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Derivada de una función en un punto

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Subido el 6 de marzo de 2019 por Pablo Jesus T.

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Vamos a hacer una construcción geogebra para enseñar a nuestros alumnos el concepto de derivada como pendiente de la recta tangente en el punto. 00:00:17
Vamos a elegir el punto x cuadrado, perdón, la función x cuadrado partido por 4, vamos a elegir el punto 2,1 y el punto 6,9, vamos a cambiar algunas propiedades, 00:00:29
vamos a poner la función en azul 00:00:50
y vamos a poner 00:00:58
ahora vamos a hacer una recta 00:01:01
que pase por los dos puntos 00:01:05
y esa recta la vamos a poner en rojo 00:01:09
¿de acuerdo? 00:01:13
bueno, pues ahora ya sabéis 00:01:15
que el tema es que cuando yo vaya acercando el punto B a la A, la recta secante se convierte en tangente 00:01:19
y eso es a lo que pasamos a llamar derivada de la función en el punto A. 00:01:26
Si nosotros cogiéramos la herramienta pendiente sobre la recta, pues ahí la tendríamos, 00:01:35
pero no es eso lo que vamos a querer pintar 00:01:42
así que la vamos a ocultar 00:01:49
y ahora vamos a coger la herramienta recta paralela 00:01:50
y vamos a trazar una paralela por A al eje X 00:01:55
y una paralela por B al eje Y 00:02:02
marcamos el punto C 00:02:05
sabéis que no hace falta elegir interseca 00:02:07
porque GeoGebra ha evolucionado en ese sentido mucho 00:02:10
Y ahora, pues elegiríamos la herramienta segmento, marcaríamos de A hasta C, desde B hasta C, y ya tenemos las que queríamos. 00:02:14
Bueno, podemos ocultar las dos rectas, el punto C, lo podríamos hacer con J y K a la vez, pero lo voy a hacer primero con una, de acuerdo, le voy a quitar que se vea la etiqueta. 00:02:27
Y ahora que ya, digamos, tengo hecho la línea que quería, pues voy a coger la herramienta copiar estilo visual para tenerlo en el otro lado. 00:02:45
Bueno, pues ya tenemos esto. Ahora vamos a escribir tres textos. 00:02:59
tres textos 00:03:06
el primero 00:03:08
pues va a ser 00:03:11
incremento de i 00:03:13
igual 00:03:16
y aquí vamos a jugar con 00:03:19
idb 00:03:22
de acuerdo 00:03:25
le vamos a restar id a 00:03:29
otra vez, casilla vacía 00:03:32
pincho dentro 00:03:37
id a 00:03:38
igual 00:03:41
y ahora otra vez casilla vacía 00:03:44
pero ahora dentro vamos a poner 00:03:46
que nos haga ya la operación 00:03:48
idb 00:03:50
menos id 00:03:51
bueno, pues esto parece que ya está 00:03:53
lo vamos a poner aquí 00:03:57
lo elegimos 00:04:01
vamos a ver sus propiedades 00:04:03
vamos a hacerlo 00:04:06
un poquito más grande 00:04:08
hay que dar ok 00:04:10
para que vuelva a hacerlo, si os gusta más le podéis dar 00:04:12
fórmula látex, que queda, yo creo que 00:04:15
bastante mejor, ponen sans serif y eso 00:04:19
color le vamos a elegir rojo 00:04:23
y en posición, pues vamos a poner simplemente 00:04:26
B más C partido por 2, para que lo tenga 00:04:31
siempre en el punto medio de B y C 00:04:35
Lo podemos alejar un poquito, ¿de acuerdo? Y ya está. Ahora vamos a repetir lo mismo con la X, así que podéis así ensayarlo. 00:04:39
casilla vacía dentro x de b menos casilla vacía dentro x de a, muy bien, igual, casilla vacía x de b menos x de a. 00:04:55
Bueno, perfecto, porque ahora yo le cojo el estilo visual, se lo copio, lo pincho, 00:05:24
en posición ahora va a ser A más C partido por 2, y en texto lo vamos a poner también como fórmula látex, 00:05:36
Y lo vamos a poner ahí 00:05:51
Bueno, ya tenemos entonces incremento de Y, incremento de X 00:05:55
Me voy a permitir poner dos textos más 00:06:05
Uno va a ser la pendiente de la recta 00:06:07
Aquí, si no sabéis látex de memoria, pues siempre se puede elegir ahí 00:06:12
Vamos a elegir incremento de Y 00:06:17
partido por incremento de x 00:06:21
vemos como queda en vista previa 00:06:28
igual, y ahora vamos a poner el valor m 00:06:32
que es lo que vale, esto es 00:06:37
vamos a escribir otro texto, ahora lo cambiaremos 00:06:40
vamos a escribir otro texto donde antes de escribirlo 00:06:43
vamos a definir la derivada 00:06:48
de f, lo vamos a ocultar 00:06:51
para que después utilizarla 00:06:59
en el paso este, aquí vamos a poner la definición 00:07:04
de derivada, f' de x 00:07:08
vamos a poner fórmula látex 00:07:11
igual, vamos a elegir límite 00:07:17
aquí vamos a poner delante 00:07:22
el incremento, cuando incremento de x tiende a 0 00:07:26
y vamos a ir viendo como queda 00:07:30
muy bien, perfecto, aquí puedo, como ya me lo he aprendido 00:07:36
poner frac, incremento de y partido por 00:07:40
incremento de x, muy bien 00:07:45
ahí lo tenéis, y ahí vamos a escribir ya la derivada 00:07:54
de acuerdo, entonces vamos a poner 00:08:00
casilla vacía y dentro vamos a escribir 00:08:03
f' de x de a 00:08:08
¿de acuerdo? y aquí vemos que nos queda 00:08:11
1, vamos a copiar 00:08:18
el estilo visual, ¿de acuerdo? 00:08:22
si vemos que se nos ha ido el látex 00:08:28
se supone que aquí en propiedades 00:08:32
Deberíamos poderlo volver a poner 00:08:37
Aquí estamos 00:08:39
Muy bien 00:08:43
Y este 00:08:46
Pues lo mismo, vale 00:08:47
Está perfecto 00:08:49
M lo vamos a poner aquí, por ejemplo 00:08:51
Y esto 00:08:53
Que se nos ha ido 00:08:56
Lo vamos a poner 00:08:57
Más abajo 00:09:02
Pero vamos a hacer 00:09:04
Que se muestre solo 00:09:06
y así aprendemos a utilizarlo 00:09:07
cuando x de b 00:09:12
menos x de a 00:09:14
sea igual, menor, perdón, que 0.01 00:09:17
es decir, ya estemos muy cerca 00:09:22
como vemos ha desaparecido 00:09:25
porque todavía estamos lejos 00:09:26
bueno, lo vamos a mover un poquito para la izquierda 00:09:31
y lo vamos a bajar un poquito más 00:09:34
porque ahora vamos a hacer que se vea la vista 2 00:09:37
aquí la tenemos 00:09:42
y vamos a hacer que se vea lo más parecido posible 00:09:47
aquí está la cuadrícula 00:09:59
coincide 00:10:02
muy bien 00:10:03
pues ahora seleccionamos la función 00:10:04
los puntos 00:10:07
la recta 00:10:09
Y lo que vamos a hacer es, podemos también seleccionar los segmentos, en propiedades vamos a hacer nada menos que se vean en la vista gráfica 2. 00:10:11
¿Vale? Así que ahí 00:10:33
Digamos que lo tenemos como duplicado 00:10:36
¿De acuerdo? 00:10:39
Lo que pasa es que ahora vamos a hacer que la derecha 00:10:41
Sea un zoom 00:10:43
Para eso 00:10:45
Pues vamos a hacer 00:10:47
Que haga un zoom dinámico 00:10:48
Y vamos a poner aquí 00:10:51
Copia 00:10:55
Objeto libre 00:10:58
En objeto vamos a poner 00:11:00
esquina 2, porque vamos a copiar la esquina 2, se nos ha ido ahí atrás, en la vista 00:11:05
gráfica 2, coma la esquina 1, que es la esquina inferior izquierda. Eso nos lo ha copiado 00:11:18
en un punto de ahora repetimos copia objeto libre esquina 2 a veces se tarda menos escribiendo lo 00:11:31
todo copia objeto libre esquina 2,3 que la esquina superior derecha de la pantalla 2 que tengo aquí 00:11:51
abierta. Si la hubiera movido o si la hubiera abierto de otra manera, me saldrían otros 00:12:00
números. Ahora voy a definir un factor de multiplicación, vamos a decirlo así, que 00:12:05
va a ser el segmento AB. Y, bueno, pues he encontrado, esto se podría probar, que le 00:12:13
va bien poner un dividido por 16 inicialmente pues como podéis podríais hacer por pitágoras 00:12:27
serían 16 más 64 raíz de 80 da un poco menos pero le viene mejor poner bueno puesto 18 16 00:12:32
pero podría probar con 15 20 hasta ahora veréis como para tantear lo 00:12:45
Ahora voy a definir lo que va a ser mi nuevo ancho X 00:12:51
Para que sea luego más corto de escribir vamos a poner YX 00:12:56
Que va a ser la X del punto E menos el punto D 00:13:05
Eso haría la resta de los dos puntos y luego me daría la coordenada X 00:13:12
y lo vamos a multiplicar por factor 00:13:18
vale 00:13:21
y la y 00:13:25
pues igual va a ser y 00:13:26
de menos d 00:13:31
y otra vez 00:13:33
por factor 00:13:36
bien 00:13:37
esto si veis los valores lo que va a darnos es 00:13:39
al principio desde el punto x 00:13:42
de a 8,47 00:13:44
con lo cual incluye a b 00:13:45
y 10,61 que incluye a b 00:13:47
bueno pues ahora estos números 00:13:49
los vamos a meter 00:13:51
en las propiedades del gráfico 00:13:52
podemos dar botón derecho, vista gráfica 00:13:55
o propiedades, podríamos haber dicho 00:13:57
aquí en x mínimo 00:13:59
escribimos 00:14:01
x de a 00:14:03
en x máximo 00:14:04
x de a 00:14:07
más 00:14:08
y x 00:14:10
cuidado 00:14:13
y minúscula x 00:14:16
vale 00:14:18
y de b, o sea, y máximo 00:14:18
y de A 00:14:22
y en I máximo 00:14:25
pues 00:14:28
I de A 00:14:30
más 00:14:32
I I 00:14:34
el que lo hayamos hecho así 00:14:35
me va a permitir 00:14:38
no se llama I I 00:14:39
no se que pusimos 00:14:43
I mayúscula pero bueno 00:14:48
es sensible por supuesto 00:14:49
y por cierto los puntos de I E 00:14:51
no hace falta que se vean 00:14:54
entonces repito 00:14:55
vamos a poner 00:14:59
ahora bien 00:15:00
idea más i 00:15:02
muy bien, eso me ha hecho 00:15:05
que el dibujo 00:15:09
como veis 00:15:11
se mantengan unidades cuadradas 00:15:13
y tengo ya 00:15:16
el zoom 00:15:18
Podría, si hubiera puesto un número menor que 16, el zoom empezaría más grande 00:15:20
O sea, más así, si hubiéramos puesto 12, pues se habría visto exactamente igual 00:15:31
Bueno, pues ahora lo que voy a hacer es, para calcular el límite 00:15:37
Es acercar el punto B 00:15:41
Y como veis, dinámicamente, en la derecha 00:15:43
va haciendo un zoom 00:15:47
aquí en la izquierda cada vez se distingue peor 00:15:51
la secante de la tangente 00:15:56
todavía tendríamos una pendiente de 1,22 00:15:58
pero aquí se ve perfectamente verdad 00:16:01
que la línea roja y azul son diferentes 00:16:03
entonces no estamos suficientemente cerca 00:16:06
me sigo acercando, me sigo acercando 00:16:10
hay un momento que me he acercado tanto 00:16:13
que en vez de con este B voy a trabajar con este B 00:16:15
como veis todavía ahora las separaciones son 0,05 en los dos ejes 00:16:19
eso es lo que hemos conseguido con esto que hemos hecho aquí 00:16:23
que no se cambien 00:16:27
y ahora al ir moviendo 00:16:29
cada vez es más grande 00:16:31
cada vez es más grande 00:16:34
ya en la izquierda B prácticamente está encima de A 00:16:36
en la derecha ya casi no se distinguen 00:16:41
pero podemos acercarnos más 00:16:45
podemos acercarnos más 00:16:47
y cuando hemos llegado a un determinado punto 00:16:49
ha salido la derivada 00:16:52
la derivada es la pendiente de la recta tangente 00:16:53
cuando el incremento de x tiende a 0 00:16:57
el incremento de x aquí todavía nos dice que es 0.01 00:17:02
todavía podemos acercarnos más 00:17:06
Y habrá un momento en que GeoGebra incluso dice que es cero, lo cual es evidentemente imposible porque algo dividido por cero pues daría indefinido y lo que pasa es que tendríamos que poner que se vieran más decimales para ver que todavía no es cero. 00:17:08
y aquí en la derecha ya se ve perfectamente, podríamos 00:17:26
seguirnos acercando, fijaros 00:17:29
ya ahí no hay quien viera 00:17:31
la separación entre la recta tangente y la secante 00:17:34
ahora nos podemos ir, también podemos mover b 00:17:39
y nos iríamos otra vez al punto 00:17:43
y bueno pues ya hemos hecho 00:17:46
nuestra construcción para demostrar la derivada de una función en un punto 00:17:49
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
99
Fecha:
6 de marzo de 2019 - 20:14
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
17′ 55″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
72.42 MBytes

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