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Función derivada. Tabla de derivadas - Contenido educativo

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Subido el 28 de enero de 2026 por Roberto A.

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Venga, hoy es Santo Tomás. ¿Creéis o no creéis? 00:00:00
Por eso Santo Tomás de aquí no, es de allí. 00:00:07
Bueno, es una chumina. 00:00:11
Chavales, que... 00:00:13
Santo Tomás creo que es de lo imposible o algo de eso, ¿no? No sé. 00:00:15
Bueno, que no me enrollo. 00:00:18
Chavales, del hópital, ¿vale? 00:00:21
Del hópital he subido un... 00:00:22
bastantes ejercicios 00:00:26
resuertos, la mayoría son del libro 00:00:28
si no me equivoco, ¿vale? Entonces, lo que 00:00:30
quiero es que lo intentéis ustedes. ¿Qué es lo que 00:00:32
ocurre para L'Hôpital? Que si no se deriva 00:00:34
no se hace L'Hôpital, porque L'Hôpital 00:00:36
es con derivadas. Lo único que quiero 00:00:38
que sepáis es una cosilla en L'Hôpital, ¿vale? 00:00:40
¿Qué me dice L'Hôpital? Que el límite 00:00:42
de f de x 00:00:44
partido de g de x, es decir, 00:00:46
yo tengo dos funciones, ¿vale? 00:00:48
Cuando x tiende a, si esto 00:00:50
es del tipo 0 partido de 0 00:00:52
O es del tipo infinito partido de infinito, yo puedo aplicar la regla de L'Hôpital y la regla de L'Hôpital lo que me dice que el límite f de x partido de g de x cuando x tiende a es igual que el límite de f' de x partido de g' de x cuando x tiende a y es igual a L. 00:00:54
tu flamenco 00:01:19
o no 00:01:21
¿vale? 00:01:23
eso es 00:01:26
pero infinitos entre infinitos 00:01:30
hice dos partidos de cero 00:01:35
¿vale? entonces 00:01:37
ahí lo que hago y aquí es súper importante 00:01:38
¿vale? lo digo, por cierto 00:01:41
los chavales que no vinisteis ayer que fue una jarta 00:01:42
¿tenéis todas las hojas de derivadas 00:01:44
que entregué? 00:01:47
¿sí? vale, entonces 00:01:48
chavales, ¿qué ocurre? Pues que 00:01:50
yo lo que aplico en L'Hôpital 00:01:53
no es la regla de la división, 00:01:55
¿vale? Yo lo que hago es, hago 00:01:57
la derivada del numerador 00:01:58
partido la derivada del numerador. Por favor, 00:02:01
he subido a la aula virtual 00:02:03
mogollón de ejercicios de L'Hôpital. 00:02:04
Por favor, hacedlo y si hay alguno que no 00:02:07
entendéis, me preguntéis, pero necesito que lo 00:02:09
hagáis ustedes, ¿vale? Entonces, 00:02:11
ayer ya estuvimos 00:02:13
viendo algo de derivada y yo 00:02:14
es lo que os quiero 00:02:16
introducir aquí una cosilla 00:02:18
de derivada, ¿vale? La definición exacta de derivada, la definición exacta de derivada 00:02:20
también está relacionada con los límites, ¿vale? Entonces, lo que me dice la derivada 00:02:27
es si yo tengo una función, vaya, yo tengo, imaginaros, esta función aquí, ¿vale? Y 00:02:33
Y yo tengo aquí un valor a, ¿vale? 00:02:42
Un valor a o una x, por ejemplo, ¿no? 00:02:48
Es que este dibujo es un mojón. 00:02:54
A ver, perdonadme. 00:02:58
Verde, que te quiero verde. 00:02:59
Aquí, por ejemplo, ¿vale? 00:03:03
Entonces, chavales, ¿qué es lo que yo os quiero? 00:03:04
Mira, la definición de f' de x, ¿vale? 00:03:06
Es el límite cuando h tiende a 0 de qué? De f de x más h menos f de x, ¿vale? Partido de h. 00:03:13
Y vamos a ver qué significa esto y por qué quiero que lo entendáis un poquito, esto no es crucial, ¿vale? 00:03:25
A ver, esto es la definición, lo que quiero que veáis es que siempre la derivada está muy relacionada con los límites y además pasa una cosilla, ¿vale? 00:03:32
Si yo tengo aquí mi punto x, ¿vale? Yo aquí tengo mi x, aquí yo tengo mi f de x, ¿verdad? ¿Sí o no? Pues si yo ahora cojo aquí un h cualquiera, por lo tanto este punto de aquí es x más h, ¿verdad? ¿Sí o no? 00:03:40
Yo aquí también tengo, ¿lo veis, chavales? f de x más h, ¿sí o no? f de x más h. 00:03:56
¿Recordáis la definición que puse ayer? ¿Qué significa la derivada de una función en un punto? Geométricamente, ¿qué es? Y eso es súper importante que lo sepáis. 00:04:07
¿Cuál es? 00:04:17
La pendiente de la resta tangente a la función en ese punto, 00:04:19
esa es la derivada de la función en ese punto. 00:04:26
Entonces, lo que yo quiero que, no sé si veis, 00:04:30
yo aquí, ¿qué tengo, chavales? 00:04:33
Tengo aquí un incremento de y, ¿verdad? 00:04:35
¿Veis que aquí es un incremento de la función y? 00:04:39
¿Sí o no? 00:04:41
Aquí realmente, ¿qué es lo que tenemos? 00:04:42
Es un incremento de x. 00:04:44
¿Vale? Entonces, cuando chavales a mí me dicen, a mí me dicen en una señal que yo tengo una pendiente del 7%, ¿qué significa que yo tengo una pendiente del 7%? ¿Eso me lo sabéis decir? ¿Qué significa tiene una pendiente del 7%? ¿Qué significa? 00:04:47
hay unas señales, hay alguno que 00:05:08
te está sacando ya el carnet o lo tiene ya el carnet 00:05:10
Nati, ya hay una señal 00:05:12
de tráfico cuando estás en una cuesta 00:05:14
tanto arriba como abajo, pues te señala 00:05:16
si es cuesta arriba o cuesta abajo y te aparece 00:05:18
un porcentaje, un 7%, un 10% 00:05:20
incluso yo una vez vi 00:05:22
un 40% que ahí te pega 00:05:24
un carajazo, ¿no? Pero ¿qué 00:05:26
significa realmente ese 7%? 00:05:28
¿Qué significa? 00:05:31
Cada 100 metros sube 7 00:05:33
Que cada 00:05:34
100 metros, sube 7, ¿vale? Eso es lo que significa una pendiente de aquí. Aquí del 00:05:36
7%, es decir, por cada 100 metros que yo avance, subo 7 metros, ¿vale? Entonces la pendiente 00:05:43
que es, digamos, la división, ¿verdad? De 7 partido de 100. ¿Lo veis todo, chavales? 00:05:52
Hay una tasa que habéis estudiado en física, me imagino que es la tasa de variación, ¿no? 00:05:58
O no media, no suene en matemáticas también la dosis de variación media. 00:06:03
Precisamente lo que me da lugar también es a la pendiente. 00:06:07
¿Lo veis? 00:06:11
Si yo aquí avanzo 100 y subo 7, mi pendiente es del 7%. 00:06:11
Pues al final el límite, el límite de esta definición que pone aquí, 00:06:17
que es, fijaros, f de x más h, f de x más h, 00:06:21
es el valor que toma mi función cuando yo, en vez de estar en el punto x, 00:06:25
avanzo una distancia h, ¿lo veis? 00:06:31
¿Sí o no? 00:06:34
Y entonces si yo resto f de x menos h menos f de x, 00:06:36
lo que yo tengo es esto de aquí, ¿verdad? 00:06:40
Lo que subo, digamos. 00:06:42
También puedo bajar, ¿vale? 00:06:44
Lo que subo, lo que bajo. 00:06:46
Y realmente, ¿mi h qué es, chavales? 00:06:47
Pues si yo tengo x más h menos x es igual a h, ¿lo veis? 00:06:50
Esto es lo que avanzo yo en mi función en las x. 00:06:57
¿Lo entendéis bien, chavales? 00:07:01
¿Sí o no? 00:07:03
Para ver yo la pendiente de algo es lo que yo subo o bajo respecto a lo que avanzo. 00:07:04
¿Lo veis? 00:07:11
Pues aquí igual yo tengo mi función, que en este caso es creciente, 00:07:12
por lo tanto tiene una pendiente positiva. 00:07:15
Y yo aquí lo que hago es resto, resto lo que subo, que es esto de aquí, o lo que bajo, ¿vale? 00:07:18
Partido de lo que yo avanzo. 00:07:27
¿Sí o no? 00:07:29
¿Lo veis, chavales? Vale, pues cuando yo esta distancia h la llevo al límite, es decir, la hago sumamente pequeña, cuando yo esa distancia h la llevo al límite infinitamente pequeña, lo que yo tengo ahí precisamente es, chavales, la derivada de la función en un punto. 00:07:30
¿Vale? Esto en general. Realmente, ¿cuál sería la derivada, cuál sería la f' en el punto a? Pues el límite cuando h tiende a cero de f de a más h menos f de a partido de h. 00:07:55
¿Vale? Es decir, es lo que crece o decrece la y partido de lo que crece o decrece la x, que es esta pendiente de aquí. Por eso he hecho este dibujito. 00:08:14
¿Lo entendéis, chavales? Entonces, esa es la definición estricta de derivada. Tenéis ustedes la tabla de derivada. Si yo aplico realmente aquí mi función f de x, que os voy a hacer una, la más fácil para que veáis, pero no se suele hacer así. 00:08:24
¿Vale? Ya para eso están las tablas. Yo aplico esta definición, me sale perfectamente la derivada. ¿De acuerdo? Me sale perfectamente la derivada. 00:08:42
Pero ¿qué es lo que yo quiero que veáis, chavales? Que para que yo tenga derivada, y esto sí que es muy importante, para que yo tenga derivada es súper importante que mi función sea continua. 00:08:51
¿Vale? Para que exista derivada, para que exista f' de a, por ejemplo, esto implica, precisamente por esta definición, ¿vale? Esto implica que f de a es, f de x, perdón, es continua en a. 00:09:04
¿Vale? Porque habrá ejercicios que nos digan 00:09:27
Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función en un punto 00:09:33
Entonces, si yo veo que esa función no es continua 00:09:38
Yo ya directamente tengo la potestad de decir 00:09:41
Que si no es continua, no es derivable 00:09:45
¿Vale? No pasa al contrario 00:09:48
Esta flecha, chavales 00:09:50
Esta flecha no es a la inversa 00:09:52
No es bidireccional 00:09:56
¿Vale? Es decir 00:09:57
si existe 00:09:59
la derivada 00:10:02
es que la función es 00:10:03
continua, pero no toda función 00:10:06
continua es derivable en un punto 00:10:08
vimos los valores absolutos 00:10:10
os acordáis de los piquitos 00:10:12
¿verdad? entonces precisamente 00:10:14
ahí, esa función 00:10:16
es continua 00:10:18
pero esa función no es derivable 00:10:20
en el pico ¿vale? normalmente cuando hay 00:10:22
pico no es derivable y lo vemos 00:10:24
no sé si os recordáis que 00:10:26
tenían distinta pendiente a izquierda y a derecha 00:10:27
¿lo veis? ¿os recordáis cuando hay 00:10:30
un piquito? 00:10:32
pues eso es súper importante 00:10:34
de hecho 00:10:36
venga, voy a hacer uno rápido 00:10:36
fijaros, ¿cuánto es chavales? 00:10:40
si yo tengo f de x 00:10:42
f de x, ¿cuál es su derivada? 00:10:43
f' de x, ah hostia, perdón 00:10:46
he ido muy ligero 00:10:48
f de x es igual a x, ¿verdad? 00:10:49
y entonces su derivada f' de x 00:10:52
¿cuánto vale chavales? 00:10:54
un 1, ¿verdad? Entonces, si yo 00:10:55
hago 00:10:57
f' de x, que es el 00:10:58
límite, ¿verdad? De f de 00:11:01
x más h menos f 00:11:03
de x 00:11:05
partido de h cuando 00:11:08
h tiende a 0, ¿sí o no? 00:11:09
Chavales, si 00:11:12
f de x es igual a x 00:11:13
¿cuánto es f de x más 00:11:15
h? x más h 00:11:17
¿sí o no? 00:11:23
Entonces, ¿sí o no? 00:11:25
Hugo 00:11:27
Entonces, ¿qué tengo aquí? 00:11:27
X más H menos X 00:11:34
partido de H. ¿Lo veis? 00:11:36
Sustituyo. F de X más H 00:11:38
es X más H. F de X es X. 00:11:40
¿Sí o no? Y ahora aquí, 00:11:43
chavales, ¿qué me queda? Límite 00:11:45
cuando H tiende a 0. ¿De qué? 00:11:46
De H partido de H. 00:11:49
¿Cuánto es H partido de H, chavales? 00:11:51
¿Eh? Uno. 00:11:52
¿Sí o no? 00:11:57
¿Lo veis? 00:11:58
Si yo eso lo hago con cada una de las funciones, 00:11:59
voy a tener la tabla que tenéis ustedes. 00:12:03
Me interesa hacerlo, natillas. 00:12:06
No me interesa hacerlo, ¿eh? 00:12:09
Pero que sepáis que todas se pueden hacer de esta forma. 00:12:11
Lo que pasa es que no es objeto de estudio de tal. 00:12:15
Si alguien hace matemática, a lo mejor seguramente sí que va a tener que hacer eso de ahí, 00:12:19
que algunas son fáciles y otras tienen telita. 00:12:24
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? Entonces, lo único que yo quiero que sepáis, la definición está muy bien saberla, ¿vale? Y sobre todo que para lo que quiero que veáis en esta definición es que para poder obtener yo la derivada, mi función tiene que ser continua sí o sí, ¿vale? 00:12:27
Y como la derivada es la pendiente de la recta tangente en ese punto de la función, fijaros que yo la pendiente, ¿cómo la hallo? Pues lo que subo o bajo partido de lo que avanza. Y eso es lo que me da aquí esta definición de derivada. ¿Hasta aquí todo el mundo de acuerdo? Sí. Venga. 00:12:45
Chavales, cosas que os quiero evitar un poco para estudiar, ¿vale? 00:13:08
Por ejemplo, ¿alguien sabe, chavales, si f de x es igual a seno de x? 00:13:14
¿Sabéis cuál es la derivada? 00:13:20
Coseno de x, ¿vale? 00:13:24
f de x es igual a coseno de x. 00:13:26
¿Alguien sabe su derivada? 00:13:30
Menos seno de x. 00:13:33
Esto, chavales, lo podemos hacer así, que es morir por Dios. 00:13:34
y si no, no tenemos que aprender 00:13:37
de memoria, ¿vale? Pero ahora 00:13:39
ocurre, chavales. Me tengo que aprender 00:13:41
cuál es la derivada de tangente 00:13:43
de X. Si me la sé, 00:13:46
estupendo. Yo siempre 00:13:48
se me olvida. ¿Qué es lo que sé? 00:13:49
¿Qué es lo que sí sé, chavales? 00:13:52
Que si f de X es tangente 00:13:54
de X, la tangente, ¿cuál es su 00:13:56
definición? 00:13:57
Seno partido de coseno, ¿vale? 00:13:59
No sé si lo he dicho aquí. En la otra clase 00:14:01
hubo gente que se ofendió. Yo siempre 00:14:03
lo digo lo mismo. Hay gente que todavía no se sabe 00:14:05
en la tangente qué es lo que es, ¿vale? 00:14:07
Y yo siempre le digo lo mismo, 00:14:10
¿dónde tienen las tías los senos? 00:14:12
Arriba, ¿no? 00:14:14
Pues el seno va arriba. 00:14:15
Es muy vasto, hay gente que se ofende, etc. 00:14:17
Pero eso no se lo olvida nadie, ¿vale? 00:14:19
Y además el coseno, 00:14:21
ya sabemos abajo qué es lo que tenemos, ¿no? 00:14:23
Y tenemos, ¿vale? 00:14:25
Y tenemos, y tenemos. 00:14:27
Entonces, siempre los senos arriba, 00:14:28
el coseno debajo, ¿de acuerdo? 00:14:30
Y ahora, una regla de derivación 00:14:31
que sí vais a tener que saber, ¿eh? 00:14:33
Una regla de derivación que tenéis que saber. 00:14:35
Si mi h de x es una f de x partido g de x, ¿vale? 00:14:38
h prima de x, ¿vale? 00:14:46
La derivada de un cociente, que lo tenéis ahí en la hoja, ¿qué es? 00:14:48
¿Alguien me lo sabe decir? 00:14:52
La derivada del primero por el segundo sin derivar. 00:14:55
Menos el primero sin derivar por la derivada del segundo. 00:15:01
partido el segundo al cuadrado, 00:15:05
sin derivar al cuadrado. 00:15:09
Esto de aquí, chavales, 00:15:11
no lo tenemos que saber sí o sí, ¿vale? 00:15:12
Y es súper importante saberlo, 00:15:14
si no nos vamos a comer un mago, ¿vale? 00:15:15
Entonces, fijaros aquí. 00:15:18
Si yo no me acuerdo, 00:15:19
porque al final la tabla son 800.000 cosas, ¿vale? 00:15:21
Pues nada, yo voy a dividir un cociente, 00:15:25
voy a derivar un cociente, ¿vale? 00:15:28
Entonces, f' de x, 00:15:30
y daros cuenta que f de x es tangente, 00:15:32
que es seno de x partido de coseno de x. 00:15:35
¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:15:37
Entonces, ¿cuál es la derivada del primero? 00:15:39
El coseno, ¿verdad? 00:15:42
Por el segundo sin derivar. 00:15:44
Menos el primero sin derivar, que es seno de x. 00:15:47
¿Y cuál es la derivada del segundo, que es coseno de x? 00:15:51
¿Cuál es? Menos seno de x. 00:15:53
¿Vale? Partido de qué? 00:15:56
De coseno cuadrado de x. 00:15:58
¿Vale, chavales? 00:16:01
Y yo ahora agrupo coseno por coseno 00:16:01
coseno cuadrado de x 00:16:04
menos por menos 00:16:08
más seno cuadrado de x 00:16:08
y esto partido de coseno 00:16:12
cuadrado de x 00:16:14
y aquí chavales voy a hacer dos flechitas 00:16:14
dos flechitas 00:16:17
porque no sé si os acordáis de una cosa 00:16:19
¿alguien me sabe decir 00:16:22
esto cuánto vale siempre? 00:16:24
uno es el teorema 00:16:26
fundamental de la trigonometría 00:16:27
esto es uno partido 00:16:29
de coseno cuadrado de x 00:16:31
¿vale? 00:16:34
Pues esta es la derivada, una de las formas de la derivada de la tangente, ¿vale? ¿Cuál es la inversa del coseno? ¿Os acordáis? La secante al cuadrado de x, ¿vale? 00:16:34
Entonces, me puede encontrar la derivada de una tangente de tres formas, como 1 partido coseno cuadrado de x, mosecante cuadrada de x. 00:16:49
Y ahora, chavales, si yo tengo aquí una suma, es decir, una fracción donde tengo una suma, ¿no? 00:17:02
Si yo hago cada término de la suma de forma independiente, ¿cuánto es coseno cuadrado entre coseno cuadrado? 00:17:09
1 más y seno cuadrado entre coseno cuadrado 00:17:16
tangente cuadrado de x, ¿vale? 00:17:21
Me la puedo encontrar de las tres formas 00:17:24
y las tres son buenas, ¿vale, chavales? 00:17:27
Lo digo porque de cara a las integrales 00:17:31
esto lo tenemos que saber, estas tres, ¿vale? 00:17:33
Entonces, ¿me tengo que aprender esto? 00:17:37
Oye, pues si te lo aprendes, pues ole tú, ¿vale? 00:17:38
Pero si no, o no me acuerdo en el examen, 00:17:40
pues me tengo que recordar 00:17:43
la fórmula de seno partido de coseno 00:17:45
y luego recordar 00:17:47
que esto sí que lo tenemos que saber como el come 00:17:49
¿vale chavales? 00:17:51
¿sí? 00:17:53
venga, ¿eres feliz? 00:17:55
soy importante 00:18:06
ha faltado Elena 00:18:06
y Andrés 00:18:08
¿verdad? ayer faltaste un montón 00:18:11
machales, ¿salió bien la historia 00:18:13
por lo menos? 00:18:15
¿sí? 00:18:17
regular 00:18:17
gracias a Dios 00:18:18
Noa, tú manda, hija 00:18:21
Vale 00:18:24
Chavales, ¿alguien se sabe cuánto vale 00:18:26
la derivada de a elevado a x? 00:18:28
¿Sí? 00:18:35
Yo, por ejemplo, esa siempre se me olvida mogollón 00:18:36
¿Vale? Siempre se me olvida mogollón 00:18:38
¿O alguien sabe cuánto vale 00:18:40
la derivada de logaritmo 00:18:43
en base a de x? 00:18:44
1 partido de x por logaritmo de pirámide 00:18:46
Te cagas 00:18:49
ahora que, si te la sabes 00:18:50
para adelante, ¿vale? Yo os voy a dar truquillo 00:18:52
a ver si te la sabes 00:18:54
evidentemente para adelante, ¿no? Pero como 00:18:56
son tantas, a mí eso se me suele 00:18:58
olvidar, ¿vale? Noa 00:19:00
¿puedo ya? 00:19:02
Ah, venga, perdona hija 00:19:04
Entonces, chavales 00:19:05
por si os sirve, os doy truquillos 00:19:07
por si os sirve, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? 00:19:10
Que por ejemplo, si yo tengo que 00:19:14
y es 00:19:16
igual a logaritmo 00:19:18
en base 3 00:19:20
o en base a, me da igual 00:19:22
de x, ¿vale? 00:19:23
su derivada, si me la sé muy bien 00:19:26
¿vale? ¿os acordáis de los cambios 00:19:28
de base? bueno, voy a 00:19:30
empezar por una cosilla, ¿vale? 00:19:32
a ver, logaritmo neperiano de f 00:19:34
de x, ¿vale? 00:19:36
¿cuál es su derivada? 00:19:38
la derivada y prima 00:19:40
es 1 partido 00:19:42
f de x por 00:19:44
f prima de x, ¿vale? que esto a la postre 00:19:45
es la derivada 00:19:48
y aquí f de x, ¿vale? 00:19:49
Es decir, esta es la definición 00:19:51
de derivada del organismo 00:19:54
neperiano, ¿vale? De una función, ¿vale? 00:19:55
¿Qué ocurre si la x, 00:19:58
si f de x es x? 00:20:00
Pues aquí tengo 1 partido de x, 00:20:01
¿cuál es la derivada de x? Un 1, ¿vale? 00:20:03
Que es la simple, 00:20:06
esta es la compuesta que es la que yo quiero 00:20:08
que os aprendáis. Pero, ¿qué ocurre, chavales, 00:20:09
si me dicen y es igual 00:20:12
al logaritmo en base a 00:20:13
de f de x, ¿vale? 00:20:15
Pues yo aquí, chavales, 00:20:18
A mí, personalmente, yo siempre me equivoco o no sé qué es logaritmo arriba, logaritmo neperiano abajo, arriba, no lo sé. 00:20:19
Entonces, no sé si os acordáis de los cambios de base de los logaritmos. 00:20:27
¿Os acordáis de los cambios de base de los logaritmos o no? 00:20:32
Me decía que si yo tenía logaritmo de A, logaritmo en base A de B, esto es igual a logaritmo en base C en otra base de B partido logaritmo en base C de A. 00:20:35
eso es lo que me dice 00:20:48
esto de aquí, entonces yo aquí 00:20:51
¿qué es lo que hago chavales? 00:20:52
que logaritmo en base a de f de x 00:20:54
que es igual a logaritmo 00:20:57
neperiano de f de x 00:20:59
partido logaritmo 00:21:01
neperiano, ¿lo veis? 00:21:03
¿si o no? 00:21:06
y gallito, esto tú me lo preguntaste 00:21:07
a mí, chavales, logaritmo 00:21:09
neperiano de a 00:21:11
depende de x 00:21:12
es una constante 00:21:14
¿Vale? Es una constante. ¿Por qué digo esto? Porque su derivada prima, ¿qué es? Es 1 partido logaritmo neperiano de a, ¿verdad? ¿Sí o no? Por la derivada, digamos, lo voy a poner aquí para que no... ¿Vale? La derivada, tenéis ahí, la derivada de un producto por una función es el producto por la derivada de la función. ¿Vale? Lo tenéis ahí en la hoja. 00:21:17
Entonces, ¿esto qué es? 1 partido logaritmo neperiano de a y aquí pongo esto de aquí, ¿lo veis, chavales? f' de x partido f de x. 00:21:43
Entonces, al final lo que quiero que veáis es una cosa, ¿cuál es la derivada del logaritmo en base a de f de x? Pues su derivada es f' de x partido logaritmo neperiano de a por f de x. 00:21:55
¿Vale? 00:22:11
¿Sí o no? 00:22:12
¿Eh, chavales? 00:22:15
¿Sí o no? 00:22:16
Oye, yo, por ejemplo, otro truco que este... 00:22:18
Hostia, lo he liado. 00:22:23
Bueno, luego lo quito. 00:22:24
A ver. 00:22:25
Otro truco, chavales, que, por ejemplo, a mí me funciona y esto lo vamos a ver. 00:22:30
¿Vale? 00:22:33
Una cosilla, chavales. 00:22:33
Si yo tengo y es igual a elevado a x. 00:22:35
Yo sé la derivada de ahí, si la sé, que, por ejemplo, Hernán se la sabe, 00:22:39
Pues pa'lante. Yo a mí siempre se me olvida, se me olvida, ¿vale? Entonces, yo aquí lo que hago, chavales, es aplico logaritmo neperiano, ¿vale? Entonces, logaritmo neperiano de y es igual a logaritmo neperiano de a elevado a x, ¿vale? ¿Sí o no? ¿Sí? 00:22:42
¿Y ahora qué ocurre? No sé si recordáis que esto es una propiedad, el logaritmo de una potencia era igual al exponente por el logaritmo neperiano de A. ¿Lo veis o no? ¿Sí? Entonces, ¿qué me queda? Logaritmo neperiano de Y es igual a X por logaritmo neperiano de A. ¿Vale? 00:23:00
La y, chavales, ¿la y qué es? 00:23:19
La y es una función que depende de x, ¿vale? 00:23:22
La y depende de x. 00:23:26
Entonces, si yo hago el logaritmo de una función que depende de x, ¿qué era? 00:23:28
Era la y abajo, ¿verdad? 00:23:34
Y aquí que tengo la derivada de esa y, ¿sí o no? 00:23:36
¿Sí o no? 00:23:40
Esto es una constante. 00:23:41
¿Cuánto es la derivada de x, chavales? 00:23:43
1, ¿verdad? 00:23:45
pues entonces esto es igual al logaritmo neperiano de a. 00:23:46
Si yo ahora despejo esto, y' que es igual a y por logaritmo neperiano de a. 00:23:50
¿Y la y qué ocurre? Que y es igual a a elevado a x por logaritmo neperiano de a. 00:23:57
¿Es más fácil aprendérsela? Pues sí. 00:24:05
Pero como a mí siempre se me olvida y no sé si el logaritmo neperiano va arriba o va abajo, 00:24:08
yo si sé esto, que es una derivación 00:24:12
implícita esto de aquí 00:24:15
es súper importante 00:24:16
¿lo veis chavales? 00:24:18
es otra alternativa que os doy 00:24:20
a si no os acordáis de cómo se hace 00:24:22
¿vale? 00:24:25
es más, chavales, no sé 00:24:26
Jimena 00:24:28
¿cuál es la derivada del arco coseno? 00:24:30
no, sin mirar los ocho 00:24:34
ni idea 00:24:35
¿vale? ¿alguien se sabe 00:24:37
de memoria la del arco 00:24:38
coseno, arcoseno, arcotangente? 00:24:40
¿En cuál va un menos? 00:24:46
¿Es un más? 00:24:49
¿Una tiene raíz? 00:24:50
¿Otra raíz? 00:24:52
Si lo sabéis de memoria, para adelante. 00:24:53
Pero os voy a dar truquitos 00:24:56
que a lo mejor os parece el truco más difícil 00:24:58
que aprendérselo, pero a mí siempre 00:25:00
me vale, ¿de acuerdo? Voy a empezar 00:25:02
por el 00:25:04
arcoseno. Y es igual 00:25:06
al arcoseno de 00:25:08
x. ¿Verdad? 00:25:10
¿Alguien se la sabe de memoria? 00:25:11
1 partido de raíz de 1 más x al cuadrado. 00:25:14
¿Más o menos? 00:25:17
Seno o más. 00:25:18
Tú me dices 00:25:20
que y' es 1 partido 00:25:21
de raíz de 1 más 00:25:23
x al cuadrado. 00:25:25
Estamos en simple. 00:25:27
Sí, simple, como yo. 00:25:29
¿Sí? 00:25:32
¿Esta es así? 00:25:33
No lo es. 00:25:34
Y no lo es, pero bueno, porque 00:25:37
Jimena lo sabe porque la acaba de mirar, claro. 00:25:39
Pero me refiero que es que aquí es súper fácil equivocarse, ¿vale? 00:25:41
Entonces, yo, por ejemplo, arcoseno, arcotangente y arcocoseno, 00:25:45
yo nunca me las sé, que si las sabéis, para adelante, ¿vale? 00:25:49
Pero ¿qué ocurre, chavales? 00:25:52
Si la Y es el arcoseno de X, 00:25:54
¿yo tengo la potestad de decir que X es el seno de Y? 00:25:58
¿Sí o no? 00:26:07
¿Sí o no? 00:26:08
¿Sí o no? 00:26:09
¿Sí o no? 00:26:11
Entonces, ¿ahora qué ocurre? ¿Yo sé derivar el seno? Sí. Si yo esto lo derivo, lo derivo respecto a x, derivo respecto a x, ¿cuál es la derivada de x, chavales? ¿Hola? ¿O no? 00:26:12
Y la derivada del seno de Y es coseno de Y, pero por Y', la derivación compuesta. Y es una función de X, ¿lo veis? Y es una función de X. Por lo tanto, es la derivación compuesta. 00:26:29
La derivada, la derivada, yo tengo que h o g de x es seno de f de x, ¿vale? ¿Cuál es la derivada de g de x? Es coseno, Jesús, de f de x por f' de x. ¿Estáis de acuerdo conmigo o no? ¿Sí o no? 00:26:47
La derivación compuesta. Pues aquí igual, ¿vale? Yo tengo 1 que es la derivada de x y la derivada de seno de y respecto a x es coseno de y por y'. ¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:27:08
Yo aquí quiero hallar la y', ¿no? Pues entonces y' que es igual, chavales, a 1 partido de coseno de y. ¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:27:21
Y ahora, antes me lo habéis dicho, ¿verdad? 00:27:31
¿Cuál es el tema fundamental de la trigonometría? 00:27:34
Hola. 00:27:39
¿Hola? 00:27:41
Seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa es 1, ¿verdad? 00:27:44
Si yo despejo de aquí el coseno, 00:27:49
¿el coseno es lo mismo que 1 menos seno cuadrado de alfa? 00:27:51
¿Estamos de acuerdo o no? 00:27:56
Aquí tendría que poner un más menos. 00:27:57
Le vamos a poner siempre más. 00:27:59
Eso es verdad, ¿verdad? 00:28:00
Pues nada, pues entonces yo aquí, ¿qué es lo que tengo, chavales? 00:28:01
Que Y' es 1 partido, y aquí aparece la raíz, ¿lo veis? 00:28:05
1 menos seno cuadrado de Y, ¿lo veis? 00:28:12
1 menos seno cuadrado de Y. 00:28:17
Y, chavales, si el seno de Y es X, el seno cuadrado de Y, ¿qué es? 00:28:18
X cuadrado. 00:28:26
¡Ya, ya, ya, ya! 00:28:29
¿Vale? 00:28:32
Entonces, yo, por ejemplo, fijaros, para mí, aunque os parezca mentira, este proceso, yo me refiero, antes de meter la pata, antes de meter la pata, y a lo mejor decir esto, o son tantas fórmulas, que yo ya no sé dónde va el más, yo ya no sé dónde va el menos, ni la madre que lo parió, yo prefiero perder un minuto, que no es pérdida, en hacer todo este desarrollo. 00:28:33
¿Lo veis, chavales? 00:29:02
Porque yo tengo esto de aquí, ¿vale? 00:29:07
Esto de aquí. 00:29:10
Si la y es el arcoseno de x, eso implica que x es el seno de y. 00:29:11
¿Sí o no? 00:29:16
Entonces, yo ahora todo esto de aquí lo derivo entre x. 00:29:18
¿Cuál es la derivada de x? 00:29:21
Un 1. 00:29:23
¿Y cuál es la derivada del seno de una función de x? 00:29:24
La derivada del seno de una función de x es el coseno de la función por la derivada de la función. 00:29:28
Entonces, la derivada del seno de y es coseno de y por y'. 00:29:35
Entonces, despejo y' y tengo esto de aquí. 00:29:40
Aplico el teorema fundamental de la trigonometría, bulería, bulería, 00:29:45
y al final yo lo que tengo es esto de aquí. 00:29:50
Porque no es lo que tengo, es lo que soy. 00:29:55
Como dice Viceroy, ¿vale? 00:29:58
¿Sí o no? 00:30:00
Oh, yeah. 00:30:01
Vale, chavales, 00:30:03
yo son trucos que a mí me han servido mucho 00:30:04
para precisamente no memorizar tanto. 00:30:07
Hostia, la María López está hasta el LRL ya. 00:30:11
¿Tienes sueño? 00:30:15
Oh, ¿por qué? 00:30:17
Que ya que has mandado. 00:30:18
Pero te lo has pasado bien, bien, bien, ¿o no? 00:30:21
Ah, sí, sí. 00:30:25
chavales 00:30:28
¿alguien me sabe 00:30:30
tú te sabes Ana Cuello 00:30:32
la derivada de esta adhesión 00:30:34
sin mirarlo 00:30:36
1 más x cuadrado ¿verdad? 00:30:37
imprima es 00:30:46
menos 1 partido la raíz 00:30:47
de 1 más x al cuadrado 00:30:50
esto es Ana Cuello 00:30:51
¿vale? ¿sí? 00:30:54
¿no es así? 00:30:57
La gente se cachondea aquí y aquí que no ve. 00:30:59
Entonces, si es igual que el arco coseno de X, yo puedo... 00:31:02
Hostia, guau. 00:31:07
Esto va como yo, retardado. 00:31:09
¿Hello? 00:31:15
¿X es igual que coseno de Y, chavales? 00:31:17
¿Sí o no? 00:31:21
Lo puedo decir, ¿verdad? 00:31:22
¿Sí? 00:31:23
Y ahora, chavales, venga, por favor. 00:31:24
Bueno, derivo respecto a x, ¿vale? 00:31:27
¿Cuál es la derivada de x? 00:31:32
La derivada de x, 1. 00:31:36
La derivada del coseno de una función, es decir, si yo tengo que h de x es igual al coseno de f de x, 00:31:39
su derivada, h' de x, ¿cuál es, chavales? 00:31:48
Menos seno de f de x, ¿verdad? 00:31:53
por f' de x, ¿vale? 00:31:56
Entonces, esto que sería menos el seno de y 00:31:59
por la derivada de mi función, ¿vale? 00:32:03
Y' como antes. 00:32:07
Despejo y' que es menos 1 partido del seno de y, ¿vale? 00:32:09
Y ahora, os acordáis del tema fundamental de la trigonometría, ¿no? 00:32:16
Este de aquí. 00:32:21
Si yo despejo el seno, seno de alfa, ¿qué es? 00:32:21
Más menos, ¿verdad? 00:32:26
1 menos coseno cuadrado de alfa. 00:32:27
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? 00:32:30
¿Sí? 00:32:32
Entonces, esto es menos 1 partido la raíz de 1 menos coseno cuadrado de i. 00:32:35
¿Vale, chavales? 00:32:42
¿Sí o no? 00:32:44
Y ahora, jóvenes. 00:32:45
si coseno de y 00:32:47
venga Diego, cállate ya 00:32:50
mi arma, si el coseno 00:32:52
de y es x 00:32:54
coseno cuadrado 00:32:55
de y que es 00:32:58
x cuadrado, ¿verdad? 00:32:59
entonces esto que es menos uno 00:33:02
partido, anacuello, te hubieras comido 00:33:04
un mojón, ¿vale? 00:33:06
te ha pasado lo mismo que a Eddán 00:33:09
pero es que es el típico 00:33:10
fallo que yo veo, ¿de acuerdo? 00:33:12
Diego, no te llamo más 00:33:15
la atención, ¿eh? 00:33:16
Te lo pido, por favor. 00:33:17
Ana y Hernán, y quien se lo sepa, 00:33:20
que creo que son tres o cuatro, 00:33:23
no hay más gente que se lo sepa de memoria. 00:33:24
Es súper fácil, es súper fácil cometer esto de aquí, ¿vale? 00:33:26
¿Sabes por qué? 00:33:33
Porque la tangente, no sé si recordáis la del arco tangente. 00:33:34
¿Recordáis la del arco tangente? 00:33:37
Esa sí que es sin raíz, esto es positiva y sí que es más. 00:33:41
entonces claro, al final es que son tantas funciones 00:33:45
tantas funciones que te vuelven 00:33:48
dos, entonces de esta forma 00:33:50
para mí, que a lo mejor parece más liosa 00:33:52
no lo sé, pero es tan 00:33:54
sumamente potente 00:33:55
es tan sumamente potente 00:33:57
que los tienes ahí y no tienes fallo 00:33:59
¿vale chavales? 00:34:02
¿sí o no? 00:34:05
¿qué? 00:34:07
Es un truco mejor, chavales. 00:34:08
¿Ya? 00:34:21
Ahora te explico por qué, ¿vale? 00:34:23
Es que es la forma de hacerla. 00:34:27
Es que si no, al final te mueres de asco. 00:34:29
Me voy al arco tangente, ¿vale? 00:34:31
Arco tangente de x. 00:34:33
¿Eso qué significa? 00:34:35
Que x es igual a la tangente de y, ¿verdad? 00:34:36
Si yo derivo, derivo por x, derivo por x. 00:34:39
Derivada de x, ¿cuánto es, chavales? 00:34:45
Un 1, ¿vale? 00:34:47
Y la derivada de tangente de x, hemos visto que hay 3, ¿verdad? 00:34:49
Pero una de ellas que era 1 partido de coseno cuadrado de y y por y'. 00:34:55
¿Vale? 00:35:02
Cojo esta de aquí, ¿de acuerdo? 00:35:03
Cojo esta de aquí. 00:35:06
Si yo de aquí despejo que tengo que y', wow, no me gusta, ah, no, no, no, ya lo sé, tened cuidado, tengo que coger la de 1 más tangente al cuadrado, perdona, 1 más tangente cuadrado de x, de y, perdona, por y, ¿vale? 00:35:06
Entonces, la y' que es 1 partido, 1 más tangente cuadrado de y, ¿verdad? La tangente de y es x, por lo tanto, tangente cuadrado es 1 más x al cuadrado. ¿Lo veis, chavales? 00:35:48
¿Sí? Yo lo que os quiero dar son trucos para intentar memorizar lo menos posible. ¿Vale? Que lo mismo veis esto y lo veis un follón. ¿Vale? Pero yo creo que es bastante útil. ¿Vale, chavales? ¿Sí? 00:36:03
¿Sí? Venga. Chavales, ejercicios que os recomiendo muchísimo para hacer. De la página 271, el ejercicio 6, el ejercicio 7, el 8, el 9, el 10, el 11, 00:36:21
Aparece el cupón 00:36:48
El 12, el 13, 14 00:36:51
Línea 00:36:53
El 15, la niña bonita 00:36:56
El 16, el 17 00:36:59
El 18, el 19 00:37:04
El 20, el 21 00:37:09
El 22 00:37:11
22, 23. 00:37:18
El 24 no sé si me lo he saltado. 00:37:26
El 25, ¿vale? 00:37:28
Premio. 00:37:31
De la página 255, 00:37:32
el ejercicio 1. 00:37:37
Sí, el 24 también. 00:37:42
24, 25 00:37:49
y de momento esto 00:37:55
chavales 00:37:59
voy a ir subiendo 00:38:00
yo voy a subir las soluciones 00:38:04
de todos ellos, es verdad que el solucionario 00:38:08
está, pero yo lo tengo 00:38:10
hecho aquí y además con truquitos 00:38:12
para recordaros porque 00:38:14
se aplica cada cosa, me refiero que en el 00:38:15
formulario está solo un poco 00:38:17
¿Vale? Entonces, vamos a ver. Por ejemplo, me interesa mucho, chavales, aplicar, por ejemplo, este de aquí. Voy a hacer, este es el ejercicio 15, ¿vale? Ejercicio 15, me refiero, no nos vemos hasta el viernes. 00:38:19
Entonces, fijaros todo lo que hay para hacer. 00:38:42
Yo también a ustedes. 00:38:46
Lo único, chavales, os lo dejo. 00:38:49
Chavales, el viernes, ¿qué es lo que vamos a hacer? 00:38:53
La primera, espero que hagáis estos ejercicios, ¿vale? 00:38:56
Espero que hagáis estos ejercicios. 00:39:00
Bastante, tenéis dos días, tenéis dos tardes. 00:39:03
Entonces, lo que necesito es que el próximo día, 00:39:06
que tú que tienes dudas y demás y tal, 00:39:12
la primera parte hagamos dudas. 00:39:14
Y después tenemos que empezar ya sí o sí con la recta tangente 00:39:17
de una función en un punto, ¿vale? 00:39:21
Que es aplicación de derivada. 00:39:23
¿De acuerdo? 00:39:25
¿Sí? 00:39:26
Sí. 00:39:30
Entonces, chaval, que no la hay, pues ya está. 00:39:32
Chavales, por favor, este de aquí me interesa mucho 00:39:34
Seno al cuadrado de X al cuadrado, ¿vale? 00:39:39
Para aplicar bien la regla de la cadena 00:39:43
Chavales, yo... 00:39:45
Esto sí, pero lo voy a hacer porque me interesa bastante 00:39:47
Chavales, aquí si veis esto bien 00:39:52
Si veis esto bien 00:39:55
Nosotros aquí tenemos esto de aquí 00:39:57
Tenemos una función f de x elevado a n, ¿de acuerdo? 00:40:00
Realmente tenemos aquí más cosas. 00:40:09
Tenemos una función de f de g de x elevado a n, ¿vale? 00:40:12
Entonces, ¿qué ocurre? 00:40:18
Si yo tengo una función, Petre, ¿os queréis ir? 00:40:20
¿Os queréis ir? Porque a mí me estáis molestando. 00:40:26
es que me estáis tocando la morada 00:40:28
os voy a decir otra cosa 00:40:30
los cosés no me estáis tocando 00:40:31
entonces, que no queréis estar 00:40:33
aquí yo, iros, iros 00:40:38
ayer no vinisteis, pues nada 00:40:40
hoy tampoco, para qué vienes 00:40:42
para dar por culo, guillo 00:40:44
coño, estáis en segundo de bachillerato, cojones 00:40:45
hay gente aquí que se está jugando la nota 00:40:48
ya ustedes pasáis 00:40:51
nada, guillo 00:40:54
me dejáis darle pata a un saco 00:40:55
pero a mí déjame en paz, porque es que me estás tocando 00:40:58
realmente me estás tocando los cojones hoy, Diego 00:41:00
el móvil ya es la 00:41:02
tercera o cuarta vez, la próxima vez 00:41:04
cojo el móvil, lo llevo a la dirección 00:41:06
llaman a tus padres, un niño que tiene 00:41:08
ya los huevos negros, aquí ya venía 00:41:10
por el móvil 00:41:12
yo digo, cojones, llama la atención 00:41:13
te llamo una vez, pero ya es la 00:41:16
cuarta vez que te llamo la atención, hoy 00:41:18
que no queréis estar, que yo no viniste ayer 00:41:20
pues no venga hoy 00:41:22
pero ya que viene 00:41:23
permitirme que lo haga, vale 00:41:25
esto de aquí 00:41:28
Como es una función que está al cuadrado, el exponente de la función va adelante 00:41:30
y aquí sería seno de 2 menos 1. 00:41:35
Hago todo que ustedes no lo tenéis que hacer en el examen. 00:41:37
Ya ponéis directamente el seno elevado a 1, ¿vale? 00:41:40
Y aquí lo que ocurre, yo pongo la función tal cual la tengo, ¿de acuerdo? 00:41:44
Pero ahora, ¿qué ocurre? 00:41:49
Tengo aquí dentro del seno una x, no tengo otra función, ¿vale? 00:41:50
Por lo tanto, ¿qué tengo que poner aquí ahora? Tengo que poner la derivada de todo esto del seno, ¿verdad? La derivada del seno que es el coseno de x al cuadrado, ¿lo veis? Pero ahora, ¿qué ocurre? ¿Tengo coseno de x? No, tengo aquí otra función, pues aquí tengo que poner el 2x y esto es lo que a la gente, la mayoría se le olvida, ¿vale? 00:41:55
Entonces, chavales, esto es un ejemplo muy claro de las reglas de la cadena, ¿vale? 00:42:22
Una cosa que me interesaría mucho que hicierais, me las voy a inventar ahora, ¿vale? 00:42:30
G de x es el logaritmo neperiano de la raíz de 2 menos x partido 5 más x. 00:42:35
Esto, si hacéis bien este ejercicio que me acabo de inventar, 00:42:46
Supone que controláis bastante la regla de la cadena. 00:42:52
¿Vale? Este, digamos, sería un ejercicio un poco toco. 00:42:57
¿Vale? 00:43:00
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
28 de enero de 2026 - 16:52
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
43′ 04″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
72.65 MBytes

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