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Sesión 22 - Teorema de Tales y Criterios de semejanza de Triángulos - 6 de mayo - Contenido educativo

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Subido el 6 de mayo de 2025 por Hilario S.

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Buenas tardes a todos. Vamos a seguir con las clases de matemáticas. 00:00:02
Vamos a ver el teorema de Tales. Vamos a ver triángulos en posición de Tales. 00:00:07
Y vamos a ver reglas de semejanza de triángulos. 00:00:11
El teorema de Tales lo que nos dice es que cuando tenemos dos rectas secantes, 00:00:15
es decir, esta línea que tenemos aquí y esta línea son secantes porque se cruzan en un punto, en este punto de aquí. 00:00:20
Si estas dos líneas secantes las cortamos por otras dos rectas paralelas, es decir, esta y esta, van a dar lugar a segmentos cuyas longitudes son directamente proporcionales. 00:00:28
¿Qué quiere decir esto? Que si miramos la distancia de A a C y la dividimos entre la distancia de C a E, va a ser proporcional a la distancia de A a B y la distancia de B a D. 00:00:39
Es decir, si nos damos cuenta, siempre estamos dividiendo o manteniendo la proporción de las líneas que estamos dividiendo. 00:00:54
Es decir, este trozo sería proporcional a este y este de acá sería proporcional a este. 00:01:02
Aquí nos pone un ejemplo. 00:01:10
Nos dice, sabiendo que los segmentos de las restas S1, es decir, S1 es esta y S2, 00:01:14
comprendidos por estas paralelas, nos dan aquí las distancias. 00:01:19
Es decir, nos están diciendo que este trozo mide 3, este trozo mide 7, este mide 6 y este no lo sabemos. 00:01:23
Entonces, mediante una proporción podemos calcular lo que mide este trocito de aquí. 00:01:32
Si nos damos cuenta, volvemos a hacer una proporción. 00:01:37
Es decir, este lado entre esto va a ser proporcional a este lado entre esto. 00:01:40
Es decir, el mismo lado en ambos casos, a un lado del igual y al otro del igual arriba, y el mismo lado a un lado del igual y al otro lado del igual debajo de la fracción. Es decir, repetimos, tenemos el igual, es decir, esto entre esto va a ser igual a esto entre esto. 00:01:47
¿Y para qué nos sirve el teorema de Tales? Pues, por ejemplo, vamos a poder calcular distintos segmentos cuando tenemos dos líneas que son secantes. 00:02:06
Vamos a ver la semejanza de triángulos. ¿Cuándo se va a establecer esta semejanza de triángulos? Pues cuando tengamos dos triángulos que son semejantes. 00:02:22
¿Cómo vamos a saber si son semejantes? Pues vamos a tener tres criterios. La primera de ellas va a ser cuando tengan tres lados proporcionales, la segunda de ellas cuando tengamos tres ángulos que sean iguales y el tercer criterio es cuando tengamos dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos iguales. 00:02:35
Vamos a ver esto. Vamos a establecer dos triángulos, que son los que tenemos aquí. 00:02:55
Van a estar comprendidos por los vértices A, B y C, y entre esos vértices van a tener unos segmentos. 00:03:00
El segmento A, que va a estar comprendido de B a C, el segmento B, que va a estar comprendido de A hasta C, 00:03:07
y el segmento C, que va a estar comprendido de A a B. 00:03:14
Vamos a utilizar la misma nomenclatura en este otro triángulo, 00:03:18
Solo que vamos a utilizar el apóstrofe para decir B', A', C', etc. 00:03:22
Lo que vamos a ver es que el segmento A entre el mismo segmento, pero de la otra figura, 00:03:32
si esa proporción, es decir, dividir esta distancia entre esta, nos va a dar un valor. 00:03:39
Si ese valor es el mismo que si dividimos este segmento entre este, estos dos triángulos van a ser proporcionales. 00:03:44
Bueno, no exactamente así. Para que sean proporcionales, los tres valores tienen que dar lo mismo. Me explico. 00:03:54
Este segmento entre este tiene que dar el mismo valor que este entre este y a su vez este entre este. 00:04:01
Es decir, A entre A', B entre B' y C entre C'. 00:04:10
Si los tres valores, ese cociente nos da lo mismo, podemos hablar de dos triángulos que son semejantes. 00:04:15
¿De acuerdo? Esa sería la primera de las reglas. 00:04:24
La segunda regla va a ser que los tres ángulos sean iguales. 00:04:28
Es decir, si nosotros vemos que este ángulo es igual que este, 00:04:32
este mide lo mismo que este y el último ángulo mide exactamente igual que este, 00:04:36
en este caso podemos decir que las dos figuras son semejantes. 00:04:41
Y el último criterio va a ser una mezcla, es decir, si dos triángulos tienen un ángulo igual 00:04:46
y los lados comprendidos entre ese ángulo son iguales, vamos a tener triángulos semejantes. 00:04:52
Si nos damos cuenta, este ángulo mide 30 grados en ambos casos 00:04:59
y si hiciésemos la proporción de este segmento entre este 00:05:04
y nos da lo mismo que la proporción del lado pequeño entre este lado de aquí, 00:05:12
entonces tendríamos dos triángulos semejantes. 00:05:18
Aquí tienes unos ejercicios para practicar 00:05:23
y esto nos va a llevar a triángulos en posición de tales. 00:05:27
Si nos damos cuenta, cuando hemos empezado a explicar tales, hablábamos de dos rectas secantes y hablábamos de dos rectas que van a cortar esas rectas secantes. 00:05:32
Si nosotros miramos el dibujo en conjunto, estamos viendo que se forman dos triángulos, ¿verdad? Uno pequeñito y otro más grande. 00:05:44
Pues serían dos triángulos que están en posición de tales. 00:05:52
Si nos damos cuenta, aquí sucede lo mismo. Tenemos un triángulo, otro triángulo y se genera un tercer triángulo. 00:05:55
Es decir, triángulos en posición de tales. Esto es lo que está sucediendo aquí. Es decir, dos triángulos están en posición de tales cuando son semejantes, es decir, cuando tienen un ángulo en común y los lados son semejantes y también tenemos que los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. 00:06:02
Si nos damos cuenta, el ángulo que tienen en común, tienen este lado que es paralelo a este lado, es decir, dos lados paralelos. En ese caso podemos establecer esta relación, es decir, ¿cuál es la relación? 00:06:26
La relación es que AB, es decir, el lado grande entre ese mismo lado, pero el pequeñito, si al hacer esta proporción nos da B entre C dividido entre B' entre C' y a su vez A entre C dividido entre A, perdón, A entre C', en este caso tenemos dos triángulos que están en posición netales. 00:06:41
Es decir, por resumir, ¿cuándo tenemos dos triángulos en posición de tales? Cuando tienen un ángulo en común, cuando tienen el segmento opuesto a ese ángulo en paralelo y además se dan una mezcla de lo que comentábamos antes de los criterios de semejanza de los triángulos. 00:07:11
Es decir, teníamos tres lados proporcionales, tres ángulos iguales o dos triángulos con dos lados proporcionales y un ángulo exactamente igual. 00:07:29
En ese caso tenemos triángulos en posición de tales. 00:07:41
En ese caso, ¿qué es lo que vamos a poder hacer? 00:07:46
Vamos a poder calcular segmentos para los que no nos den valor. 00:07:48
Por ejemplo, vamos a hacer un ejercicio que se vea bien. 00:07:51
Vamos a hacer este ejercicio. 00:08:06
Vamos a utilizar el título. 00:08:08
En este ejercicio lo que vamos a hacer es trabajar con triángulos en posición de tales. 00:08:32
Para ello el ejercicio nos dice que en un momento del día la sombra de un edificio es de 25 metros. 00:08:41
Es decir, la sombra la podríamos pintar como algo así y decir que esto mide 25 metros. 00:09:00
Aquí tenemos un edificio, pero este edificio no sabemos lo que mide. 00:09:07
Pero sí que sabiendo que proyecta una sombra podemos definir un triángulo. 00:09:11
Pero con esa información no podemos calcular la altura, nos falta algo. 00:09:17
Al mismo tiempo nos dice que en ese mismo momento y lugar, la sombra de un poste, y ahora sí que nos está diciendo que mide 12 metros, 00:09:21
la sombra de un poste de 12 metros de altura es de 8 metros, es decir, nos está diciendo que la sombra es de 8 metros. 00:09:29
Es decir, nos está diciendo que tenemos un poste de 12 metros. Esto no está muy bien pintado, pero bueno, vamos a pintarlo yo, porque si no, ahorrar todo esto. 00:09:41
Nos está diciendo que tenemos un edificio y que proyecta una sombra de 25 metros, que sería algo así. 00:10:00
Y al mismo tiempo nos está diciendo que tenemos un poste de 12 metros, esto, y que está proyectando una sombra de 8 metros, algo así. 00:10:07
Si miramos las dos figuras, ¿qué es lo que tenemos? Tenemos dos triángulos en posición de tales, ¿verdad? Tenemos algo así. Aquí tenemos que este lado mide 25, este lado de aquí, el pequeñito, este, mide 12, el grande, no lo sabemos, es X, y este lado chiquitito mide 8. 00:10:16
Es decir, tenemos dos triángulos en posición de tales, con estos dos lados paralelos, un mismo ángulo igual para los dos triángulos, ¿vale? Y nos piden que calculemos esto de aquí. ¿Cómo lo vamos a hacer? Pues vamos a hacer proporciones entre lados que sean parecidos. 00:10:42
Es decir, si nosotros miramos este lado de aquí y lo dividimos del mismo lado, pero la versión grande, es decir, este sería el lado pequeñito de este triángulo, vamos a coger el lado grandote, que es todo esto del triángulo grande, que sería X, va a ser igual a este lado chiquitito y el mismo lado proporcional, pero en grande. 00:11:00
¿Vale? Si nosotros hacemos esto y ahora despejamos, 12 por 25 va a ser igual a 8 por X. 12 por 25 nos da, vamos a coger una calculadora, son 10, 300, perfecto, 300 va a ser igual a 8X. 00:11:27
¿Qué nos queda? Lo voy a llevar aquí arriba para verlo. Despejar es a 8x, es decir, x es igual a 300 entre 8 y nos da 37,5. Por lo tanto, esos 37,5, ¿qué es? El valor de esta x, es decir, lo que mide la altura del edificio. Por lo tanto, la altura del edificio son 37,5 metros. 00:11:55
¿Vale? Y esto es todo, esto es todo lo que tiene que ver con Tales. Echarle un vistazo y, bueno, si tenéis cualquier duda, me escribís, ir apurando porque se acaban los días, llega el examen, ir entregando las actividades y nos vemos el jueves en Ciencias. Que vaya todo bien, un saludo, chao, chao. 00:12:17
Materias:
Matemáticas
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    • Niveles para la obtención del título de E.S.O.
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Autor/es:
Hilario Sánchez
Subido por:
Hilario S.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
1
Fecha:
6 de mayo de 2025 - 18:08
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB RAMON Y CAJAL
Duración:
12′ 38″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
960x720 píxeles
Tamaño:
21.94 MBytes

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