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Física 2º Bachillerato. Campo gravitatorio. Resolución del problema 1 - Contenido educativo - Contenido educativo

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Subido el 7 de noviembre de 2020 por Guillermo M.

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Problema 1. Un planeta gigante de radio R tiene dos satélites, S1 y S2, que giran a su alrededor en órbitas circulares de radios 10R y 20R respectivamente. 00:00:00
La masa del planeta es 10 elevado a 27 kg y el tiempo invertido por el satélite S1 en cada órbita es 4,56 días. 00:00:11
Calcula el radio del planeta en kilómetros, la velocidad del satélite 1 en kilómetros por segundo y el periodo orbital del satélite 2. 00:00:20
Para resolver este problema necesitamos, por un lado, la tercera ley de Kepler y por otro, una expresión para la velocidad orbital 00:00:28
Así que hay que deducirlas, ¿vale? 00:00:37
Vamos con ello, diremos, en una órbita circular, la fuerza gravitatoria es una fuerza centrípeta, ¿vale? 00:00:39
es centrípeta, es decir, la fuerza gravitatoria 00:01:02
se trata de una fuerza centrípeta. ¿Y esto qué quiere decir? 00:01:09
Pues lo que voy a poner, g por m por m 00:01:13
masa del planeta por masa del satélite entre radio orbital 00:01:17
al cuadrado es igual fuerza centrípeta que tiene esta expresión 00:01:21
masa por aceleración centrípeta v al cuadrado 00:01:25
partido por el radio orbital. Simplificando esto 00:01:29
que estoy poniendo, tengo una expresión para la velocidad orbital al cuadrado, por lo tanto, 00:01:33
la velocidad orbital es la raíz de g por m partido por r. Ya tengo la primera de las 00:01:41
dos expresiones que necesito, ¿vale? Para la velocidad orbital. Velocidad orbital. 00:01:48
Por otro lado, vamos a por la tercera ley de Kepler. Por otro lado, yo sé que la velocidad orbital es 2 por pi por r partido por el periodo. 00:01:56
Entonces, voy a elevar al cuadrado esto, 4pi al cuadrado por r al cuadrado partido t al cuadrado, y lo igualo a esto que acabo de marcar. 00:02:13
¿Vale? Entonces, igualando se tiene que 4pi al cuadrado partido t al cuadrado es igual a g por m partido por r. 00:02:23
Entonces, de aquí ya puedo deducir la tercera ley de Kepler. 00:02:39
Periodo al cuadrado es igual a 4pi al cuadrado partido gm por r al cubo. 00:02:44
Ya lo tengo. Tercera ley de Kepler. 00:02:52
Vamos a por los apartados A, B y C. 00:03:03
Recordemos que tenemos estos datos. 00:03:06
El radio orbital del satélite 1 es esto, 10R, esto que acabo de marcar. 00:03:08
El del satélite 2 es 20R. 00:03:13
La masa del planeta, 10 elevado a 27 kilogramos. 00:03:15
el periodo del satélite 1 es 4,56 días 00:03:18
y me dan la constante de la gravitación universal 00:03:23
venga, vamos a por los apartados 00:03:26
como digo, apartado, calcula el radio del planeta en kilómetros 00:03:29
bueno, ¿qué voy a hacer? 00:03:32
según lo que acabo de marcar 00:03:36
fíjate, el radio orbital del planeta 1 es 00:03:38
10 veces el radio 00:03:41
el radio orbital del satélite 1, perdón 00:03:45
es 10 veces el radio del planeta, ¿vale? 00:03:48
Me están dando el periodo del satélite 1 que es 4,56 días 00:03:49
Y lo que voy a hacer es aplicar la tercera ley de Kepler al satélite 1 para obtener R1 y con esto el radio del planeta 00:03:56
Lo primero que tengo que hacer aquí es expresar el periodo en segundos, unidades del sistema internacional 00:04:04
Un día, 86.400 segundos 00:04:10
Y esto es 393.984, 393.984 segundos, ¿vale? 00:04:14
Entonces, aplico la tercera ley de Kepler a S1. 00:04:24
T sub 1 al cuadrado es igual a 4 pi al cuadrado partido G por M por R1 al cubo. 00:04:36
Despejando, el radio orbital del planeta 1 es la raíz cúbica de g por m por t1 al cuadrado partido 4pi al cuadrado. 00:04:43
Sustituyendo raíz cúbica de 6,67 por 10 elevado a menos 11 por 10 elevado a 27 por t sub 1 al cuadrado. 00:04:58
3, 9, 3, 9, 8, 4 elevado al cuadrado entre 4pi al cuadrado. 00:05:13
Recuerda que es la raíz cúbica. 00:05:22
Y esto es 6,40 por 10 elevado a 8 metros. 00:05:24
Entonces, como R1 es el radio orbital del satélite 1, es 10 veces el radio, pues ya puedo despejar el radio. 00:05:32
R1, ya lo pongo otra vez, es 10 veces el radio, pues de aquí el radio es R1 partido por 10, que es 6,40 por 10 elevado a 7 metros. 00:05:41
y hay que expresarlo en kilómetros. 6,40 por 10 elevado a 4 kilómetros, que son 64.000 kilómetros, ¿vale? 00:05:54
Apartado A resuelto. Radio del planeta. En el apartado B hay que averiguar, hay que calcular la velocidad orbital del satélite 1. 00:06:07
Vale, la velocidad orbital sabemos que es la raíz de G por masa del planeta partido radio orbital del satélite 1, sustituyendo 6,67 por 10 elevado a menos 11 por 10 elevado a 27 entre R1 que es 6,40 por 10 elevado a 8. 00:06:18
vale, y esta es la raíz cuadrada 00:06:41
esto es 10.208 00:06:43
10.208 00:06:46
metros por segundo 00:06:48
y hay que expresarlo en kilómetros por segundo 00:06:49
divido entre mil, 10,21 00:06:52
kilómetros por segundo 00:06:54
redondeo, vale 00:06:56
10,21 kilómetros por segundo 00:06:57
otra manera de hacer 00:07:00
este apartado 00:07:02
como hemos demostrado antes 00:07:03
hemos utilizado antes esta expresión 00:07:05
para demostrar la tercera ley 00:07:08
Hemos dicho, velocidad orbital es 2 pi por r partido por el periodo, ¿vale? 00:07:10
El radio orbital lo tengo, el periodo orbital lo tengo para el satélite 1, pues lo podría hacer con esta otra expresión y sale lo mismo, ¿vale? 00:07:15
Vamos al apartado C. 00:07:22
En el apartado C lo que hay que hacer es averiguar el periodo orbital del satélite 2, ¿vale? 00:07:24
Y lo voy a hacer de dos maneras. 00:07:33
Primero, voy a aplicar la tercera ley de Kepler al satélite 2. Y digo, periodo orbital del satélite 2 al cuadrado es igual a 4pi cuadrado partido g por m por r2 al cubo. 00:07:35
R2, en el enunciado, nos han dicho que es 20 veces el radio del planeta. 00:07:59
Y como el radio del planeta lo he averiguado en el apartado A, pues calculo R2. 00:08:04
El radio del planeta es 6,40 por 10 elevado a 7 metros. 00:08:08
Entonces, el radio orbital del satélite 2 es 1,28 por 10 elevado a 9 metros. 00:08:15
Pues sustituyo el periodo orbital es la raíz cuadrada de 4pi al cuadrado por 1,28 por 10 elevado a 9 elevado al cubo entre 6,67 por 10 elevado a menos 11 por 10 elevado a 27. 00:08:24
Y esto es, operando, 1.114.120 segundos, ¿vale? No lo expreso en días porque no dice el enunciado que haya que hacerlo. Pues así lo dejo. 00:08:46
¿Qué pasa si hemos calculado mal el radio del planeta en el apartado A? 00:09:05
Pues que el radio orbital del satélite 2 estaría mal 00:09:12
Y este periodo estaría mal 00:09:15
Entonces, ¿se puede hacer de otra manera? 00:09:17
Sí, fíjate 00:09:19
Lo que voy a hacer es aplicar la tercera ley de Kepler al satélite 1 y al satélite 2 00:09:20
Vale, para el satélite 2, hemos dicho que es 00:09:24
Bueno, lo he puesto antes 00:09:26
Esto, ¿vale? 00:09:28
Para el satélite 2, la tercera ley de Kepler es esta que acabo de poner. Para el satélite 1, la tercera ley de Kepler es K por R1 al cubo, siendo K igual a 4pi al cuadrado partido G por M, la misma para S1 y S2. 00:09:31
Entonces dividiendo ambas expresiones se va, ¿vale? Y lo que tengo es, al dividir, dividiendo t sub 2 al cuadrado entre t sub 1 al cuadrado es igual a r sub 2 al cubo entre r sub 1 al cubo. 00:09:56
Entonces despejo T2 al cuadrado igual a T1 al cuadrado por R2 partido R1 al cubo 00:10:15
Y de aquí lo voy a poner aquí abajo 00:10:24
T2 es T1 por radio orbital 2 menos radio orbital 1 elevado a 3 medios 00:10:27
Voy a mover esto y ya termino el problema 00:10:36
Entonces tenemos el radio orbital del satélite 2 y del satélite 1 00:10:40
Pero es que además, fíjate que lo tenemos porque lo hemos calculado en el radio del planeta, pero es que el enunciado nos está diciendo que R2 es 20 veces el radio del planeta y R1 es 10 veces el radio del planeta. 00:10:45
Entonces, R2 entre R1 es 20R entre 10R, que es 2, ¿vale? Este 2 es este de aquí. Por lo tanto, el periodo orbital del satélite 2 es el periodo orbital del satélite 1, que lo tenemos porque es un dato, y esto es 393.984 por 2 elevado a 3 medios. 00:11:02
Y esto es 1.114.355 segundos. Otra manera de hacerlo. Si te fijas, no es lo mismo que este periodo, no es exactamente igual al periodo que he obtenido antes, haciéndolo de esta otra manera. 00:11:30
¿Por qué? Pues porque al calcular los radios orbitales, esto que estoy marcando aquí, he truncado, ¿vale? 00:11:51
Y al truncar, bueno, pues estoy cogiendo un valor que no es el exacto, ¿de acuerdo? 00:11:58
Bueno, problema terminado. 00:12:05
Hasta luego. 00:12:08
Subido por:
Guillermo M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
7 de noviembre de 2020 - 21:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SOR JUANA DE LA CRUZ
Duración:
12′ 11″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1092x614 píxeles
Tamaño:
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