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Reglas de divisibilidad - Contenido educativo
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Repaso a las principales reglas sobre divisibilidad de los números naturales. Se dan las reglas del 2, 3, 5, 7, 11, 4, 6, 9, 10 y 13
En este vídeo vamos a repasar las reglas de divisibilidad por los principales números.
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Primero vamos a ver algunas reglas de divisibilidad por números primos,
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porque son las que más se utilizan luego posteriormente en la descomposición en factores,
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y luego repasamos también algunas otras reglas de divisibilidad por otros números que no son primos
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y otras que se utilizan muy poco y que son raras, algunas seguro que no has escuchado nunca.
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Vamos a empezar con la regla de divisibilidad por 2.
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Esta es muy sencilla. Un número es divisible por 2 si su última cifra es un número par.
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Las cifras pares son 0, 2, 4, 6 y 8.
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Por lo tanto, por ejemplo, son números divisibles por 2 el 48 porque termina en 8, el 24 porque termina en 4, 132 termina en 2.
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No me hace falta hacer la división por 2, simplemente mirar la última cifra como el 76 que termina en 6 o el 10 que termina en 0
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y comprobar que su última cifra es una cifra par y ya puedo decir que esos números son divisibles por 2.
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Y efectivamente también mirando solamente el número, si no termina en cifra par, pues no son divisibles por 2.
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Por ejemplo, el 37 que termina en 7, el 15 que termina en 5, el 2763 que termina en 3.
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Como no terminan en cifra par, al hacer la división por 2 no es una división exacta.
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No necesito ni hacer la división.
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Simplemente mirando el número, pues ya lo puedo afirmar que no son divisibles por 2.
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La regla de divisibilidad por 5 es muy parecida, porque simplemente también mirando el número
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y viendo si termina en 0 o en 5, pues puedo decir que el número es divisible por 5.
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Por ejemplo, el 40, que termina en 0, el 25, que termina en 5, el 370, que también termina en 0,
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o el 85, son números divisibles por 5. Su última cifra es 0 o 5.
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Y, por ejemplo, ¿no serían divisibles por 5? Pues el 43, porque termina en 3,
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el 17 porque termina en 7, 374 porque termina en 4.
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La regla de divisibilidad por 3, pues lleva un poco más de operaciones,
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no tan difícil como la división, pero vamos a tener que realizar algunas sumas.
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Bueno, se dice que un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
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Sabemos que los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18.
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Repasando la tabla del 3, pues sabemos los números que son múltiplos de 3.
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Por ejemplo, son divisibles por 3 el 525.
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¿Por qué? Si sumo 5 más 2 más 5, pues da 12.
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Y 12 aparece en la tabla del 3, es múltiplo de 3 la suma.
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Por lo tanto, 525 es divisible por 3.
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24, pues 2 más 4 es 6. 6 aparece en la tabla del 3, el múltiplo de 3, por lo tanto, el 24 también.
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1278, la suma de 1 más 2 más 7 más 8, pues da 18, que es múltiplo de 3.
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La suma de 4.564.839, si sumo 4 más 5 más 6 más 4 más 8 más 3 más 9, pues da 39, que es múltiplo de 3.
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3 por 13 da 39, por lo tanto este número es múltiplo de 3.
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Por ejemplo, ¿no serían divisibles por 3? 247.
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Si sumo 2 más 4 más 7, pues da 13, y 13 no es múltiplo de 3.
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El 46 tampoco. 4 más 6 es 10, tampoco es 10, es múltiplo de 3.
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Y el 124.567 tampoco.
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Si sumo 1 más 2 más 4 más 5 más 6 más 7, pues da 25, que no es múltiplo de 3.
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La regla de divisibilidad por 7 es un poco rara y la mayoría de las veces no se suele explicar.
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Casi se termina antes dividiendo el número que queremos comprobar si es divisible por 7,
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haciendo la división por 7, que aplicando la regla.
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Pero vamos a explicarla.
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Bueno, si tengo un número y quiero comprobar si es divisible por 7,
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pues lo que tengo que hacer es coger el número, quitarle la cifra de las unidades
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y al número que me queda le resto el doble de la cifra de las unidades que he quitado.
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Si esa resta me da 0 o un múltiplo de 7, los múltiplos de 7 son 7, 14, 21,
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los que aparecen en la tabla del 7, pues entonces el número es divisible por 7.
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Por ejemplo, 364. Si quito las unidades, si quito el 4, me queda 36. El doble de las unidades, el doble de 4, es 8. Pues 36 menos 8 me da 28, que es múltiplo, como vemos aquí en los que he puesto, múltiplo de 7.
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El 91, pues si quito la cifra de las unidades, me queda solo el 9.
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El doble de 1, que es el doble de la cifra de las unidades, es 2.
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Por lo tanto, 9 menos 2 es 7.
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7 es múltiplo de 7, por lo tanto, el 91 es divisible por 7.
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El 126, si quito la cifra de las unidades, me queda el 12.
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El doble de las cifras de las unidades, el doble de 6, también es 12.
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Pues 12 menos 12, 0. Pues es divisible por 7, porque si sale 0 o un múltiplo de 7, el número es divisible por 7.
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Vamos a comprobar alguno que no lo sea. El 173, pues si quito el 3, me queda 17.
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El doble de 3 es 6. 17 menos 6 es 11. El 11 no es múltiplo de 7, no aparece en la lista de los resultados de la tabla del 7.
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El 82, si quito las unidades, me queda solo el 8.
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El doble de 2 es 4.
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8 menos 4, 4, que no es múltiplo de 7.
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1255, si quito el 5 de las unidades, me queda 125.
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El doble de 5 es 10, pues 125 menos 10 es 115, y 115 no es múltiplo de 7.
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¿Por qué sé que el 115 no es múltiplo de 7?
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pues puedo aplicar, ya que es un número grande y no aparece en los resultados de la tabla de 7 que conocemos,
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pues puedo aplicar la misma regla para ver que el 115 no es múltiplo de 7.
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Si quito la cifra de las unidades me queda 11, el doble de la cifra de las unidades, el doble de 5 sería 10,
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y 11 menos 10, 1. Luego el 115 no es múltiplo de 7, por eso como esta resta de 125 menos el doble de 5, 10,
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me quedaba 115, pues no era múltiplo de 7.
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La regla para saber cuándo un número es divisible por 11 también es un poco rara.
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Lo que tenemos que hacer es coger las cifras que están en las posiciones impares,
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primera, tercera, quinta, séptima, etcétera, del número,
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luego coger las cifras que están en las posiciones pares, segunda, cuarta, sexta, si es un número muy largo,
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sumar las cifras impares, sumar las cifras de las posiciones pares,
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de las posiciones, no las cifras pares o impares, de las posiciones,
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y si esa resta me da 0 o un múltiplo de 11,
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los múltiplos de 11 los que aparecen en la tabla del 11,
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que serían 11, 22, 33, 44, 55, etc.,
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pues el número sería divisible por 11.
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Vamos a verlo con algún ejemplo.
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1.584, la primera cifra es 1, la tercera cifra es 8.
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Si yo la sumo, 1 y 8, 9.
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Las cifras pares, la segunda, 5.
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La cuarta, 4. 5 más 4, 9.
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Si resto las cifras impares, de posiciones impares, 9,
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menos las de las posiciones pares, 9, 9 menos 9, 0.
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Pues el número 1584 es divisible por 11.
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El 759.
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Las posiciones impares, primera 7, tercera 9, 7 más 9, 16
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Las de las posiciones pares, la segunda, solo tengo 1, el 5, pues 16 menos 5, 11
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Pues es un múltiplo de 11, por lo tanto es 759, es múltiplo de 11 o es divisible por 11
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La siguiente, 5.263.918
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Si sumo las posiciones, las cifras de las posiciones impares, 5 más 6 más 9 más 8, pues me da 28.
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Las de las posiciones pares, 2 más 3 más 1, pues da 6. 28 menos 6, 22, que es un múltiplo de 11.
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Por ejemplo, ¿no sería el múltiplo de 11 el 744?
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En este caso, las cifras de las posiciones impares, 7 y 4, 11.
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Las de las posiciones pares, la segunda en este caso nada más, el 4.
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Pues 11 menos 4 es 7, que no es múltiplo de 11.
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3.683.
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Las posiciones impares, 3 y 8, 11.
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Las posiciones pares, 6 y 3, 9.
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Pues 11 menos 9 da 2, que no es múltiplo de 11.
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83.458.
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Las posiciones impares, primera 8, tercera 4.
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Quinta, 8, pues 8 más 4 más 8, 20.
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Las de las posiciones pares, segunda, 3, cuarta, 5.
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3 y 5, 8.
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20 menos 8, 12.
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No es múltiplo de 11.
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Vemos ahora algunas otras reglas de divisibilidad por otros números que no son primos.
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Por ejemplo, el 4.
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Se utilizan menos porque generalmente solo utilizamos las reglas de divisibilidad
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cuando tenemos que descomponer en factores primos.
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Y el 4, al no ser un número primo, pues se utiliza poco.
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Bueno, un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras es múltiplo de 4.
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Por ejemplo, el 724 termina en 24, que es un múltiplo de 4.
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El 30.508, como termina en 08, pues es múltiplo de 4 el número entero.
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132 termina en 32, que es múltiplo de 4, pues el 132 también.
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No importa las cifras anteriores que haya, todo el número que termina en 32, por ejemplo, es divisible por 4.
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1.516 termina en 16, por lo tanto, es divisible por 4.
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No son múltiplos de 4, no son divisibles por 4, por ejemplo, el 126, porque termina en 26, y el 26 no es múltiplo de 4.
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El 2.343, el 43 no es múltiplo de 4, ni el 782, el 82 tampoco es múltiplo de 4,
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Por lo tanto, estos números no son divisibles por 4.
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La siguiente es la regla de divisibilidad por 6.
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Un número es divisible por 6 cuando a la vez es divisible por 2 y divisible por 3.
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Por ejemplo, el 324 es divisible por 2. ¿Por qué?
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Porque termina en cifra par, termina en 4.
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Y también es divisible por 3 porque si sumo sus cifras, 3 más 2 más 4, pues da 9.
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Por lo tanto, el número es divisible por 2 y por 3 a la vez, pues 324 es divisible por 6.
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El 78 termina en 8, que es cifra par, por lo tanto, es divisible por 2.
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Si sumo sus cifras, 7 y 8 es 15, que es múltiplo de 3, por lo tanto, es divisible por 3.
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Pues es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6.
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No serían divisibles por 6 el 165, ¿por qué?
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Porque ya no es divisible por 2, no termina en cifra par.
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pues no hace falta seguir comprobando. Ni el 46. Este sí es divisible por 2, pero no es divisible por 3,
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porque 4 y 6 son 10 y 10 no es múltiplo de 3. Por lo tanto, el 46 no es divisible por 3 y, por lo tanto, no es divisible por 6.
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La regla de divisibilidad por 9 es muy similar a la del 3, porque lo que hay que comprobar es que la suma de sus cifras del número
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sea un múltiplo de 9, es decir, salga en los resultados de la tabla del 9.
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9, 18, 27, 36, 45, 54.
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Por ejemplo, 135.
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Si sumo 1 más 3 más 5 me da 9.
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Es múltiplo de 9, por lo tanto, pues es múltiplo o divisible por 9 el 135.
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2.556.
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Si sumo 2 más 5 más 5 más 6, pues me da 18.
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18 aparece en la tabla del 9, por lo tanto el 2.556 es divisible por 9.
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Por ejemplo, no serían divisibles por 9 o no serían múltiplos de 9 el 147.
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Si sumo 1 más 4 más 7 me da 12, que no es múltiplo de 9.
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El número 42.456, si sumo sus cifras me da 21, que no es múltiplo de 9, por lo tanto este número no es divisible por 9.
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La regla de divisibilidad por 10 es muy sencilla
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porque aunque se puede definir como que sea a la vez divisible por 2 y divisible por 5
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es mucho más cómodo simplemente aprenderse que un número es divisible por 10 si termina en 0
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Por ejemplo, el 170 yo podía comprobar que es divisible por 2 porque termina en cifra par, el 0
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y es divisible por 5 porque termina en 0 o en 5
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Luego es divisible por 2 y por 5, por lo tanto, el 170 cumple las dos condiciones, sería divisible por 10.
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Pero también podría decir, por ejemplo, el 90, que como el 90 termina en 0, pues es divisible por 10.
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No serían divisibles por 10 el 85, ¿por qué? Porque no cumple que sea divisible por 2.
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Es divisible por 5, pero no termina en 0, por lo tanto, no es divisible por 2.
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El 142 es divisible por 2, pero no es divisible por 5.
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Y también podría decir que no termina en 0, como aquí he dicho que en el 72, que como no termina por 0, pues no es divisible por 10.
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Y para terminar vamos a decir una un poquito también rara, es parecida a la del 7, pero es la regla de divisibilidad por 13.
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Esta prácticamente no aparece en ningún libro, en muy pocos libros.
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Un número es divisible por 13 si al número que nos dan le quitamos la cifra de las unidades y le resto al número que me queda nueve veces la cifra de las unidades, si el número que me da esa resta es 0 o un múltiplo de 13, pues el número es divisible por 13.
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Claro, los números múltiplos de 13, pues no es una tabla que se suele aprender,
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pero serían 13 por 1, 13, 13 por 2, 26, 13 por 3, 39, etcétera, etcétera, etcétera.
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Por ejemplo, sería divisible por 13 el 273.
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Si quito la cifra de las unidades, me queda el 27.
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Si ahora la cifra de las unidades, que es 3, hago 9 veces esa cifra, lo multiplico por 9, 9 por 3 es 27.
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Pues me queda 27 menos 27, por lo tanto la resta me da 0. Pues si da 0 es divisible por 13. El número 585. Si quito la cifra de las unidades me queda 58. 9 veces la cifra de las unidades, 9 por 5 sería 45. Pues 58 menos 45 me sale 13. Pues es múltiplo de 13 y por lo tanto el número es divisible por 13.
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no sería por ejemplo divisible por 13 el 192
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si quito la cifra de las unidades me queda el 19
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9 veces 2 sería 18
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que es 9 veces la cifra de las unidades
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19 menos 18 pues 1
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no es múltiplo de 13
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no es divisible por 13 el 192
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y por último el 1278
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si quito la cifra de las unidades me queda 127
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9 veces la cifra de las unidades, 9 veces 8, 72
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Si resto 127 menos 72, 55
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Y 55 no es múltiplo de 13
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Bueno, pues con esto terminamos
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Hay más reglas
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Por ejemplo, la regla de divisibilidad por 8
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Es que sus tres últimas cifras del número
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Sea divisible por 8
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Cada número tiene una regla
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Pero estas son las principales
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Incluso alguna como la del 13
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que no suelen aparecer, pero si te las aprendes, pues mucho mejor.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- José Félix Díaz Ramírez
- Subido por:
- Jose Félix D.
- Licencia:
- Dominio público
- Visualizaciones:
- 97
- Fecha:
- 3 de noviembre de 2020 - 10:32
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES CARPE DIEM
- Duración:
- 16′ 52″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
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- Tamaño:
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