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Derivadas ej. 15 y 16 - Contenido educativo

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Subido el 14 de octubre de 2023 por Maria Isabel P.

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Bueno, ahora vamos a comentar unas cuantas derivadas que me hubiera gustado hacer en clase. 00:00:01
Vamos a ver, son los ejercicios 15 y 16 del libro de texto, que ya os puse las fotos de los enunciados. 00:00:09
¿Vale? Entonces, aquí os he puesto, no me daba tiempo a hacerlo todo, 00:00:22
que además es que desde la A hasta la I las hicimos paso a paso en clase. 00:00:25
¿Vale? Entonces, bueno, pues mirad. A ver, antes de empezar, recuerdo, muchas veces hay más de un enfoque posible, ¿vale? 00:00:29
Pero esta vez, cuando ha habido más de uno, me he decantado por uno solo, ya os explicaré por qué. Esto lo da la práctica. 00:00:41
Todos aprendemos a hacer derivadas haciendo muchas 00:00:48
Y también vamos a comentar las ocasiones en las que a veces se te complica la cosa 00:00:52
Y cuando te das cuenta de que la cosa se complica es el momento de probar otra estrategia 00:01:01
Y no pasa nada, no es que sepas menos por eso, no os sintáis en ese sentido, no 00:01:05
Eso pasa a todos, nadie tiene una bola de cristal para saber lo que va a pasar 00:01:11
bien, pero la práctica da muchas ideas 00:01:15
entonces aquí pues 00:01:19
yo al ver esto, pues puedo entender 00:01:20
que muchos os tiraseis 00:01:23
a por la regla del cociente 00:01:25
pero es muy fácil 00:01:27
es muy frecuente que en casos así 00:01:29
en que el numerador es simplemente un número 00:01:31
al ponerlo de esta manera 00:01:32
que lo llevas al terreno de una potencia 00:01:34
que va a ser más rápido y más fácil 00:01:36
de derivar 00:01:39
¿de acuerdo? 00:01:40
mejor así que con la regla del cociente 00:01:43
Pero vamos, que con la rueda del cociente se llega igual 00:01:45
¿Vale? Entonces al colocarlo así 00:01:47
Se deriva primero la potencia 00:01:49
Pasando el menos 5 para acá 00:01:53
Por eso sale menos 20 00:01:54
La misma base se resta 1 00:01:56
Y luego por la derivada de la base 00:01:58
Total, que como esto se tiene que venir abajo 00:02:01
Es lo que aparece aquí ya con exponente positivo 00:02:04
Y aquí pues esto no merece la pena 00:02:06
No se puede simplificar, se deja así 00:02:08
Ya está, ya está 00:02:10
¿Vale? 00:02:11
A ver, cuando os pongo dos soluciones finales o realidades, cualquiera de las dos es válida 00:02:12
Esto ya son costumbres, ¿vale? 00:02:17
Yo personalmente también lo habría dejado así, pero luego me fijé en los números pares 00:02:20
Digo, bueno, a veces se hace esto, esperamos, que no os comáis la cabeza 00:02:24
Así está perfectamente 00:02:28
Esta de aquí, más de lo mismo, por supuesto, lo de idem 00:02:30
A ver, es que hacer esto en un cociente, pues hombre, no digo que no acabe saliendo 00:02:33
Pero con el cociente maldiosa 00:02:40
La subimos arriba 00:02:42
Lógicamente aquí abajo es elevado a 1 medio 00:02:44
Pues aquí menos 1 medio 00:02:46
Pues al derivar el menos 1 medio pasa adelante 00:02:47
Por eso salía menos 3 medios 00:02:50
Luego está tachado pero está tachado en el otro color 00:02:52
¿Vale? 00:02:54
Por lo de dentro elevado a 00:02:55
Menos 1 medio y menos 1 menos 3 medios 00:02:57
Por derivada de lo de dentro 00:03:00
Menos 12x cuadrado 00:03:02
¿Vale? Entonces aquí las simplificaciones 00:03:05
Las he hecho con el otro color verde 00:03:06
Espero que se note 00:03:08
Este menos se compensa con este 00:03:09
Este 2 se compensa con el 12 y queda un 6 00:03:12
Con lo cual, este 3 por este 6 sale el 18 00:03:15
Este x cuadrado queda arriba 00:03:18
Y esto que tiene suponente negativo me lo llevo abajo 00:03:19
Y como está el 3, pues por eso el cubo de dentro 00:03:21
Y se deja así 00:03:25
Hay gente que coge y se pone a extraer factores de la raíz 00:03:26
Yo lo veo ridículo 00:03:30
Lo he visto muchas veces, pero no 00:03:31
Bien, vamos a ver 00:03:33
Un polinomio por una raíz 00:03:35
Vale que se parecen 00:03:36
Eso luego puede que nos venga bien 00:03:39
No lo sé 00:03:41
Ahora mismo no me acuerdo 00:03:42
Pues lo he hecho hace un buen rato ya 00:03:43
Y veamos 00:03:45
Producto, ¿por qué? 00:03:48
Porque es un polinomio por una raíz cuadrada 00:03:49
Pues regla el producto 00:03:50
Ya está 00:03:51
Pues ya sabéis cómo va 00:03:52
Deriva el primero 00:03:54
Por el segundo sin derivar 00:03:55
Más el primero sin derivar 00:03:56
Por la deriva del segundo 00:03:58
Y se simplifican los dos 00:03:59
Me queda esto 00:04:01
Esta suma hay que efectuarla 00:04:02
Denominador común 00:04:04
El que hay 00:04:05
Con ese denominador común 00:04:06
Resulta, mira tú 00:04:08
Que al transformar los numeradores 00:04:10
Esta radio se multiplica con esta 00:04:12
Y por eso ya aquí no está 00:04:14
Este 2 es este 00:04:16
Y luego ya, pues nada, aquí arriba se opera 00:04:19
Se deja así 00:04:22
Se puede dejar así perfectamente 00:04:23
Bueno, quiero decir así no, así 00:04:26
Agrupando términos 00:04:27
A ver, aquí ya no me meto en cómo hacer esta suma 00:04:29
Porque esto se supone que ya lo domináis todos 00:04:32
Aquí, un cociente 00:04:34
Dos funciones, una exponencial y un polinomio 00:04:38
Cada una de sus padres y de su madre 00:04:41
En común, pues a la regla del cociente 00:04:43
Se aplica tal cual a piezas 00:04:45
Las partes de esa fórmula 00:04:47
Acordaos que cuando hay una exponencial de por medio 00:04:48
Siempre se puede sacar la exponencial de factor común 00:04:51
Aquí además se puede sacar x 00:04:54
Es bueno que vayáis cogiendo la costumbre 00:04:56
De sacar factor común todo lo que podáis 00:04:58
Porque nos vendrá muy bien 00:04:59
Cuando sigamos viendo esto de las aplicaciones de las derivadas, con lo cual esta x se irá con una de las de abajo y simplificada es así. 00:05:01
Otro cociente, esta vez el polinomio está arriba, la exponencial abajo, pero más de lo mismo. 00:05:12
Esta vez al sacar factor común la exponencial se va a compensar con una de las de abajo. 00:05:16
A la fin de cuentas esto es elevado a x y a su vez al cuadrado, recordad que los exponentes se multiplican, entonces se compensa y se queda así. 00:05:24
Bueno, pues esto es un producto de tres factores. 00:05:32
Pues la fórmula para el producto de más de dos factores es la que tiene lógica, que pensemos. 00:05:35
¿Os dais cuenta? Mira, uno, dos y tres términos. 00:05:41
Y en cada uno de los tres está derivado uno de estos tres factores. 00:05:46
Aquí está derivado el x cuadrado, ¿veis? Dos x y los otros dos se quedan igual. 00:05:51
En este lo que está derivado es el 2 elevado a x, que está aquí, y las otras dos quedan igual 00:05:55
Y en el tercer término está derivada la exponencial de base a, cuya derivada es estas tres cosas 00:06:02
¿Vale? Pues ¿qué hacemos? Pues sacar factor común lo que podemos 00:06:10
Las dos exponenciales están en los tres y al menos una x aquí elevada a 1, aquí al cuadrado y aquí también están presentes ahí 00:06:15
que dan expresiones como así muy 00:06:24
feuchas, pero bueno, pues ya está 00:06:26
lo que hay 00:06:29
a ver, aquí empiezan las trigonométricas 00:06:30
en vuestro libro de texto 00:06:33
al final he dejado de ponerlo 00:06:35
porque es que me cansa 00:06:37
es que, vamos a ver 00:06:38
es que este paréntesis no es necesario 00:06:40
es que se sobreentiende 00:06:42
el coseno es de 4x 00:06:43
aunque no estuve en el paréntesis 00:06:46
nadie se va a confundir pensando que es el coseno de 4 00:06:47
y luego por x 00:06:50
o sea, no 00:06:52
O sea, es coseno de 4x y ya está, nada más 00:06:53
Bueno, lo he repuesto, no es necesario, hay un momento que lo he quitado 00:06:57
Y nada, pues a ver, se deriva de fuera a dentro, acordaos 00:07:02
Primero derivo el coseno, luego derivo el ángulo, el 4x 00:07:07
Entonces la deriva del coseno es el menos seno, lo mismo 00:07:10
Y ahora la deriva del dentro es un 4, el 4 00:07:13
Los números que multiplican se suelen poner delante, se deja así y ya está 00:07:16
en esta, aquí os he puesto estas indicaciones que espero que sirvan 00:07:20
vale, entonces, aquí puesto lo de insisto, se suele escribir así, claro, al escribirlo así 00:07:24
a ver, es que al poner el exponente aquí ya sabemos todos que lo que está elevado a 4 es el resultado del seno de 2x 00:07:30
vale, si el 4 estuviese aquí estaría elevando a 4 solo la x 00:07:37
y a su vez 2x4 estaría dentro del seno 00:07:43
Bien, vamos a ver, entonces primero se deriva la potencia 4, que es esto que está aquí, 00:07:47
por la derivada de lo de dentro, lo que está dentro ahora es el seno de 2x, 00:07:52
pues se deriva el seno que es coseno, y luego se deriva el ángulo que es 2. 00:07:56
Entonces ahora ya los números que multiplican se agrupan y ya está, queda esto y listo. 00:08:01
¿Veis? Aquí, esta expresión no tiene lugar a dudas, lo que está elevado a 4 es la x. 00:08:07
Si estuviera elevado a 4, el coseno, este 4, de estar aquí, estaría encima de la S 00:08:12
Entonces, ¿qué derivo primero? 00:08:19
Lo más exterior, que es el coseno, menos seno 00:08:21
Y luego derivo el x4, el ángulo, 4x cubo 00:08:25
Esto se suele poner delante para que no haya posibilidad de pensar o error 00:08:28
En multiplicar estas dos potencias de x, ¡ay madre! 00:08:36
Y se suele poner así para que no haya confusiones 00:08:39
Y luego el ejercicio 16 os lo he hecho enterito 00:08:42
Como esto es aplicar fórmulas y ya es materia de primero 00:08:45
Pero me voy a parar solo en algunas que tengan algo de interesante 00:08:49
Esto es una potencia y como veis hay veces que no se puede simplificar mucho más 00:08:55
Es que meterte en fregados aquí no tendría mucho sentido 00:09:02
Las trigonométricas hay que tener paciencia con ellas 00:09:06
Porque a ver, daos cuenta que al derivar sobre todo seno y coseno 00:09:09
Cuando derivas seno sale coseno, cuando derivas coseno sale seno 00:09:14
Entonces se van reproduciendo, van como en ciclos de cuatro 00:09:17
Empiezas por el seno, al derivar sale coseno, al derivar sale menos seno 00:09:20
Al derivar el menos seno saldría menos coseno 00:09:24
Y al derivar el menos coseno volverías al seno 00:09:28
Espero que me haya entendido, podéis rebobinar y me escucháis otra vez 00:09:31
entonces pues claro a veces eso pasa 00:09:34
y a tener en cuenta en los ejercicios del hospital 00:09:37
que luego os hago otro vídeo sobre los del hospital 00:09:40
que os he puesto todos los que encontré en el libro 00:09:42
vale, bueno pues aquí este cociente 00:09:46
es tener un poquito de paciencia 00:09:49
y sí que es verdad que las relaciones trigonométricas 00:09:50
de primero son importantes para simplificar estas cosas 00:09:54
fijaos, entonces aquí claro 00:09:57
estas cosas tienen que llamar la atención 00:09:59
Pues dices, a ver, coseno de x menos 1 y seno de x menos 1, seno de x más 1, coseno de x más 1. 00:10:01
Tengo dos ángulos diferentes, ¿vale? Y tengo coseno, seno, coseno, seno. 00:10:10
¡Jolín! Eso es el seno de la diferencia. 00:10:16
Os he puesto aquí la fórmula como recordatorio, ¿quién sería A y B en este caso? 00:10:20
Entonces, aplicando esto, sería el seno de x más 1 menos x menos 1. 00:10:24
Simplificando las x se va, te queda el seno de 2 dividido entre esta cosa. 00:10:30
Bastante más simple. 00:10:34
Esto, por ejemplo, esta función, en un ejercicio en el que tuviéramos que estudiar la monotonía, 00:10:35
que es donde crece o donde decrece, tendríamos que igualar la derivada a 0. 00:10:42
Pues, ¿qué pina tú? 00:10:47
La derivada nos ha salido. 00:10:49
Nunca jamás vale 0. 00:10:50
¿Vale? 00:10:53
Nunca jamás vale 0. 00:10:54
Entonces, esta función no tendría ni máximos ni mínimos relativos. 00:10:55
Eso nos vendrá bien. 00:11:00
Para más adelante 00:11:02
Aquí otra función compuesta con tres capas 00:11:04
Como veis, aquí la más externa es el logaritmo 00:11:07
Luego el cubo y luego la tangente 00:11:10
¿Veis? Entonces, ¿cómo se deriva? 00:11:12
Pues primero el logaritmo, luego el cubo y luego la tangente 00:11:13
¿Vale? 00:11:16
Entonces, nada, pues al hacer esto 00:11:18
Pues se pueden simplificar estas dos potencias de la tangente 00:11:23
Y te queda esto bastante recogidito 00:11:27
Pues esta, ya está, hay que derivar primero la raíz 00:11:29
Como la derivada de la raíz cuadrada es la derivada de la función 00:11:33
Partido por 2 veces la raíz 00:11:38
Y esto de aquí dentro es un cociente, se aplica la regla del cociente 00:11:40
Que es esto de aquí arriba, con un poquito de paciencia 00:11:44
Y calma y cuidado para no meter la pata en ningún signo 00:11:47
Fijándote bien en lo que se compensa 00:11:50
¿Vale? Se van los 2, 6 00:11:54
Y ya, al ver esta expresión de aquí 00:11:57
Pues 1 más coseno, 1 menos coseno 00:12:01
Entonces, a ver, da cuenta que esto tiene 4 pisos 00:12:03
1, 2, 3, 4 00:12:09
Lo que he hecho es llevarlo a 2 nada más 00:12:11
Es decir, este seno se multiplica por la raíz de esto, arriba 00:12:14
Este cuadrado por esta raíz, aparte de arriba de la raíz, abajo 00:12:17
¿Lo veis? 00:12:22
y por la forma que tiene es que lo está pidiendo 00:12:23
o sea, si racionalizo, recuerdo que racionalizar era multiplicar por la misma raíz 00:12:28
cuando era una raíz que multiplicaba otra cosa 00:12:32
aquí no estamos hablando de conjugados como en los límites 00:12:35
porque aquí en medio no hay un más ni un menos 00:12:37
entonces al multiplicar arriba y abajo por esta raíz, ¿lo veis? 00:12:39
raíz por raíz, uno más coseno, aquí lo tengo 00:12:43
y arriba, raíz de esto por raíz de esto 00:12:47
Esto es suma por diferencia 00:12:50
La raíz de esta cosita de aquí 00:12:53
Y mira tú 00:12:55
¿Vale? Que he hecho dos cosas 00:12:57
Arriba, lo más inmediato 00:12:59
Uno menos coseno cuadrado no era el seno cuadrado 00:13:01
Y seno cuadrado dentro de la raíz cuadrada 00:13:04
No se compensaría 00:13:07
Entonces me queda seno de aquí y seno de aquí 00:13:08
Seno cuadrado 00:13:10
Y luego resulta que 00:13:11
Aquí tengo suma, aquí tengo diferencia 00:13:13
Pero el cuadrado 00:13:16
Vale, pues tengo dos 00:13:17
las separo, y una de ellas 00:13:19
me la junto con esto, por supuesto, unido 00:13:21
y suma por diferencia 00:13:23
diferencia de cuadrados, y uno menos coseno 00:13:25
cuadrado, también es el seno cuadrado 00:13:27
fíjate que esto se va 00:13:29
con esto, y al final 00:13:31
abajo me queda nada más que uno menos el coseno 00:13:33
y arriba menos uno, o sea que lo puedo 00:13:35
dejar así, o ya si no quiero ver ni este menos 00:13:37
cambio el signo arriba 00:13:40
cambio el signo abajo, mira como se queda 00:13:41
¿vale? 00:13:44
luego me he 00:13:48
cuenta de una cosa, pero 00:13:49
y así sería un ejercicio que preferís hacer 00:13:50
que si racionalizo la función 00:13:52
antes de derivar, todavía 00:13:54
o sea, saldría más fácil 00:13:56
más corta que todo esto, me refiero 00:13:58
a separar esto 00:14:01
en cociente de raíces 00:14:02
y racionalizar 00:14:05
o sea, multiplicar arriba y abajo por la raíz 00:14:07
de uno menos coseno, antes 00:14:09
de derivar 00:14:10
y va a salir más sencilla 00:14:13
este va a salir 00:14:15
un vídeo largo, pero bueno 00:14:17
lo podéis pasar para adelante, para atrás 00:14:18
nada, esto es una trigonométrica 00:14:20
con varias capas, pues tener cuidado 00:14:22
y en esto no hay nadie, esto no se puede simplificar 00:14:24
o sea, nada 00:14:26
aquí un producto arriba con a su vez 00:14:27
un cociente, aquí lo que he hecho es que 00:14:30
me ha llamado la atención 00:14:32
me he parado un momentito, mira, he dicho 00:14:33
que pereza, ¿no? producto arriba 00:14:35
y luego cociente, vaya rollo 00:14:38
y me he fijado que las dos exponenciales 00:14:40
tenían el mismo exponente 00:14:42
entonces las he juntado en una sola 00:14:43
entonces ya no tengo que hacer producto 00:14:46
y cociente y hay que hacer solo producto 00:14:48
y ya está 00:14:50
y como luego saca factor común 00:14:52
una x y la exponencial esta 00:14:55
y me queda esto 00:14:57
¿vale? 00:14:58
aquí un producto de trigonométricas 00:15:00
que no se puede simplificar, solo saca factor común 00:15:03
lo que se puede y ya está 00:15:05
y llegamos a este tipo de función 00:15:06
esta es una cosa que quiero insistir 00:15:08
el lunes en clase 00:15:11
porque sí que es verdad que en primero lo vimos 00:15:12
muy deprisa 00:15:17
y ahora es bastante 00:15:18
bastante interesante, lo que se llama aplicar logaritmos. 00:15:21
En la tabla de reglas de derivación, lo veis, está más o menos en el medio de la tabla, 00:15:26
se aplican logaritmos. 00:15:31
Bien, vamos a ver, daos cuenta que lo que tiene partículas es que tienes x en la base y x en el exponente. 00:15:35
Entonces no puedes aplicar ni la de la exponencial porque la base no es constante, 00:15:41
ni la de la potencia porque el exponente no es un número. 00:15:44
Entonces, lo de aplicar logaritmos consiste en lo siguiente. 00:15:48
Yo quiero bajar esto de aquí 00:15:51
Y la única función que tiene una propiedad 00:15:52
Que me quita los exponentes de donde están 00:15:56
Y me los baja multiplicando 00:15:58
Es el logaritmo 00:15:59
Entonces aplico logaritmos aquí y logaritmos aquí 00:16:00
¿Lo veis? 00:16:03
Logaritmo de la función 00:16:05
O sea, logaritmo de esto 00:16:06
Cogería esta x y viene para acá 00:16:09
¿Lo veis? 00:16:11
Y entonces desde aquí derivo y desde aquí derivo 00:16:12
Derivada del logaritmo de una función 00:16:15
F' partido por f 00:16:18
Derivo esto, el producto 00:16:20
¿Vale? 00:16:23
Y ya, después de eso 00:16:25
Esto se simplifica lo que se puede 00:16:26
En este caso, como veis, el 1 no pinta nada 00:16:28
Y el AX, subirla aquí 00:16:30
Entonces, toda esta cosa 00:16:32
Va a quedar multiplicada 00:16:34
De ahí el corchete va a que se viera bien 00:16:36
Por la función original 00:16:38
¿Por qué? Porque aquí está dividiendo 00:16:39
Y a este lado lo vais a pasar multiplicando 00:16:41
Es decir, esto es como si estuviera aquí dividiendo 00:16:44
Y me lo traigo para acá 00:16:46
¿Vale? Y ya está 00:16:47
A ver, esta vez lo he desarrollado 00:16:51
Normalmente se deja así 00:16:55
Pero esta vez lo he desarrollado para que veáis que esto se ajusta a la formulita que viene en la tabla fórmula 00:16:57
Que la inmensa mayoría de los mortales nos negamos a aprendernos porque es ridícula 00:17:01
Se aplica esta técnica y a donde te lleve te ha llevado 00:17:05
Está, sin agobios 00:17:09
Otra trigonométrica en varias capas 00:17:10
Nada, otra 00:17:14
Una suma de polinomio por coseno 00:17:15
Aquí hay que tener cuidado 00:17:18
Primero hay que derivar el cubo 00:17:21
Luego este logaritmo 00:17:23
Y por último el logaritmo de dentro 00:17:25
¿Vale? 00:17:27
Bueno, pues esta es otro caso en el que 00:17:30
Antes de derivar 00:17:32
Acordaos que esto yo lo iba a desdoblar 00:17:34
El logaritmo 00:17:37
Aquí es logaritmo del cociente 00:17:37
Era resta de logaritmos 00:17:39
Entonces derivar esto y derivar esto 00:17:40
Es mucho más fácil que derivar este tochaco 00:17:43
Dentro de un logaritmo 00:17:46
Y bueno, sale esta expresión 00:17:47
Sale esta que se parece bastante 00:17:50
Hay que tener cuidado de que no se nos vayan 00:17:51
Los signos 00:17:53
Y nada, pues operando como es debido 00:17:55
Se queda en esta monada 00:17:58
Tan reducidita 00:18:00
Con el arco tangente pasa algo parecido 00:18:01
Es echarle paciencia 00:18:04
Pero el arco tangente 00:18:07
No se puede hacer lo del logaritmo de desdoblar 00:18:08
No se puede 00:18:10
Se queda bastante sencillita también 00:18:10
Estas aquí que hemos 00:18:14
Es que incluso alguna de estas 00:18:15
Yo creo que está repetida 00:18:20
Esto es más de lo mismo 00:18:21
Echarle paciencia 00:18:24
Esta es que es un solo paso 00:18:25
O sea, que no tiene nada más 00:18:29
No tiene nada más 00:18:31
A ver 00:18:34
Otra de estas 00:18:46
¿Veis? X arriba, X abajo 00:18:48
Se aplica logaritmos en los dos lados 00:18:50
Esta X viene para acá 00:18:52
¿Veis? Así 00:18:53
Y entonces derivo esto, que es F' entre F, derivo esto con la fórmula del producto 00:18:54
Y luego ya la función derivada es la función original por esto, que es esto de aquí 00:19:00
Habiendo simplificado lo que haya podido, y ya está 00:19:07
Largo seno, la fórmula la tenéis en las tablas 00:19:10
Y bueno, pues sale esta, de un tirón, es muy sencillita 00:19:16
¿Vale? 00:19:20
Bien 00:19:24
Bueno, pues esto es una raíz cuadrada 00:19:25
Con un cociente dentro 00:19:29
Pero un cociente que luego se simplifica un poquito 00:19:29
Ah, y aquí me falta un paréntesis 00:19:32
O bueno, no, no me falta 00:19:36
Me sobra más bien 00:19:40
Porque es que aquí no pintaba nada 00:19:41
No sé por qué me ha salido 00:19:42
Este paréntesis sobra, ¿vale? 00:19:43
Bueno, nada 00:19:47
Esto no tiene mayor dificultad 00:19:48
Largo tangente de esto tampoco 00:19:51
esto tampoco 00:19:53
¿veis? otra en la que 00:19:55
merece la pena separarlo 00:19:58
no digo que no se puede hacer directamente 00:19:59
claro que se puede hacer pero 00:20:01
te sale un poquito alta 00:20:02
al principio y luego ya va encogiendo 00:20:05
de hecho esta se queda 00:20:07
así 00:20:09
chiquitita 00:20:10
pero es más sencilla en mi opinión 00:20:12
separarlo en resta de logaritmos 00:20:15
este es un solo paso nada más 00:20:17
otra de aplicar 00:20:21
la derivación logarítmica 00:20:23
todo el rato la misma cuestión 00:20:24
y como veis salen cosas que no tienen 00:20:26
mucha simplificación que se diga 00:20:28
vale, pues esto es lo de las derivadas 00:20:30
Subido por:
Maria Isabel P.
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Fecha:
14 de octubre de 2023 - 21:34
Visibilidad:
Público
Centro:
IES GUSTAVO ADOLFO BÉCQUER
Duración:
20′ 34″
Relación de aspecto:
17:9 Es más ancho pero igual de alto que 16:9 (1.77:1). Se utiliza en algunas resoluciones, como por ejemplo: 2K, 4K y 8K.
Resolución:
1920x1008 píxeles
Tamaño:
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