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AL1. 4.4 Aplicación a la resolución de ecuaciones matriciales - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AL1 dedicada a las matrices. En la videoclase de hoy estudiaremos la aplicación
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de las matrices inversas a la resolución de ecuaciones matriciales.
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La matriz inversa de una matriz es muy útil a la hora de resolver ecuaciones matriciales.
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Si recordáis, en la videoclase correspondiente comenté que una de las formas de resolver una ecuación matricial en la que tenemos una matriz entera que es de incógnitas era despejando esa matriz utilizando las operaciones con matrices para tener matriz x de incógnitas igual a y una serie de operaciones con matrices.
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Y os decía que habéis de tener cuidado porque en el caso en el que tuviéramos una matriz A por esa matriz X igual a lo que quiera que fuera, no podíamos despejar la matriz X pasando esa A que está multiplicando dividiendo al otro miembro, puesto que no estaba definida la división de matrices.
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Y en ese momento decía que habríamos de utilizar alguna otra herramienta. Pues bien, esa otra herramienta es precisamente la matriz inversa.
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Supongamos, como tenemos aquí, que tenemos que despejar esta matriz de incógnitas x por m en esta ecuación, que es la más sencilla ecuación matricial que nos podemos encontrar en este contexto,
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donde vamos a poder utilizar matrices inversas, a por x igual a b, a una matriz cuadrada regular, esto es, que tiene inversa, y que en este primer caso está multiplicando por la izquierda a esta matriz de incógnitas.
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Luego veremos qué pasa si estuviera multiplicando por la derecha en esta siguiente línea.
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Bien, la forma de razonar es la siguiente.
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Si esta matriz A es regular, tiene inversa y lo que vamos a hacer es, en esta ecuación A por X igual a B,
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multiplicar por la izquierda la matriz inversa de A que existe por hipótesis, puesto que pensamos que esta matriz A es regular.
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Así que tenemos matriz inversa de A que multiplica aquí a la izquierda por A y por X igual a matriz inversa de A que multiplica por la izquierda a esta matriz B.
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E insisto en el por la izquierda porque el orden es importante. Os recuerdo que el producto de matrices no es conmutativo.
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Así que si aquí multiplico la matriz inversa de A por la izquierda, bajo ningún concepto puedo tener aquí la matriz inversa de A multiplicando por la derecha.
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Eso sería un error grave. Así pues, A por X igual a B, multiplico por la izquierda la matriz inversa de A, A inversa por A por X igual a A inversa por B.
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Cuando tengo multiplicadas una continuación de la otra, una matriz y su inversa, como vemos aquí, por definición de matriz inversa, matriz inversa por A es igual a la matriz identidad.
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Y por definición de matriz identidad, matriz identidad por cualquier matriz es igual a esa matriz.
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Así que aquí al final de cuentas lo que obtengo es ya despejada matriz X igual a matriz inversa de A por B.
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Fijaos que no he pasado la matriz A dividiendo, pasado como nosotros tendemos a pensar en el caso en el que estamos operando con números,
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sino que lo que ocurre es que estoy multiplicando en el otro miembro por la matriz inversa.
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Fijaos que tenía A por la izquierda y he multiplicado por la matriz inversa por la izquierda.
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Si hubiera tenido lo mismo, pero hubiera tenido X por A, la matriz A multiplicando por la derecha,
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tendría que haber operado de forma análoga.
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Lo que pasa es que en este caso, cuando multiplique por la matriz inversa de A,
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tengo que hacerlo por la derecha, tener X por A por la matriz inversa de A.
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Y en el otro miembro tendré B por la matriz inversa de A.
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¿Por qué por la derecha? Para tener A y su inversa consecutivas, una continuación de la otra.
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La propiedad, la definición de matriz inversa me dice que A por su inversa consecutivas es igual a la matriz identidad y esta a su vez, por definición, al multiplicar a cualquier matriz por la derecha o por la izquierda, no la cambia.
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Y aquí he vuelto a despejar mi matriz X y lo que tengo es X igual a B por la matriz inversa de A.
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Fijaos que aquí tenía A por la izquierda, perdón, por la derecha, y aquí lo que tengo es la matriz inversa de A por la derecha.
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Con esto que hemos visto ya podemos realmente plantear cómo resolver esta otra matriz despejando la matriz X.
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Este ejercicio ya lo habíamos planteado en el apartado de ecuaciones matriciales.
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En aquel momento nos planteábamos resolver esta ecuación matricial X por A menos B igual a 2 por Y,
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operando todos los miembros, el miembro de la izquierda, el miembro de la derecha, e igualando esas dos matrices.
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En su momento veíamos que esto era muy complicado porque lo que hacíamos era transformar una ecuación matricial en nueve ecuaciones escalares,
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un sistema de nueve ecuaciones escalares que había que resolver simultáneamente.
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Lo que vamos a hacer en este caso es aprovechar que ya sabemos cómo despejar las matrices y vamos a plantear cómo podríamos despejar de esta ecuación la matriz x
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y tener x igual a y una serie de operaciones con matrices, en las cuales aparecerá involucrada, por cierto, esta matriz A.
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En principio vamos a plantear cómo resolverlo, puesto que en este momento no vamos a calcular la matriz inversa de A.
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Únicamente hemos visto cómo calcular la matriz inversa utilizando la definición.
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Podríamos hacerlo, pero en el caso de una matriz 3x3, como es esta matriz A, una matriz cuadrada de orden 3,
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es algo más complicado que en los ejercicios que veíamos en el apartado
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en el que calculábamos mediante la definición la inversa de matrices 2x2, cuadradas 2 rectos.
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Lo vamos a dejar un poco más adelante para la siguiente unidad
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donde veremos cómo calcular de una forma mucho más eficiente matrices inversas
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utilizando algo que se llaman determinantes y que es el objeto de la siguiente unidad.
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De todas formas, este ejercicio lo plantearemos en clase y también en alguna videoclase posterior.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 16
- Fecha:
- 22 de agosto de 2024 - 15:54
- Visibilidad:
- URL
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 07′ 03″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 16.53 MBytes