Dominio de una función - Contenido educativo
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Vamos a ver ahora el dominio de una función a partir de su fórmula, ¿vale?
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Y aquí hay que distinguir tres casos, ¿vale?
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Dependiendo de cómo sea la función, del tipo de función de la que queramos averiguar el dominio, ¿vale?
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Las más fáciles, las primeras que tenemos son las funciones polinómicas, ¿vale?
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Las funciones polinómicas simplemente es que su fórmula es un polinomio.
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Aquí sería el esquema, ¿vale? f de x es igual a un número, más un número por x, más otro número por x al cuadrado,
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más otro número por lo que sea x al cubo, x a la 5, un ejemplo que...
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Bueno, os digo, si es una función polinómica, su dominio es muy fácil, siempre es cualquier número real.
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Acordaos de lo que era el dominio.
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El dominio es todos los valores de x para los que conocemos la y, para los que podemos averiguar el valor de la función, ¿vale?
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Todos los valores de x que tienen sentido para esa función.
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Un ejemplo, ¿vale?
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Os he puesto el polinomio ordenado al revés de lo que solemos hacer para que veáis el significado de este esquema, ¿vale?
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Es un número, más un número por x, más otro número por x al cuadrado, luego iría otro número por x al cubo, ¿vale?
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En el fondo es un polinomio, ¿vale?
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Nosotros estaríamos más acostumbrados a escribirlo así.
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x al cubo, más 7x al cuadrado, más 3x, más 5, ¿vale?
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Vosotros cuando veáis una función que su fórmula es un polinomio, ¿cuál es el dominio?
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¿Qué números los sustituimos en la x y vamos a saber obtener el resultado, vamos a conocer la y, vamos a conocer el valor de la función?
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Pues es que pongamos el número que pongamos en las x y es un polinomio, hacemos cuentas y nos va a salir otro número.
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No vamos a tener ningún problema, por eso decimos que el dominio de esta función son todos los números reales, se pone así, ¿vale?
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No hay que darle más vueltas a la cabeza, porque es que tú cualquier número que pongas en la x vas a poder hacer cuentas y averiguar el número que se corresponde con esa x, ¿vale?
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La y que le corresponde.
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Sin embargo hay otro tipo de funciones, las funciones racionales, que son un polinomio dividido entre el otro polinomio, ¿vale?
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Que estas sí que nos dan problemas.
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En ese caso el dominio de la función son todos los números reales excepto las raíces del denominador.
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Pensemoslo un poco, es que esto no había falta ni siquiera que os lo hubiera contado, yo creo que algunos lo hubierais deducido enseguida.
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Fijaos en esta función de aquí, ¿vale?
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¿Qué valores le puedo dar a la x para poder averiguar la y?
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Pues que, como decíamos antes, yo aquí arriba que tengo un polinomio, cualquier valor que sustituya en la x voy a poder averiguar su valor.
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Y en el denominador igual, ¿vale?
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Sin embargo hay un problema.
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¿Y cuál es el problema con las funciones racionales?
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A algunos ya se les estará ocurriendo, ¿vale?
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El problema, siempre que hacemos una división, es que hay una división que no se puede hacer en matemáticas.
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Ya lo hemos visto muchas veces a lo largo del curso, ¿vale?
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En matemáticas no se puede dividir entre cero.
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En matemáticas no podemos repartir entre cero.
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Podemos repartir cosas entre una persona y le las damos todas a esa persona.
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Pero dividir entre cero, eso no tiene sentido, ¿vale?
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Entonces el único problema está en los números que hagan que el denominador se convierta en cero.
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Y aquí en el ejemplo que os he puesto se ve muy fácil, ¿vale?
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Lo podéis imaginar, pero es que habrá veces que no se vea tan fácil, ¿vale?
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Aquí se ve claramente que si pones en lugar de la x un 4, 4 menos 4 hace que es de cero.
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Entonces el dominio de esta función sería todos los números reales, excepto el 4.
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Para el 4, perdón, esto lo ponemos entre llaves, ¿vale?
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Para el 4 no sabríamos cuánto vale la función.
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Comprobemos que tendríamos problemas.
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Intentemos calcular f de 4.
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Cambiemos todas las x por 4.
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5 por 4.
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Dividido entre 4 menos 4.
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Esto sería 5 por 4.
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2 por 16 menos 20.
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Partido de cero.
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32 menos 20, partido de cero.
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Daría 12 partido de cero.
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12 partido de cero no se puede hacer, ¿vale?
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La función no existe, no está definida para cuando la x es igual a 4.
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Luego el 4 no forma parte del dominio de la función, ¿vale?
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La función no está definida, la función no se puede resolver cuando la x vale 4.
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Por eso decimos que cualquier número nos vale, excepto el 4,
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porque ese nos va a dar problemas ya que convertirá el denominador en cero
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y no podremos resolver la fórmula, ¿de acuerdo?
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Lo que os estaba diciendo es que no siempre el denominador va a ser tan sencillo como este, ¿vale?
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En el denominador podemos tener cualquier cosa y tenemos que averiguar
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qué número hace que el denominador valga cero.
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¿Cómo se hace?
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Cuando no se vea de cabeza, pues imaginamos que fuera una ecuación de segundo grado.
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x al cuadrado menos 4, pues tendríamos que igualarla a cero.
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Tendríamos que resolver la parte x al cuadrado menos 4 igual a cero.
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Lo haríamos, me daría que la x da dos números, el 2 y el menos 2, ¿vale?
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Entonces pondríamos dominio de f de x son todos los reales excepto el 2 y el menos 2, ¿vale?
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Sea lo que sea en el denominador, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación
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y esos son los números que no van a valer porque van a ser justo los que hagan que el denominador
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sea igual a cero, ¿vale? Por eso hemos puesto la página.
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Y el último caso que vamos a estudiar son las funciones irracionales.
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Esto es cuando lo que tenemos es un radical, ¿vale?
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Una raíz de índice n y dentro de la raíz un polinomio, ¿vale?
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Que os lo he puesto así en esquema, pero lo que tenemos es un polinomio.
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Y aquí hay que distinguir dos casos.
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Si el índice de la raíz es impar, siempre lo vamos a poder resolver,
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entonces el dominio es el de lo que haya dentro.
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Y como es un polinomio, el dominio son todos los números reales.
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Pero si el índice es un número par, sabéis que las raíces cuadradas de índice par
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hay veces que no se pueden hacer. ¿Cuándo? Cuando lo que hay aquí dentro es negativo.
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Entonces el dominio, esto es lo que os he puesto aquí en notación matemática,
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son todos los números reales, todos los números que pertenecen al conjunto de los reales,
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¿vale? Todos los números reales, tales que, acordaos de cuando os explicaba
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lo que significaban estos símbolos matemáticos, tales que lo que hay dentro de la raíz,
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el polinomio que hay dentro de la raíz, sea mayor o igual que cero.
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El dominio valdrán todos los números que hagan que lo que hay aquí dentro de la raíz
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sea igual o mayor que cero. Vamos a ver un ejemplo sencillo.
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Bueno, si yo os pongo la raíz cúbica de x menos 4, no hay ningún problema.
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El dominio de f de x serían todos los reales. ¿Por qué?
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Porque el índice es impar y lo que hay dentro de la raíz es un polinomio.
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Entonces, pues, no hay ningún problema.
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Si, en cambio, el índice fuera 4, ¿vale?, o la raíz cuadrada,
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tendríamos que averiguar cuándo esto es mayor o igual que cero.
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Pues nos cogemos aparte una hoja y lo que tenemos que resolver esta vez,
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antes resolvíamos una ecuación, ahora lo que tenemos que hacer es una inequación.
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Resolver cuándo esto va a ser mayor o igual que cero.
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En este caso es una inequación de primer grado, con lo cual no hay ningún problema.
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Se resuelve despejando, pasamos el 4 al otro lado, cuando los números sean mayores o iguales que 4.
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¿Cuál es la respuesta? La damos en forma de intervalo.
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Los números desde cero...
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Los números mayores o iguales que 4.
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Es decir, los números desde 4 hasta más infinito.
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Esta es la solución.
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Esta es la solución. Cualquier número que elijamos del 4 al más infinito, incluido el 4,
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lo sustituimos aquí y vamos a poder encontrar la solución.
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Vamos con la calculadora o haciendo cuentas, pero vamos a tener resultado.
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Pero si pongo otro número diferente, por ejemplo el 1.
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1 menos 4, ¿cuánto me da? Menos 3.
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La raíz cuarta de menos 3 no la sabemos hacer.
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No sabemos hacer raíces negativas cuando el índice es par, ¿vale?
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En cambio el 5, 5 menos 4 da 1, raíz cuarta de 1, 1.
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Así se encuentra el dominio de una función a partir de su fórmula.
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Recordad que hay tres casos, estudiadlos, luego practicaremos.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Elías Martí Borredà
- Subido por:
- Elias M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 4
- Fecha:
- 20 de octubre de 2023 - 17:26
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES VILLA DE VALLECAS
- Duración:
- 09′ 34″
- Relación de aspecto:
- 3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
- Resolución:
- 720x480 píxeles
- Tamaño:
- 27.34 MBytes
