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Trigonometría: 22.Razones 45º - Contenido educativo
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- Deduccción detallada de las razones exactas del ángulo de 45º.
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Vamos a calcular con la mayor exactitud posible las razones trigonométricas de 30, 45 y 60 grados.
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Como hay que empezar por alguno, vamos a calcular en primer lugar las de 45 grados.
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Para ello, comenzamos trazando un cuadrado de lado unidad
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y vamos a trazar también los ángulos de 90 grados en cada una de las cuatro esquinas del cuadrado.
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Bien, ya tenemos nuestro dibujo. A partir de aquí vamos a trazar una diagonal
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que nos va a servir para dividir ese cuadrado en dos.
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Al dividir el cuadro en dos, los ángulos de 90 grados que son atravesados por la diagonal,
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pues quedaría ahí lo que a nosotros nos interesa, el ángulo de 45 grados que nos queda aquí,
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habría otro que no dibujamos, y 45 grados, tampoco dibujamos el otro,
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vamos a borrar todo eso que no nos interesa.
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Nos ha quedado ahí un triángulo rectángulo isósceles en el cual los dos catetos miden lo mismo, un metro.
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La hipotenusa de ese triángulo rectángulo vamos a llamarla H,
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vamos a cambiar también el ángulo de 90 grados para dejarlo un poquito más esquemático el dibujo,
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y ese ángulo de 45 grados tampoco nos interesa, vamos a fijarnos tan solo en el que dejamos ahí.
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Bien, este es el triángulo que nos va a servir como punto de partida para calcular las razones trigonométricas de 45 grados.
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Lo primero que hacemos es calcular la longitud de la hipotenusa, que es un dato que nos falta.
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¿Cómo lo calculamos? Muy sencillo, pues a partir del teorema de Pitágoras.
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La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa,
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por tanto 1 al cuadrado más 1 al cuadrado sería igual a H al cuadrado,
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y si despejamos H sería la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 1 al cuadrado que es 1 más 1 es 2,
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por tanto H vale raíz de 2, de manera que la hipotenusa de ese triángulo rectángulo mide raíz cuadrada de 2 metros.
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Bueno, ya tenemos todos los datos y podemos, por tanto, siguiendo las definiciones,
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calcular las razones trigonométricas de ese ángulo de 45 grados que tenemos ahí.
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Empezaríamos por el seno.
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Recordemos, el seno de cualquier ángulo, en este caso el seno de 45 grados es cateto opuesto,
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es decir, para nuestro caso 1, un metro, dividido entre la longitud de la hipotenusa.
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La hipotenusa mide raíz cuadrada de 2.
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Eso sería lo que mide, o el valor, perdón, del seno de 45 grados.
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Tenemos que racionalizar, ya sabemos que cuando aparece una raíz cuadrada en el denominador
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tenemos que quitarla de ahí abajo, y como ya debemos recordar nuestro trabajo con radicales,
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multiplicamos por raíz de 2 arriba y abajo, hemos multiplicado raíz de 2 arriba y abajo,
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y esto da lugar a que raíz de 2 partido por 2 sería la razón trigonométrica que andábamos buscando,
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es decir, el seno de 45 grados vale raíz de 2 partido por 2.
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Recordemos, en el numerador es raíz de 2 por 1, raíz de 2 y abajo, raíz de 2 por raíz de 2,
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se simplifica y nos queda 2.
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Bien, ya tenemos el seno de 45, vamos a por el coseno.
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El coseno de 45 sería cateto contiguo,
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dividido entre lo que mide la hipotenusa, raíz cuadrada de 2.
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Vemos que es exactamente igual, los valores son los mismos,
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tendríamos que volver a hacer la misma operación, es decir, racionalizar,
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multiplicamos por raíz de 2 arriba y abajo y nos queda raíz cuadrada de 2 partido por 2,
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el seno y el coseno de 45 son exactamente iguales,
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y además obtenemos un valor exacto, este valor es más exacto que cualquier número que nos dé una calculadora,
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puesto que podemos aproximarlo todo lo que queramos,
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raíz cuadrada de 2 partido por 2 es el seno de 45 y el coseno de 45.
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Para la tangente, tendríamos que la tangente de 45 es cateto opuesto,
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es decir, 1,
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dividido entre cateto contiguo,
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es decir, también 1.
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Por lo tanto, la tangente de 45 vale 1.
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Bueno, vamos ahora ya por la secante,
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la secante de 45 es la inversa, el número inverso del coseno,
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y entonces simplemente tenemos que cambiar el numerador por el denominador,
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en lo que teníamos del coseno,
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y eso nos da raíz de 2 para la secante de 45,
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la cosecante de 45 está claro que va a salir lo mismo,
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puesto que son iguales, el seno y el coseno van a ser iguales, la secante y la cosecante,
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y la cotangente es muy sencilla, puesto que sería el número inverso de 1, que es también 1.
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¿Bien?
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- Materias:
- Matemáticas
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- Primer Curso
- Autor/es:
- José Antonio Ortega
- Subido por:
- EducaMadrid
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1240
- Fecha:
- 6 de noviembre de 2007 - 10:38
- Visibilidad:
- Público
- Enlace Relacionado:
- José Antonio Ortega
- Descripción ampliada:
Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).
Extraído de Open Trigo.- Duración:
- 05′ 10″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 800x600 píxeles
- Tamaño:
- 6.28 MBytes