 grados. 00:48:51
¿Vale? 00:48:55
Entonces, para que me dé un ángulo que esté entre 270 y 360, 00:48:56
Yo aquí le tengo que sumar, voy a poner en colorado, 360 grados, ¿vale? 360 grados. De otra forma, si tú tienes duda, si tú a esto le sumas 180, se te va a ir al segundo cuadrante, ¿lo ves? 00:49:02
por 180 no era 00:49:23
por 360 00:49:26
efectivamente 00:49:27
y esto cuánto da 00:49:30
si no me equivoco esto da 00:49:31
284,04 00:49:33
puede ser 00:49:38
pues ya está 00:49:38
esto es 284,04 00:49:42
¿lo veis? 00:49:47
y así es como pasamos de polar 00:49:49
a binómica 00:49:51
y de binómica polar, súper fácil 00:49:53
¿vale? 00:49:56
muy fácil, bien 00:49:57
otra cosa que tenemos que tener en cuenta 00:49:59
¿vale? son las potencias 00:50:01
las de i, que eso también es súper 00:50:04
sencillo ¿verdad? 00:50:07
las potencias de i 00:50:11
que ya, esto es una farfollez 00:50:14
potencias 00:50:17
entonces, i elevado a cero 00:50:18
siempre empezamos el cero, y Paula 00:50:22
esto es de potencias 00:50:24
cualquier potencia elevada a 0 00:50:25
¿cuánto es? 00:50:27
¿que tienes dudas? 00:50:30
te coges tu número favorito y lo elevas a 0 00:50:32
la calculadora te da 1 00:50:35
¿vale? 00:50:36
y ahora, i elevado a 1 00:50:38
es i 00:50:40
¿vale? y luego esto 00:50:42
y luego i al cuadrado 00:50:45
que era por definición 00:50:48
menos 1 00:50:50
y i al cubo 00:50:53
¿Qué es? Menos i. ¿Vale? Entonces yo sabiéndome estas cuatro, ya no necesito saber ninguna más. ¿Vale? 00:50:54
¿Y entonces qué ocurre? Pues venga, me vas a decir i elevado a 1987. ¿Vale? ¿Te parece? 00:51:05
Y entonces, ¿qué es lo que hacemos? Pues hacemos, efectivamente, ¿por qué? Porque cuando yo divido entre 4 tengo como resto 0, 1, 2 y 3, ¿vale? Entonces 4 por 4 es 16, tengo aquí un 3, un 8, 4 por 9 es 36, 27 y 4 por 6 es 24, total, que me sobra un 3, ¿vale? 00:51:15
Entonces, esto realmente es lo mismo. 00:51:45
Yo puedo poner 1987, ¿verdad? 00:51:50
Como 4 por 496 más 3. 00:51:53
Dame esto que realmente esté bien. 00:51:58
¿Vale? 00:52:00
Eso me tiene que dar... 00:52:01
4 por 496 me tiene que dar 1984. 00:52:02
¿No? 00:52:08
Vale. 00:52:09
4 por 4, 16. 00:52:10
3, 38. 00:52:11
4 por 9, 36. 00:52:12
¿No? 00:52:14
4 por 6, 24. 00:52:15
29, 26. 00:52:16
4 por 496 te tiene que dar 1.984, ¿vale? 00:52:16
Más el 3 ya te da 1.987, ¿no? 00:52:25
Pues entonces, como esto de aquí lo puedo poner como esto por esto más esto, 00:52:27
pues la multiplicación de exponentes, ¿qué es? 00:52:33
Cuando se multiple cuando tenemos potencia de potencia, ¿vale? 00:52:39
Y luego, esto es por i al cubo, ¿vale? 00:52:44
¿Qué ocurre? Que i a la cuarta, como es 0, ¿verdad? Porque i a la cuarta, ahora ¿qué sería? Sería menos i por i, menos i por i, que sería 1, esto sería menos i al cuadrado. 00:52:49
Y como y al cuadrado es menos 1, pues esto es 1. 00:53:08
Si yo pongo el 0, ¿vale? Es 1, ¿vale? 00:53:15
Entonces, esto de aquí es 0 y entonces es lo mismo que y al cubo, que en este caso es menos 1, ¿vale? 00:53:20
Pues entonces, esto de aquí es básico para hacer los ejercicios donde yo te pongo y elevado a la madre que lo parió, ¿vale? 00:53:28
Tú te quedas con el resto y te sabes estos cuatro valores, pues equivale a la y del resto y ya está, ¿de acuerdo? ¿Vale? Perfecto. Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Dividir polinomios. Hemos sumado y restado o multiplicado o dominado. Multiplicación y división de complejo, ¿vale? 00:53:36
Entonces, multiplicación y división de complejos. 00:54:02
Entonces, ¿de forma binómica lo podemos hacer? 00:54:16
Sí, pero es un tostón, ¿vale? 00:54:21
Porque la forma polar, fíjate en forma polar. 00:54:27
Si yo tengo, por ejemplo, 4 y aquí tengo 32. 00:54:35
Ahora yo tengo aquí 5 y aquí tengo 183, no, vamos a poner números más un 10, ¿vale? Para que sea, vamos a poner un 4, ¿vale? 00:54:39
¿Vale? Si yo, si esto es z1 y esto es z2, ¿vale? Pues yo si aquí hago z1 por z2, fíjate que es fácil ejemplar. 00:54:56
Lo que hago es 4 por 5 y aquí sumo los argumentos. Especialmente cojo el módulo de primero por el módulo de segundo. 00:55:09
es decir, esto que es 20, 36 grados. 00:55:21
¿Has visto que es fácil? 00:55:26
Muy fácil. 00:55:28
Si yo hago z sub 1 entre z sub 2, 00:55:29
pues esto que sería 4 quintos 00:55:34
y ahora el argumento sería 32 menos 4, ¿vale? 00:55:37
Que esto es 4 quintos y esto es 28 grados. 00:55:43
Claro, pero eso no es en polar, 00:55:52
por eso te digo lo fácil de plan. 00:55:54
En binómica, si yo tengo 5 más 3i y lo multiplico por 2 menos 4i, pues yo aquí la multiplicación es distribuir, ¿vale? Sería 5 por 2, 10. 5 por menos 4i, menos 20i, ¿vale? Luego 3i por 2 sería más 6i. 00:55:55
Y aquí ahora hay que tener cuidado. 3y por menos 4y sería menos 12y al cuadrado, ¿verdad? Pero y al cuadrado ¿cuánto vale? Menos 1, ¿vale? Entonces 3 por menos 4 es menos 12 por menos 1 más 12, ¿vale? 00:56:19
¿Y esto cuánto daría? 00:56:40
Esto daría 22 menos 14i, ¿vale? 00:56:42
No es complicado, ¿verdad? 00:56:47
No es complicado. 00:56:49
Lo que pasa es que tengo que tener en cuenta que el i por i al final es menos 1 00:56:51
y lo que tenemos que hacer es cambiar el signo de esto, ¿de acuerdo? 00:56:56
Pero es que fíjate la apoyada que es en polares. 00:56:59
Hombre, claro, en polares. 00:57:04
Multiplicas el módulo de uno por el módulo del otro 00:57:06
suman los ángulos y ya está 00:57:08
¿lo veis? 00:57:10
y bueno, si es verdad 00:57:12
que la multiplicación binómica no es 00:57:14
muy complicado, ahora 00:57:16
sí agárrate los machos 00:57:18
con la división 00:57:19
efectivamente 00:57:21
¿vale? entonces, aquí lo que hacemos 00:57:23
es multiplicar 00:57:26
arriba y abajo por el conjugado 00:57:27
del de abajo 00:57:30
y el conjugado es muy 00:57:31
fácil, tú tienes aquí 00:57:34
El conjugado es a menos b, ¿de acuerdo? Es a menos b. Entonces, si yo tengo a más bi, el conjugado es a menos bi, ¿vale? 00:57:36
Y luego, si yo tengo aquí, por ejemplo, zeta, el conjugado, ¿vale? Es ese mismo zeta y aquí sería 360 menos zeta, ¿vale? Para los conjugados. 00:57:58
Entonces yo aquí multiplico 2 más 4i, ¿verdad? 00:58:19
2 más 4i. 00:58:23
Y ahora lo que ocurre es que yo tengo que distribuir arriba, ¿qué sería? 00:58:25
10 más 6i, ¿verdad? 00:58:29
Más 20i. 00:58:33
Y ahora 3 por 4, 12. 00:58:34
Pero como i por i es menos 1, menos 12. 00:58:36
¿Lo ves? 00:58:40
Y ahora, abajo el conjugado es muy fácil. 00:58:42
¿Por qué? Porque yo tengo aquí suma por diferencia. 00:58:45
Cuando yo tengo a más b por a menos b, por eso se multiplica por el conjugado, 00:58:47
esto es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo, ¿vale? 00:58:53
Entonces, que bueno, si yo lo distribuyo, al final se me van a ir los a, b y los b, ¿vale? 00:58:59
Entonces sería 2 al cuadrado menos 4i al cuadrado, ¿vale? 00:59:07
Pero ¿esto qué sería? 00:59:17
Esto aquí tienes que tener cuidado porque i al cuadrado, ¿cuánto es? 00:59:18
Menos 1. 00:59:24
Entonces, al final aquí siempre, siempre, en los números complejos, cuando yo tengo a más bi y aquí tengo a menos bi, ¿verdad? 00:59:25
Esto de aquí siempre va a ser a al cuadrado más b al cuadrado. 00:59:39
¿Vale? 00:59:45
Eso solamente pasa en los complejos, ¿de acuerdo? ¿Sí o no? Ah, bueno, esto lo había puesto yo bien, esto sería 2 al cuadrado menos, por ejemplo, 4i al cuadrado, menos 4i al cuadrado, que al final aquí abajo, ¿qué sería? Esto es un cuadrado, ¿vale? Esto sería 4, ¿verdad?, más 16, ¿lo ves? 00:59:45
Y al final arriba, ¿qué me queda? Me queda menos 2 más 26, ¿sí? Pues nada, esto es menos 2 partido de 20 más 26 partido de 20 y más coñazo, ¿no? Es un tostón, un tostón, pero no es complicado, no es complicado en absoluto, en absoluto, ¿vale? 01:00:09
Entonces, estas son las nociones básicas que tenemos que saber. 01:00:36
Entonces, ejercicios típicos. 01:00:40
Pues yo te pongo un número complejo. 01:00:42
Mírate esos ejercicios, ¿vale? 01:00:46
Los ejercicios últimos que hemos hecho de los típicos de los complejos. 01:00:48
Donde yo te pongo una división, donde una división que va a haber, pues, 01:00:53
un número y elevado a no sé cuánto y aparece una x. 01:00:58
Y yo te pregunto, ¿cuánto tiene que valer x para que sea real puro o imaginario puro? 01:01:01
Tú vas a tener que hacer primero las potencias de y, luego vas a tener que hacer la división de los números complejos 01:01:08
y luego te va a dar un número complejo donde tiene una parte imaginaria y una parte real. 01:01:16
¿Que tú quieres que sea imaginario puro? Pues la parte imaginaria la igualas a cero. 01:01:21
que tú quieres que sea imaginario puro 01:01:26
por la parte real la igualas a 0 y hallas esa x 01:01:30
¿de acuerdo? ¿vale? no tiene más juego 01:01:34
y después ya lo último que nos quedaría 01:01:37
sería la radicalización 01:01:40
¿vale? la potenciación y radicalización 01:01:45
a ver, potenciación 01:01:48
de todas formas, mírate los vídeos también ¿vale? 01:01:54
vale 01:02:01
Y radicalización, ¿vale? Entonces, volvemos, potencias. Entonces, potencias, si yo tengo, por ejemplo, yo que sé, 5 más 4i elevado, yo que sé, a la cuarta, ¿vale? 01:02:01
Pues aquí, ¿qué ocurre? ¿Qué tendríamos que hacer? 01:02:26
Fíjate, 5 más 4i al cuadrado por 5 más 4i al cuadrado, ¿verdad? 01:02:29
Es decir, yo tendría que multiplicar este por sí mismo, 01:02:36
luego este por sí mismo, que es igual, y luego los vuelvo a multiplicar. 01:02:40
Y aquí porque es cuadrado, pero esto imagínate que me dice a la 40. 01:02:43
Entonces esto no es infumable, ¿lo ves? Es infumable. 01:02:48
Se puede hacer cuando son pocos, se puede hacer, pero es infumable. Entonces, ¿qué ocurre? Para las potencias está la fórmula de de Moivre. No, la bonita es la de, la de, la de, guau, la de Euler, ¿vale? La de Euler. 01:02:52
Entonces, hemo híbrido, ¿qué es lo que ocurre? Como esto de aquí, 5 más 4i, esto lo puedo poner en forma polar. ¿Cómo sería en forma? Bueno, ¿cómo lo paso a trigonómetro? Bueno, no sé el ángulo, ¿verdad? 01:03:13
5 más 4y, el módulo, ¿qué sería? 01:03:34
Si esto es z sub 1, el módulo de z sub 1 sería la raíz, como tú me has dicho, 01:03:38
de 5 al cuadrado más 4 al cuadrado, 25 más 16, que es 39, ¿verdad? 01:03:45
No, 41. 01:03:56
25 más 16, 41, ¿vale? 01:03:58
Y teta, que es igual al arco tangente, ¿vale? De b partido de a, es decir, el arco tangente de 4 quintos. 01:04:02
¿Y esto cuánto daría? 38,66, ¿no, Guillain? 01:04:14
Entonces, ¿qué ocurre? Que si yo tengo que hacer, resulta que moibre, lo que me decía, me la voy a llevar aquí, ¿vale? 01:04:50
de Moivre 01:04:58
que este hombre ya te digo 01:05:01
es para ponerle un piscito también en Madrid 01:05:03
un porqué 01:05:05
él descubrió que si yo tengo 01:05:06
coseno de teta 01:05:09
más y seno de teta 01:05:12
elevado a n 01:05:14
esto es igual 01:05:16
a coseno de n 01:05:18
por teta 01:05:20
más y seno 01:05:20
de n de teta 01:05:23
¿vale? 01:05:25
descubrió esto este hombre 01:05:27
Es increíble pero cierto. Entonces, ¿qué ocurre? Que al final, si te das cuenta, si yo tengo este número que es 5 más 4i, que es este número polar, ¿vale? Pues resulta que 5 más 4i elevado a 4, que es lo mismo que raíz 41 de 38,66 elevado a 4, ¿vale? 01:05:29
Esto resulta que es la raíz de 41 a la cuarta, que esto si te das cuenta es 41 al cuadrado, ¿verdad? 01:05:59
Esto sería 41 al cuadrado y ahora precisamente mi teta se ha convertido en n teta. 01:06:12
Entonces, ¿cuánto crees que sería el argumento de aquí? 01:06:21
¿Y n cuánto vale? 4. Sería 4 por 38,66. Es decir, esto sería 41 al cuadrado y esto lo multiplico por 454,63 grados. 01:06:24
y me ahorro el tener que multiplicar aquí cuatro veces 01:06:51
entonces la potenciación polares 01:06:59
precisamente por esto de Moivre 01:07:06
nos permite hacer 01:07:08
es decir, cuando yo tengo un número complejo 01:07:10
z alfa elevado a n 01:07:12
esto al final es el módulo de z elevado a n 01:07:15
y el argumento 01:07:20
n por teta, ¿vale? 01:07:22
Y ahora la división, las raíces, ¿qué diga? 01:07:25
Las raíces de un número complejo, esto es lo que hemos visto de las formas geométricas, ¿vale? 01:07:33
Entonces, si yo tengo la raíz enésima de un zeta a teta, ¿vale? 01:07:41
¿Vale? Resulta que esto tengo que va desde 1 hasta n, ¿vale? Donde aquí cada uno de ellos es raíz n de z, raíz enésima de z, ¿vale? 01:07:49
Y ahora los argumentos, esto del argumento su 1, argumento su 2, ¿vale? Las tetas de cada uno de ellos, teta 1, teta 2, esto es raíz de n de zeta, teta su n, ¿vale? 01:08:10
Resulta que las tetas subidas son mi ángulo teta más 360 grados por k, ¿vale? Partido de n, ¿vale? 01:08:27
Entonces, vamos a hacer, y la k es importante que va desde 0 hasta n-1. Entonces, vamos a hacer un ejemplito, ¿vale? 01:08:46
Entonces, si a mí me piden la raíz cúbica, ¿vale? De, yo qué sé, 8, 66 grados, ¿vale? De 8, 66 grados, ¿esto ya está en forma polar? 01:08:57
Sí, pues si no estuviera en forma polar, yo lo tengo que convertir primero a forma polar, ¿vale? 01:09:18
Entonces, ¿qué ocurre? Que yo tengo aquí, como es raíz cúbica, ¿cuántas raíces voy a tener? 01:09:26
Tres. 01:09:33
Todas van a ser la raíz cúbica de 8, ¿vale? 01:09:35
La raíz cúbica de 8. 01:09:40
La raíz cúbica de 8. 01:09:44
Y ahora, esto que es 66, ¿verdad? Pues si recuerdas esto, que yo ni me lo aprendería, la verdad. 01:09:46
Lo que hago, cuando k vale 0, porque k aquí ¿de dónde va? Desde 0, 1 y 2. 01:10:03
Claro, en este caso va hasta 2, ¿vale? 01:10:11
Entonces, ¿qué ocurre? Pues cuando k vale 0, 360 grados por 0, ¿cuánto es? 0. 01:10:14
Con lo cual, ¿qué me quedo? Con alfa entre n. ¿Vale? Y entonces, ¿qué es lo que hago? Divido 63 grados entre 3, 66, que me da 22 graditos, ¿verdad? Luego divido 360 grados entre 3, que me da 120 graditos. 01:10:21
Entonces, el primero que es 22, ¿verdad? Pues 22 grados. Y ahora le voy sumando 120 grados, con lo cual esto sería 142 grados, ¿verdad? Y esto sería 262 grados. 01:10:43
Si tú aquí le siguieras sumando, imagínate que te equivocas, si tú sumas aquí 120 grados, esto resulta que me va a dar 382 grados, ¿verdad? 01:11:05
Pero es que 382 grados, ¿qué es? Es lo mismo que un número más 360, ¿no? 01:11:20
Y ese número, ¿cuál es? Pues precisamente 22. 01:11:29
¿Vale? Vuelves otra vez a lo mismo. 01:11:34
¿Lo ves? Y raíz cúbica de 8 es 2. Entonces, esto sería 2, 22 grados. Esto sería 2, 142 grados. Y esto sería 2, 262 grados. ¿Vale? Entonces, ¿qué es lo único? 01:11:36
Por ejemplo, si yo te pongo la raíz cúbica de menos 5i, o la raíz cuarta, venga, de menos 5i. 01:11:56
Entonces, ¿esto está en polar? No, lo tengo que pasar a polar. 01:12:08
¿Es un número real puro, imaginario puro? Es imaginario puro. 01:12:14
Entonces, ¿puedo aplicar la fórmula de arco tangente de b partido de a? 01:12:21
Vamos a sustituir, esto sería arco tangente, ¿cuánto vale b? 01:12:34
¿Y A? ¿Y esto cuánto es? Esto es una indeterminación, esto es infinito, ¿vale? Entonces no lo podemos hacer, ¿vale? No lo podemos hacer. 01:12:38
Entonces, aquí lo de siempre que yo recomiendo es que tú lo representes, ¿vale? Y entonces, si es imaginario puro, esto, el menos 5Y, ¿cuál es el par ordenado? 01:12:55
perfecto, y eso es donde está 01:13:08
aquí por ejemplo 01:13:13
vale, este es el 0 01:13:14
menos 5, vale 01:13:16
y ahora, el módulo cuánto es 01:13:17
cuánto vale este módulo 01:13:21
5, entonces esto es 01:13:25
la raíz cuarta, verdad, de 5 01:13:29
y ahora 01:13:31
cuánto es el ángulo que va desde 0 01:13:32
aquí hasta aquí 01:13:35
270 grados 01:13:36
lo tengo ya pasado 01:13:41
a polar 01:13:43
¿Has visto? Y ahora, ¿cuántas raíces voy a tener? ¿Cuál es el módulo de todas? No. ¿Cuánto sería? ¿Pero cuál? ¿Raíz? Cuarta de 5. No, hombre. Raíz cuarta de 5, ¿vale? Todas. 01:13:44
Y ahora, ¿qué hago con el 270 aquí ya? No, más fácil. 270 lo divido ¿entre cuánto? Entre 4, ¿vale? Y esto ¿cuánto es? 4 por 6, 24, ¿no? Esto es 30, ya queda fatal. 4 por 7, 28. Esto es un 2, esto es un 5, ¿vale? Esto es 67,5 grados, ¿vale? 01:14:15
Y ahora, ¿cuánto le tengo que sumar? Pues 360 grados entre 4, que esto ¿cuánto da? 90 grados. 01:14:52
Pues le sumo 90 grados, ¿vale? Y esto 90 grados es 157,5. 01:15:01
Y si yo le sumo 90 grados, esto me va a salir 247,5. 01:15:10
Y si yo le sumo más 90 grados, 337,5 grados. 01:15:23
¿Lo veis? Y ya lo tengo. 01:15:29
Y es que esto gráficamente, si yo represento estas 5 raíces, ¿vale? 01:15:33
Si yo represento estas 5 raíces, resulta que tengo un cuadrado, ¿vale? 01:15:38
Si yo esto, imagínate que es esto, esto es 57 por aquí, 247 por aquí, estos son los 180. 01:15:49
Y es total, si yo esto lo hago bien, me sale aquí un cuadrado perfecto, ¿vale? 01:15:59
Y entonces ya me pueden pedir el área de esta figura, ¿vale? 01:16:09
el perímetro, lo que sea. 01:16:13
¿De acuerdo? 01:16:17
Lo que tengo que aplicar aquí ya es cuánto hay de aquí a aquí. 01:16:18
¿Cuánto hay? 01:16:21
En ángulo. 01:16:23
¿Eh? 01:16:24
Sí. 01:16:26
Entre dos afijos. 01:16:27
Estos son dos afijos consecutivos. 01:16:29
¿Cuál es el ángulo que hay entre uno y otro siempre? 01:16:33
Entre este y este, ¿cuál va a ser el ángulo aquí en una raíz cuarta? 01:16:36
90 grados, lo que le sumo. 01:16:44
Esto es 90 grados, ¿vale? 01:16:47
Y esto de aquí, ¿cuánto mide? 01:16:51
Y esto de aquí, ¿cuánto mide? 01:16:54
Raíz cuarta de quinta. 01:16:55
¿Puedo hallar esto? 01:16:57
Lo puedes hallar con el teorema del coseno, en este caso con Pitagorín. 01:17:00
Pero lo puedes hallar también con el teorema del coseno. 01:17:04
¿Vale? 01:17:08
Pues nada, échale un vistazo, mírate los ejercicios y cualquier cosa me dices, ¿vale? 01:17:10
¿Te parece? 01:17:16
venga joven 01:17:16
porque estás a la cuarta 01:17:19
pregunta 01:17:23
de todas formas echale un vistazo 01:17:24
a los vídeos y me lo dices 01:17:40
¿vale? ¿publico 01:17:41
esto en el aula o pasando? 01:17:43
¿sí? vale 01:17:46
¿online? 01:17:47
en principio no 01:17:53
no, mañana es que lo 01:17:55
tengo más 01:17:57
por eso te he dicho si podías hoy 01:17:58
¿pero que era de esto también o qué? 01:18:00
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Idioma/s:
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Idioma/s subtítulos:
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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20
Fecha:
24 de febrero de 2026 - 13:13
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
1h′ 18′ 19″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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