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Ecuaciones equivalentes. método de transposición - Contenido educativo
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Una vez visto el concepto de ecuación, veamos cómo se resuelven.
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Pero antes vamos a tratar el concepto de equivalencia de ecuaciones.
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Y después veremos qué tipo de ecuaciones nos podremos encontrar.
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Bien, dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
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O caso de no tener solución, que ambas no tienen la solución.
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Pensemos en este caso, en que tienen la misma solución.
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Por ejemplo, la ecuación 4x igual a 8 no es la misma ecuación que 5x igual a 10.
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Sin embargo, tienen la misma solución. En este caso x vale 2, en este caso x vale 2.
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O por ejemplo, 8x, voy a poner en lugar de 5, por simplificar un poco la explicación, 8x igual a 16.
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Pues fijaros, estas dos ecuaciones tienen la misma solución y por tanto serían equivalentes.
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Pues bien, daros cuenta de que puedo obtener una ecuación a partir de la otra, multiplicando ambos miembros por 2.
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2 por 4x es 8x, 2 por 8 es 16
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Pero se dan más situaciones como esta
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Por ejemplo, son equivalentes las ecuaciones
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3x más 2x menos 5 igual a 20
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Y la ecuación 5x igual a 25 sería equivalente a la primera
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porque tienen la misma solución y fijaros lo que hacemos es en el fondo podríamos obtener la
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segunda a partir de la primera edad mediante una serie de operaciones algebraicas sobre la propia
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ecuación mediante el método de transposición que no voy a entrar pero que en todo caso resumíamos
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Estamos observando que el menos 5 pasaría al otro lado sumando y me quedaría 3x más 2x igual a 25.
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De esta manera obtendría una ecuación que es esta que es equivalente a esta primera y a su vez ahora podría sumar el 3x más 2x que es 5x igual a 25 y obtendría finalmente esta ecuación.
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Es decir, que mediante transformaciones relativamente sencillas y adecuadas de una ecuación puedo obtener ecuaciones equivalentes.
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En este caso, pues, en fin, ya entraremos más en detalle.
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Veremos que en términos generales como resolver una ecuación nos va a llevar a obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas
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Hasta que finalmente nos den la solución x
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Esto es el proceso de despejar el valor x en una ecuación
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Por ejemplo, lo que hemos visto antes, 3x más 2, bueno, en fin, no lo repito.
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Veamos ahora qué tipos de ecuaciones existen, o digamos, mejor dicho, qué tipos de ecuaciones nos vamos a encontrar.
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Bueno, o mejor antes vamos a ver qué tipo de transformaciones mantienen la equivalencia de ecuaciones.
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Vamos a ver, la primera transformación consiste en que sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad
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pues nos lleva a obtener una ecuación equivalente
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Por ejemplo, si tenemos la ecuación x más 8 igual a 27
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Pues restar a ambos miembros un número, el mismo número, obtendríamos una ecuación equivalente
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Por ejemplo, x más 8 menos 5 igual a 27 menos 5
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Pues en fin, como digo, pues restar a este primer miembro y a este segundo miembro 5
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Como estoy haciendo la misma operación, pues obtengo una ecuación equivalente
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Que tendrá exactamente la misma solución
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Lo que pasa es que en este caso se transformaría en esta ecuación, 8 menos 5 es 3 igual a 22, esta ecuación es equivalente a esta.
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Otra cuestión es que realmente esto me sea útil para resolver la ecuación, pero fijaros que sí me va a ser útil si lo que resto a ambos miembros es 8.
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Yo puedo hacer lo mismo y en este caso el 8 se va con el 8 y me queda x despejada y concluiríamos con que x es 19 y así tendría la solución de la ecuación.
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Es decir, que esta ecuación es equivalente a esta porque estoy restando el número 8 en ambos miembros a la vez y fijaros que me queda despejada x.
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Esto es lo que hemos resumido en otras ocasiones como que el 8 pasaría restando.
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En realidad lo que hacemos es exactamente el mismo método.
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Se llama el método de transposición.
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Así pues, como regla práctica para este método diríamos que
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lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro.
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Y viceversa, lo que está restando pasaría sumando.
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Otra transformación que me permite obtener ecuaciones equivalentes
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Sería la de multiplicar o dividir los dos miembros
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Por el mismo número distinto de 0
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Distinto de 0 tiene que ser porque si fuera 0
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Pues ya sabéis que multiplicar por 0 anularía toda la expresión
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Veamos un ejemplo
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Por ejemplo, x por 5 igual a 30. Pues esta ecuación, por ejemplo, tiene una equivalente que si yo divido a ambos miembros por 9, por ejemplo, pues sería x por 5 entre 9 igual a 30 entre 9, pues obtendría una ecuación que es equivalente a esta.
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En este caso quiere decir que tendría las mismas soluciones
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Pero nuevamente lo que hemos visto antes es que no toda transformación me es útil para resolver la ecuación
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Por ejemplo en este caso no me sería útil porque he obtenido una ecuación bastante más compleja que la anterior
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¿Cómo podríamos utilizar este método para resolver la ecuación?
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Pues dividiendo ambos miembros por 5
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porque de esta manera este elemento desaparecería.
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Ya sabemos que esta ecuación es equivalente a esta
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porque estoy dividiendo ambos miembros por 5
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y la cuestión ahora sería que este 5 se va con este
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y me queda x despejada.
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Es decir, que en este caso, mediante esta transformación
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sí obtengo una ecuación más sencilla que me permite resolver x.
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Este proceso a un nivel práctico se resume en lo siguiente
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Fijaros, aquí el 5 ha pasado a dividir
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Por tanto, lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro pasa dividiendo al otro
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A todo lo demás del otro
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¿De acuerdo? Y viceversa, lo que está dividiendo pasaría multiplicando. Por ejemplo, veamos otro ejemplo en el que, vamos a ver, supongamos, por ejemplo, que tengo esta ecuación, x dividido por 9 igual a 3.
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Pues bien, fijaros que si yo multiplico ambos miembros por 9
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Pues por el principio que hemos visto
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Obtendría una ecuación equivalente
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O sea, con la misma solución
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Pero además, fijaros que quedaría muy sencilla
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Multiplico por 9 ambos miembros
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Y este 9 se va con este
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Porque a la x le multiplico por 9
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Y luego lo divido por 9, es lo mismo
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Me quedaría x igual a 3 por 9
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Que es 27
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Y esta es la solución de la ecuación, ¿de acuerdo? Y fijaros, lo que ha pasado es que este número que está dividiendo pasa a multiplicar aquí y por esto que comentamos de que lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro pasa dividiendo a todo lo demás del otro miembro o viceversa.
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Gracias.
00:09:59
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- 14 de enero de 2021 - 14:03
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