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Cálculo determinantes orden n - Contenido educativo

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Subido el 5 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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En este vídeo vamos a definir cómo calcular determinantes de orden n. 00:00:02
En el vídeo anterior vimos cómo calculábamos determinantes de orden 2 y de orden 3. 00:00:08
Ahora vamos a generalizar para calcular determinantes de cualquier orden. 00:00:13
Lo primero de todo recordaremos el concepto de menor complementario. 00:00:17
Añadiremos un nuevo concepto que es el concepto de adjunto. 00:00:22
Y ya por fin podremos pasar a la definición general de determinante de orden n. 00:00:25
Pues bien, partimos de una matriz de orden n. Recordad que el trabajar con determinantes solo tiene sentido si estamos trabajando con matrices cuadradas. 00:00:30
Se definía el menor complementario de alfa sub i, que denotábamos con alfa sub j, de cualquier elemento a sub i, j de la matriz, 00:00:41
como el determinante que se obtiene al suprimir todos los elementos de la fila i y de la columna j. 00:00:50
fijaos que el menor complementario será un determinante de orden un grado menos que la matriz de partida 00:00:57
recordad que por ejemplo cuando teníamos una matriz de orden 3 00:01:06
el menor complementario de cada uno de los elementos era un determinante de orden 2 00:01:12
siempre bajamos un grado 00:01:16
se denomina adjunto del elemento a sub j de la matriz 00:01:18
al menor complementario alfa y j precedido de un signo positivo o un signo negativo, según la posición que ocupa en la matriz. 00:01:24
¿Y cómo podemos decir si es positivo o negativo? 00:01:36
Como ya vimos en el ejemplo de matrices de orden 3, decíamos que al menor complementario le precedíamos con un signo positivo 00:01:40
si la suma del lugar de la fila y la columna que ocupa nos daba un número par positivo 00:01:49
y si me daba un número impar negativo. 00:01:56
Recordad ese esquema de signos alternos que teníamos más, menos, más, menos, más, menos, más, etc. 00:01:59
y que eran los signos que iban a preceder al menor complementario dentro de la definición determinante de la matriz. 00:02:09
Pues bien, repito, se denomina adjunto del elemento a sub ij al menor complementario alfa ij precedido de un signo positivo o negativo según sea por impar la suma de la fila y la columna. 00:02:18
Se representa con a sub ij, en este caso la A en mayúscula, y se obtiene calculando a sub ij es el producto de una potencia de base menos 1 con exponente la suma de la fila y columna que ocupa por el menor complementario asocial que te está asociado, por el menor complementario alfa sub ij. 00:02:32
A partir de ese concepto podemos definir el determinante de una matriz cuadrada como la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados por sus respectivos adjuntos. 00:02:52
Por ejemplo, el determinante de esta matriz 3x3 yo lo puedo definir si lo desarrollo por la segunda columna como la suma de los productos de cada uno de sus elementos por su adjunto. 00:03:06
Sería el primer elemento de esta segunda columna por su adjunto, el A12, el segundo elemento de la segunda columna por su adjunto, el A22 y el tercer elemento de la segunda columna por su adjunto. 00:03:21
Fijaos aquí, es todo suma, no he hablado de suma alternada. ¿Por qué? Porque el signo me lo va a decir el adjunto. El signo me lo va a decir el adjunto. El adjunto, recordamos que acabamos de definir que es el producto del menor complementario precedido por un signo positivo o negativo. 00:03:34
En este caso, por ejemplo, ¿qué signo llevaría precedido ese menor complementario? Pues si nos fijamos, la suma de la fila y la columna en lugar que ocupa este elemento es 3, número impar. 00:04:00
Pues este menor complementario de este adjunto tendría y habría precedido un signo negativo. Acordaos, más, menos. Perfecto, ¿no? 00:04:10
Y por supuesto, da igual la fila o la columna por las que desarrollemos el determinante porque siempre el resultado va a ser el mismo. 00:04:20
Entonces, en general, el determinante de una matriz cuadrada de orden n lo vamos a definir para cualquier fila, pues como la suma del producto de los elementos de esa fila por sus adjuntos. 00:04:30
Los elementos de la fila I son de la forma AI1, AI2, AI3, puntos suspensivos, AIN 00:04:43
Los elementos de la fila J, si lo desarrollo por la columna J, pues los elementos de la columna J son el A1J, el A2J, A3J, etc. 00:04:52
Por tanto, el determinante, si lo desarrollamos por la columna J, sería la suma de los productos de cada uno de sus elementos por sus adjuntos 00:05:04
el primer elemento de la columna J 00:05:13
por su adjunto, el segundo elemento de la columna J 00:05:15
por su adjunto, el tercer elemento de la columna J 00:05:17
por su adjunto, etc. 00:05:19
Aquí, si lo desarrollamos por la fila I 00:05:21
el primer elemento de la fila I 00:05:24
por su adjunto, el segundo elemento de la fila I 00:05:25
por su adjunto, el tercer elemento de la fila I 00:05:28
por su adjunto, etc. 00:05:29
Y la fila I, si la matriz es de orden N 00:05:32
la I puede variar 00:05:34
o sea, puedes coger cualquier fila 00:05:36
desde la 1 hasta la N 00:05:37
o puedes coger cualquier columna, es decir, la J 00:05:39
va a variar desde la 1 hasta la n. Veamos un ejemplo. Vamos a calcular este determinante 00:05:41
de la matriz de orden 4 desarrollándolas por una fila o una columna. Antes de ponerme 00:05:47
a desarrollar y elegir lanzar cualquier fila o cualquier columna podemos observar que por 00:05:53
ejemplo esta columna, la columna 3, está formada por dos ceros. Como el determinante 00:05:58
lo hemos definido como el producto de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos, 00:06:05
si tengo elementos que son cero, ese sumando va a desaparecer, con lo cual el cálculo 00:06:12
del determinante se va a ver reducido. Es decir, no cuesta nada antes de ponerse a desarrollar 00:06:18
el determinante, echar un pequeño vistazo a cómo son los elementos del determinante 00:06:23
y escoger la fila o columna que tenga mayor número de ceros, porque hará que ese cálculo 00:06:28
sea más corto, más reducido. 00:06:34
Entonces, en este caso, la columna que tiene mayor número de ceros es la tercera. 00:06:37
Luego voy a desarrollar por la tercera columna. 00:06:42
Pues bien, desarrollamos por la tercera columna y lo que haremos será multiplicar 00:06:46
cada uno de los elementos de esa columna por su adjunto. 00:06:50
Multiplicar por cero es cero, de sumando no lo ponemos. 00:06:55
Siguiente elemento, el 2. 00:06:58
Luego multiplicaríamos el 2 por su adjunto y su adjunto se obtiene como multiplicando una potencia de base menos 1 elevada a la suma del número de fila y número de columna que ocupa. 00:07:00
está en la fila 2, columna 3, pues elevada a 2 más 3. 00:07:17
Y por el menor complementario, que el menor complementario recordamos que era el determinante 00:07:23
que resultaba de suprimir todos los elementos de la fila 2 y todos los elementos de la fila 3. 00:07:28
Luego el determinante 1, 1, 3, menos 1, 2, 2, 1, 0, 1. 00:07:35
Siguiente elemento de la tercera columna, el 6, luego más 6 por la potencia de base menos 1 elevada a la suma del índice que representa la fila que ocupa y su columna. 00:07:44
Este elemento del 6 está en la fila 4, columna 3, pues elevado a 4 más 3 por su menor complementario, que es el determinante que resultaba de suprimir todos los elementos de la fila 4 y todos los elementos de la fila 3. 00:07:59
Luego el 1, 1, 3, 0, menos 1, 1, menos 1, 2, 2. 00:08:12
Ahora simplemente se trata de realizar estas operaciones. 00:08:21
2 por menos 1 elevado a exponente impar, pues menos 2, colocamos el menos 2 por, y ahora recordamos la regla de Sarrus para calcular este determinante. 00:08:25
Regla de Sarrus 00:08:35
que están en la diagonal secundaria 1 por 2 y por 3, menos el producto de los elementos que están en la paralela diagonal secundaria 00:09:05
con su vértice opuesto 0 por 2 y por 1, 0, y menos el producto de los elementos que están en la otra línea paralela a la diagonal secundaria, 00:09:13
menos 1 por 1 y por 1, menos 1, menos 1. 00:09:22
Ahora, trabajamos el segundo sumando. 6 por menos 1 elevado a una potencia, o sea, menos 1 elevado a exponente impar, menos 1, pues 6 por menos 1, menos 6, de ahí que pongamos este menos 6. 00:09:25
Y ahora calculando este determinante por la regla de Sarrus, 1 por menos 1 por 2 menos 2, más 1 por 1 y por menos 1 menos 1, más 0 por 2 y por 3, 0, menos, menos 1 por menos 1 y por 3, menos 3, menos 0 por 1 y por 2, 0, y menos 2 por 1 y por 1, 2, menos 2. 00:09:41
Realizamos las operaciones dentro del paréntesis, menos 2 por 2 más 2, 4, menos 6 menos 2 más 1 menos 1 y menos 6 por menos 2 menos 1 menos 3, menos 3 menos 6 y menos 2 menos 8. 00:10:11
Jerarquía de operaciones, primero hacemos las multiplicaciones, menos 2 por menos 1, 2 y menos 6 por menos 8 más 48 en el determinante 50. 00:10:28
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
65
Fecha:
5 de octubre de 2020 - 19:05
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
10′ 40″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
93.59 MBytes

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