1.- Puntos alineados | Mediateca de EducaMadrid

ya el tema 8 y vamos a ir un poco a lo más importante del tema y muchas cosas ya las 00:00:00

sabéis del año pasado o incluso las hemos visto al ver la unidad anterior. Lo primero 00:00:07

que vamos a ver al comenzar la unidad 8 es repasar qué son las coordenadas de un vector, 00:00:12

ver cuál es la condición o cómo sabemos si tres puntos del plano están alineados, 00:00:21

luego vamos a ver cómo calcular el punto medio de un segmento 00:00:27

y el simétrico de un punto respecto de otro 00:00:30

todo esto ya lo hemos hecho el año pasado 00:00:32

a partir de ahora 00:00:33

siempre vamos a trabajar 00:00:35

con bases ortonormales 00:00:38

en las que 00:00:40

los vectores que las componen 00:00:41

tienen módulo 1 y son perpendiculares 00:00:45

así que ya olvidaros de las bases 00:00:47

porque siempre van a ser ortonormales 00:00:48

cuando nosotros estamos trabajando en un espacio vectorial 00:00:50

todos los vectores están referenciados 00:00:53

respecto de una base 00:00:55

pero en general hablamos de que tenemos un determinado sistema de referencia, un sistema de referencia está compuesto por un punto que es el origen y por la base, 00:00:57

por la correspondiente base del espacio vectorial, en este caso como es de dimensión 2, pues la base va a tener dos elementos, este es nuestro sistema de referencia R, 00:01:06

¿Vale? Un punto, el origen de, pues como siempre, unos ejes coordenados, aquí van a estar nuestro origen y aquí van a estar nuestros dos vectorcitos ortonormales, ¿vale? 00:01:16

Perpendiculares uno al otro y de módulo 1. ¿Vale? Bueno, es un poco por centrarnos. 00:01:28

A continuación lo que vamos a ver es qué quiere decir vector de posición, porque os lo vais a encontrar quizá muchas veces en este tema y el año que viene también hablaréis de él. 00:01:34

Un vector de posición, o decimos que cualquier punto, que a cualquier punto del plano le corresponde un vector, ¿vale? 00:01:44

Si yo estoy en este sistema de referencia, con el origen en el 0, 0, considero este punto P, que tiene por coordenadas 2, 4, imaginaos, ¿vale? 00:01:52

Este es el punto 2, 4. Este punto del plano automáticamente se corresponde con un vector de dirección, que es este, ¿vale? 00:02:02

El 0, acordaos que este es el origen del sistema de referencia 00:02:11

El 0 o el OP, ¿vale? 00:02:15

El OP, vamos a hablar de punto 00:02:18

Entonces el punto, ¿vale? El OP 00:02:21

Cualquier punto tiene asociado un vector de posición 00:02:23

Que tiene por coordenadas, por las del punto, ¿vale? 00:02:27

Porque ya sabéis que las coordenadas se obtienen como extremo menos origen 00:02:30

Pero claro, sería 2, 4, menos 0, 0 00:02:34

Luego las coordenadas del vector coinciden con las coordenadas del punto 00:02:37

pero esto es un vector y esto es un punto, que no tiene nada que ver, son elementos diferentes. 00:02:40

Bueno, pues, ¿qué tenemos que comprobar? Si queremos ver si tres puntos están o no alineados. 00:02:46

Si nos dan el punto A, 2, 3, el punto B, menos 1, 5, y el punto C, 3, 7, y queremos ver si están alineados, 00:02:53

Pues lógicamente, si yo tengo aquí, a ver si lo representamos, pues no hay duda, ¿no? 00:03:04

Si yo represento aquí el 2, 3, el menos 1, 5 y el 3, 7, pues claramente se ve que no están alineados 00:03:08

Pero ¿qué es lo que voy a hacer yo si lo quiero demostrar, digamos, analíticamente? 00:03:24

Pues voy a calcular, por ejemplo, el vector AB, perdón, este es el 3 y este es el C, ¿vale? 00:03:31

Voy a calcular el vector AC, por ejemplo, voy a calcular el vector AB y si no tienen la misma dirección, es decir, si no son proporcionales, pues es que los puntos no están alineados. 00:03:40

En lugar de calcular el AC y el AB, pues también podría calcular el AB y el BC, ¿vale? Podría calcular directamente AB y BC. 00:03:51

Si no son proporcionales, si esos dos vectores no son proporcionales, quiere decir que no tienen la misma dirección, luego los puntos no están alineados. 00:04:02

Bueno, pues la opción que más rabia me dé 00:04:10

Por ejemplo, voy a suponer esta última, la que he pintado de rojo 00:04:13

Voy a calcular AB, las coordenadas de AB siempre son extremo menos origen 00:04:17

Menos 1, menos 2, menos 3 00:04:21

5, menos 3, 2 00:04:24

Y luego, hemos dicho que voy a calcular el BC 00:04:26

El BC es extremo menos origen 00:04:32

3, menos menos 1, 4 00:04:34

vale, 3 menos menos 1, 4 y 7 menos 5, 2, bueno pues efectivamente ab no es proporcional abc, luego los puntos no están alineados, si nos saliera que son proporcionales, pues si nos saliera por ejemplo el 2, 4 y el menos 4 menos 8, pues entonces sí, este es proporcional a este porque yo puedo escribir menos 4 con menos 8 como menos 2 por 2, 4 y sí, sí que serían proporcionales, vale, esto es para comprobar si tres puntos están alineados. 00:04:37

alineados. 00:05:07