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8ª Quincena - Contenido educativo

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Subido el 30 de enero de 2024 por Francisco J. M.

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Y quede claro que si hay alguien que por protección de datos no quiere que firme su nombre en 00:00:00
las declaraciones, pues no que eventualmente pueda salir, no es que se haga de forma expresa, 00:00:05
pues que por favor que lo diga y yo dejo de grabar. Y luego esto, por supuesto. 00:00:12
Bueno, entonces, dicho eso, empezamos con la clase. Y si alguien tiene algo que decir, 00:00:20
pues yo lo aborro inmediatamente. Bueno, creo que ya estamos abriendo pantalla. Y a ver… 00:00:27
Bueno, vamos a ver. Como veis, en sistemas de ecuaciones hemos 00:00:36
colocado solo dos sesiones, que es lo que puedo dar. Y, bueno, lo fundamental va a ser 00:00:49
el teorema de Buse-Floreño y luego la aplicación a la resolución de ecuaciones. Ahí voy a 00:00:57
intentar prepararme un poquito más. Bueno, os voy a decir, aparte del método 00:01:02
de Gauss, otros métodos para resolver sistemas. El método de la matriz inversa lo conté 00:01:09
yo el otro día. No sé si lo recordáis. El método de la matriz inversa, pero que 00:01:15
sirve para repasar ecuaciones matriciales. Entonces, este he explicado en un ejemplo 00:01:21
de la sesión anterior. Os sirve para repasar la matriz inversa, creo que es interesante, 00:01:30
¿no? Que sepáis que existe. Vamos a ver un ejemplo muy rapidito y vamos para eso. 00:01:40
Ya os digo que esto es mucho más fácil hacerlo por sustitución, por reducción o por Gauss. 00:01:56
Yo lo haría por Gauss, ya que lo sabéis hacer. Prácticamente es el método de reducción en dos 00:02:00
variantes, ¿no? Bueno, entonces, a ver, yo tengo que el sistema 00:02:06
tiene esta matriz. Esta es la matriz de coeficientes y esta es la matriz de ampliados. 00:02:17
Se le añade esto, ¿sí? Entonces, si esta matriz es cuadrada, cálculo su determinante. 00:02:23
Su determinante sería 3 por menos 1, menos 3, menos 1, que es igual a 4, ¿no? Entonces, 00:02:30
esta matriz, como su determinante es distinto de cero, tiene inversa. 00:02:43
Pues calculo a la menos 1. Entonces, primero, la matriz adjunta de A, la voy a hacer un poco 00:02:48
más rápido de lo normal. Acordaos que esta es A y esta es A''. Bueno, la adjunta de A sería, 00:03:01
consigno más, quito fila y columna, me queda menos 1. O sea, más menos 1, que es menos 1. 00:03:12
Consigno menos, quito fila y columna, 1, pues también menos 1. Consigno menos, quito fila y 00:03:21
columna y me queda 1, pero no lo desdelante, menos 1. Y ahora consigno más, quito fila y 00:03:29
columna y me queda 3. Esta es la matriz adjunta. Entonces, la matriz inversa es la traspuesta de 00:03:34
esta, que en este caso coincide con, porque es una matriz que se llama simétrica, dividido entre el 00:03:44
determinante. Esto os recuerdo, que esta es la adjunta traspuesta. Aunque aquí no la haya 00:03:53
traspuesto, pero que sale el original. Entonces, ¿qué matriz me queda aquí? Un cuarto, un cuarto, 00:04:08
un cuarto, menos tres cuartos. ¿Sí? Entonces, el otro día dijimos que esta ecuación matricial, 00:04:17
que este sistema de ecuaciones equivale a esta ecuación matricial. Que la matriz A aplicada a 00:04:25
la matriz columna de los incógnitas es igual a la matriz de los términos independientes. ¿Cómo 00:04:34
se aplica aquí? Pues yo puedo despejar x y con la inversa por la izquierda, aplicado a la matriz 00:04:41
columna 2, 0. Entonces, esto lo hacéis. Queda un cuarto, un cuarto, un cuarto, menos tres cuartos, 00:04:50
aplicada a la matriz 2, 0. Y esto lo voy a hacer rápidamente. Esto sería 2 por un cuarto, 00:04:59
son dos cuartos, que es un medio. Y esto dos cuartos, cero, pues nos da otro medio. O sea, 00:05:07
que la solución es x igual a un medio, y igual a un medio. Ya os lo tengo que dar rápidamente, 00:05:17
porque tengo que ver varias cosas. Si os fijáis, al hacer la comprobación, sale un medio menos un 00:05:25
medio, es cero. Y tres medios más un medio son cuatro medios, que son dos unidades. Entonces, 00:05:31
creo que es un ejercicio bonito e interesante. Un poco práctico, porque esto por reducción se 00:05:38
tarda menos. Pero ahí lo dejo, sobre todo para que entendáis un poquito mejor lo que son los 00:05:44
sistemas de ecuaciones y su relación con las matrices y con los determinantes. Ahora, 00:05:57
la regla de Cramer. La regla de Cramer también se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes 00:06:02
es cuadrada y su determinante es distinto de cero. Como veis, es un determinante, 00:06:24
que el determinante sea distinto de cero. Entonces, ¿cómo se aplica la regla de Cramer? 00:06:36
Yo os la voy a explicar directamente. Vamos, por ejemplo, no estabas tú en este momento. 00:06:42
Os he dicho que voy a hacer una prueba. Voy a intentar grabar la clase y a ver si os sirve 00:06:51
de utilidad. Y lo vamos viendo para la siguiente ronda, ¿vale? Porque siento que no lo había 00:06:58
aprendido. A ver, la regla de Cramer consiste en lo siguiente. Primera cosa, ¿se puede aplicar? 00:07:02
Como veis, es el mismo sistema que antes, el mismo sistema de ecuaciones. Tiene que 00:07:16
salir x igual a un medio o igual a un medio, ¿no? ¿Se puede aplicar? Pues para eso tengo 00:07:20
que ver si el determinante es distinto de cero. Y salía menos cuatro, ¿no? Se puede. 00:07:24
Y ahora, ¿cómo se utiliza la regla de Cramer? Atención. Tomo x dividido entre menos cuatro. 00:07:34
Esta es la razón por la que el determinante tiene que ser distinto de cero. Y voy a colocar 00:07:43
el siguiente determinante. En la columna de la x, la columna de la x la voy a reemplazar por la 00:07:49
columna de los términos independientes. Y la columna de las y la dejo igual. Entonces, 00:07:57
si os fijáis, he hecho este reemplazamiento. Calculo este determinante, dos por menos uno, 00:08:04
menos dos. Cero por uno, cero. Partido por menos cuatro. Y a que sale un medio. Pues esto, 00:08:13
como veis, esto es pura magia. No, no, no, en absoluto. Yo recomiendo, vamos. Lo que pasa es 00:08:23
que Cramer sí tiene una utilidad, que es la que os voy a decir. No, no. Para mí es muchísimo más 00:08:37
rápido el método de Gauss. Y, además, ahí lo estáis discutiendo. ¿Sí? Este, el de matrices, 00:08:43
sirve para repasar matrices y para que tengáis una idea general. El de Cramer para que veáis 00:08:50
que el sentido de los determinantes está aquí. Vamos, que esto le da sentido a la teoría de 00:08:55
determinantes. Y también porque si hay sistemas con parámetros sí que es bueno utilizarlo. Ahora, 00:09:01
a ver si vemos algún ejemplo. Bueno, entonces, aquí tengo... Ahora, 00:09:09
reemplazo. O sea, para calcularla ahí, dejo la columna de las X y reemplazo la de las Y por los 00:09:14
términos independientes. Entonces, esto sale tres menos dos. Perdón, cero menos dos. Partido por 00:09:28
unos cuatro y sale media. Y, como veis, salen las mismas opciones. ¿Sí? Entonces, esto lo voy a 00:09:36
cortar. Y nos vamos a uno de orden tres. A este. Este, como veis, es un sistema de tres 00:09:51
incógnitas y de dos ecuaciones y tres incógnitas. Y digo, ¿y cómo puedo aplicar aquí el método de 00:10:05
Cramer? Bueno, pues que sepáis que se puede hacer de las siguientes. Vamos a ver. Yo sé que aquí 00:10:14
este sistema, si me queda compatible, va a ser indeterminado. Porque hay menos ecuaciones que 00:10:22
incógnitas. No voy a poder despejar todas. Entonces, a ver, si yo cojo este menor. Aquí 00:10:28
me queda uno... Perdón, voy a coger el determinante, que es el menor. Uno, uno, uno, uno. Este 00:10:39
determinante es claro que vale cero. Porque tiene dos líneas iguales o porque lo hacéis y sale cero. 00:10:46
Entonces, este no me sirve. Pero si cojo este otro menor, que es el formado, voy a coger las 00:10:51
columnas D, X y Z. O sea, si cojo uno, uno, uno, menos uno, este determinante vale menos uno, menos uno, que es 00:11:09
menos dos. Este sí que me vale, ¿sí? Este sí me vale. Para hacer Cramer, ¿no? Entonces, ¿qué voy a hacer? Voy a 00:11:23
coger este sistema y lo voy a poner así. X más Z igual a dos menos Y. Y X menos Z igual a cero menos Y. 00:11:36
Este sistema es igual que este. Y yo sé que al final tengo que dejarlo en función de una incógnita. Pues esa incógnita va a ser la Y. ¿Sí? 00:11:48
Y ahora, ¿cómo resuelvo este sistema? Pues por el método de Cramer. A que es igual a X. 00:11:59
Debajo tengo que poner el determinante que es menos dos. Y arriba tengo que poner, os recuerdo, reemplazo esta columna por dos menos Y, menos Y. 00:12:09
Y la de Z la dejo. Entonces, esto me queda menos dos más Y. Aquí sería menos menos Y, que es más Y. Dividido entre menos dos, esto queda 00:12:26
menos dos más dos Y partido por menos dos. Y esto, menos dos entre menos dos, uno. Y dos entre menos dos, menos uno, queda uno menos Y. 00:12:41
La Y cuadra Y. Porque esta es la que puede tomar cualquier valor. Que en muchos libros la llaman lambda. La llaman parámetro y la llaman lambda. ¿Sí? 00:12:52
Y la Z, ¿cómo se calcula? Pues la columna de las X la dejo como está. Y ahora coloco dos menos Y, menos Y. 00:13:02
Dividido entre menos dos. Bueno, pues esto lo hago, menos Y. Esto quedaría menos dos paréntesis, menos paréntesis, dos menos Y. O sea, menos dos más Y partido por menos dos. 00:13:20
Y esto se va en las Y y queda que la Z vale. Por lo cual el sistema es compatible indeterminado, depende de un parámetro. Y esto tiene mucha relación con lo que hemos visto 00:13:38
Esto os parece muy raro, pero fijaos, sustituir la X vale uno menos Y. Más la Y, se va la Y y queda uno, ¿no? Y uno más Z que vale uno, dos. 00:13:50
Si hacéis la comprobación sale con letras incluso. La X es uno menos Y. Si le sumáis la Y queda uno menos uno, cero. 00:14:03
Que sepáis que aquí todo cuadra y que esto es una forma de resolver sistemas que os va a valer para la geometría. Cuando tengáis la ecuación más recta podéis sacar un punto y un vector director de aquí. 00:14:12
Esto ya de cara a la tercera evaluación. Bueno, no me quiero extender más con la regla de Grammar porque ya os digo que prácticamente no la vais a usar conmigo. 00:14:28
Yo siempre os voy a recomendar que prioricéis el método de la usa. Y ahora vamos a lo más importante de hoy, porque además son ejercicios tipo. 00:14:42
Entonces, os voy a poner algo que os adelanté el otro día. El teorema de Lucefrovenius dice que si tenéis una matriz y su matriz ampliada, recordad que también la llamábamos a estrella. 00:14:57
M es lo mismo que a estrella, por si queréis tomar nota aquí. 00:15:12
Bueno, a ver si puedo ponerla aquí. Igual a A. ¿A dónde se pone un asterisco? Aquí. ¿No? A estrella. 00:15:16
Entonces, para que sea compatible el sistema, no sé si os acordáis que si hay una dependencia lineal en la matriz de coeficientes también tiene que existir la misma en la ampliada. 00:15:28
Entonces, tiene que haber tantas líneas, tantas ecuaciones linealmente independientes en A como en A estrella. 00:15:40
Y eso se resume en que un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si, no sé si habéis utilizado alguna vez esta expresión que la voy a explicar, el rango de A es igual al rango de la ampliada. 00:15:48
El rango de la matriz de coeficientes es la ampliada. ¿Qué quiere decir que sí y solo sí? 00:16:03
Que si es compatible, entonces el rango de A es igual al rango de A estrella. 00:16:08
Y también sucede el paso lógico contrario, que si el rango de A es igual al rango de A estrella, entonces el sistema es compatible. Eso es lo que significa sí y solo sí. 00:16:13
Y ahora, segunda parte, y esta es muy lógica. Si nos quedan menos ecuaciones que incógnitas, una vez sabiendo que es compatible, ¿no? 00:16:26
Si me quedan menos ecuaciones que incógnitas, yo sé que no puedo despejar todas las incógnitas, con lo cual el sistema va a ser indeterminado. 00:16:37
En cambio, si me quedan tantas ecuaciones como incógnitas, el sistema es compatible determinado. 00:16:45
Y esa es la segunda parte de la regla. 00:16:51
Si además ambos rangos coinciden con el número de incógnitas, el rango que nos ha salido coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. 00:16:55
Y si no, es indeterminado y depende de n-r parámetros. 00:17:06
Por ejemplo, en el sistema anterior tenemos un sistema de rango 2, porque he encontrado un menor distinto de 0, que es de orden 2, y el sistema tiene rango 2, pero el número de incógnitas es 3. 00:17:12
3-2, 1. Como veis, depende de un parámetro que es la i. 00:17:30
Porque al faltarme una ecuación, hay una de las incógnitas que no puedo despejar. 00:17:36
O sea, la idea es esa. 00:17:42
Y la segunda parte, ya os digo, esto va a caer en cualquier examen mío, de Bau, de lo que sea. 00:17:44
Es discutir y resolver un sistema. 00:17:50
Bueno, aquí dice que utilicéis este teorema cuando tengáis sistemas dependientes de un parámetro. 00:17:54
Imaginaos que A es el precio de la harina y tiene que cumplir distintas condiciones. 00:18:03
Entonces, yo puedo poner un sistema que sea compatible con estas condiciones. 00:18:09
Entonces, yo no le voy a poner un precio a la harina que no me dé una cierta compatibilidad. 00:18:15
La idea es esa. 00:18:19
A no es una incógnita, es un valor que puede variar. 00:18:20
Por eso se llama parámetro, ¿sí? 00:18:25
Entonces, si os dicen discutir un sistema que no tenga parámetros, gaos, sin duda. 00:18:27
Pero ahora sí, si tiene parámetros, esto se complica bastante y suele ser a veces bastante difícil. 00:18:36
Y para eso se utiliza la regla de Kant. 00:18:43
¿Sí? 00:18:46
Entonces, el problema es que tenemos un sistema que depende de un parámetro, que se llama A, 00:18:47
y os dicen, dependiendo del valor de A, que digáis cuántas soluciones tiene. 00:18:53
¿Cuántas soluciones puede tener una o una o infinitas? 00:18:59
Puede ser incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado. 00:19:03
Eso es discutir, ¿no? 00:19:08
Discutir en función de un parámetro. 00:19:10
Teorema de Rousseff. 00:19:12
Discutir en función de un parámetro. 00:19:13
Teorema de Rousseff. 00:19:15
Y ahora vamos a ver cómo se aplica. 00:19:17
Vale. 00:19:25
Bueno, como os estaba diciendo al principio de la clase que se ha incorporado gente, 00:19:27
cómo aparecen nombres. 00:19:31
Me habéis pedido que grabe las clases. 00:19:33
Entonces, yo voy a hacer algunas pruebas, ¿no? 00:19:36
Pero como me habéis pedido eso y aparecen algunos nombres a veces en pantalla 00:19:37
o de gente que intervenga, ya os tengo que prevenir siempre que si hay alguien 00:19:43
que se niega a subir a las clases o que se hagan las grabaciones, 00:19:47
yo inmediatamente las voy, ¿vale? 00:19:51
Bueno. 00:19:53
Entonces, tengo este sistema de ecuaciones y dice, estudias cuántas soluciones tiene 00:19:55
dependiendo del parámetro A. 00:20:00
Pues yo ya sé que como hay un parámetro y tengo que discutir, 00:20:02
tengo que utilizar el teorema de Rousseff-Rodriguez. 00:20:05
Vale. 00:20:22
Entonces, tomo el sistema, la matriz del sistema. 00:20:24
Esta es la matriz de coeficientes. 00:20:29
Y esta es la matriz amplia. 00:20:35
Entonces, en principio, 00:20:42
esto es A y hasta aquí amplia. 00:20:48
En principio, 00:20:55
el rango de A, como muchos vales, 00:21:00
tres. 00:21:05
Y el rango de la ampliada, 00:21:08
como muchos es tres. 00:21:12
¿Por qué? Porque tienen tres filas, ¿no? 00:21:14
Si hubiera una más, 00:21:16
el rango de A, como muchos es tres porque tiene tres columnas. 00:21:19
Y acordaos que el rango por filas y por columnas 00:21:24
coincide. 00:21:28
Y el rango de la estrella podría ser cuatro. 00:21:29
No es que sea cuatro, puede ser cuatro. 00:21:32
Entonces, a mí me interesa saber si el rango de A es tres. 00:21:34
Si el rango de A es tres, ¿qué quiere decir? 00:21:40
Que el rango de A estrella también es tres. 00:21:45
¿Por qué? Porque la matriz A estrella contiene la matriz A. 00:21:48
Como muchos su rango va a ser el mismo. 00:21:53
Como no puede ser cuatro, pues sería tres, ¿no? 00:21:55
Entonces, esta es la forma que tenemos de razonar para el teorema de Rousseff-Rodriguez. 00:21:58
¿Cuándo el rango de A es tres? 00:22:03
Cuando su determinante es distinto de cero. 00:22:05
Entonces, calculo el determinante de A. 00:22:09
Y me sale menos dos, más cero, pues menos cero, más cuatro A. 00:22:22
Ahora, menos A, menos cero y menos cuatro. 00:22:29
¿Sí? 00:22:39
Entonces, aquí si no me equivoco, me queda tres A menos seis. 00:22:40
Entonces, a mí me interesa saber cuándo es distinto de cero. 00:22:48
Pero no voy a igualarlo a uno, dos, tres, cuatro, cinco, raíz de dos, ni un siete. 00:22:52
Sino que lo voy a igualar a cero y luego le doy la vuelta al razonamiento, ¿no? 00:22:56
Tres A menos seis es igual a cero cuando tres A es igual a seis. 00:23:01
O sea, cuando A es igual a dos, ¿no? 00:23:06
Bueno, pues fijaos que ya he resuelto el problema de discutir en infinitos casos. 00:23:09
Solo utilizando esta técnica. 00:23:15
Conclusión. 00:23:17
Conclusión. 00:23:21
Conclusión. 00:23:22
Si A es dos, el determinante es cero. 00:23:24
Pero si A es distinto de dos, el determinante de A es distinto de cero. 00:23:29
Y si el determinante de A es distinto de cero, quiere decir que el rango de A es tres. 00:23:39
Y como he visto antes, ¿no? 00:23:47
Hay que hacer un análisis previo de las posibilidades que hay dos rangos. 00:23:50
Es igual al rango de A estrella. 00:23:54
Entonces yo sé que el sistema es compatible porque los dos rangos coinciden. 00:23:58
Pero es que además, si fuera incompatible, acabaríamos aquí. 00:24:08
No podemos decir que es incompatible determinado y indeterminado, ¿no? 00:24:13
Pero ¿qué es lo que ocurre? 00:24:17
¿Cuál es el número de incógnitas? 00:24:19
Hay tres incógnitas que son la X, la Y, la Z, ¿no? 00:24:23
Tres incógnitas. 00:24:29
No sé por qué me está temblando esto. 00:24:36
Tres incógnitas porque es tres, ¿no? 00:24:39
Entonces, ¿es compatible determinado o indeterminado? 00:24:42
Determinado. 00:24:49
Fijaos que para infinitos casos he llegado a una conclusión. 00:24:52
Siempre que sea distinto de menos dos, el sistema es compatible determinado. 00:24:58
O sea, lo que hace este teorema, lo que hace todos estos razonamientos que hemos hecho en el tema anterior y en este. 00:25:04
Pero cuidado. 00:25:12
Cuidado que esto no está terminado. 00:25:16
Yo he dicho que el sistema es compatible determinado para A distinto de dos. 00:25:20
Pero ¿qué pasa cuando A es igual a dos? 00:25:29
Y efectivamente. 00:25:32
Hay gente que lo hace de otra forma. 00:25:35
Visteis que en los tutoriales que os he pasado. 00:25:36
Que esto es lo que hace la mayoría de la gente. 00:25:40
Que empieza a buscar y rebuscar menores distintos de cero. 00:25:43
Yo creo que eso causa muchísimos límites. 00:25:46
Entonces, segunda parte. 00:25:49
Si A es igual a dos. 00:25:52
Sustituyo y punto. 00:25:56
Yo os recomiendo que lo hagáis así. 00:25:58
Si alguien quiere hacerlo con menores, ya os digo que mucha gente se suele equivocar. 00:26:00
Porque es muy difícil ver todos los menores posibles que puedan salir. 00:26:05
Si A vale dos, dos por dos, cuatro. 00:26:09
Y ahora aquí. 00:26:13
Como salga compatible determinado, os habéis equivocado en las cuentas. 00:26:15
Yo sé que no va a salir compatible determinado. 00:26:20
O va a salir incompatible o compatible indeterminado. 00:26:23
Entonces, supongo que ya habéis tomado práctica con esto. 00:26:26
Para hacer un cero aquí. 00:26:31
Hago F2 menos 2F1. 00:26:35
Y para hacer un cero en la F3. 00:26:40
Hago F3 más F1. 00:26:43
Entonces, os recuerdo del primer paso del método de Gauss. 00:26:46
La primera ecuación se queda como está. 00:26:50
La primera ecuación se queda como está. 00:26:52
Y ahora, ¿cómo hago yo esto mentalmente que me salga fácil? 00:26:55
Pues multiplico primero por menos dos y le sumo esto. 00:26:59
Me explico. 00:27:02
Menos dos por una, menos dos, más dos, cero. 00:27:03
Menos dos por una, menos dos, menos uno, menos tres. 00:27:07
Menos dos por dos, menos cuatro, más cero, menos cuatro. 00:27:13
Y aquí, menos dos por cuatro, menos ocho, más dos, menos seis. 00:27:18
Y ahora esta es muy fácil porque hay que sumarlas. 00:27:25
Menos uno más uno, cero. 00:27:27
Dos más uno, tres. 00:27:29
Dos más dos, cuatro. 00:27:32
Y cuatro más cuatro, ocho. 00:27:35
Yo aquí ya veo que el sistema es incompatible. 00:27:39
Porque si esto, cambiado de signo, aquí tendría que haber un seis. 00:27:42
Pero si queremos asegurarnos, sabemos que queremos hacer un cero aquí, ¿no? 00:27:48
En el segundo paso del método de Gauss, las dos primeras ecuaciones ya tienen el escalón. 00:27:53
Se dejan como están. 00:28:00
Y ahora se suman, ¿no? 00:28:06
Acordaos de poner siempre aquí la transformación que utilizáis. 00:28:08
Tres, cuatro, ocho. 00:28:12
Entonces, aquí he hecho algo mal, que ha sido copiar la tercera. 00:28:16
Porque la he copiado por inercia, ¿no? 00:28:22
Vale, entonces, cero más cero, cero. 00:28:26
Tres menos tres, cero. 00:28:29
Cuatro menos cuatro, cero. 00:28:31
Y ocho menos seis, dos. 00:28:33
Entonces, ¿aquí cómo se concluye? 00:28:34
Bueno, la matriz está escalonada, ¿sí? 00:28:40
¿Cuál es el rango de A? 00:28:43
¿Y el rango de A estrella? 00:28:48
El rango de A es dos porque esta fila en A está llena de ceros. 00:28:54
Pero en A estrella he escalonado y no me queda nada. 00:28:59
Pero en A estrella he escalonado y no me quedan todos ceros. 00:29:01
Entonces, el rango de A estrella es tres. 00:29:05
¿Cómo son distintos? 00:29:08
¿Cómo es el sistema? 00:29:10
Sistema... 00:29:13
Si no coinciden los rangos, el sistema no tiene... 00:29:16
Y si no tiene solución, se llama... 00:29:21
Incompatible. 00:29:25
Incompatible. 00:29:26
¿Vale? Acordaos que esa es la primera parte del teorema de Kramer, que es la más importante. 00:29:30
Conviene que al final del ejercicio pongáis una conclusión. 00:29:37
¿No? El sistema... 00:29:45
Es... 00:29:49
Compatible. 00:29:51
Determinado. 00:29:56
Para A distinto de dos. 00:29:59
Y el sistema es incompatible... 00:30:05
Para A igual a dos. 00:30:12
¿De acuerdo? 00:30:18
Bueno, pues esto es un sistema que cae en todos los exámenes. 00:30:20
¿Es posible que os salgan sistemas de dos situaciones y tres situaciones? 00:30:27
Eso puede variar. 00:30:32
En mis exámenes va a ser raro porque el dar toda la casuística es exagerado. 00:30:34
Pero si vais practicando, porque son todos los que queréis hacer EVAO, pues tampoco es tan alto. 00:30:41
Segunda parte, que generalmente puntúa menos, por si queréis ver luego los modelos de exámenes. 00:30:46
Dice resolver ese sistema para A igual a uno. 00:30:52
Pues, para A igual a uno, primera cosa. 00:30:55
¿Para A igual a uno cómo va a ser ese sistema? 00:30:58
Compatible determinado, porque A no vale dos, ¿no? 00:31:03
Entonces, yo tomo el sistema para A igual a uno. 00:31:07
Pues, 1, 1, 1, 4, 2, menos 1, 0, 2, y menos 1, 2, 2, 2 por 1 que es 2, ¿no? 00:31:13
Bueno, para variar, porque os dije que también se podía hacer, voy a escalonar por aquí. 00:31:29
Porque me resulta más fácil, ¿sí? 00:31:34
¿Por qué? Porque aquí el cero está hecho y solo tengo que hacer... 00:31:37
F3, menos 2, F1, ¿no? 00:31:41
1, 1, 1, 4. 00:31:46
Esta, ya la tengo esta escalonada. 00:31:49
Y sería esta por menos 2. 00:31:53
Menos 2 por 1, menos 2, menos 1, menos 3. 00:31:56
Menos 2 por 1, menos 2, más 2, cero. 00:32:00
Y menos 2 por 1, menos 2, más 2, cero. 00:32:03
Y menos 2 por 2, perdón, ¿cómo es? 00:32:09
Menos 2 por 4, menos 8, más 2, menos 6, ¿no? 00:32:14
Pues, fijaos, esto ha sido de chiripa, que ya está escalonado. 00:32:19
Teóricamente, habría que hacerlo otra vez, pero... 00:32:24
Porque aquí no tiene por qué quedar cero, ha sido una casualidad, ¿vale? 00:32:28
Bueno, entonces, os recuerdo que si el sistema no tiene parámetros, 00:32:31
lo resolvéis por Gauss, que es la forma más fácil que conocéis. 00:32:35
Menos 3x igual a menos 6. 00:32:42
Bueno, aquí creo que se ve bastante claro que x es igual a 2, ¿no? 00:32:46
Sustituís aquí. 00:32:52
Lo voy a hacer un poco más rápido. 00:32:55
O, no, mejor lo voy a hacer aquí. 00:32:58
Voy a hacer aquí 2 por 2, 4. 00:33:00
4 menos y, igual a 2. 00:33:03
Y aquí, como la y está negativa, la paso al otro miembro y me queda que y es igual a 2, ¿no? 00:33:06
Y la z, pues si tengo que la x y la y valen 2, 00:33:13
pues la z vale cero, ¿no? 00:33:20
Bueno, esto supongo que, además, que el método de Gauss-Seidel es anterior, que os veáis bien, ¿no? 00:33:23
Si queréis podéis hacer la comprobación, si tenéis tiempo del examen, ¿no? 00:33:32
Porque siempre es bueno, si podéis comprobarlo, pues mejor. 00:33:36
Bueno, entonces, resuelto para igual a 1. 00:33:41
Entonces, conclusión. 00:33:46
Y conclusión. ¿Dónde se me ha quedado esto? 00:33:49
A ver, no, es que creo que lo he borrado. 00:33:59
Sí, ahora está bien. 00:34:04
Vale, conclusión. 00:34:07
Si el sistema no tiene parámetros, yo lo discutiría y lo resolvería por el método de Gauss. 00:34:10
Si tiene parámetros, lo discuto por el sistema de Roosevelt, ¿sí? 00:34:15
Cuando quedan parámetros, por ejemplo, os dicen discute cuando sea compatible, 00:34:20
y hay infinitos casos en los que es compatible. 00:34:27
Yo ahí lo utilizaría la regla de Kramer. 00:34:30
Ahí es el único caso en el que recomiendo la regla de Kramer. 00:34:33
Y si no, por Gauss. 00:34:37
Siempre que no, para resolver. 00:34:40
Y este ejercicio es un poco distinto del anterior. 00:34:44
Bueno, aquí os da Lambda. 00:34:57
Aquí hay gente que me dice que se lía con la Lambda. 00:34:59
A ver, si alguien no quiere poner esta letra porque le cuesta mucho esfuerzo, 00:35:02
me decís al principio del ejercicio, voy a llamar A a Lambda. 00:35:07
Y hacéis el ejercicio con Lambda. 00:35:11
Hacéis esa aclaración y ya lo estáis. 00:35:13
Yo lo voy a hacer con Lambda. 00:35:15
La Lambda, recordad que hay mucha gente que la escribe así, 00:35:17
pero no, se escribe de este lado. 00:35:20
Es la L gría, de la alfabeto gría. 00:35:22
Bueno, entonces dice, estudia el siguiente sistema de ecuaciones 00:35:26
según los valores del parámetro Lambda, 00:35:31
indicando el número de soluciones que tiene en cada caso. 00:35:33
O sea, básicamente, discute el sistema de ecuaciones 00:35:36
según los valores del parámetro Lambda. 00:35:42
Pues coloca la matriz de coeficientes. 00:35:44
1, 1, 2, Lambda. 00:35:49
Lambda, 1, 1. 00:35:52
Y 1, 1, Lambda. 00:35:55
Y al lado pongo la matriz ampliada. 00:35:59
Entonces, como antes, a esto lo llamo A. 00:36:06
A la ampliada la llamo A estrella. 00:36:11
O M. 00:36:17
Y como mucho, ¿cuál es el rango de A? 00:36:19
3, ¿no? 00:36:23
¿El rango de A estrella? 00:36:25
3, porque tiene 3 líneas, 3 filas, ¿no? 00:36:28
Si pudiera ser 4, sería una matriz cuadrada. 00:36:31
Haría su determinante. 00:36:36
Porque si el rango de A es 4, 00:36:38
el sistema automáticamente es incompatible. 00:36:41
Porque el rango de A no puede ser 3, ¿no? 00:36:44
Yo solo os voy a poner sistemas de este tipo. 00:36:48
Pero os digo que puede haber alguno un poco distinto. 00:36:51
Yo en el BAO hace tiempo que no los veo. 00:36:54
Os podría caer de... 00:36:57
Os podría caer de dos ecuaciones, de tres ecuaciones y dos sincronizas. 00:36:59
Que es el caso del sistema, ¿no? 00:37:04
Pero vamos, yo no os lo voy a poner. 00:37:06
Y el que haga varios, pues supongo que veréis que hay un cierto repertorio en el libro, ¿no? 00:37:08
Entonces, ¿qué me interesa empezar? 00:37:14
¿Por el rango de A o por el de A estrella? 00:37:16
¿Qué me interesa estudiar primero? 00:37:19
¿El rango de A o el de A estrella? 00:37:21
El de A. 00:37:24
El de A. 00:37:25
Porque si el de A es 3, automáticamente el de A estrella es 3, ¿no? 00:37:27
Entonces voy a calcular el rango de A. 00:37:31
El rango de A lo calculo mediante su determinante. 00:37:38
Uno por uno por lambda, ¿no? 00:37:51
Es lambda. 00:37:52
Uno por uno por uno, más uno. 00:37:54
Lambda por uno por dos lambda es dos lambda cuadrado. 00:37:58
Menos uno por uno por dos lambda, menos dos lambda. 00:38:03
Menos uno por uno por uno, menos uno. 00:38:08
Y menos lambda por uno por uno, menos lambda cuadrado. 00:38:11
Agrupo términos semejantes, lambda cuadrado. 00:38:16
Aquí queda menos lambda. 00:38:20
Y el uno con el uno se va, ¿no? 00:38:24
Este es el determinante. 00:38:26
¿Cuándo esto es igual a cero? 00:38:28
Sabéis que es una ecuación incompleta. 00:38:31
Que se puede sacar factor común a lambda, ¿no? 00:38:33
¿Y cuánto vale lambda? 00:38:39
Si el producto de dos factores es cero, o el primer factor es cero, o el segundo factor es cero. 00:38:41
Si lambda es igual a cero, ya tengo una solución. 00:38:51
Y si lambda menos uno es igual a cero, tienes algo. 00:38:54
Lambda igual a uno. 00:38:57
Siempre os recordaré que si alguien no se acuerda de esto, que resuelva esto como una ecuación de segundo grado. 00:39:00
Donde a vale uno, b menos uno y c vale cero. 00:39:07
Bueno, entonces. 00:39:11
Primera conclusión. 00:39:13
Si a es distinto de cero o de menos uno, entonces el rango de a es igual a tres. 00:39:15
Automáticamente el rango de a estrella, como es o ese rango lo mayor, 00:39:28
o ese rango lo mayor, pero como solo puede ser tres, pues automáticamente el rango de a estrella también es tres. 00:39:33
¿Y cuántas incógnitas hay? 00:39:42
Pues entonces, si a es distinto de cero o menos uno, el sistema es compatible. 00:39:50
Porque los rangos coinciden. 00:40:04
Y es determinado porque esos dos rangos coinciden con el mismo rango. 00:40:07
¿Y ahora qué es lo que ocurre? 00:40:16
Que tengo que estudiar los casos aparte. 00:40:19
Los dos los hago por Gauss. 00:40:22
Generalmente además quedan sistemas muy sencillos. 00:40:25
Ahora, primera parte. 00:40:28
Esta es la primera parte. 00:40:30
Segunda parte. 00:40:32
Si a es igual a cero. 00:40:35
Entonces me queda uno, uno, cero, dos. 00:40:40
Cero, uno, uno, tres. 00:40:49
Y uno, uno, cero. 00:40:53
Uno, uno, cero, dos. 00:40:56
A ver, aquí si me fijo, hay dos filas iguales. 00:40:59
Entonces, podéis hacerlo por Gauss. 00:41:04
Pero yo aquí, cuando tacho una fila, tengo que justificar por qué. 00:41:09
La tacho porque la fila uno es igual a la fila tres. 00:41:15
Entonces, como es la misma ecuación, la puedo utilizar. 00:41:24
De la misma forma. 00:41:27
Esta fila es linealmente independiente. 00:41:29
Depende linealmente de la primera. 00:41:34
Entonces, el sistema ya está escalonado. 00:41:37
¿Cuál es el rango de A? 00:41:42
El rango de A es igual a dos. 00:41:46
¿Y el de A estrella? 00:41:50
También es dos. 00:41:53
También es dos. 00:41:54
Tiene dos líneas y las dos líneas, una vez escalonadas, son distintas de cero. 00:41:56
¿Qué es lo que pasa aquí? 00:42:01
Que el número de incógnitas es tres. 00:42:05
Número de incógnitas. 00:42:11
Entonces, es compatible. 00:42:17
Indeterminado. 00:42:24
Y depende de cuántos parámetros. 00:42:29
Sería tres, que es el rango, menos dos. 00:42:36
Perdón, tres es el número de incógnitas. 00:42:41
Menos dos, que es el rango de un parámetro. 00:42:43
Y tercer caso. 00:42:55
Si A... 00:43:01
Como veis, no me ha quedado compatible determinado. 00:43:04
Si sale compatible determinado, mosqueaos porque hay algo por aquí que no cuadra. 00:43:08
Perdón, he puesto A y es lambda. 00:43:15
Y por último, si lambda es igual a uno, ¿qué sistema me queda? 00:43:18
Uno, uno, dos. 00:43:24
Dos menos dos, cero. 00:43:28
Uno, uno. 00:43:31
Uno, tres. 00:43:34
Y la de abajo me queda uno, uno, uno, dos. 00:43:36
Yo aquí ya veo clarísimo que el sistema es incompatible. 00:43:42
Porque si X más Y más Z es igual a tres, X más Y más Z no puede ser igual a dos. 00:43:45
Pero, por si no tengo seguridad, voy a hacerlo. 00:43:52
Porque, como veis, quedan cosas muy fáciles de escanonar. 00:43:56
Tenéis que hacer F2 menos F1 y F3 menos F1. 00:43:59
Os queda uno, uno. 00:44:04
¿La primera cómo está? 00:44:06
Uno menos uno, cero. 00:44:08
Uno menos uno, cero. 00:44:10
Uno menos uno, cero. 00:44:12
Uno menos uno, cero. 00:44:13
Uno menos dos, menos uno. 00:44:15
Y tres menos cero, tres. 00:44:18
Y la de abajo queda uno menos uno, cero. 00:44:20
Uno menos uno, cero. 00:44:25
Uno menos dos, menos uno. 00:44:27
Y dos menos cero, dos. 00:44:30
Y ahora me diréis, ¿este sistema está escalonado? 00:44:32
No. 00:44:35
Porque aquí hay un escalón, pero aquí, de una ecuación a otra, hace falta otro escalón. 00:44:37
Con eso, cuidado, que los escalones, tiene que haber un escalón entre cada ecuación y la siguiente. 00:44:44
Tendría que hacer F3 menos F2. 00:44:50
Uno, uno. 00:44:54
Dos, cero. 00:44:56
Cero, cero. 00:44:58
Menos uno, tres. 00:45:00
Y aquí quedaría cero menos cero, cero. 00:45:02
Cero menos cero, cero. 00:45:04
Cero. 00:45:06
Y dos menos tres, menos uno. 00:45:13
¿Cuál es el rango de A? 00:45:16
Dos, porque esta fila no cuenta. 00:45:20
¿Cuál es el rango de A3? 00:45:23
Tres. 00:45:28
¿Cómo es el sistema? 00:45:30
Incompatible, ¿no? 00:45:32
En este caso, si alguien quiere razonarlo, como lo he razonado yo, tenéis que escribirlo con palabras. 00:45:39
Entonces, hay veces que resulta más sencillo ponerlo así, ¿no? 00:45:46
Hacer el rango mecánicamente y hay veces que es mejor decirlo con palabras. 00:45:50
¿Tienes alguna duda? 00:45:55
Sí, lo del escalón. 00:45:57
Acordaos, tiene que haber una incógnita menos según vais bajando. 00:45:59
Ese es el criterio que os di el otro día. 00:46:04
Entonces, si aquí falta la Z, si aquí está la Z, aquí ya no puede estar la Z. 00:46:06
Porque es la única incógnita que se puede quitar. 00:46:12
Lo del escalón, cuidado con las escaleras. 00:46:15
No os tropecéis. 00:46:18
Bueno, la segunda parte es tan importante como la primera. 00:46:19
Bueno, no es tan importante porque si esto cuenta dos puntos y medio elevado, esto cuenta medio punto. 00:46:28
Porque esto es el método de base. 00:46:35
Bueno, antes de hacer eso, ¿cuál es el rango de A3? 00:46:37
Dos puntos y medio elevado. 00:46:41
Esto cuenta medio punto. 00:46:43
Porque esto es el método de base. 00:46:45
Bueno, antes de hacer eso, os recuerdo que pongáis siempre la conclusión. 00:46:47
¿No? O sea, discutir. 00:46:57
Tenéis que llegar a la siguiente conclusión. 00:47:00
En este caso, si lambda es distinto de cero o de uno, entonces el sistema es compatible determinado. 00:47:02
Con todas las letras, no pongáis abreviaturas. 00:47:15
Porque pueden dar lugar a confusión. 00:47:20
Si lambda es igual a cero, entonces el sistema es compatible indeterminado. 00:47:23
Y si lambda es igual a uno, el sistema es igualdadito. 00:47:42
Bueno, entonces la segunda parte, el apartado B, os lo voy a mostrar porque no lo he puesto aquí. 00:47:52
Es resolverlo para los valores de lambda para los cuales posee más de una solución. 00:48:06
Efectivamente, cuando es compatible indeterminado. 00:48:14
Para eso, a mí no me gusta hacer esto porque un apartado depende de otro. 00:48:20
Y si os sale mal el primero, ¿qué hacemos con el segundo? 00:48:26
Yo generalmente lo que os pongo es el valor en el que sale indeterminado y a resolverlo. 00:48:30
O también puede ser determinado. 00:48:36
Lo que sí siempre os voy a pedir coherencia con el apartado anterior. 00:48:38
¿Sí? Entonces... 00:48:42
A ver, aquí, a ver. 00:48:44
Sí. 00:48:48
Sí. 00:48:56
Sí. 00:48:58
Sí. 00:49:00
Sí. 00:49:02
Sí. 00:49:04
Sí. 00:49:06
Sí. 00:49:08
Sí. 00:49:10
Sí. 00:49:11
No, que tiene que ser... A ver, que si arriba te dice discútelo para igual a cero. 00:49:16
Para igual a cero te tiene que salir en el segundo apartado que es indeterminado. 00:49:23
No te pueden salir tres soluciones o ninguna. 00:49:28
Te tienen que salir las condiciones según la discusión. 00:49:31
Y si no, indicarlo. 00:49:34
Porque yo sí, a mí me gusta apreciar cuando hay un error que lo detectáis. 00:49:36
También me ha pasado en clase, yo cuando tengo un error lo detectamos y decimos, 00:49:39
mirad esto, lo hemos hecho mal, pero lo revisamos. 00:49:44
¿No? Y eso para mí es una parte de que dominéis la materia. 00:49:47
Bueno, para los que el sistema posee una solución, equivale a decir que el sistema es indeterminado. 00:49:53
Indeterminado, ¿no? 00:50:00
O sea, que me lo están pidiendo que lo resuelva para lambda igual a cero. 00:50:04
Y esta parte suele ser muy facilita porque las cuentas suelen salir muy fáciles. 00:50:13
Si la lambda vale cero, me queda esto. 00:50:21
Dos menos cero. 00:50:25
Cero, uno, uno. 00:50:27
Tres. 00:50:28
Uno, uno. 00:50:30
Cero, dos. 00:50:32
Y puedo aprovechar las cuentas de antes. 00:50:34
¿No? Bueno. 00:50:38
En este caso, las cuentas de antes era esto, ¿no? 00:50:40
El decir que f3 es igual a f2. 00:50:44
No hay que repetirlas. 00:50:46
Si decís, según el apartado anterior, me queda esto. 00:50:48
¿Sí? 00:50:52
Bueno, entonces me queda x más y igual a dos. 00:50:54
Y más z igual a tres. 00:50:58
¿Cómo se resuelve esto? 00:51:01
¿De aquí qué saco? 00:51:03
Que y es igual a tres menos z. 00:51:08
O sea, que z va a poder tomar cualquier valor. 00:51:14
No voy a poder despejar. 00:51:17
Y la y. 00:51:18
Me quedaría, perdón, la x. 00:51:23
Me quedaría que la x más tres menos z es igual a dos. 00:51:26
¿No? Sustituyendo la y por su valor. 00:51:32
Entonces me queda que la x es igual a. 00:51:34
Este tres que está sumando pasa restando, menos uno. 00:51:40
Y este menos z pasa a más z. 00:51:44
¿No? Donde z puede tomar cualquier valor real. 00:51:49
¿Sí? 00:51:54
Si queréis comprobarlo, se puede comprobar como se dice. 00:51:56
Y, bueno, esto no suele caer. 00:52:01
El apartado c. 00:52:07
¿Qué pasaría? 00:52:09
Este no es el apartado c. 00:52:11
¿Qué pasaría si os pide resolver? 00:52:13
Resolver para cuando el sistema es compatible determinado. 00:52:16
Pues aquí tendríais que hacer lo siguiente. 00:52:29
Cogeríais y aplicáis la regla. 00:52:32
Aquí sí se aplica la regla. 00:52:35
x sería igual a. 00:52:41
Dividís entre el determinante de a. 00:52:44
¿Por qué se puede dividir entre el determinante de a? 00:52:48
Porque ya he visto que es distinto de cero. 00:52:51
¿Sí? 00:52:54
Aquí ¿qué tendríais que poner? 00:52:56
En la columna de las x tendríais que poner dos menos dos lambda, tres, dos menos lambda. 00:52:58
Y la columna de la y y la z la dejáis igual. 00:53:05
Aquí sí se aplica la regla de Kramer. 00:53:13
Ahora, y ponéis determinante de a. 00:53:17
¿Y qué tendríais que poner aquí? 00:53:21
Pues la columna de la x la dejáis como está. 00:53:23
La columna de las z es la que cambiáis ahora. 00:53:27
Cero, tres, dos menos lambda. 00:53:35
Y por último, dos lambda, uno lambda. 00:53:38
Y la z igual. 00:53:44
Entonces, es un ejercicio que ya os digo. 00:53:47
Yo os quiero decir la utilidad de cada cosa. 00:53:50
Esto es menos habitual, pero si os piden resuelve para compatible determinado tenéis que hacer todo ese chorizo de cuentas. 00:53:52
Pero es que estáis resolviendo infinitos sistemas de ecuaciones al mismo tiempo. 00:53:59
Bueno, entonces, os he dejado ejercicios como un poco de resumen de este tema. 00:54:04
Un sistema de ecuaciones matriciales, que hay unos resultados en el libro. 00:54:18
Una ecuación matricial. 00:54:23
Bueno, esto no sé qué ha pasado, que al cambiar de formato me ha salido una cosa rara, pero se puede comprobar. 00:54:26
Supongo que la x será menos cinco. 00:54:30
Son interesantes que hagáis estos ejercicios. 00:54:35
Muchos son de ecuaciones matriciales porque es en lo que menos he insistido. 00:54:38
Aquí tenéis los resúmenes. 00:54:42
Y bueno, voy ahora a detener la grabación. 00:54:44
Y nada, diciéndoos que estoy haciendo una prueba y que... 00:54:49
Detener, ya está. 00:54:56
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Javier M.
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30 de enero de 2024 - 13:24
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