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Global de Análisis Modelo B - Ejercicio 5 - Contenido educativo
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Global de Análisis Modelo B - Ejercicio 5
Bueno, vamos por fin con el último ejercicio del examen, el ejercicio 5, que era un integral.
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Era un ejercicio en el que había que calcular el área definida por dos funciones.
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Una cúbica, f de x igual a x cubo, y una parábola, g de x igual a 2x cuadrado menos x.
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Bueno, ahí tenemos las dos funciones y lo que nos piden en primer lugar es determinar los puntos de intersección.
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Tenemos dos puntos de intersección, va a haber por lo que parece a y b.
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Después tenemos que demostrar que la función f está por encima de la función g
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Y luego tenemos que calcular razonadamente el área entre las dos funciones
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Venga, vamos allá
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Para ello en el apartado a lo que deberemos hacer será igualar f de x a g de x
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Para saber cuando los valores de las funciones son iguales
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De ahí nos sale esta ecuación
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Y esa ecuación la resolvemos despejando
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Y como podemos sacar factor común aquí a la x
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Ups, ya iba a poner factorizado, veréis que eso nos va a dar una identidad notable
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Yo ya iba directamente a ponerla factorizada
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Vamos a ponerla paso a paso
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X por X cuadrado menos 2X más 1
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Y aquí había una X, ¿verdad?
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Igual a 0
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Y entonces de ahí tenemos dos posibles soluciones
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x igual a 0 o x cuadrado menos 2x más 1 igual a 0
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y esta última ecuación, como decía, es una identidad notable
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porque eso es x menos 1 al cuadrado igual a 0
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de donde la otra solución no hay más que otra
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x igual a 0 y x igual a 1 son las soluciones
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eso que implica, lo que implica es que las funciones
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se van a cortar en dos puntos, en el x, en la altura x
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y en la altura 1, x igual a 0 quiero decir y x igual a 1
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Vamos a calcular los puntos de corte, para ellos como que hiciésemos una tabla de valores para la función g y la función f
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que bueno, pues evidentemente van a valer lo mismo porque para eso son puntos de corte en el 0 y en el 1
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Si damos el valor a la función f, recordemos que la función f es x cubo, la función en el 0 vale 0 igual que la g
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y la función en el 1 igual que la g vale 1
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Bien, entonces tenemos dos puntos, por tanto, el punto 0, 0 y el punto 1, 1
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Los dibujamos, están como tal que ahí, ese sería mi punto A y ese es el punto B que nos están pidiendo
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Ya tenemos el apartado A
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Ahora en el apartado B nos piden que la función f de x sea mayor o igual que g de x
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Bueno, pues, ¿cómo lo podemos probar?
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Primero, nos damos cuenta de que solo hay dos puntos de corte entre las dos funciones
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Y como son continuas, podemos buscar cuánto vale la función en el 1 medio, tanto la f como la g.
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Es decir, podemos evaluar la función en el 1 medio.
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La función en el 1 medio, si la evaluamos, es 1 medio al cubo.
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Vamos a hacerlo aquí por separado para ponerlo en orden.
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Si calculamos f de x en el 1 medio, tendríamos que eso vale 1 medio al cubo, es decir, 1 octavo.
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Vamos a ver, vamos a ver, 1 octavo.
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Vamos a ver cuánto vale la función g. Recuerda que la función g era 2x cuadrado menos x.
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Entonces, pues sustituimos por el 1 medio, 2 por 1 medio al cuadrado menos x, menos 1 medio,
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valdrá 2 por 1 cuarto menos 1 medio es 0.
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¿La función vale 0? Sí, la función vale 0.
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Bueno, esta es una parábola que, bueno, pues que pasa por aquí, vamos a dibujarla.
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Entonces, pasa por ahí, menos b, efectivamente está bien, estaba comprobando dónde quedaba el vértice, va a pasar por ahí y por ahí y luego va a ir hacia acá.
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Y luego la cúbica, pues la función cúbica va a hacer algo tal que así, vamos a dibujarla de otro color, algo así.
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Bueno, pues entonces el área que tenemos que calcular es lo que queda en medio
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Vamos allá, entonces vamos a comprobar de todas formas
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Hay algo que no me encaja del todo, si esto sería un octavo
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Aquí este es el valor de un octavo, más o menos
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Eso es
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Entonces tenemos que calcular esa área
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Eso es el apartado C
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Como la cúbica está por encima, para calcular el área entre la función f y la función g
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Lo que vamos a tener que integrar es la función f de x menos g de x
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Esa función va a ser positiva porque f es mayor que g en el intervalo
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¿En qué intervalo? Pues de 0 a 1, que es donde se cortan las dos funciones
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Y ese es el área que tenemos que calcular, nos va a quedar así
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f va a ser mayor que g, por lo tanto esta resta es positiva
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y como se cortan para los valores de x igual a 0 y x igual a 1, pues ese es el área.
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Entonces vamos a sustituir los valores, calculamos la integral y se acaba.
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Entre 0 y 1 de x cubo menos 2x cuadrado menos x, esa es la g, ¿verdad?
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Diferencial de x.
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Calculemos.
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Y ahora es integral. Primero vamos a integrar y luego sustituir por los valores 0 y 1.
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La integral de x cubo es x cuarto partido por 4, la integral de menos 2x cuadrado será menos 2x cubo partido por 3 y la integral de x, x cuadrado partido por 2.
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Sustituyendo en el 0 y en el 1 obtendremos por la regla de Barrow, ahora lo que vamos a hacer es aplicar Barrow, para ello tendremos f mayúscula es esta, la primitiva,
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y pues f de 1 menos f de 0
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y eso es un cuarto menos dos tercios más un medio
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y eso es, si no me equivoco, pues tres cuartos menos dos tercios
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va a dar poquito, ¿verdad?
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3 por 3 es 9, 9 partido por 12
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menos 4 por 2 es 8, 8 partido por 12
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total 1 partido por 12 unidades cuadradas
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Esa es el valor de la integral y con eso se acaba el ejercicio y el examen entero.
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Espero que os haya resultado útil y nos vemos en los próximos ejercicios, en el próximo examen, si seguimos creciendo exámenes.
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Hasta luego.
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- Autor/es:
- Manuel Domínguez
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 8
- Fecha:
- 19 de enero de 2021 - 0:09
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 07′ 10″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 27.85 MBytes
