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AN2. 2.1 Continuidad. Definiciones. Propiedades - Contenido educativo

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Subido el 12 de noviembre de 2024 por Raúl C.

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Lo primero que tenemos aquí es una definición intuitiva de continuidad en un punto. 00:00:01
Como veis, se menciona la gráfica de la función. 00:00:06
Una función es continua cuando, al trazar la gráfica de la función, 00:00:10
no necesitamos levantar el bolígrafo, el lápiz, el instrumento de escritura 00:00:13
que estemos utilizando de la superficie de dibujo. 00:00:17
Y así, en concreto, la definición de continua en un punto, 00:00:20
en el punto, en ese punto en el que estamos dibujando la función, 00:00:24
no hemos necesitado levantar ni vamos a levantar el utensilio de escritura de la superficie de dibujo. 00:00:26
Esta definición es intuitiva, pero no es todo una analítica que nos gustaría. 00:00:34
La definición analítica utiliza de límites y, como veis aquí, 00:00:40
para que una función se continúe en un punto deben cumplirse estas tres condiciones. 00:00:44
En primer lugar, debe existir el límite cuando x tiende al punto de la función. 00:00:49
Esto quiere decir que ambos límites laterales deben existir y deben coincidir. 00:00:54
Asimismo, segunda condición, debe existir el valor de la función en este punto, así que el punto debe pertenecer al dominio de la función. 00:00:59
Y por último, el límite que hemos determinado en primera instancia y el valor de la función en el punto que hemos determinado a continuación, asimismo deben coincidir. 00:01:07
En ciertas circunstancias se da como definición de continuidad en un punto esta expresión que tenemos aquí abajo del todo. 00:01:17
Puesto que implícito a que el límite pueda ser igual al valor de la función, tenemos que ambos existan. 00:01:25
E implícita a la existencia de este límite, tenemos el que existan los límites laterales y coincidan. 00:01:32
No obstante, si queremos poner en evidencia todos los pasos que necesitamos realizar, 00:01:38
diremos que tiene que existir el límite, tiene que existir el valor de la función, 00:01:43
y por último, ambos deben coincidir. 00:01:48
Mientras las propiedades de las funciones continuas, cabe señalar, como algunas muy importantes, 00:01:51
que si dos funciones son continuas, su suma o su resta también son continuas. 00:01:56
El producto de la función por un valor real también va a ser continuo. 00:02:01
El producto de funciones también va a ser continuo. 00:02:05
El cociente de funciones también va a ser continuo, siempre y cuando el cociente esté bien definido. 00:02:08
Esto es, se ve que el denominador sea distinto de cero y en el caso de la composición de funciones, la composición de funciones también es continua. 00:02:12
Para esto lo que necesitamos es que la imagen de la primera función pertenezca al dominio de la segunda. 00:02:21
Esto es sencillamente para que pueda existir la composición de las funciones, igual que aquí necesitamos que el denominador fuera distinto de cero. 00:02:29
Esto que acabo de mencionar es mucho más relevante de lo que pudiera parecer a primera vista. 00:02:38
Fijaos en que ya hemos estudiado en el bloque anterior las características de las funciones elementales, 00:02:43
incluyendo su continuidad, en qué regiones son o dejan de ser continuas. 00:02:48
Pues bien, visto esto, si nosotros sabemos cómo expresar con cualquiera de estas operaciones, 00:02:52
suma, resta, producto, cociente, producto por un escalar, composición de funciones, 00:02:58
una función cualquiera a partir de funciones elementales, 00:03:03
conociendo dónde, cómo y de qué manera esas funciones elementales son continuas, como propiedades suyas, 00:03:06
podremos deducir en qué regiones van a ser continuas las funciones en las que estemos interesados. 00:03:13
Y en muchas ocasiones recurriremos a este recurso. 00:03:19
Diremos que, por ser la función que estamos estudiando, suma, resta, producto, composición, 00:03:23
lo que quiera que corresponda de funciones elementales que son continuas en los puntos que estamos estudiando, 00:03:28
sabremos que la función es continua. 00:03:34
Y de esta manera podremos, no estudiar, pero sí caracterizar la continuidad de una función en amplios intervalos de su dominio, 00:03:36
sin más que darnos cuenta de que están formados utilizando estas operaciones a partir de funciones elementales que se sabe que son continuas. 00:03:43
Hemos iniciado esta videoclase caracterizando la continuidad en un punto. 00:03:53
Vamos a finalizarla caracterizando la continuidad en un intervalo abierto. 00:03:57
Y basta decir que para decidir si la función es continua en todo un intervalo abierto, 00:04:01
lo que necesitamos es comprobar si es continua en todos los puntos con abscisas en este intervalo. 00:04:06
En el caso en el que tengamos una función continua en un cierto intervalo, 00:04:12
lo que va a ocurrir es que la gráfica de la función, la curva que la caracteriza, 00:04:15
va a estar constituida por un único trazo. 00:04:20
Y recordando aquello con lo que iniciábamos la videoclase, 00:04:23
podremos trazarla sin necesidad de levantar el instrumento de escritura 00:04:26
de la subbéfice que estemos utilizando como dibujo. 00:04:29
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:04:32
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:04:41
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:04:46
Un saludo y hasta pronto. 00:04:51
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
7
Fecha:
12 de noviembre de 2024 - 6:45
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
05′ 20″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
13.30 MBytes

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