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Ecuaciones de 2º grado y ecuaciones bicuadradas - Contenido educativo

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Subido el 8 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Bueno, vamos a hacer un vídeo sobre las ecuaciones. 00:00:01
Comenzamos con las ecuaciones de segundo grado. 00:00:04
Aunque la hemos visto ya en clase, las ecuaciones de segundo grado son del tipo 00:00:06
un coeficiente que multiplica a x cuadrado más otro coeficiente que multiplica a x 00:00:10
más otro coeficiente c, que es el término independiente. 00:00:17
Este se llama término independiente porque no depende de x. 00:00:22
Entonces, para esto, independiente. 00:00:26
Para esto lo que disponemos es de una fórmula. x es igual a menos b más menos b al cuadrado menos 4ac partido de 2a. 00:00:29
Y esta fórmula nos la tenemos que aprender. Al final de tanto usarlo, esto se dio en segundo de la ESO y ya no la tenemos que saber. 00:00:44
Entonces, ¿qué ocurre? ¿Qué nos podemos encontrar en ecuaciones de segundo grado? 00:00:52
Que sean ecuaciones completas. ¿Completas qué quiere decir? 00:00:56
Pues que A sea distinto de cero, B sea distinto de cero y C sea distinto de cero. 00:01:01
Por ejemplo, es este caso de aquí o este caso de aquí o este caso de aquí. 00:01:09
Sin embargo, también nos podemos encontrar ecuaciones incompletas. 00:01:16
Y son aquellas, hay de dos tipos, donde o B es igual a 0 o C es igual a 0. 00:01:19
También puede ocurrir que tanto B como C sean distintos 0. 00:01:27
Lo que nunca puede pasar, nunca puede pasar, es que A sea 0. 00:01:31
Nunca puede pasar que A sea igual a 0, porque si A es igual a 0 lo que tendríamos es una ecuación de primer grado. 00:01:36
Si hacemos estos ejercicios, que ya deberíamos de saberlo porque lo hemos visto en clase, en el 1a vemos que es una incompleta porque tenemos 2x cuadrado menos 50 es igual a 0, donde a es igual a 2, b es igual a 0 y c es igual a menos 50. 00:01:44
¿Qué ocurre en las ecuaciones donde b es igual a 0, es decir, el término que tiene la x? 00:02:03
Pues lo que hacemos es dejamos todo lo que tenga x en un miembro y lo que no tenga x lo llevamos al otro miembro. 00:02:08
Nuestro objetivo siempre en una ecuación es dejar sola la x, por lo tanto este 2 pasa dividiendo el 50 medios que es 25. 00:02:18
Y ahora nos queda esto de aquí. 00:02:26
¿Qué es lo que ocurre? Que para dejar x sola lo que hacemos es la raíz en ambos miembros y aquí ponemos un más menos raíz de 25, que precisamente raíz de 25 esto es más menos 5. 00:02:28
Con lo cual tenemos dos soluciones, x igual a 5 y x igual a menos 5. Lo suyo siempre es comprobarlo y aquí vemos que si yo la x la sustituyo la comprobación, la comprobación, lo voy a hacer en otro color, ¿vale? 00:02:42
si yo donde haya una x pongo una solución que es 5 al cuadrado menos 50 00:02:57
esto es verdad que es 0 pues resulta que 5 al cuadrado es 25 menos 50 00:03:03
esto es verdad me pregunto si es a 0 00:03:10
2 por 25 es 50, 50 menos 50 es igual a 0 00:03:13
que es igual a 0 que es lo que queríamos 00:03:18
vamos a comprobar el menos 5 00:03:20
con el menos 5 pasa igual donde haya una x ponemos el menos 5 00:03:22
¿Y esto es verdad que es igual a 0? Pues resulta que menos 5 al cuadrado también es 25, con lo cual tenemos lo de arriba y esto que implica que 0 es igual a 0, la solución es más que correcta. 00:03:26
Vamos a hacer el 1B. Me voy a copiar esto de aquí en la siguiente página y vamos a hacer el ejercicio 1B. 00:03:42
Bien, el ejercicio 1b es 3x cuadrado más 5. De nuevo, tenemos una incompleta. Tenemos que a es igual a 3, b es igual a 0 y c es igual a 5. 00:03:54
Entonces, ¿qué ocurre? Pues nada, tenemos que dejar todo lo que tenga x a un miembro y lo que no tenga x lo pasamos al otro miembro. Tenemos esto de aquí. 00:04:07
Ahora este 3 pasa dividiendo y tenemos que x cuadrado es igual a menos 5 e tercio. 00:04:16
Pero ¿qué ocurre? Que x sería más menos la raíz de menos 5 tercio. 00:04:23
Y como nosotros no podemos tener la raíz cuadrada de ningún número negativo, 00:04:29
pues entonces ponemos que no tiene solución real. 00:04:35
Es decir, esta ecuación de aquí no tiene solución real. 00:04:40
El ejercicio 1c, pues también es incompleta, pero ¿qué ocurre con este tipo de incompleta? 00:04:44
Que en este caso, bueno, la a vale 7, el b vale 5, pero la c vale 0. 00:04:54
Entonces, ¿qué hacemos cuando no tenemos términos independientes? 00:05:00
Fijaros que no tenemos términos independientes porque c es 0. 00:05:03
Lo que hacemos es sacar factor común x. 00:05:06
Entonces, si yo saco factor común x, ¿qué me queda? 7x más 5. 00:05:09
¿Y qué ocurre cuando yo tengo un producto de dos cosas que es igual a cero? Pues que bien, la x es igual a cero, ya tengo una solución. Es una solución. Y ahora 7x más 5 es igual a cero. ¿De dónde? 7x es igual a menos 5x es igual a menos 5 séptimos. Esta es la otra solución. 00:05:14
lo suyo sería comprobarlo, para aquí y para ello lo bueno sería ayudarnos de la calculadora 00:05:38
pero la comprobación, fijaros, el 0 siempre en una incompleta sin término independiente 00:05:45
x igual a 0 siempre es una solución 00:05:51
de hecho 7 por 0 al cuadrado más 5 por 0 00:05:53
¿es verdad que esto es igual a 0? 00:05:58
pues 7 por 0 más 5 por 0 es igual a 0 00:06:01
que es igual a 0, con lo cual se cumple 00:06:05
Ahora vamos a comprobar el menos 5 séptimo. Entonces, donde haya una x ponemos el menos 5 séptimo y vamos a comprobar si realmente esto es igual a 0. 00:06:07
entonces esto es verdad que es igual a 0 00:06:24
tenemos aquí 7 por 5 al cuadrado partido 00:06:29
7 al cuadrado menos 00:06:34
5 al cuadrado partido de 7, si nos fijamos aquí 00:06:37
esto de aquí a que es igual, es un 7 00:06:41
se me va con este 7 y me queda 5 cuadrado partido de 7 00:06:45
menos precisamente 5 cuadrado partido de 7 00:06:50
esto es igual a cero, como queríamos comprobar. Vamos a resolver ahora estas que son completas, voy a crear una página nueva y voy a copiarme el enunciado en la siguiente página, ¿de acuerdo? 00:06:53
vamos a hacer el ejercicio 2, aquí en el ejercicio 2 lo que tenemos 00:07:10
ya tenemos ecuaciones, en el 2a tenemos una ecuación 00:07:15
una ecuación de segundo grado completa 00:07:19
tenemos 10x cuadrado menos 3x menos 1 es igual a 0 00:07:23
aquí que tengo que a vale 10, que b vale menos 3 00:07:27
y que c vale menos 1, si yo aplico la ecuación de segundo grado 00:07:31
sería menos b, como es menos menos 3 es un 3 más menos 00:07:35
b al cuadrado es menos 3 al cuadrado menos 4 por a por c, ¿de acuerdo? 00:07:39
partido de 2a, es decir, de 2 por 10 00:07:47
y esto que ocurre, que esto es 3 más menos, ¿cuánto es menos 3 al cuadrado? 00:07:50
es 9, y aquí menos por menos es más, esto es más 40 00:07:55
partido de 20, pero es que esto es la raíz de 49 00:07:59
y la raíz de 49 es 7, por lo tanto, me lo voy a poner 00:08:04
Para que no haya dudas, de 49 partido de 20, es decir, x es igual a 3 más menos 7 partido de 20, con lo cual tenemos dos soluciones, 3 más 7 partido de 20, que esto es 10 veinteavos, que es un medio, y esto es 3 menos 7 partido de 20, que esto es menos 4 partido de 20, que si lo dividimos entre 4 es menos un quinto, ¿vale? 00:08:08
Entonces, os dejo para ustedes que lo comprobéis, pero en teoría deberían ser buenas y válidas las dos soluciones. 00:08:36
Vamos a hacer el 12. Tenemos x al cuadrado menos 20x más 100 igual a 0. 00:08:45
¿Y aquí qué ocurre? Pues que a cuánto vale. Cuando no tenemos nada aquí es porque tenemos un 1. 00:08:51
la b vale menos 20 y la c vale 100 00:08:56
entonces aplico ecuación de segundo grado 00:09:00
en menos b más menos b al cuadrado 00:09:03
en este caso es 400 00:09:06
menos 4 por a por c me da 400 también 00:09:08
partido de 2a es 2 por 1 00:09:12
si no lo entendéis lo hacéis despacito 00:09:16
verá cómo sale 00:09:18
y entonces ya tenemos 20 más menos raíz de 0 00:09:19
partido de 2 ¿cuánto vale la raíz de 0? 00:09:22
Pues 0. 20 más menos 0 partido de 2. ¿Qué ocurre? Que tengo 20 más 0 partido de 2, esto es 10. 00:09:24
Y aquí ¿qué ocurre? 20 menos 0 partido de 2, que también es 10. ¿Qué es lo que ocurre con esta solución? 00:09:32
Que por cierto, me voy a volver un momentillo aquí. Como estas dos son las raíces, yo este polinomio de aquí, 00:09:40
El 10x cuadrado menos 3x menos 1 igual a 0. Yo realmente este lo puedo descomponer como 10, acordaros que cuando el elemento que multiplica la x cuadrada es 0 lo tengo que poner, por x menos la primera solución por x menos, como es menos un medio, un quinto, pues esto de aquí. 00:09:46
¿De acuerdo? Es decir, ya aprovecho y también repasamos la factorización de este polinomio de aquí. 00:10:10
Cuando yo lo igualo a cero, lo que hallo realmente son las raíces. 00:10:17
Entonces, ¿qué me permite poner, descomponer mi polinomio 10x cuadrado menos 3x menos 1? 00:10:20
Es el 10, que es el elemento que multiplica a la x al cuadrado, y aquí siempre es del tipo x menos a. 00:10:27
x menos a, entonces es x menos 1 medio, x menos menos 1 medio que se convierte en más 1 medio 00:10:34
en este caso de aquí como tenemos las mismas raíces, las raíces dobles 00:10:41
pues esto de aquí realmente es igual a x menos 10 por x menos 10 00:10:46
y esto que es chavales, esto es x menos 10 al cuadrado 00:10:52
la descomposición factorial de este polinomio de aquí es x menos 10 al cuadrado 00:10:57
Vamos a comprobar que es una identidad notable, si es verdad que nos da esto de aquí, pues fijaros, es cuadrado del primero más cuadrado del segundo menos el doble producto del primero por el segundo, y esto que es x cuadrado más 100 menos 20x, que si yo lo ordeno, esto es x cuadrado menos 20x más 100, que es precisamente lo que tenía aquí, ¿de acuerdo? 00:11:02
Entonces, la solución sería 10 doble, pero ya aprovecho y hacemos también la descomposición factorial de este polinomio de aquí. 00:11:26
Yo os invito a que hagáis este ejercicio, ¿de acuerdo? 00:11:39
Entonces, vamos a ver la fi cuadrada. 00:11:45
La bicuadrada es muy importante fijarnos que lo que tenemos es un término en x cuadrado, 00:11:47
un término, perdón, en x a la cuarta, un término en x al cuadrado y un término independiente. 00:11:53
Y entonces lo que hacemos aquí siempre es un cambio de variable. 00:11:59
Un cambio de variable. 00:12:04
Me da igual la letra, ¿vale? 00:12:07
Por ejemplo, si utilizamos la letra z, pues lo que hacemos es que z sea igual a x al cuadrado. 00:12:09
¿Qué ocurre? 00:12:14
Que ¿cuánto valdría x a la cuarta? 00:12:14
Fijaros que x a la cuarta es x al cuadrado al cuadrado, y como x al cuadrado es z, pues lo que tengo es que esto es z al cuadrado. 00:12:16
Por lo tanto, mi ecuación se convierte en a z al cuadrado más bz más c, que es lo que es una ecuación de segundo grado. 00:12:26
Y aquí igualmente nos puede pasar que sea completa, incompleta y demás. 00:12:38
De hecho, voy a hacer el 4a. El 4a que es 3x a la cuarta menos 12x al cuadrado igual a cero. 00:12:42
Si yo hago el cambio de variable z es igual a x al cuadrado, resulta que esto me queda como 3z al cuadrado menos 12z. 00:12:51
¿Y esto qué es? Es una ecuación incompleta, segundo grado incompleta. 00:13:01
a vale 3, b vale menos 12 y c vale cero, por eso es incompleta. 00:13:04
En este caso, ¿qué es lo que hacíamos siempre? Sacar factor común. En este caso sacamos factor común z. Es decir, z igual a 0 va a ser una solución. Entonces yo tengo aquí 3z menos 12. Y volvemos a lo mismo. 00:13:10
Si yo tengo la multiplicación de factores igual a 0, eso implica que z es igual a 0, que ya lo sabíamos, o 3z menos 12 igual a 0, de donde z aquí es igual a 4, ¿vale? 00:13:24
Lo hacéis, pasáis el 12 al otro lado, venga, lo hago aquí para que no os liéis, es 12, z es igual a 12 tercios, z es igual a 4. 00:13:38
Entonces, ¿qué ocurre? Que yo ahora tengo que deshacer el cambio, es decir, las soluciones de esta ecuación de aquí serían z igual a cero y z igual a cuatro. 00:13:48
Pero yo realmente tengo una bicuadrada, una ecuación de cuarto grado, entonces puedo tener hasta cuatro soluciones, hasta cuatro soluciones reales, ¿vale? 00:13:59
hasta cuatro soluciones reales. 00:14:12
¿Qué ocurre? Que yo tengo que deshacer, es decir, 00:14:16
x cuadrado es igual a cero, 00:14:19
de donde x es igual a más menos raíz de cero, 00:14:21
esto es igual a más menos cero, es decir, 00:14:23
tengo una doble. 00:14:26
¿Vale? 00:14:29
Y ahora, ¿qué ocurre? Que x cuadrado es igual a cuatro, 00:14:30
entonces, x es igual a más menos raíz de cuatro, 00:14:33
es decir, a más menos dos. 00:14:36
Entonces, ¿qué ocurre? Que yo este polinomio de aquí lo puedo descomponer en 3 por x al cuadrado por x menos 2 por x más 2, que es igual a cero. 00:14:38
Si yo lo igualo a cero, fijaros, esto sería x igual a cero doble, esto sería x igual a 2 y esto sería x igual a menos 2. 00:14:55
¿De acuerdo? Entonces las soluciones serían estas de aquí. Me voy a copiar esto en una nueva página y voy a hacer el ejercicio B. 00:15:04
Si yo hago el ejercicio B, esto es 3x a la cuarta más 75x al cuadrado igual a cero. 00:15:17
Estoy en las mismas. 00:15:25
Es más, aquí yo puedo sacar factor común 3x al cuadrado porque 75 es divisible entre 3. 00:15:27
Con lo cual tengo aquí un x al cuadrado y aquí tengo más 25. 00:15:33
¿Qué ocurre? 00:15:39
Pues que yo aquí tengo, por un lado, x cuadrado es igual a 0 y x cuadrado más 25 es igual a 0. 00:15:39
O si no, también aplico el cambio de variable. 00:15:48
Pero es que lo puedo hacer de bastantes formas. 00:15:51
Este lo he elegido hacer de esta forma, pero se puede hacer también con el cambio de variable. 00:15:53
Entonces, x cuadrado igual a 0, ¿qué ocurre? 00:15:59
Que x es igual a más menos 0. 00:16:02
Es decir, x es igual a 0, pero doble. 00:16:04
Solución de multiplicidad, o que se llama. 00:16:07
Y ahora, x al cuadrado más 25 igual a 0, ¿qué es lo que nos ocurre? 00:16:11
Que x al cuadrado es igual a menos 25, x es igual a más menos raíz de menos 25, y esto no tiene solución real. 00:16:14
Solución real. 00:16:24
Entonces, ¿qué ocurre? 00:16:26
Es que realmente en mi ejercicio B, 3x a la cuarta más 75x al cuadrado igual a cero, 00:16:27
tiene como solución x igual a cero doble. 00:16:36
Realmente esto se llama con multiplicidad 2. 00:16:40
Si hubiese sido triple, multiplicidad 3. 00:16:46
¿Cómo se descompone este polinomio? Pues así. 00:16:50
Es decir, x al cuadrado menos 25, x al cuadrado más 25, perdona, es irreducible. 00:16:55
Es irreducible porque su raíz es negativa. 00:17:04
Voy a hacer el ejercicio C. 00:17:08
7x al cuadrado a la cuarta menos 112 igual a 0. 00:17:10
Aquí, si nos fijamos, esto de aquí, pues si yo lo hago con cambio de variable, lo puedo hacer de dos formas. 00:17:14
Lo voy a hacer con cambio de variable, ¿vale? 00:17:22
z es igual a x al cuadrado 00:17:24
por lo tanto z al cuadrado es x a la cuarta 00:17:26
aquí que es lo que tengo 00:17:30
pues 7z al cuadrado menos 112 igual a 0 00:17:31
aquí tengo una incompleta 00:17:36
a vale 7, b vale 0, c vale menos 112 00:17:37
¿qué es lo que se hace? 00:17:42
¿la ecuación de segundo grado? 00:17:43
pues no tiene sentido 00:17:45
de hecho aquí si yo dejo sola la z al cuadrado 00:17:46
¿qué ocurre? 00:17:49
el 112 pasa al otro lado dividiendo 00:17:50
Entonces, z al cuadrado, que es 112 partido de 7, que yo juraría que no es divisible. 00:17:53
Voy a comprobarlo con la calculadora. 00:18:05
112 entre 7, ah, pues sí, mira, me sale 16, qué bonito, me sale 16z al cuadrado. 00:18:09
Entonces z a que es igual a más menos raíz de 16 que es más menos 4. 00:18:17
Entonces, ¿qué ocurre? Que esto de aquí lo puedo descomponer como 7 por... 00:18:23
Ah, perdón, perdón, perdón, perdón, perdón. 00:18:29
Esto de aquí resulta que tengo que z es igual, z al cuadrado, z es igual a más menos 4. 00:18:32
¿Qué ocurre? Que como tengo que x al cuadrado es igual a z, pues yo ahora que tengo 00:18:41
x cuadrado es igual a más 4, de donde x es igual a más menos raíz de 4, que es igual a más menos 2. 00:18:45
Pero x cuadrado es igual a menos 4, me encuentro que x es más menos raíz de menos 4 y no tiene solución real. 00:18:54
No tiene solución real. 00:19:02
Entonces, ¿cuáles son las soluciones de esta ecuación de aquí? 00:19:04
Pues son x igual a 2 y x igual a menos 2. 00:19:09
No tiene más soluciones reales, ¿de acuerdo? Voy a hacer, por ejemplo, la f para pasar al siguiente vídeo para que no sea tan largo. 00:19:14
Voy a copiar aquí y voy a hacer dos más y venga. Por ejemplo, hago la e, por ejemplo, e es 4x a la cuarta a 19x cuadrado menos 5 igual a 0, pues igual, z es igual a x al cuadrado. 00:19:29
Por lo tanto, z al cuadrado es x a la cuarta. 00:19:52
¿Eso qué implica? Que yo tengo 4z al cuadrado más 19z menos 5 igual a menos. 00:19:55
Y aquí ¿qué tenemos? Que a es igual a 4, que b es igual a 19 y que c es igual a menos 5. 00:20:02
¿Qué voy a explicar? La ecuación de segundo grado, ¿verdad? 00:20:12
Entonces z es igual a menos b más menos 19 al cuadrado menos 4 por 4 por menos 5 partido de 2 por 4. 00:20:15
¿Cierto? ¿A qué es igual? Sigo por aquí. 00:20:30
O bueno, mejor lo borro y le pongo que z es igual a menos 19 más menos. 00:20:33
voy a hacerlo esto con la calculadora 00:20:42
un segundillo 00:20:44
19 por 19 00:20:45
más 16 por 5 00:20:47
es 441 00:20:51
441 tiene raíz 00:20:54
vamos a ver 00:20:55
uff, que tengo que pasar 00:20:56
a ver 00:20:58
441 00:21:00
441 00:21:02
no me suena, puede ser 00:21:04
vamos a la científica 00:21:05
441 00:21:08
raíz cuadrada igual a 21 00:21:11
ah pues si, se me ha ido la olla 00:21:14
vale, perfecto, pues mira bien 00:21:15
entre 8 00:21:17
entonces esto es menos 19 00:21:19
más menos 21 partido de 8 00:21:21
es decir 00:21:24
menos 19 más 21 00:21:24
partido de 8 es igual 00:21:27
a 2 octavos que es igual a 1 cuarto 00:21:29
y esto de aquí 00:21:32
es menos 19 menos 21 00:21:33
partido de 8, esto es 00:21:35
menos 40 00:21:37
contamos que es menos 5 00:21:39
ocurre que yo ahora tengo que deshacer el cambio 00:21:41
entonces como x cuadrado es igual a z 00:21:44
yo que me encuentro que x cuadrado es igual a un cuarto 00:21:47
donde x es igual a más menos la raíz de un cuarto 00:21:50
pero es que la raíz de un cuarto precisamente es un medio 00:21:54
y ahora tengo que x cuadrado es igual a menos 5 00:21:58
donde x es igual a más menos raíz de menos 5 00:22:01
esto no es posible, no tiene solución real 00:22:04
Entonces, ¿qué ocurre? Las soluciones de 4x cuadrado más 19x cuadrado menos 5, las soluciones son realmente x igual a 1 medio y x igual a menos 1 medio. 00:22:08
¿De acuerdo? 00:22:27
Me voy a parar el vídeo y voy a seguir con otro tipo de cuadraditos. 00:22:28
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Segundo Ciclo
        • Cuarto Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
21
Fecha:
8 de noviembre de 2025 - 12:22
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
22′ 33″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
49.73 MBytes

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