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Continuidad y derivabilidad de una función. Cálculo de parámetros. - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Bueno, buenos días. Hoy es 4, el gallito verde, ¿no? Venga, 4 del 2, del 26. 00:00:00
Entonces, chavales, aquí lo que me dicen es que calculemos, está dado el repelúquillo frío, 00:00:14
m y n para que f sea derivable, ¿de acuerdo? Entonces me da una función a trozos. 00:00:19
Entonces aquí nosotros lo que tenemos que saber es que para que una función sea derivable, 00:00:23
primero tiene que ser continua, ¿vale? Entonces, en ese punto, claro, si es un intervalo, en todo el intervalo, 00:00:28
entonces, para que f de x sea derivable, tiene que ser continua, tiene que ser continua. 00:00:41
Entonces, ¿qué vamos a hallar chavales? Pues primero vamos a estudiar la continuidad de f de x. 00:00:56
¿Qué ocurre de f de x? Entonces, ¿qué ocurre chavales con esta función? 00:01:08
¿Esta función qué es? ¿Qué es esta función? ¿Pero qué es gráficamente? 00:01:15
Una parábola, ¿vale? Y la de abajo también es otra parábola. 00:01:23
Entonces, esas funciones como si, al ser polinómica, pues son continuas, ¿vale? 00:01:27
Entonces, los trozos son continuos al ser una función polinómica, ¿vale? 00:01:33
Ahora, que va con retraso como yo, ¿vale? 00:01:57
Entonces, chavales, ¿dónde voy a estudiar la continuidad? 00:02:00
Pues 12 estudios, la continuidad en x igual a 1. 00:02:02
Carla, fuiste tú la que me dijiste, sí, lo suyo es poner lo de también en la derivabilidad lo que vamos a poner aquí, ¿vale? 00:02:12
Entonces, f de x es continua en x igual a 1, sí, solo sí. 00:02:19
El límite de f de x cuando x tiende a 1, ¿verdad? 00:02:29
Es igual a f de 1. 00:02:35
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:02:37
Entonces, vamos a hallar el límite de f de x cuando x tiende a 1. 00:02:40
Y como está definido a trozos, pues lo tengo que hacer por la izquierda y por la derecha, ¿vale? 00:02:47
¿Por la izquierda que utilizo, la de arriba o la de abajo? 00:02:53
¿Hello? 00:02:58
La de arriba, muy bien. 00:02:58
x cuadrado menos 5x más m, ¿de acuerdo? 00:03:01
¿Y esto cuánto es? 00:03:05
¿Vale? Y una cosa, en la palabra límite hay que arrastrarla siempre, ¿vale? 00:03:08
Hay que arrastrarla siempre. 00:03:13
Hay que ponerlo siempre, excepto cuando ya no haya ninguna x, ¿vale? 00:03:15
Y entonces, el 1 por la derecha es la de abajo, que es menos x cuadrado más n, ¿verdad? 00:03:21
Menos x cuadrado más nx. 00:03:29
Muy bien. 00:03:33
Entonces, sustituyo donde haya una x. 00:03:34
Pongo un 1. 00:03:36
1 al cuadrado menos 5 por 1 más m. 00:03:37
¿Esto cuánto es, chavales? 00:03:41
Pues m menos 4, ¿verdad? 00:03:42
¿Y esto de aquí qué hago? 00:03:45
Fijaros que yo ya he sustituido. 00:03:47
Por lo tanto, ya no pongo la palabra límite. 00:03:48
Lo voy a subir. 00:03:51
Entonces, esto es menos. 00:03:52
Tened cuidado porque el cuadrado aquí solo afecta a la x. 00:03:53
No afecta al menos, ¿vale? 00:03:56
Entonces, menos 1 al cuadrado más n por 1. 00:03:57
¿Y esto cuánto da, chavales? 00:04:02
n menos 1. 00:04:04
¿Lo veis? 00:04:05
¿Sí o no? 00:04:07
¿Está burro? 00:04:07
No, no, no. 00:04:08
Puede ser un momento. 00:04:09
Baja, ¿no? 00:04:10
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:04:14
Pues que precisamente existe el límite de f de x cuando x tiende a 1. 00:04:16
Sí, solo sí, ¿verdad? 00:04:25
el límite de f de x por la izquierda es igual que por la derecha, ¿verdad? 00:04:26
¿Sí o no? ¿Lo veis? 00:04:34
Entonces, ¿cuál es la primera condición que tenemos que cumplir? 00:04:37
La primera condición es que m menos 4 tiene que ser igual a n menos 1. 00:04:41
Es decir, m es igual a n más 3. 00:04:49
¿Hasta aquí alguien se me ha perdido algo? 00:04:55
es aplicar la definición de continuidad 00:04:57
una función es continua 00:05:00
bueno, todavía en principio 00:05:03
los límites tienen que ser iguales 00:05:07
para que exista el límite 00:05:09
y después, chavales, ¿cuánto sería f de 1? 00:05:10
f de 1, lo voy a poner aquí en negro 00:05:14
¿cuánto vale f de 1? 00:05:16
está definido arriba, ¿verdad? 00:05:19
entonces f de 1, ¿qué es? 00:05:22
1 al cuadrado menos 5 por 1 más m 00:05:24
m menos 4 00:05:27
coincide además chavales 00:05:30
con un límite 00:05:32
lateral 00:05:33
entonces esto de aquí 00:05:35
se tiene que verificar si o si 00:05:38
para que sea continua 00:05:40
pero es que también se tiene que verificar para que sea 00:05:41
derivable porque si no es continua 00:05:44
ya no es derivable 00:05:45
¿vale chavales? 00:05:47
sí, pero no he terminado 00:05:51
yo tengo que hallar esa m y esa n 00:05:53
¿vale? este es un ejercicio 00:05:55
de los que me gustan. 00:05:57
Es Potentón, como tú, Gorrión. 00:06:03
I know it, I know it. 00:06:07
¿Puedo pasar o no? 00:06:09
¿Sí? 00:06:10
Venga, entonces, 00:06:11
le voy a copiar esto, ¿vale? 00:06:12
Venga. 00:06:19
Y ahora, chavales, 00:06:20
una cosilla. 00:06:21
Ahora vamos a estudiar 00:06:22
la derivabilidad, 00:06:23
que es lo que realmente me piden. 00:06:24
Derivabilidad. 00:06:26
¿Vale? 00:06:28
Derivabilidad. 00:06:29
La primera con V, 00:06:29
la segunda con B de Betty. 00:06:31
¿Vale? 00:06:33
Entonces, f' de x, chavales, ¿cuánto vale f' de x? También se define a trozos. 00:06:33
Aquí, ¿qué sería? 2x menos 5, ¿estamos de acuerdo? 00:06:40
Si x es menor o igual que 1. 00:06:45
Y abajo, ¿qué sería? Menos 2x más n, ¿verdad? 00:06:48
Si x es mayor o igual, no, mayor que 1, perdón. 00:06:52
Entonces, en mayores hay que ponerlo, porque sale igual. 00:06:57
En el de 1 sale que no. 00:07:00
Claro, a ver, aquí en las derivadas vale, buena apreciación. En las derivadas no pongáis el igual, ¿vale? En las derivadas ponéis siempre un estricto, ¿vale? Porque nosotros ahora vamos a estudiar precisamente la derivada ahí. 00:07:01
no sé lo que ocurre, como el 1 00:07:19
es el punto 00:07:21
digamos de disrupción 00:07:23
entre un trozo y otro, ¿vale? 00:07:25
yo todavía no puedo decir que la derivada 00:07:27
en 1, de hecho no la tengo calculada 00:07:29
en todo lo demás sí, ¿vale? 00:07:31
todo lo que sea diferente sí que puedo 00:07:34
decir eso, pero en el 1 00:07:37
es lo que yo voy a estudiar ahora 00:07:38
¿vale? dime hijo 00:07:40
sí, sí, es que el límite 00:07:42
lo esfuerzo yo a que exista 00:07:46
El límite por la izquierda es M-4 y el límite por la derecha es N-1. Entonces, si son iguales estos dos, ya existe límite, ¿verdad? 00:07:48
claro, yo esfuerzo que sean iguales 00:08:02
que si ya son distintos, ya natillas 00:08:05
ya no puede ser 00:08:07
igual, y además que como coincide 00:08:09
precisamente con F de 1 que es 00:08:11
M-4, pues entonces los 00:08:13
igualo y ya son 00:08:15
esa condición es sin 00:08:16
equanum para que sea continua 00:08:19
si no, natillas danones 00:08:21
¿qué te pasa Ximena? 00:08:22
ya, a caro 00:08:23
olemos mal 00:08:25
el otro día fue la 00:08:29
Carla, dime hija 00:08:31
cuando 00:08:33
estemos haciendo este tipo de ejercicios 00:08:35
siempre hay que dejar ahí como 00:08:37
si la derivada 00:08:39
en principio sí 00:08:42
sino cuando hace la derivada 00:08:42
la derivada es que aunque 00:08:46
aquí aparezca el punto 00:08:47
la derivada en un punto, la definición 00:08:49
realmente de derivada en un punto es esta 00:08:52
f' de 1 00:08:54
realmente es el límite 00:08:55
de f de x más 1 00:08:57
menos f de 1, ¿vale?, partido de h. 00:09:00
Esta es la definición, ¿vale?, de, lo diré, 00:09:06
la definición de derivada en un punto, ¿vale? 00:09:14
Entonces, precisamente por eso nosotros aquí no ponemos los iguales, ¿de acuerdo? 00:09:17
Y ahora lo vamos a estudiar para que, para decir, 00:09:23
el límite a la izquierda y el límite a la derecha es el mismo, ¿vale? 00:09:25
pues entonces puedo decir 00:09:29
que es derivable en ese punto 00:09:31
¿vale? 00:09:33
es que bueno, este ejercicio 00:09:38
sí, porque te dice cuánto vale m y n 00:09:43
para que sea derivable 00:09:45
no, si te dan otros valores 00:09:46
tú ahí estudias, mira, aquí 00:09:51
si no tuviéramos m y n, aquí me hubiese 00:09:52
dado un valor, un número y aquí otro 00:09:55
entonces si ya son distintos 00:09:57
imagínate que aquí arriba me da un 8 00:09:59
y aquí abajo me da un 3 00:10:01
entonces yo ya directamente 00:10:03
ni es continua ni es derivable 00:10:05
porque es una discontinuidad de sarto finito 00:10:07
¿vale? 00:10:09
venga, entonces 00:10:11
derivabilidad 00:10:13
H es 00:10:14
a lo que tiende 00:10:17
no sé si te acuerdas cuando veíamos el límite 00:10:19
es cuando tú tienes una derivada realmente 00:10:23
¿la derivada qué es? ¿Qué era la derivada 00:10:25
geométricamente? La pendiente 00:10:28
de la recta tangente. Entonces, si yo imagínate que yo tengo una curva 00:10:32
aquí, ¿vale? La derivada realmente 00:10:35
¿te acuerdas lo que vimos de la pendiente? La pendiente 00:10:38
es decir, yo tengo un avance en x 00:10:41
y tengo un avance en y, tengo un incremento 00:10:44
en y y tengo aquí un incremento en x. La pendiente 00:10:47
precisamente, m la pendiente es 00:10:51
el cociente entre el incremento de y 00:10:53
y el incremento de x, ¿vale? 00:10:57
Entonces, si tú tienes aquí un x 00:10:59
y ahora tú aquí tienes un h, 00:11:02
es decir, aquí tienes x más h, ¿vale? 00:11:05
Aquí es x más h, aquí me he equivocado. 00:11:09
Esto es 1 más h, ¿vale? 00:11:11
1 más h. 00:11:14
Decía yo me faltaba un h. 00:11:15
Entonces, resulta que la primera derivada, 00:11:17
Bueno, la derivada de una función en ese punto, que es la pendiente de la recta tangente a esa función en el punto, es precisamente la división del incremento de y partido del incremento de la x, ¿vale? 00:11:23
Entonces, yo tengo un punto X y ahora lo incremento un H cualquiera, ¿de acuerdo? 00:11:39
Un H cualquiera. 00:11:44
Entonces, ¿yo aquí qué tengo? 00:11:46
Aquí tengo F de X, ¿verdad? 00:11:47
Y aquí tengo F de X más H. 00:11:49
¿Sí o no? 00:11:51
En general, F' de X es F de X más H menos F de X. 00:11:52
¿Esto qué es? 00:11:59
Precisamente el incremento de Y, ¿vale? 00:12:00
Aquí tengo yo mi F de X y aquí tengo mi F de X más H. 00:12:03
¿Vale? Bueno, esto es un límite, perdona. 00:12:09
¿Vale? Aquí, por eso, esto es, voy a borrar esto de aquí mejor. 00:12:12
Esto es f' de x es igual al límite, ¿vale? 00:12:25
De f de x más h menos f de x, que es el incremento de y, 00:12:29
partido, ¿cuál es el incremento de x? 00:12:34
El incremento de x sería x más h menos x, pero es que eso es h, ¿lo ves? 00:12:37
Y entonces cuando yo ese incremento lo llevo al 0, que es la máxima expresión al 0, ya mi intervalo es como si fuera un punto. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre? Pues que la pendiente de la red tangente a la función f de x en x igual a 1, pues el límite cuando h tiende a 0 de 1 más h menos f de 1 partido de ese h que nosotros intentamos hacer que ese incremento sea lo mínimo posible. ¿De acuerdo? 00:12:42
Y entonces, precisamente, es como si yo llevara esto de aquí, esto de aquí, al límite de que sea irisorio, que sea mínimo, sea cero. 00:13:12
Y esa es la pendiente, ¿vale? Y la pendiente es la primera derivada. 00:13:24
¿Esto de aquí? No, no. 00:13:30
Entonces, bueno, f' de x es derivable en x igual a 1 si realmente pasan dos cosas. 00:13:32
que f' de 1 por la izquierda es igual a f' de 1 por la derecha, ¿vale? 00:13:45
Entonces, f' de 1 por la izquierda es realmente el límite de f' de x cuando x tiende a 1 por la izquierda. 00:13:56
Hay gente que te lo va a poner así y hay gente que te lo va a poner así. 00:14:07
A mí me gusta más con el límite porque se asocia, ¿vale? 00:14:10
Pero en principio, esto de aquí también sería correcto. Y entonces, por la izquierda, ¿qué es? Es el límite, ¿verdad? De 2x menos 5, si x tiende a 1 por la izquierda, es decir, 2 por 1 menos 5, esto es igual a menos 3. 00:14:14
¿Lo veis, chavales? Y ahora, f' de 1 por la derecha es el límite de f' de x cuando x tiende a 1 por la derecha. 00:14:32
Es decir, el límite cuando x tiende a 1 por la derecha, ¿me lo recordáis cuánto es? 00:14:43
Menos 2x más n, ¿verdad? Menos 2x más n. 00:14:49
Y entonces, ¿esto qué es? Menos 2 por 1 más n, es decir, n menos 2. 00:14:55
¿Lo veis? 00:15:02
Entonces, para que sea derivable, ¿cómo tienen que ser estas dos igualdades? 00:15:03
Estas dos límites, perdona, pues iguales. 00:15:07
Menos 3 es igual a n menos 2, por lo tanto, n ¿cuánto vale? 00:15:10
Menos 1, ¿verdad? 00:15:15
¿Sí o no? 00:15:16
Y como antes teníamos chavales, me lo tenéis que recordar, 00:15:17
m ¿cuánto valía? 00:15:21
n más 3. 00:15:25
n más 3 para que sea continua, por lo tanto, la m ¿cuánto vale? 00:15:28
menos 1 más 3 00:15:32
m tiene que ser 2 00:15:34
y la n tiene que ser 00:15:37
menos 1 00:15:41
¿vale? y aquí contestarme con una 00:15:41
frasecita ¿vale? 00:15:45
f de x 00:15:48
es continua 00:15:49
es derivable si la m 00:15:50
vale 2 y la n vale menos 1 00:15:53
¿lo entendéis 00:15:55
chavales? entonces estos ejercicios siempre 00:15:57
se hacen igual 00:15:59
estos ejercicios siempre se hacen igual 00:16:00
Lo que se hace es, cuando te piden la derivabilidad, que haya esos parámetros, primero tengo que estudiar la continuidad, ahí me van a dar seguramente una igualdad, como hemos tenido, luego tenemos que hallar la derivabilidad en ese punto y entonces ya tenemos, en este caso, como eran dos parámetros, dos ecuaciones con dos incógnitas, la única solución única, como las lentillas, ¿vale? 00:16:02
el 2 y el menos 1. 00:16:27
¿Vale, chavales? 00:16:29
¿Lo veis complicado esto? 00:16:36
Esto es el resumen de todo, 00:16:40
pero lo suyo aquí es una frasecita, ¿eh? 00:16:42
Aquí, por favor, ponedme una frase. 00:16:43
Para que la función f de x sea derivable, 00:16:46
m tiene que valer 2 00:16:49
y n tiene que valer menos 1, ¿vale? 00:16:50
Que es derivable para esos valores. 00:17:11
Me falta el b, ¿no? 00:17:13
Vale, perdonad. 00:17:17
Entonces, chavales, 00:17:19
Ahora, me falta el apartado b. 00:17:23
Entonces, dice, ¿en qué punto f' de x es igual a 0? 00:17:31
¿Vale? Entonces, hemos hallado aquí que f' de x, como la m valía 2, ¿verdad? 00:17:35
Y la n valía menos 1, ¿o me lo he inventado? 00:17:43
¿Hola? Vale. 00:17:47
Entonces, sería x cuadrado menos 5x más 2. 00:17:50
si x es menor que 1, ¿vale? 00:17:56
Y menos x cuadrado menos x si x es mayor que 1. 00:18:01
Aquí ahora ya, como hemos estudiado, 00:18:11
ahora sí que podemos poner aquí el igual, ¿vale? 00:18:12
F' es la derivada. 00:18:15
F' es la derivada. 00:18:17
¿Eh? 00:18:22
Ah, no la he derivado. 00:18:23
Vale, perdón. 00:18:25
Venga, gracias. 00:18:26
Te queremos, ¿eh? f' de x, perdona, es 2x menos 5, ¿verdad? Y aquí era menos 2x menos 1, ¿verdad? Claro, pero ya lo sustituí. Si x ya es menor o igual que 1, x mayor que 1. 00:18:28
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? A mí me piden qué puntos f' de x es igual a 0. ¿Verdad? 00:18:48
Entonces, ¿qué creéis que vamos a hacer? Pues vamos a igualar cada una de estas derivadas a 0. ¿Vale? 00:18:56
Entonces, ¿qué hago? 2x menos 5 es igual a 0, de donde x es 5 medios. 00:19:02
Pero, ¿qué ocurre, chavales? 5 medios, efectivamente, no pertenece al intervalo menos infinito 1. 00:19:09
¿Vale? Con lo cual no puede ser. ¿Entendéis lo que estoy haciendo ahí o no? 00:19:18
Y ahora, por el otro lado, ¿qué es? Menos 2x menos 1 es igual a 0. De donde 2x es igual a menos 1, x es igual a menos 1 medio, ¿no? 00:19:23
Entonces, como no pertenece al 1 más infinito, pues entonces no existe. ¿Vale? 00:19:42
No existe, aquí no existe, no existe f' de x igual a cero. 00:19:52
Y una cosa que ya voy a adelantar, ¿vale, chavales? 00:20:02
Una cosa que ya voy a adelantar. 00:20:05
Fijaros una cosita, fijaros una cosita, ¿vale? 00:20:07
Yo tengo aquí, ¿vale? 00:20:13
Yo tengo aquí mi, que esto, bueno, lo mismo lo viste el año pasado, no lo sé. 00:20:16
Pero si yo tengo aquí mi parábola de Cristo, ¿os acordáis, chavales? ¿Os acordáis cómo es una función de este tipo en general? ¿Cómo es la parábola? Esto es una parábola. 00:20:21
¿Y cuál es la ecuación? La ecuación de una parábola. ¿X cuadrado? ¿Cuál es la ecuación general de una parábola? AX cuadrado más BX más C. Muy bien, ¿vale? Esa es la, lo diré, la ecuación general de una parábola, ¿vale? 00:20:38
¿Os acordáis, chavales, cómo hallábamos el vértice? 00:21:01
Menos b partido de 2a. 00:21:05
Menos b partido de 2a. 00:21:07
¿Y alguien sabe por qué eso es así? 00:21:09
¿Alguien sabe por qué era que nos lo han enseñado desde el segundo...? 00:21:12
Buena fumada, buen triple, pero no... 00:21:18
Entonces, chavales, ¿qué era la derivada? 00:21:24
¿Qué era la derivada, chavales? 00:21:29
¿qué era la derivada? La pendiente de la recta tangente, ¿veis? De hecho, si yo cojo 00:21:31
este punto y hago una recta tangente, ¿verdad? Si yo hago aquí una recta tangente, la pendiente 00:21:38
de aquí, ¿cómo es? Positiva, eso significa que está creciendo, claro, lo veremos. Si 00:21:46
yo cojo un punto de aquí y hago una pendiente, ¿cómo es esta pendiente? Negativa, ¿verdad? 00:21:52
eso significa que ahí está decreciendo. 00:21:58
Pero, chavales, y lo voy a poner aquí en azul, 00:22:01
si yo hago la pendiente por el vértice, 00:22:05
la recta tangente por el vértice, 00:22:09
¿qué pendiente tiene? 00:22:11
Cero. 00:22:13
Entonces, todos los máximos y los mínimos se caracterizan 00:22:15
porque la pendiente de la recta tangente a la curva es cero. 00:22:19
¿Sí o no? 00:22:25
voy a derivar un momentín 00:22:26
pitolín esta de aquí 00:22:28
¿cómo se deriva f de x? 00:22:30
chavales, si es la ecuación de aquí 00:22:33
¿cuánto vale f' de x? 00:22:34
2 a x 00:22:37
más b 00:22:38
¿sí o no? y si yo lo igualo a 0 00:22:40
y despejo x 00:22:42
¿qué tengo? ¿qué formulita tengo? 00:22:44
menos b partido de 2 00:22:47
¿lo veis? 00:22:49
¿lo veis? 00:22:53
que esta fórmula al final viene 00:22:55
de que precisamente en los vértices de una parábola yo tengo un máximo o tengo un mínimo. 00:22:56
¿Y por qué se caracterizan los máximos y los mínimos? Porque la pendiente de la recta tangente 00:23:04
es cero. Entonces yo hago la pendiente, como la pendiente es, perdona, la derivada, como la derivada 00:23:09
es la pendiente de la recta tangente, yo sé que en un máximo y un mínimo la pendiente de la recta 00:23:17
tangente es cero, lo igualo a cero 00:23:23
y tengo esta formulita aquí que nos enseñaron 00:23:25
en segundo de la ESO. 00:23:27
¿Lo veis? Todo tiene su porqué, todo 00:23:29
tiene su explicación, ¿vale? 00:23:31
Entonces, chavales, lo que yo quería 00:23:34
ver con ustedes hoy también, 00:23:35
¿vale? Que estaba aquí el chuletario, 00:23:38
que esto lo subiré, lo que pasa 00:23:40
que no sé si 00:23:41
parviene, ¿verdad? Vamos a ver 00:23:43
ya el tema 10. Chavales, 00:23:45
de esto voy a subir también mogollón 00:23:47
de ejercicio, ¿vale? 00:23:49
De lo de aplicación, vamos, 00:23:51
tenéis ahí 00:23:53
una página entera que no me acuerdo 00:23:54
ahora cuál es, ¿vale? 00:23:57
con ejercicio, ¿tienes tú ahí el libro? 00:23:58
es que creo que el 31 por ahí 00:24:01
todos estos, a ver si lo digo 00:24:02
a ver dónde están 00:24:04
vale 00:24:06
en la página 273 chavales 00:24:11
hay bastantes ejercicios 00:24:14
¿no? 00:24:16
273 hay bastantes ejercicios 00:24:18
de derivabilidad y de continuidad 00:24:20
¿vale? la 273 00:24:22
pero hay otra 00:24:24
con parámetros que no 00:24:26
veo yo ahora. 00:24:28
Ah, los resueltos son... 00:24:30
Vale. Entonces, chavales, 00:24:32
intentaré subir... 00:24:34
Son 20 folios, ¿vale? Entonces 00:24:36
lo estoy haciendo, ¿vale? 00:24:38
Entonces, lo que sí me interesa 00:24:40
que tengo aquí el chuletario 00:24:41
es ya 00:24:43
empezar el tema 10, ¿vale? 00:24:46
Tema 10 00:24:48
que es aplicación 00:24:49
de la derivada, ¿vale? 00:24:54
Aplicación de la derivada. 00:24:56
En principio 00:24:58
casi todo, ¿eh? 00:25:03
Casi todo. 00:25:05
Sí, sí. 00:25:07
El problema del rol y demás. Daros cuenta que nos queda 00:25:08
viernes, lunes, martes y miércoles. 00:25:10
Nos quedan cuatro clases, ¿vale? 00:25:13
Entonces, chavales, 00:25:15
las restas tangentes. Esto lo disteis en primero, 00:25:16
¿vale? 00:25:19
Dime. 00:25:20
Sí. 00:25:24
Sí. Entonces, chavales. 00:25:25
A ver, no sé si os acordáis que estudiasteis en primero que teníamos, chavales, de una ecuación de una recta en dos dimensiones. 00:25:29
En dos dimensiones había varias ecuaciones de la recta. 00:25:38
Estaba la implícita, la explícita, la continua y hay una que es un puntazo, que es la del punto tangente, ¿vale? 00:25:42
Entonces, no sé si recordáis la ecuación de la recta de punto pendiente, no punto tangente, perdona, punto pendiente, ¿vale? Era de este tipo. Y menos y sub cero es igual a f' de x sub cero por x menos x sub cero, ¿vale? 00:25:52
¿Sí? Entonces resulta que esto es la pendiente y un punto de la recta es x sub 0 y sub c. ¿Vale, chavales? Yo sabiendo la pendiente y sabiendo un punto, yo ya tengo definida mi recta. No sé si la recordáis, porque nosotros este año lo que hemos visto son chavales en el espacio, pero aquí estamos en dos dimensiones otra vez. 00:26:15
Entonces, ¿qué ocurre? A mí, por ejemplo, si me dicen un ejercicio, dice haya la recta tangente a f de x que es igual a x a la cuarta menos 3x cuadrado más 1 en el punto x igual a 1. 00:26:43
Es decir, yo tengo una función aquí, ¿y cuántas pendientes tiene una función? 00:27:11
¿Cuántas pendientes tiene? Infinitas, ¿no? 00:27:17
Pero en un punto tan solo tiene una. 00:27:21
¿Vale, chavales? ¿Sí? 00:27:24
Entonces, ¿cómo se hace esto? 00:27:26
Pues yo esta formulita de aquí tengo que saber cómo es comer, ¿vale? 00:27:28
Entonces, ¿qué ocurre? 00:27:32
Si sustituimos mi x sub cero aquí, que a veces lo vamos a ver como una a, vale uno. 00:27:33
porque me lo dicen 00:27:40
mi f de x sub 0 00:27:42
realmente es 00:27:46
f de a 00:27:47
y como hay f de a 00:27:48
es f de 1 00:27:50
lo que hago 00:27:53
sustituyo en mi f de x 00:27:55
donde haya una x 00:27:57
un 1 00:27:59
yo siempre que sustituyo 00:27:59
pongo paréntesis 00:28:02
y yo os lo recomiendo 00:28:03
porque muchas veces os liáis con los signos menos 00:28:05
entonces esto es 1 menos 3 00:28:07
Más 1, esto es menos 1, ¿verdad? 00:28:10
¿Sí o no? 00:28:13
Ahora, yo derivo f de x. 00:28:15
¿F de x cuánto es su derivada? 00:28:19
4x al cubo menos 6x, ¿verdad? 00:28:21
La a es el punto. Esto es igual que la a. 00:28:27
¿Vale? 00:28:31
Entonces, chavales, ¿cuánto vale f' de x sub 0 00:28:34
que es igual a f' de a 00:28:39
que es igual a f' de 1 00:28:41
pues sustituyo aquí 00:28:44
donde haya una x en la derivada 00:28:45
¿vale? 00:28:47
sustituyo por 1 00:28:48
¿y esto cuánto es? 00:28:49
4 menos 6 es menos 2 00:28:53
¿lo veis chavales? 00:28:55
¿sí o no? 00:28:57
ahora lo que hago es 00:28:58
me pongo aquí mi formulita 00:29:00
y menos 00:29:01
es que lo vais a encontrar de los dos tipos 00:29:03
y menos f de a 00:29:06
es igual a f' de a 00:29:07
por x menos a, también lo vais a encontrar, y menos f de x sub cero es igual a f prima de x sub cero 00:29:10
por x menos x sub cero. Es lo mismo, a veces utilizamos la a y a veces utilizamos el x sub cero. 00:29:19
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? Es exactamente lo mismo. 00:29:27
Lo pongo los dos porque en lo que voy a subir yo creo que utilizo más la a, pero lo podéis encontrar de los dos. 00:29:30
¿Vale? Entonces, yo ahora lo que hago es sustituir mi resta tangente a la función en x igual a 1, que es y. 00:29:36
¿Cuánto valía f de 1? O sea, ¿vale? Menos 1, ¿verdad? Tened cuidado con los signos. 00:29:45
¿Cuánto vale la derivada en 1? Menos 2, ¿verdad? Por x menos, ¿cuánto valía la a? Menos 1. 00:29:51
¿Vale? Y entonces esto que es 00:29:59
más 1 es igual 00:30:02
a menos 2x 00:30:04
menos 2, ¿verdad? 00:30:06
Entonces 00:30:12
es más 2. 00:30:12
Ya, pero es 00:30:17
a igual a 1. 00:30:18
A igual a 1, ¿verdad? Vale. 00:30:19
Ya decía yo, es que no me salía. 00:30:22
Ah, pero a vale 1, ¿no? Vale. 00:30:24
Vale. Menos 1. 00:30:26
Tened cuidado aquí, ¿eh? 00:30:28
Entonces, esto es un más 2. 00:30:29
Entonces, ¿qué ocurre? 00:30:32
Que es menos 2x más 1. 00:30:34
Ahora sí. 00:30:36
No, porque la f de a, ¿vale? 00:30:40
f de a es esto, ¿vale? 00:30:43
Esto es f de a. 00:30:45
¿Vale, chavales? 00:30:48
Estos ejercicios no son complicados, ¿eh? 00:30:50
Si no me sé la fórmula, es súper complicado. 00:30:53
Esa es la resta tangente 00:30:56
¿Vale? A esta función 00:30:59
En x igual a 1 00:31:00
¿Vale? 00:31:02
¿Sí? 00:31:04
Easy, easy 00:31:06
Esto si lo hacéis en GeoGebra es un puntazo 00:31:06
¿Eh? 00:31:11
Claro, esto te cambia la vida 00:31:13
De hecho, luego cuando veamos 00:31:15
Máximos y mínimos si lo voy a utilizar 00:31:17
Sobre todo crecimiento y decrecimiento 00:31:19
¿Vale? 00:31:21
Porque te ayuda mogollón visualmente 00:31:23
¿Vale? ¿Pasa? 00:31:25
Vale 00:31:27
Dime. El procedimiento es saberse la fórmula y sustituir. La ecuación de la recta tangente es esta de aquí, ¿vale? Esta es la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. 00:31:27
¿Vale? 00:31:46
Y entonces, aquí ocurre que depende de lo que me den 00:31:49
¿Vale? Al final lo que tengo que hacer es sustituir aquí 00:31:53
Este ejercicio, ¿qué ocurre? 00:31:55
Me dicen, haya la ecuación de la recta tangente 00:31:57
A esta función de aquí 00:32:00
En x igual a 1 00:32:02
Entonces la ecuación de la recta tangente es esta 00:32:04
¿Cuánto vale x sub 0? 00:32:07
Vale 1, que me lo dicen 00:32:09
¿Vale? Que es la a 00:32:11
¿Cuánto vale x sub 0? 00:32:12
y sub cero es f de a, ¿vale? f de x sub cero, es decir, sustituyo en la función de aquí, en la función de aquí, sustituyo, ¿vale? ¿Por qué? 00:32:14
A ver, chavales, ¿por qué es esto? Porque imaginaros, imaginaros, lo voy a poner aquí en colorado, ¿vale? Yo tengo aquí mi función, ¿vale? 00:32:27
Y entonces yo quiero que en x igual a 1, ¿vale? 00:32:36
En x igual a 1 yo quiero hallar la recta tangente, ¿vale? 00:32:42
Entonces, ¿qué ocurre? 00:32:46
Que la recta tangente en x igual a 1 tiene que pasar por este punto común. 00:32:47
¿Sí o no? 00:32:53
Este punto de aquí es común, ¿vale? 00:32:53
Es común tanto a la función como a la recta tangente, ¿vale? 00:32:56
Ahora es que esto lo estoy dibujando fatal, ¿vale? 00:33:01
Pero esto tú aquí haces una recta tangente, ¿vale? 00:33:04
Esto en algebra se ve, la verdad, que fenomenal. 00:33:08
Y entonces, si me dicen en x igual a 1, el punto común, el punto de tangencia entre la función original y la recta tangente es ese x sub 0. 00:33:10
Este punto de aquí, este es el x sub 0, f de x sub 0, ¿vale? 00:33:24
Ese es el punto de tangencia. 00:33:30
punto de tangencia 00:33:31
¿de acuerdo? 00:33:34
entonces ese punto es común 00:33:37
y pertenece tanto a 00:33:39
a la recta tangente que yo voy a hallar 00:33:42
y demás, ¿qué necesito yo 00:33:44
para una recta? yo para definir 00:33:46
una recta necesito o dos puntos 00:33:48
que si sé los dos puntos 00:33:50
sé la tangente ¿vale? 00:33:51
o la tangente y un punto ¿de acuerdo? 00:33:53
entonces ¿cómo 00:33:56
hallo la tangente? pues por la definición 00:33:57
de derivada 00:34:00
la derivada es 00:34:01
la pendiente 00:34:03
de la recta tangente 00:34:05
a una curva 00:34:07
pues precisamente yo que hago, yo tengo mi curva 00:34:09
le hallo la derivada 00:34:11
¿vale? 00:34:13
y que esfuerzo, quiero hallar la derivada en ese 00:34:15
punto, y ese punto ¿cuál es? el punto de tangencia 00:34:17
en este caso el U 00:34:20
¿vale? estos ejercicios son 00:34:21
muy mecánicos, pero siempre 00:34:23
sabiendo chavales esta fórmula, si no sabemos 00:34:25
esta fórmula, esto es un mojón 00:34:27
¿vale? ¿si o no? 00:34:29
Venga, vamos a hacer otro tipo que es la ecuación de la recta normal, ¿vale? 00:34:31
Ecuación de la recta normal. 00:34:44
No, es otro punto, ¿vale? 00:34:49
Ecuación de la recta normal a una función a f de x en un punto, en un punto A, por ejemplo, ¿vale? 00:34:53
Entonces, chavales, es la recta normal. No sé si alguien sabe lo que es la recta normal. La recta normal, ¿vale? La recta normal es una recta perpendicular a la recta tangente, ¿vale? Una recta normal es una recta perpendicular a la recta tangente, ¿de acuerdo? 00:35:08
¿Sí o no? Es decir, vamos a ver, para que veáis aquí una cosita, el otro que era, si me podéis decir, era x a la cuarta, ¿verdad? El ejercicio de antes, x a la cuarta, menos 3x al cuadrado, más 1, más 1, ¿vale? 00:35:47
Entonces, fijaros 00:36:12
Un mini basma aquí 00:36:14
O un cormillo, depende de cómo se vea 00:36:16
¿No? Entonces, chavales 00:36:18
¿Qué ocurre? ¿Qué ocurre aquí? 00:36:20
Esta es mi función original, ¿vale? 00:36:22
Es una función original 00:36:24
Y yo aquí, por ejemplo 00:36:26
Me puedo crear 00:36:27
Un punto, ¿verdad? Yo aquí 00:36:29
Hago este punto y además este punto 00:36:31
Es un puntazo, nunca mejor dicho 00:36:34
Porque yo lo voy 00:36:36
Moviendo por mi 00:36:38
Por mi función 00:36:39
¿Vale? ¿Qué ocurre? Yo aquí puedo hacer, a ver si lo encuentro, a ver si la tangente, ¿lo veis, chavales? Esto que está en negro, si yo voy moviendo mi punto, ¿vale? 00:36:42
Espérate, vamos ahora para el otro lado, que no lo vemos, ¿vale? 00:37:06
Es precisamente la recta tangente, ¿lo veis? 00:37:11
Es la recta tangente a mi... 00:37:15
Lo voy a parar y lo voy a llevar yo, ¿vale? 00:37:19
Espérate, le voy a avanzar un poquito. 00:37:24
Vale. 00:37:28
Yo aquí, si yo muevo manualmente, esta es precisamente la recta tangente, ¿vale? 00:37:29
a esa función en ese 00:37:35
punto. De hecho, si 00:37:37
yo me voy al punto 1 00:37:39
a ver si soy capaz de 00:37:40
vaya 00:37:42
que coraje 00:37:47
no sé si me va a grabar así, espero que sí 00:37:49
yo soy capaz 00:37:53
de llevarlo al punto 1, me va a 00:37:55
salir, chavales 00:37:57
la resta que yo he hallado 00:37:58
antes, ¿vale? 00:38:01
la resta que yo he 00:38:03
hallado antes que era menos 2x más 1 00:38:05
¿Vale? Lo que pasa es que no tengo aquí la precisión para hacerlo, ¿vale? Puedo hacer aquí F de A y allá la resta tangente. También puedo hacer aquí F de 1, ¿vale? F de 1, lo que pasa es que me lo da. 00:38:06
pero bueno, lo que yo os quiero chavales 00:38:22
es, porque lo que me interesa es 00:38:24
veáis varias cosillas, veis chavales 00:38:26
cuando yo estoy en un mínimo 00:38:28
que la pendiente es cero 00:38:30
¿lo veis? 00:38:32
cuando yo estoy en un máximo 00:38:34
cuando yo estoy aquí en un máximo 00:38:36
la pendiente también se vuelve 00:38:38
cero y cuando yo estoy en un 00:38:40
mínimo la pendiente 00:38:42
se vuelve cero también 00:38:43
a ver chavales, esto de aquí como es la función 00:38:45
en estos puntos de aquí, como es la función 00:38:48
decreciente. ¿Cómo es la pendiente 00:38:50
de la recta tangente? ¿Positiva o negativa? 00:38:53
Negativa. 00:38:56
Yo ahora aquí estoy creciendo. ¿Cómo es la 00:38:57
pendiente de la recta tangente? 00:38:59
Positiva. Yo aquí estoy decreciendo. 00:39:01
¿Cómo es la pendiente 00:39:04
de la recta tangente? 00:39:05
Negativa. Yo aquí vuelvo a crecer. 00:39:07
¿Cómo es la pendiente de la 00:39:09
recta tangente? Positiva. 00:39:11
¿De acuerdo? ¿Sí o no? 00:39:13
Entonces, es muy importante 00:39:15
para otra aplicación de la derivada 00:39:17
que es el crecimiento y decrecimiento, ¿vale? 00:39:19
Entonces, aquí, ¿qué es lo que nos están pidiendo realmente aquí? 00:39:22
Pues la ecuación de la recta tangente lo hacemos con esa fórmula, 00:39:27
pero la ecuación de la recta normal es, si yo estoy aquí en este punto, por ejemplo, 00:39:32
si yo ahora hago una perpendicular a esta recta, ¿vale? 00:39:38
Pasando precisamente por ese punto A, 00:39:44
Lo que yo tengo aquí, chavales, ¿qué es? Es la recta normal, ¿vale? Esta de aquí que la voy a poner en azul, por ejemplo, ¿vale? Esto en azul, chavales, resulta que es la ecuación de la recta normal, ¿vale? 00:39:46
¿Y qué ocurre? Que es perpendicular a mi recta tangente, ¿vale? Entonces, yo no sé si os acordáis, chavales, no sé si os acordáis que cumplía dos rectas, dos rectas I e I', con pendientes M y M', son perpendiculares, 00:40:08
es decir, y es perpendicular a y', 00:40:41
si, solo si, m por m' es igual a menos 1, ¿vale? 00:40:48
Esto lo voy a explicar, esto está relacionado con las tangentes y demás, 00:40:55
es decir, m' a que es igual a menos 1 partido de m, ¿lo veis? 00:40:59
Entonces, si la recta tangente en x igual a a, su fórmula es y menos f de a igual a f' de a por x menos a, la recta normal en x igual a a es, fijaros, y menos f de a. 00:41:04
¿Por qué? Porque comparten las tres, tanto la función como la resta normal como la resta tangente, es en un punto, comparten ese punto. ¿Lo veis aquí, chavales? Este punto de aquí es común para la resta en azul, que es la normal, la resta en negro, que es la resta tangente, y es común también a la función que yo estoy hallando esa resta normal, esa resta tangente, que está en verde esperanza, verde dervete. 00:41:35
Y entonces, lo único que cambia es que en vez de ser aquí f' de a, es menos 1 partido f' de a por x menos a. 00:42:01
Fijaros, qué fácil, ¿vale? 00:42:13
Pero es precisamente porque se cumple esta propiedad. 00:42:15
Entonces, la pendiente de la recta normal es perpendicular a la recta tangente. 00:42:19
Entonces, es la misma pendiente, pero dividida, ¿de acuerdo? 00:42:27
O su multiplicación tiene que dar menos 1. 00:42:32
¿Vale, chavales? 00:42:35
Entonces, en el caso anterior, por ejemplo, recordadme cuánto valía f de x. 00:42:36
¿F de x qué era antes? 00:42:42
Sí, x a la cuarta, ¿no? 00:42:46
Menos 3x cuadrado más 1. 00:42:49
el x sub cero 00:42:52
que es el a 00:42:55
a era igual a 1 00:42:56
¿verdad? f de 1 00:42:59
¿cuánto valía chavales? 00:43:01
menos 1, gracias 00:43:03
y f prima de 1 ¿cuánto valía? 00:43:05
menos 2 00:43:07
entonces chavales 00:43:08
fijaros que fácil ¿no? 00:43:11
la recta tangente 00:43:13
que ya la hemos hecho ¿vale? pero para que veáis 00:43:15
es y menos 00:43:17
menos 1, ¿verdad? 00:43:19
Igual a menos 2 por x menos 1. 00:43:23
Esto me daba, si no recuerdo mal, 00:43:27
menos 2x más 1, ¿verdad? 00:43:29
La recta normal, 00:43:31
la recta normal es 00:43:33
y menos menos 1. 00:43:35
Aquí sería un medio, ¿vale? 00:43:41
Un medio por x menos 1. 00:43:44
Es decir, la y es igual a 00:43:48
un medio de x 00:43:50
más un medio si no me equivoco 00:43:51
¿no? entonces fijaros 00:43:54
una cosa chavales 00:43:58
fijaros una cosa, si una tiene 00:43:59
pendiente positiva 00:44:02
la otra tiene pendiente negativa 00:44:03
¿vale? 00:44:06
¿si o no? ¿lo veis? 00:44:08
pues chavales 00:44:13
mañana es que no tenemos clase 00:44:14
voy a intentar subir 00:44:15
esta tarde, no lo sé 00:44:17
pero entre esta tarde y mañana 00:44:20
tarde 00:44:22
lo de las aplicaciones de las derivadas 00:44:22
entonces el viernes 00:44:25
vamos a ver ejercicios de este tipo 00:44:27
y lo de 00:44:30
máximos y mínimos y crecimiento 00:44:31
y decrecimiento, la monotonía 00:44:33
¿vale? 00:44:35
es muy fácil 00:44:37
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
8 de febrero de 2026 - 22:12
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
44′ 41″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
93.25 MBytes

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