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EvAU Matemáticas II 2017 Modelo A 1 Geometría - Contenido educativo

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Subido el 25 de marzo de 2017 por Pablo Jesus T.

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En este vídeo vamos a resolver el problema de la PAU de Madrid del modelo 2017, es decir, de la nueva EVAU. 00:00:00
Es un problema de geometría 3D que tenemos aquí, es del modelo A, el ejercicio 1. 00:00:10
Nos dan dos rectas, una en forma continua, otra en forma paramétrica, es decir, explícitamente punto y vector. 00:00:18
Y lo primero que nos piden es comprobar que se cruzan y calcular la distancia entre ellas. 00:00:23
Voy a empezar, aunque eso no lo podríamos hacer en la EBAU, por pintar las dos rectas, punto y vector, la recta R, y punto y vector, la recta S. 00:00:30
Se puede ver en GeoGebra fácilmente que las rectas se cruzan, pero claro, esto no valdría en la EBAU. 00:00:44
Lo que tenemos que hacer, lógicamente, es construir la matriz con los dos vectores directores de las dos rectas y calcular el rango. 00:00:52
Se ve fácilmente que si cogemos este determinante 2 por 2, da menos 5, menos 1, menos 6, diferente de 0, el rango es 2. 00:01:04
Ahora, añadimos el vector AB, construimos una matriz de 3 por 3 y calculamos el rango, que en este caso es 3. 00:01:12
Luego la respuesta a comprobar que se cruzan ya estaría, porque hemos dicho que el rango de la matriz de los vectores u y v es 2 y el rango de la matriz de los vectores u, v y ab es 3. 00:01:22
Es decir, los tres vectores son linealmente independientes. Esto quiere decir que las dos rectas se cruzan. 00:01:39
En realidad, aquí en GeoGebra hemos calculado el rango, pero lo que nos interesaría es calcular el determinante de esta matriz, que le hacemos y da menos 20. 00:01:46
Distinto de 0, luego el rango es 3, luego las dos rectas se cruzan. 00:01:58
Para calcular la distancia vamos a utilizar este problema incluso para explicar la fórmula. 00:02:03
Si nosotros construimos la fórmula de la distancia sería esta, el cociente entre el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el módulo del producto vectorial de los vectores u y v correspondientes a cada una de las rectas. 00:02:10
Pues como decíamos, vamos a construir un paralelepípedo, que como se puede ver aquí, está formado o definido por los vectores u, este, v, este y ab, este, es un paralelepípedo inclinado, vamos a decir así, 00:02:27
y lo que vamos a hacer es calcular, poner la base también y entonces aquí entendemos la fórmula. 00:02:46
La fórmula es el volumen del paralelepípedo dividido por el área de la base. 00:02:58
Lógicamente, como el volumen es área por altura, pues la altura será el volumen partido por el área, 00:03:04
con lo cual ahí viene la fórmula conocida. 00:03:11
Vamos a hacerlo con el GeoGebra 00:03:14
El volumen ya le teníamos calculado 00:03:18
Porque cuando hemos calculado el determinante de estos tres vectores 00:03:21
Para decir que se cruzan, resulta que es el producto mixto de los tres vectores 00:03:25
Con lo cual ya sabemos que el numerador va a valer 20 00:03:29
Para el denominador hacemos el producto vectorial 00:03:32
Nos sale el vector 2, 2, menos 6 00:03:36
Que sería un vector perpendicular a R y a S 00:03:40
y si calculamos un módulo, que en GeoGebra se llama longitud, pues nos da 2 raíz de 11. 00:03:44
Y así solamente nos queda dividir el numerador producto mixto en valor absoluto 00:03:51
entre el denominador módulo del vector producto vectorial 00:03:59
y nos queda 10 raíz de 11 partido por 11 racionalizado, 00:04:03
que en decimal nos sale 3,02, esa es la distancia entre las dos rectas y ya habríamos terminado el apartado A. 00:04:08
Simplemente como curiosidad vamos a ver también cómo se haría, digamos, por la cuenta la vieja. 00:04:21
Yo podría calcular el plano que contiene AR porque tiene el vector U y es perpendicular a S porque incluye el vector que hemos calculado 2, 2, menos 6 de U por V y pintar, me sale un plano que le puedo pintar. 00:04:28
Repetir lo mismo ahora con el plano que contiene a S 00:04:53
Entonces tiene el punto S y el vector S 00:05:00
Y es perpendicular a R y a S 00:05:03
Vamos a R porque incluye el vector del producto vectorial 00:05:05
Y ahí tendríamos el plano que hemos hallado 00:05:11
Eso me serviría si la pregunta que me hubieran hecho 00:05:16
Y ya hemos contestado otro ejercicio 00:05:20
es la recta perpendicular a R y a S que corta a ambas 00:05:22
con lo cual en este ejercicio también hemos aprendido a hacer eso 00:05:27
si halláramos los puntos de corte F y G 00:05:30
que han aparecido aquí como se puede ver 00:05:35
pues tendríamos, ocultando la recta que habíamos pintado 00:05:38
tendríamos el segmento FG que es la altura del paralelepípedo, ¿lo veis? 00:05:46
La altura del paralelepípedo y que lógicamente tiene de longitud 3,02 00:05:54
como habíamos visto en el apartado anterior. 00:06:01
Y ya sí que hemos terminado el apartado A completamente. 00:06:06
bueno, hemos limpiado un poco la página 00:06:10
para poder entender ahora ya el apartado B 00:06:14
aquí teníamos R y S 00:06:17
y vamos a hallar la ecuación del plano que contiene a R 00:06:19
y es paralelo a S 00:06:22
para ello lo único que tenemos que hacer es una matriz 00:06:24
y a partir de ahí calcular su 00:06:30
así que 00:06:33
ponemos en un determinante las coordenadas del punto A 00:06:36
el vector de R y el vector de S 00:06:44
ya que tiene que ser paralelo a los dos 00:06:51
igualamos, hacemos el determinante y lo igualamos a cero 00:06:52
nos sale este plano 00:06:57
que si le dividimos por dos para que quede más simple 00:06:58
pues nos queda este plano 00:07:02
X más Y menos 3Z menos 8 igual a 0. 00:07:04
Si lo pintamos, pues vemos que es ya simplemente la respuesta al apartado B, 00:07:08
porque estamos ahí intentándolo, ahora se va a ver. 00:07:17
Se ve que contiene a R y es paralelo a la recta roja S. 00:07:22
Se ve perfectamente. Así que ese es el plano que estábamos buscando. 00:07:28
Ese es el plano que estábamos buscando. Contiene a R y es paralelo a S. 00:07:37
Para contestar al apartado C, lo primero que vamos a hacer es pintar el plano Y igual a 0. 00:07:42
Y lo que me preguntan es el ángulo que forma la recta R, la recta azul, con el plano Y igual a 0. 00:07:53
Vemos en el dibujo que incluso se nos saldría, tendríamos que hacerlo más pequeño, bastante más pequeño, alejarnos para que ya se pudiera ver que efectivamente la recta R corta al plano y igual a cero. 00:08:00
Si nosotros le decimos a GeoGebra con la herramienta ángulo que nos calcule dicho ángulo, pues se ve que forma un ángulo de 10,52 grados. 00:08:17
Ahí lo tenemos. 00:08:33
En realidad nosotros no podemos utilizar esto, sino que utilizaremos la fórmula del producto escalar, 00:08:35
de tal manera que el producto escalar del vector u de la recta R 00:08:40
y el perpendicular que hemos llamado n al plano i igual a 0 00:08:44
pues será esta fórmula 00:08:49
lógicamente no se puede poner alfa sino 90 menos alfa 00:08:52
ya que estamos cogiendo el vector normal al plano 00:08:56
coger el vector normal al plano nos va a salir el complementario realmente 00:08:59
así que ya simplemente calculamos ese producto 00:09:05
aquí tenemos la cuenta que habría que hacer es 00:09:13
el producto escalar del vector u por el vector 0, 1, 0 00:09:17
que es el normal al plano i igual a 0 00:09:21
eso daría 1 porque sería el vector u que teníamos aquí 00:09:25
25, 1, 2 por 0, 1, 0, pues da 1. 00:09:32
En el denominador pondríamos la longitud de u, que sería raíz de 30, 25 más 1 más 4, 00:09:35
y la longitud del vector 0, 1, 0, que sería 1. 00:09:42
O sea, resumiendo, sería 1 partido por raíz de 30. 00:09:45
Si hago el arco coseno, obtendría el ángulo que forman esos dos vectores, 00:09:49
pero ya hemos dicho que con el plano realmente habría que hacer el complementario. 00:09:54
Como el cas de GeoGebra trabaja en radianes, pues lo hemos puesto pi medios menos ese ángulo. 00:09:58
Si ahora lo queremos pasar a grados, pues multiplicamos por 180 y dividimos por pi, 00:10:04
o si lo hubiéramos hecho con la calculadora en grados, habríamos hecho 90 menos este arco coseno, 00:10:10
y nos da, como el mismo GeoGebra nos ha dado, 10,52. 00:10:17
Y esta es la respuesta al apartado C. 00:10:21
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4094
Fecha:
25 de marzo de 2017 - 20:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
10′ 25″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
30.07 MBytes

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