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PR3. 1. Ejercicio 2 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 3 de febrero de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad PR3 dedicada a las variables aleatorias discretas y la distribución binomial. 00:00:22
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 2. 00:00:28
En este ejercicio 2 se nos pide que consideremos una urna que contiene 4 bolas rojas y 6 bolas 00:00:47
blancas, de las cuales se van a ir extrayendo tres sin reemplazamiento. Sin reemplazamiento 00:00:52
quiere decir que cada vez que extraigamos una no vuelve otra vez dentro de la urna, 00:00:58
así que la composición tras cada extracción va a ser distinta. Por ejemplo, al principio 00:01:03
tendremos 10 bolas, cuando hayamos extraído la primera tendremos 9 y cuando hayamos extraído 00:01:08
la segunda y vayamos a extraer la tercera tendremos únicamente 8. Se nos pide que describamos 00:01:13
el espacio muestral del experimento aleatorio y que determinemos la imagen de la variable 00:01:18
aleatoria x mayúscula que representa el número de bolas rojas extraídas. Para ello lo que vamos 00:01:23
a hacer es construir un árbol con las tres extracciones. Vamos a representar r al suceso 00:01:31
se extrae una bola roja y b se extrae una bola blanca. Vamos a anotar asimismo, igual que hacíamos 00:01:36
en las unidades anteriores, las probabilidades en cada rama, de tal forma que tendremos el árbol, 00:01:43
en cada nodo la probabilidad que corresponda y finalmente pondremos las hojas y la probabilidad 00:01:49
final en cada hoja. Dado el espacio que tengo en la pantalla voy a tener que dividirlo en varias 00:01:54
partes y lo primero que vamos a hacer es considerar el primer nivel del árbol. Aquí tenemos el nodo 00:01:59
raíz, que está vacío, y una primera ramificación, donde, bueno, pues si tenemos bolas rojas y bolas 00:02:04
blancas al extraer la primera puede que sea roja, puede que sea blanca. Con probabilidades que se 00:02:11
calculan con la ley de Laplace, cuatro décimos en el caso de las bolas rojas, puesto que cuatro 00:02:17
bolas rojas de un total de 10, seis décimos en el caso de las bolas blancas, puesto que hay seis 00:02:21
bolas blancas de un total de 10. Y fijaos, como indicaba medio clases anteriores, la suma de estas 00:02:26
dos probabilidades da 1, puesto que o bien es roja o bien es blanca. Vamos a continuar el árbol a 00:02:31
partir del nivel en el cual la extracción de la primera bola es roja. Vamos a hacer 00:02:38
la segunda y tercera extracciones. Partimos, como digo, de la primera bola extraída es 00:02:44
roja y cuando vamos a extraer la segunda, o bien es roja o bien es blanca. Nos preguntamos 00:02:51
cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera también 00:02:57
lo fue. Y nos preguntamos cuál es la probabilidad de que la segunda bola fuera blanca sabiendo 00:03:00
que la primera fue roja. En este caso los denominadores, casos posibles en la ley de 00:03:06
Laplace, son nueve, puesto que hemos extraído una bola nos quedan sólo nueve, de las cuales 00:03:11
tres son rojas, por eso aquí tenemos tres en número de casos favorables, y seis son 00:03:16
blancas, por eso tenemos aquí seis. Tres novenos más seis novenos es igual a uno. 00:03:22
Cuando la primera bola extraída fue roja y la segunda también, a la hora de extraer 00:03:27
la tercera nos podemos encontrar con que sea roja o sea blanca. La probabilidad de que la tercera bola 00:03:32
sea roja, sabiendo que la primera lo fue y la segunda también, es dos octavos. Nos quedan dos 00:03:38
bolas rojas de un total de ocho. La probabilidad de que la tercera bola extraída sea blanca, sabiendo 00:03:43
que la primera fue roja y la segunda también, es seis octavos, puesto que nos quedan seis bolas 00:03:50
blancas de un total de ocho bolas. Fijaos que está sumada una. Vamos a esta otra ramificación. La 00:03:55
primera extracción nos dio una bola roja, la segunda extracción nos dio una bola 00:04:02
blanca y ahora para la tercera o bien es roja o bien es blanca. La probabilidad de 00:04:05
que la tercera bola sea roja, sabiendo que la primera fue roja y la segunda fue 00:04:10
blanca, es tres octavos, puesto que nos quedan tres bolas rojas de un total de 00:04:14
ocho. La probabilidad de que la tercera bola sea blanca, sabiendo que la primera 00:04:18
fue roja y la segunda fue blanca, es cinco octavos, puesto que nos quedan cinco 00:04:22
bolas blancas de un total de ocho bolas. Antes de continuar la discusión de 00:04:26
A partir del caso blanca del primer nivel, aquí ya tenemos cuatro hojas y cuatro probabilidades que podemos escribir, 00:04:31
teniendo en cuenta el principio de la multiplicación en los diagramas de árbol, lo que era la probabilidad compuesta. 00:04:38
Aquí tenemos la hoja, la primera bola fue roja y la segunda fue roja y la tercera también. 00:04:45
La probabilidad de este suceso, tenemos tres bolas rojas, es cuatro décimos por tres novenos por dos octavos. 00:04:50
Aquí tenemos el resultado final. 00:04:56
Aquí tenemos la hoja que corresponde con la primera bola extraída fue roja, la segunda también fue roja y la tercera fue blanca. 00:04:58
Roja y roja y blanca. 00:05:06
La probabilidad de esta hoja se calcula multiplicando 4 décimos por 3 novenos por 6 octavos. 00:05:07
Aquí tenemos el resultado final. 00:05:13
A partir de este caso, la primera bola extraída fue roja. 00:05:16
Tenemos, aparte de las dos hojas que acabo de comentar, primera roja, segunda blanca y tercera roja con esta probabilidad. 00:05:19
probabilidad, primera roja, segunda blanca y tercera también blanca con esta otra probabilidad. 00:05:25
Tenemos que continuar el árbol a partir de esta primera ramificación en donde en la primera bola 00:05:32
obtenemos una de color blanco. Aquí tenemos el resto del diagrama que se construye de una forma 00:05:38
análoga a como he comentado el caso a partir de una bola roja. Una vez que he extraído una primera 00:05:44
bola ya es blanca, la segunda puede ser roja o bien blanca y en cualquiera de estos casos la 00:05:51
tercera bola extraída puede ser roja o puede ser blanca. Podéis comprobar como aquí tenemos las 00:05:56
correspondientes probabilidades aplicando la ley de Laplace y aplicando el principio de multiplicación 00:06:02
aquí tenemos las probabilidades de las cuatro hojas restantes que serían la primera bola fue 00:06:06
blanca, la segunda y la tercera fueron rojas, la primera bola fue blanca, la segunda roja, la tercera 00:06:12
blanca, la primera y la segunda bolas fueron blancas y la tercera fue roja, la primera, la segunda y la 00:06:18
tercera todas las bolas son blancas. Aquí tenemos en estos cuatro y estos otros cuatro, un total de 00:06:24
ocho casos, los sucesos del espacio muestral. ¿Qué se nos pedía? Describe el espacio muestral del 00:06:31
experimento aleatorio. Ahora se nos pide además que determinemos la imagen de la variable aleatoria. 00:06:38
La variable aleatoria lo que hace es contar el número de bolas rojas extraídas. 00:06:43
Cuando tenemos el suceso primera bola roja y segunda bola roja y tercera bola roja, 00:06:49
la variable aleatoria que cuenta el número de bolas rojas nos va a decir 3, puesto que aquí hay 3 bolas rojas. 00:06:54
Cuando tenemos el suceso primera bola roja y segunda bola roja y tercera bola blanca, 00:07:00
la variable aleatoria nos va a devolver el valor 2, puesto que aquí tenemos solo 2 bolas rojas. 00:07:06
aquí que tenemos primera roja, segunda blanca y tercera roja 00:07:11
la variable aleatoria va a devolver 2 00:07:15
aquí que tenemos primera roja, segunda blanca y tercera blanca 00:07:17
la variable aleatoria va a devolver 1 00:07:22
hay una única bola roja 00:07:24
aquí que tenemos primera bola blanca, segunda y tercera rojas 00:07:25
nos va a devolver 2 00:07:31
aquí que tenemos primera bola blanca, segunda roja y tercera blanca 00:07:32
nos va a devolver 1 00:07:36
aquí que tenemos las dos primeras bolas blancas y la tercera roja 00:07:37
Nos va a devolver 1. Y aquí que tenemos que las tres bolas son blancas, primera blanca y segunda blanca y tercera blanca, la variable aleatoria nos va a devolver 0. 00:07:41
Así pues, la imagen de la variable aleatoria está formada por los valores 0, 1, 2 y 3. Un total de cuatro elementos posibles en la imagen de esta variable aleatoria. 00:07:51
Por eso, esta variable aleatoria es discreta. Hay un conjunto finito, podría haber sido infinito o numerable, pero en este caso hay un conjunto finito de valores posibles que devuelve la variable aleatoria. 00:08:02
Fijaos que a la variable aleatoria x yo le doy como entrada un suceso del espacio muestral, cualquiera de todos estos, y ella me va a devolver un número, en este caso un número natural, el resultado de contar, porque me lo han dicho, es el enunciado, el número de bolas rojas. 00:08:13
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios 00:08:28
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web 00:08:37
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual 00:08:41
Un saludo y hasta pronto 00:08:47
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
3
Fecha:
3 de febrero de 2025 - 8:52
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
22.01 MBytes

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