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Propiedades de las potencias - Contenido educativo

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Subido el 28 de octubre de 2020 por Jose Félix D.

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Ejemplos de aplicación de las cinco propiedades de las operaciones con potencias

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En este vídeo vamos a repasar las cinco principales propiedades de las operaciones con potencias. 00:00:00
Vamos con la primera, que es cómo se multiplican potencias que tengan la misma base, 00:00:07
o producto de potencias con la misma base, lo mismo multiplicar que producto. 00:00:14
Por ejemplo, 5 elevado a 4 es una potencia cuya base es 5 y el exponente es 4, 00:00:19
y está multiplicando por 5 elevado a 7, tiene la misma base, 5, distinto exponente. 00:00:25
Bueno, pues para multiplicar potencias de la misma base, lo que se hace es que se deja la misma base 00:00:33
y se suman los exponentes de las dos potencias que multiplicamos, 4 más 7. 00:00:38
Se puede poner directamente 5 elevado a 11. 00:00:44
Se puede hacer incluso si tenemos 3 o 4 potencias con la misma base, 00:00:48
Por ejemplo, 3 elevado a 4 por 3 elevado a 2 por 3 elevado a 3, todos tienen base 3, todas estas tres potencias tienen la misma base 3, 00:00:52
pues lo que tenemos que hacer es sumar 4 más 2 más 3. 00:01:02
4 más 2 más 3 son 9, pues el resultado es 3 elevado a 9. 00:01:06
Cuidado con la multiplicación de estas dos potencias. 00:01:12
El 7 parece que no es una potencia, pero sí es una potencia, porque tiene exponente 1. 00:01:15
Lo que pasa es que el 1 en las potencias en el exponente no se suele poner. 00:01:21
Por lo menos en el resultado final de los ejercicios nunca hay que ponerlo. 00:01:26
En los pasos intermedios sí se puede poner. 00:01:30
Pero aquí si tengo que multiplicar estas dos potencias, tengo que considerar que son dos potencias que tienen la misma base. 00:01:33
El exponente de la primera es 4 y el exponente de la segunda es 1. 00:01:40
Por lo tanto, 4 más 1 son 5. Esta multiplicación daría 7 elevado a 5. 00:01:44
Pues vamos por último a algún ejemplo más, 2 elevado a 2 por 2 elevado a 3 por 2 elevado a 8, otra vez tres potencias, pues sería, dejamos la base 2, 2 más 3 es 5, más 8 es 13, pues 2 elevado a 13, veis, aquí ya lo he puesto directamente, no ha hecho falta poner la suma. 00:01:51
En el caso de que en la base haya letras, la propiedad es la misma. 00:02:09
Si yo tengo una potencia cuya base es x y el exponente 4 multiplicado por otra potencia que tiene la misma base x con exponente 3 y por otra potencia cuya base es x y el exponente 7, 00:02:14
pues el resultado de la multiplicación va a ser una potencia cuya base es x y el exponente será la suma de 4 más 3 más 7. 00:02:27
4 y 3 7 y 7 14 pues x elevado a 14 y en general pues la propiedad se puede poner así la multiplicación 00:02:35
de dos potencias que tienen la misma base veis la base a y la base a pues es otra potencia que 00:02:45
tiene la misma base a y en la que se suman los exponentes de las dos potencias que multiplicamos 00:02:52
En este caso eran P y Q, pues P más Q, lo que diera. 00:02:58
La segunda propiedad es cómo se dividen potencias cuando tienen la misma base, 00:03:03
cociente de potencias con la misma base. 00:03:09
En este caso se trata de una división de dos potencias, 00:03:11
3 elevado a 8 dividido entre 3 elevado a 2, que tienen la misma base 3. 00:03:15
Bueno, pues para dividir potencias con la misma base, 00:03:21
lo que se hace es que se deja la misma base y restamos los exponentes. 00:03:24
El exponente de la primera potencia menos el exponente de la segunda potencia. 00:03:29
En este caso, 8 menos 2. 00:03:34
8 menos 2 es 6, pues el resultado es 3 elevado a 6. 00:03:36
Se puede hacer incluso si tuviéramos dos potencias, dos divisiones seguidas. 00:03:40
6 elevado a 9 entre 6 elevado a 4 entre 6 elevado a 3, 00:03:45
pues sería, dejamos la misma base y restamos 9 menos 4 menos 3. 00:03:49
9 menos 4 serían 5 y 5 menos 3 serían 2, pues el resultado 6 elevado a 2. 00:03:56
Al igual que en el ejemplo de la multiplicación, si tengo que hacer la división, por ejemplo, 00:04:03
de 4 elevado a 6 dividido entre 4, esto lo puedo hacer como una división de potencias 00:04:08
teniendo en cuenta que esta potencia, el exponente es 1, lo que pasa que no está puesto. 00:04:13
pero al restar los exponentes tengo que tener en cuenta que es 6 menos 1, 5, pues me quedaría 4 elevado a 5. 00:04:17
Se puede poner directamente los resultados, no hay por qué hacer estos pasos intermedios. 00:04:26
Por ejemplo, 2 elevado a 6 entre 2 elevado a 4, pues como 6 menos 4 es 2, pues me quedaría la misma base 2 y el exponente ya directamente 2. 00:04:30
En el caso de que tuviera letras en la base, pues exactamente igual, pues z, z, z, la misma base, pues dejo la misma base y resto los exponentes, 7 menos 2 nos daría 5 y 5 menos 5, 0. 00:04:41
Y aquí esto nos sirve para recordar que cualquier potencia de exponente 0, el resultado siempre es 1. 00:04:56
Hemos puesto también la fórmula para recordar la regla, 00:05:06
que es que si tengo que dividir dos potencias que tienen la misma base A, 00:05:10
pues lo que se hace, el resultado se deja la misma base A 00:05:14
y restamos los exponentes de la primera potencia P menos el de la segunda potencia Q. 00:05:18
La tercera propiedad es cómo se calcula una potencia de una potencia. 00:05:26
es cuando en la base de una potencia tengo otra potencia. 00:05:31
La base es como si fuera 2 elevado a 8 y el exponente sería 3. 00:05:36
¿Cómo se calcula 2 elevado a 8 elevado a 3? 00:05:42
Pues la regla es que se deja la base de la potencia que tengo en la base, 2, 00:05:45
y se multiplican los exponentes, por así decirlo, de las dos potencias. 00:05:50
8 por 3, como es 24, pues me quedaría 2 elevado a 24. 00:05:55
3 elevado a 4 elevado a 2, pues sería 3, y 4 por 2, como da 8, pues 3 elevado a 8. 00:06:00
4 elevado a 0 elevado a 5, pues quedaría 4 elevado a 0 por 5, y como 0 por 5 es 0, 00:06:08
pues 4 elevado a 0, lo acabamos de decir en la propiedad anterior, cualquier potencia cuyo exponente es 0, el resultado es 1. 00:06:15
Nos podemos saltar el paso este intermedio y poner ya directamente el resultado de la multiplicación de los exponentes. 00:06:23
9 elevado a 3 elevado a 2, pues 3 por 2, 6, pues 9 elevado a 6. 00:06:29
Incluso si tengo potencia de una potencia de otra potencia, pues 7 elevado a 2 elevado a 3 elevado a 5, 00:06:35
pues se deja la misma base, 7, y multiplicamos 2 por 3, 6, por 5, 30, pues 7 elevado a 30. 00:06:42
La regla es que si tengo una potencia de una potencia, se deja la misma base A 00:06:51
y multiplicamos los exponentes p por q. 00:06:57
La cuarta propiedad es cómo se hace una potencia de una multiplicación. 00:07:02
¿Veis? Aquí tengo una multiplicación 3 por 7 y como todo el 3 por 7 está elevado a 5, 00:07:08
pues esto sería una potencia de una multiplicación. 00:07:14
Pues lo que dice la regla es que se hace la potencia del primer factor, 00:07:17
la potencia de 3 en este caso, pues 3 elevado a 5, 00:07:22
y eso luego se multiplica por la potencia del segundo factor, del segundo número, por 7 elevado a 5. 00:07:25
Lo que pasa es que en hacer estos cálculos generalmente se suele tardar más 00:07:31
que en hacer directamente la multiplicación de 3 por 7, que sería 21, y elevado a 5. 00:07:35
Y en calcular 21 elevado a 5 casi siempre se suele tardar, bueno, muchas veces por lo menos, 00:07:41
se suele tardar más que en calcular 3 elevado a 5, luego calcular 7 elevado a 5 00:07:47
y luego hacer la multiplicación. 00:07:53
Por tal motivo, esta propiedad casi nunca se aplica en este sentido, 00:07:56
es decir, casi siempre se va a aplicar al revés. 00:08:01
Cuando tenemos este resultado, es decir, cuando tenemos una multiplicación de dos potencias 00:08:04
que tienen el mismo exponente, y lo que conviene muchas veces es ponerlo como una potencia de un producto. 00:08:09
Por eso también he puesto como título producto de potencias con el mismo exponente. 00:08:16
Vamos a ver un ejemplo ya, que si nos dan dos potencias con el mismo exponente. Por ejemplo, 2 elevado a 7 por 5 elevado a 7. ¿Veis? Tienen el mismo exponente 7. Pues lo que hay que hacer es multiplicar las bases, 2 por 5, y dejar el mismo exponente. 00:08:20
y fijaros que en este caso 2 por 5 es 10, nos queda una potencia de 10, 10 elevado a 7, 00:08:37
que sabemos que es muy fácil de calcular, es un 1 seguido de tantos ceros como indica el exponente, 00:08:44
sería un 1 y 7 ceros, y fijaros que no me ha hecho falta ni calcular 2 elevado a 7, 00:08:49
que en este caso no es muy difícil, pero para 5 elevado a 7 seguro que lo tengo que hacer a mano con la calculadora, 00:08:56
si no, no sabría y tardaría un buen rato si lo tengo que hacer a mano, 00:09:02
Sin embargo, el resultado, como el resultado ha salido de la multiplicación 2 por 5 es 10, es muy sencillo. 00:09:06
Por ejemplo, 3 elevado a 4 por 6 elevado a 4, pues tienen el mismo exponente, 4, pues multiplicamos las bases, 3 por 6, que es 18, pues 18 elevado a 4. 00:09:13
Incluso se puede hacer con tres potencias. 00:09:27
Veis que estas tres potencias, 5 elevado a 6, 4 elevado a 6, 5 elevado a 6, tienen el mismo exponente. 00:09:29
Pues sería multiplicar 5 por 4 y por 5, 5 por 4, 20, y por 5, 100, pues 100 elevado a 6. 00:09:36
Si tuviera letras, sería exactamente igual. 00:09:45
La multiplicación de dos potencias cuando tienen el mismo exponente, 00:09:49
lo que se hace es que se multiplican las bases y se deja el mismo exponente, 7 en este caso. 00:09:52
Las reglas, dependiendo si lo que tengo que calcular es la potencia de un producto, 00:09:58
pues la potencia de un producto es el producto de las dos potencias de ambos factores. 00:10:03
Pero ya digo que generalmente se suele aplicar al revés. 00:10:10
Cuando tenemos un producto de potencias que tienen el mismo exponente, 00:10:13
lo que se hace es que se multiplican las bases y se deja el mismo exponente. 00:10:17
Y la última propiedad es cómo se hace la potencia de una división, la potencia de un cociente. 00:10:22
Va a pasar algo parecido a la propiedad anterior. 00:10:30
Veis aquí tengo una división, 8 dividido entre 4 y toda esta operación está elevado a 7. 00:10:34
Pues lo que dice la propiedad es que es la potencia del primer número, 8 elevado a 7, 00:10:41
y eso es lo que se divide entre la potencia del segundo número, 4 elevado a 7. 00:10:47
La potencia del dividendo entre la potencia del divisor. 00:10:53
Pues generalmente en hacer este cálculo se tarda más que si hago la división de 8 entre 4 y lo elevo a 7. 00:10:57
Pues entonces, como ha pasado en el ejemplo anterior, la propiedad generalmente se aplica al revés. 00:11:06
cuando tengo una división de dos potencias que tienen el mismo exponente 00:11:12
pues conviene dividir las bases y dejar el mismo exponente 00:11:17
vamos a verlo ya en un caso concreto 00:11:21
por ejemplo si nos dieran 6 elevado a 9 entre 3 elevado a 9 00:11:24
pues lo que se suele hacer 00:11:28
veis que son dos potencias que tienen el mismo exponente 9 00:11:30
dividimos las bases 6 entre 3 y dejamos el mismo exponente 9 00:11:33
Como 6 entre 3 es 2, pues el resultado sería 2 elevado a 9, 512, por ejemplo. 00:11:38
Las potencias de 2, pues conviene sabérselas casi de memoria, por lo menos hasta el 2 elevado a 10. 00:11:45
15 elevado a 3 dividido entre 5 elevado a 3, tienen el mismo exponente, pues se deja el mismo exponente, 3, y dividimos las bases. 00:11:52
15 entre 5, que es 3. 3 elevado a 3, pues 27. 00:12:01
Sin embargo, si tuviera que calcular 15 elevado a 3, pues tendría que hacer una multiplicación por ahí aparte, me llevaría tiempo. 00:12:06
5 elevado a 3 quizás lo podría hacer de cabeza, es 125. 00:12:13
Pero luego tendría que volver a hacer la división. 00:12:17
Sin embargo, de esta forma el resultado se calcula muy sencillo. 00:12:20
20 elevado a 5 entre 5 elevado a 5, ya saltándome el paso previo intermedio, pues 20 entre 5 es 4, pues 4 y se deja el mismo exponente 5. 00:12:23
Si tuviera letras con el mismo exponente, una división de dos potencias con el mismo exponente, 00:12:34
se divide en las bases, A dividido entre B, lo que diera, y se deja el mismo exponente. 00:12:40
Por lo tanto, la regla general, si lo que tengo que calcular es una potencia de una división, 00:12:45
pues lo que hago es la potencia del dividendo dividido entre la potencia del divisor. 00:12:52
Pero generalmente lo que se aplica es la propiedad al revés, en este sentido, de derecha a izquierda. 00:12:57
cuando tengo una división de dos potencias que tienen el mismo exponente. 00:13:04
Lo que se hace es que se dividen las bases de esas potencias y se deja el mismo exponente. 00:13:09
Subido por:
Jose Félix D.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
166
Fecha:
28 de octubre de 2020 - 9:01
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARPE DIEM
Duración:
13′ 15″
Relación de aspecto:
1.89:1
Resolución:
928x490 píxeles
Tamaño:
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