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28_distancias 2.2 d(P,plano) - Contenido educativo

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Subido el 28 de agosto de 2023 por Jaime G.

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Hola, en este vídeo vamos a deducir un par de fórmulas para calcular la 00:00:00
distancia de un punto P a un plano. Esta distancia viene definida como la 00:00:05
longitud del segmento que une P con su proyección QP sobre el plano y que 00:00:10
sería este segmento que estamos representando aquí. 00:00:17
Sin embargo, para poder hallar esta distancia sin tener que hallar primero el 00:00:20
punto proyección partiremos de un punto cualquiera del plano, que es 00:00:25
fácil de hallar a partir de su ecuación, y formaremos el vector que le une con el 00:00:30
punto P cuya distancia al plano queremos calcular. En este caso estaríamos 00:00:36
hablando de este vector. La longitud de este vector variará en función del 00:00:41
punto P y en sí misma es más grande que la distancia punto plano, salvo que 00:00:47
tengamos la suerte tremenda de que nuestro punto elegido al azar coincida con la proyección. 00:00:54
Para no tener que preocuparnos por esto podemos observar lo siguiente. 00:00:58
Este vector que une el punto genérico P sub P con el punto P 00:01:03
puede proyectarse sobre la dirección ortogonal haciendo uso del vector 00:01:10
normal del plano. 00:01:15
La distancia de hecho coincide con esa proyección por el simple hecho 00:01:18
de que es un cateto de este triángulo que observamos aquí. 00:01:26
Bien, el resto es utilizar fórmulas ya conocidas. Sabemos que la proyección de 00:01:33
un vector sobre otro puede calcularse como el producto escalar de ambos 00:01:40
vectores partido por el módulo del vector sobre el que se proyecta. El valor 00:01:44
absoluto que aparece en el numerador de esta fórmula se debe a que el vector 00:01:51
normal podría apuntar hacia abajo en este dibujo, es decir, en la dirección 00:01:55
contraria y entonces obtendríamos un valor negativo correspondiente a la 00:02:00
proyección en sentido contrario. Con este valor absoluto ese problema queda 00:02:08
resuelto. 00:02:11
Bien, desarrollemos ahora recordando que el plano pues tendrá una ecuación 00:02:13
general de este tipo. El punto P tendrá unas coordenadas P sub X, P sub Y, P sub Z 00:02:21
y el punto genérico y variable sobre el plano tendrá las coordenadas X y Z. 00:02:26
Sustituyendo entonces en la ecuación anterior, pues tenemos este vector de 00:02:34
aquí. 00:02:43
Perdón, miremos el producto escalar que daría desarrollo de esta manera. El vector que une P sub Y con P 00:02:46
sería esa resta de coordenadas de puntos y el vector normal viene dado por los 00:02:51
coeficientes de las variables en la ecuación del plano. 00:02:56
Si ahora realizamos el producto escalar, obtendremos lo siguiente, 00:03:00
donde ya se han agrupado las cantidades negativas que salían. Puesto que el 00:03:08
punto P sub Y de coordenadas X y Z pertenece al plano, entonces ese 00:03:13
producto entre paréntesis AX más BI más CZ, según se deduce de la ecuación 00:03:19
del plano, tiene que ser exactamente igual a D. 00:03:24
Y por tanto todo ese paréntesis puede quedar sustituido por el coeficiente D. 00:03:28
Y esta es precisamente la ecuación, perdón, la fórmula de distancia de un 00:03:33
punto a un plano que utilizaremos en la práctica. 00:03:40
Idioma/s:
es
Autor/es:
Guerrero López, Jaime
Subido por:
Jaime G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
28 de agosto de 2023 - 9:34
Visibilidad:
Público
Centro:
CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
Duración:
03′ 44″
Relación de aspecto:
1.18:1
Resolución:
852x720 píxeles
Tamaño:
5.84 MBytes

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