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Hallar coordenadas del circuncentro de un triángulo - Contenido educativo

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Subido el 16 de febrero de 2022 por Roberto A.

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Bueno, vamos a hacer ejercicio donde nos dicen que hallemos el circuncentro de un triángulo con los vértices A3-1, B4-2 y C9-3. 00:00:00
Tenemos que recordar que el circuncentro es la intersección de las mediatrices. 00:00:10
Intersección de las mediatrices. ¿Y qué es una mediatriz? 00:00:17
Pues una mediatriz es la perpendicular a un segmento en el punto medio. 00:00:21
Es decir, si yo tengo aquí el segmento AB, pues yo por el punto medio M trazo una perpendicular. 00:00:28
Esa es la mediatriz. 00:00:39
Entonces, en nuestro caso, pues tenemos un triángulo. 00:00:41
Da igual cómo representarlo, pero interesa mucho nombrarlo. 00:00:44
Esto es A, esto es B y yo decido que eso es C. 00:00:49
¿Vale? Entonces, para hallar la mediatriz, pues yo tengo el triángulo ABC, tiene un segmento que es AB, que está sobre una recta, sobre esta recta de aquí. ¿De acuerdo? Una recta que contiene AB. 00:00:52
Entonces, ¿cómo puedo hallar yo el vector director de esa recta? Pues haciendo A, B. 00:01:12
A, B, ¿qué ocurre? Pues que es las coordenadas de B, que es 4, 2, estas son las coordenadas de B, menos las coordenadas de A, que es 3, 1. 00:01:23
Entonces, 4 menos 3 es 1, 2 menos 1 es 1, ¿de acuerdo? 00:01:36
¿Qué ocurre? Que no solo la mediatriz, la mediatriz es una recta perpendicular, perpendicular a esta recta que contiene el segmento AB, pero además de ser perpendicular pasa por el punto medio que nosotros decidimos que se llama, por ejemplo, B. 00:01:42
Entonces, para eso necesito ese punto medio y necesito un vector normal al vector director de la recta, ¿vale? 00:02:01
¿Cuál es un vector o los dos vectores normales? 00:02:10
Pues intercambiamos, en este caso son iguales, intercambiamos la coordenada x con la y y cambiamos el signo en 1, 00:02:15
con lo cual las posibilidades son estas, ¿vale? 00:02:23
Entonces, ¿qué ocurre? Este vector de aquí, por ejemplo, es normal a la recta que contiene AB, pero es el vector y vector de la perpendicular a AB. 00:02:26
¿Cuál es el punto D? Pues el punto D es el punto medio, el punto medio del segmento AB. 00:02:40
del segmento AB. Por lo tanto, D que es 00:02:51
la coordenada A, la coordenada X del punto A 00:02:56
más la coordenada X del punto B entre 2 00:03:00
y la coordenada Y de A más la coordenada B de 2 00:03:04
de la coordenada Y de B partido de 2. 00:03:09
Por lo tanto, D que es igual a 3 más 4 00:03:13
partido de 2 y 1 más 2 partido de 2 00:03:17
es decir, es 7 medios, 3 medios 00:03:22
con lo cual yo ya tengo 00:03:25
la ecuación de la mediatriz 00:03:29
la ecuación de la mediatriz de AB 00:03:32
si lo tengo en paramétrica, que es 00:03:38
x es igual al punto, ¿el punto cuál es? 00:03:41
¿El 7 medios, 3 medios? Pues nada, 7 medios, la i vale 3 medios. 00:03:44
¿Y cuál es el vector director de la mediatriz? Pues uno de los normales a la resta que contiene a b. 00:03:51
Por ejemplo, yo elijo el 1 menos 1, pues aquí más c y aquí menos t. 00:04:00
¿De acuerdo? Esta es la ecuación de la mediatriz de a b. 00:04:06
¿Vale? ¿Cómo puedo pasarlo esto a continua? Pues en este caso sencillo, porque como el parámetro de la t es 1 y el otro es menos 1, si yo sumo estas dos ecuaciones, ¿qué tengo? 00:04:11
Si yo la sumo, pues tengo x más y igual a 7 medios más 3 medios, 7 medios más 3 medios, es decir, x más y igual a 10 medios, que es 5. 00:04:26
¿Qué ocurre? Pues que si yo lo igualo a cero, me refiero, dejo el término independiente en el primero, esta es la ecuación implícita asociada a esta ecuación paramétrica de la resta media. 00:04:42
Es decir, lo que quiero dejar claro es que esta ecuación y esta es la misma, una en paramétrica, la otra en implícita, ambas son la de la mediatriz de A y B, y esta mediatriz de A y B es perpendicular a la recta que contiene A y B, y además pasa por el punto medio que hemos hallado que es D. 00:04:59
¿De acuerdo? Como el circuncentro es la intersección de mediatrices, voy a hallar ahora la mediatriz, por ejemplo, de AC. ¿De acuerdo? Voy a hallar la mediatriz de AC. ¿Cuál es la mediatriz de AC? 00:05:28
Pues yo tengo A que vale 3, 1, tengo C que vale 9, menos 3, pues ¿qué necesito? Por un lado necesito el punto medio, el punto medio de A y C, ¿cuál es el punto medio? 00:05:51
Pues es 3 más 9 medios y la otra es 1 menos 3 medios, es decir, 9 más 3 es 12, 12 medios es 6 y 1 menos 3 es menos 2, menos 2 entre 2 es menos 1, ¿de acuerdo? 00:06:11
Ese es el punto medio del lado del triángulo AC. ¿De acuerdo? Aquí vemos que este es el punto E que acabamos de calcular. Esto es AC, el punto medio es E. ¿Vale? Entonces esto es E. 00:06:28
Por otro lado, yo quiero saber el vector director de AC, es decir, el vector de la recta que contiene al segmento AC. Esto es 9-3, que es el punto C, menos el punto A, que es 3-1. 00:06:48
¿Vale? Siempre para ya el vector AC se recta el extremo final menos el origen. ¿Vale? Entonces esto es 6 y esto es menos 4. 00:07:06
Y aquí, muy importante, este es el vector director de la recta que contiene el segmento AC. 00:07:20
Cualquiera que sea proporcionada a él es paralelo a este vector. 00:07:28
Con lo cual, este es el vector director de la recta que contiene AC, pero también lo es 3 menos 2. 00:07:35
Es decir, yo divido entre 2 cada uno de ellos, tengo el vector 3 menos 2. 00:07:42
O si, por ejemplo, yo multiplico por 2, el 12 menos 8 también es un vector que es paralelo a esta recta. 00:07:48
Con lo cual, aquí lo que nos interesa es que mientras más pequeños tengamos los vectores y rectores, pues mejor. 00:08:00
Como son proporcionales, pues son paralelos y no ocurre nada. 00:08:07
Pero nosotros lo que tenemos que hallar es uno normal, ¿vale? 00:08:15
En vez de quedarnos con el 6 menos 4, lo suyo sería quedarnos con el 3 menos 2. 00:08:18
Si lo hacemos con el 6 menos 4, también es correcto, pero mientras menores tengamos los números, mejor, ¿vale? 00:08:23
Entonces, como sabemos que este y este son paralelos, pues me da igual quedarme con el más pequeño. 00:08:30
Pero ahora yo tengo que hallar, como la mediatría es perpendicular al segmento AC, 00:08:35
tengo que hallar uno que es normal o perpendicular o ortogonal, todo esto es lo mismo, ¿vale? Normal, perpendicular, ortogonal. 00:08:41
¿Qué es lo que hago? Pues nada, cambio la coordenada x por la y, con lo cual sería el menos 2, 3 y a uno de ellos le cambio el signo, pues por ejemplo, al menos 3. 00:08:54
O también podría ser el 2, 3, es decir, cambio la x con la y y le he cambiado el signo al menos 2 y pasa a ser 2, ¿vale? 00:09:06
Entonces, ¿qué ocurre? Yo ya tengo un punto de la mediatriz y tengo este sí que es el vector director de la mediatriz, ¿vale? 00:09:19
Entonces, en paramétrica, el punto es el 6, la i vale menos 1, y el vector director de la mediatriz, este es el vector director de la mediatriz, que a su vez es perpendicular al vector director de la recta que contiene a c. 00:09:27
Entonces, aquí hacemos más 2c y aquí más 3c. 00:09:53
En el vídeo anterior os dije que a la hora de hallar la intersección de dos rectas es mejor tenerla en paramétrica, pero la podemos hacer, no hay problema, lo único es cambiarle a 1 en vez de T, cambiarle a S, pero si la tenemos en implícita yo creo que todavía es un poquito más sencilla. 00:09:58
Lo único que tenemos que pasar de paramétrica a implícita. En este caso, siempre lo que tenemos que hacer es hacer la reducción de este sistema quitándonos las 3. Por lo tanto, si yo este lo multiplico por 3, que tengo 3x es igual a 18 más 6x, y si este lo multiplico por 2, pues tengo 2y igual a menos 2 más 6x. 00:10:17
Si yo era recto estas dos ecuaciones, yo tengo 3x menos 2y igual a 20 y veo que las tres se me van. Con lo cual, mi ecuación en implícita, esta es en paramétrica, es correcta, y la implícita es 3x menos 2y menos 20 igual a 0. 00:10:44
Y esta es la ecuación de la mediatriz de AC. ¿Qué ocurre? Que yo lo que necesito es el circuncentro, y el circuncentro es la intersección de las dos mediatrices. 00:11:06
Vamos a recopilar la información. Yo por un lado tenía la mediatriz de AC era 3X menos 2Y menos 20 igual a 0, que es la que he hallado aquí, 3X menos 2Y menos 20. 00:11:31
Y luego tenía la mediatriz de AB, que era x más y menos 5 igual a 0, ¿vale? La mediatriz de AB era x más y menos 5 igual a 0. 00:11:52
Esto al final que es un sistema de ecuaciones lineales, que no solo lo que estamos familiarizados es con 3x menos 2y igual a 20 y x más y igual a 5. 00:12:14
Aquí podemos aplicar los tres métodos, reducción, sustitución o igualación. 00:12:28
Yo voy a aplicar reducción. 00:12:32
Vamos a ver qué coraje hay aquí. 00:12:36
tengo 3x menos 2y igual a 20 y esta la voy a multiplicar por 2 00:12:40
entonces tengo 2x más 2y igual a 10 00:12:48
si yo lo sumo tengo aquí que 5x es igual a 30 00:12:52
¿de dónde? x es igual a 30 quinto que es 6 00:12:57
¿de acuerdo? entonces la coordenada x de mi circuncentro es 6 00:13:03
Vamos a hallar la coordenada Y, pues aquí yo despejo, 6 más Y igual a 5, veo que Y es igual a 5 menos 6, es igual a menos 1. 00:13:09
Entonces, el circuncentro va a tener coordenada 6 menos 1. 00:13:22
Ahora haré otro vídeo donde en GeoGebra vamos a demostrar que efectivamente con las coordenadas de esos tres vértices el circuncentro me coincide con este punto 6-1. 00:13:30
Bueno, vamos a hacer con GeoGebra el ejercicio del circuncentro, recordamos que hay un triángulo con un vértice en 3, 1, otro vértice B que es 4, 2, otro vértice 3 que es 9, menos 3, ¿vale? 00:13:45
Si nosotros aquí quitamos zoom, vemos que tenemos tres puntos, los cuales si yo los uno, tengo el triángulo ABG. 00:14:12
Si yo trazo la mediatriz, vemos que aquí nos lo medía directamente la mediatriz del segmento AB, pues es ese segmento AB que pasa por el punto medir. 00:14:25
Y si yo, por ejemplo, hay un punto D de B6, pues me hace la perpendicular a B6, que pasa por el punto D. 00:14:39
Y si nos fijamos, si nosotros hallamos la intersección de esta mediatriz, que es la mediatriz de AB, con la mediatriz de B6, obtengo un punto 6. 00:14:49
Y aquí lo podemos ver, el punto 6 es precisamente el punto D, perdona, que es el circuncentro, que es la D coordinada 6 menos 1, como en el ejercicio que hemos hecho analíticamente. 00:15:03
Si lo vemos gráficamente, no solo lo hemos resuelto, como lo hemos resuelto, recordamos un poco, yo tengo aquí un vector que tiene segmento AB, es decir, yo hallo AB, hallo un perpendicular a B y hago que pase por el punto medio. 00:15:16
Yo para la mediatriz necesito el punto medio centro a B y un vector normal o perpendicular al vector A. 00:15:35
Por otro lado, para la mediatriz de BC yo necesito primero el punto medio y una vez que tengo ese punto medio puedo hallar el vector BC y hallar uno normal o perpendicular. 00:15:44
Podemos tener las ecuaciones en paramétrica. 00:15:57
de paramétricas, pasamos 00:15:59
de implícita, y en implícita 00:16:00
lo que tenemos es un sistema 00:16:03
de dos ecuaciones con dos incógnitas 00:16:04
y hallamos la x y la y 00:16:07
que en este caso va a ser 00:16:09
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
59
Fecha:
16 de febrero de 2022 - 23:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
16′ 20″
Relación de aspecto:
1.69:1
Resolución:
1220x720 píxeles
Tamaño:
70.84 MBytes

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