Tutorial de derivación - formato reducido - Bachillerato CCSS

Bien, comenzamos el tutorial para aprender a derivar como otras clases 00:00:00

que se han estudiado y que se han estudiado en otras clases y que se han estudiado en otras clases 00:00:05

Por supuesto que antes repasemos la teoría 00:00:12

A ver, dos avisos 00:00:17

El primero es que recomiendo aprenderse las fórmulas de memoria 00:00:20

¿De acuerdo? Es decir, que si os digo que la derivada de e elevado a x 00:00:27

es e elevado a x 00:00:31

Podéis tener una tabla y utilizarla 00:00:35

pero voy a decir las cosas de forma dosificada para permitiros ir aprendiéndolas mientras las voy diciendo 00:00:37

segunda cuestión 00:00:45

señalo a veces que conviene 00:00:47

primero como los ejercicios que hago yo 00:00:50

y luego ya, suelto ejercicios, los digo que los hagáis 00:00:53

porque si hacéis, no hacéis más que mirar el vídeo 00:00:57

el problema es que en la memoria no se queda 00:01:01

esas cosas se aprenden ejercitando 00:01:05

entonces si os digo que es así 00:01:08

es porque conviene que es esto 00:01:10

la realidad sería que alguien fuese corrigiendo los ejercicios mientras lo está haciendo para ver si hay fallos 00:01:12

pero bueno, en general 00:01:17

los fallos 00:01:19

los podéis ver ahí 00:01:20

y además una cosa que veréis es 00:01:22

lo de los paréntesis ¿vale? 00:01:24

si tenéis una suma de cosas elevado a x más logaritmo de peinado de x 00:01:25

y se multiplica por algo 00:01:29

no podéis poner elevado a x más logaritmo de peinado de x 00:01:32

por x al cuadrado 00:01:35

porque en este caso sólo está multiplicando 00:01:36

esto y esto 00:01:39

cuando la intención 00:01:40

y en el contexto se verá 00:01:42

es que multiplicase todo esto, esto no es igual a esto 00:01:44

y un fallo muy común es olvidarse los paréntesis 00:01:47

entonces esas cosas, primero que hagáis los ejercicios sin olvidar los paréntesis 00:01:51

y lo importante es aprenderse las fórmulas porque también el tutorial está hecho 00:01:55

para que se puedan aprender 00:01:59

mientras se realiza 00:02:01

a pesar de que podéis tener un formulario 00:02:03

antes del examen, por supuesto 00:02:06

para estar más seguros 00:02:11

dos avisos más, el primero es 00:02:16

que este vídeo es muy largo y evidentemente no se puede ver en una 00:02:18

sesión nada más 00:02:22

sobre todo si tienes en cuenta que a veces pido practicar varias veces, en cuyo caso 00:02:23

pues va a ser de más largo 00:02:27

bueno, eso lo tengo en cuenta 00:02:29

Eso ya es un sentido común y vuestra forma de organizaros dependerá de en cuantas sesiones lo veis. 00:02:32

Evidentemente hay parte del vídeo que puede parecer a alguna persona demasiado lento. 00:02:39

Porque para alguna persona basta con que tu le des las propiedades de las derivadas, practicar un poco y ya está. 00:02:44

Pues eso si quieren se pueden ver la parte final del vídeo directamente y ya está. 00:02:52

Donde empiezan a hacer derivadas un poco más complejas. 00:02:56

O bien no las hace falta ni falta. Eso está hecho para que a todo el mundo llegue y si a alguien le cuesta un poco más, o al revés, alguien quiere ir más sobreseguro, que también pasa, que se le dé bien, pues que lo haga. 00:03:00

Siguiente, pero bueno, al que vea que va a perder el tiempo, que no lo pierda. 00:03:17

Siguiente cuestión, bueno, sobre las notas, a veces pasa que a alguien se le ve tomando 00:03:20

notas de la siguiente forma, a ver, yo explico primero algunas funciones, bien, que se tomen 00:03:31

notas sobre ellas, después el producto, luego el producto, la división, luego producto 00:03:37

más división, luego explico la composición, luego producto más composición 00:03:47

de tipo 1, luego producto más composición de tipo 2 00:03:52

bueno, no está mal que se vayan tomando notas 00:03:55

porque se ayuda a aprender y que si se ve un ejercicio de curso se copie 00:03:59

que se ayuda a aprender, pero 00:04:04

a la hora de estudiar, no recomiendo que veáis 00:04:07

como se hace cuando tengo un producto más 00:04:12

más una división 00:04:15

y como se hace cuando tengo un producto de una división de ese tipo 00:04:18

y luego como el otro, porque esto no está hecho para abarcar 00:04:20

aunque se intente ser exhaustivo 00:04:22

la idea no es 00:04:23

que uno tenga una gracia 00:04:25

para cada función 00:04:28

y no piense, sino que la idea es 00:04:30

lo digo porque esto de tomar las notas 00:04:32

ha ocurrido, así 00:04:34

sino la idea es que 00:04:35

practicando todos los tipos, ya se tenga una habilidad 00:04:37

para practicar cualquiera 00:04:39

sin necesidad de pensar lo que sea, sino simplemente 00:04:41

utilizando las herramientas 00:04:43

y el de la intuición que ya se ha desarrollado 00:04:45

con suficientes ejercicios, que esa es la idea 00:04:47

¿de acuerdo? 00:04:49

o sea que no se piense que 00:04:51

hay que estudiar todas las derivadas con esta casuística 00:04:53

luego con la otra tal, y eso no es pensar 00:04:55

de forma de problemas 00:04:58

aunque a veces ayude cuando son más complejos 00:04:59

los problemas, aquí yo creo que no parecería 00:05:02

¿vale? 00:05:04

pero bueno, cada cual se conoce a sí mismo y es muy libre 00:05:05

de ver que es lo mejor 00:05:07

para él 00:05:09

bueno, y ya deciros que el libre que sea aquí es mayor que el del libro 00:05:10

Pero bueno, avanzada la... bastante avanzada de hecho, la grabación, ahora es el momento en que os diré, bueno, hasta aquí hemos pasado ya el libro. 00:05:15

¿Vale? Entonces, ya, el que quiera aprender a derivar completamente ya hasta las últimas consecuencias, pues que se vea hasta el final igual. 00:05:26

Si alguno ya no puede más, pues podría parar ahí. 00:05:37

Bueno, empezamos por la derivada más sencilla, que sería la constante, ¿no? 00:05:43

Entonces, hablamos de la función constante, por ejemplo, f constantemente 5 00:05:48

Bueno, pues aquí la derivada es muy sencilla, es 0, porque f ni crece ni decrece, se queda igual, además el ángulo es 0 00:05:57

Con lo cual, f' es siempre, pues, aquellos ejemplos que queráis, pues, 7', la función 7 derivada, 0, la función 8 derivada, 0. 00:06:07

Bueno, si queréis hacer un par de ejemplos, pero tampoco es muy necesario, ¿no? 00:06:21

Pues, 6' y 9', los hacéis y para ahí sí corregimos, pero no hace falta. 00:06:24

bien, y otra importante es la función f de x igual a x 00:06:36

¿vale? que sería la recta igual a x 00:06:45

pues aquí la pendiente es 1 00:06:50

con lo cual f' de x sería 1 00:06:52

es decir, que la función x' va de 1 00:06:57

en fin, esto lo tenemos en cuenta junto con la función potencial 00:07:01

la función x elevado a n derivada es n veces por x elevado a n menos 1 00:07:08

de modo que si tenemos la función por ejemplo x elevado a 4 derivada 00:07:18

sería 4 veces x al cubo 00:07:29

este 4 se mantiene 00:07:34

y el exponente se ha reducido en una unidad 00:07:36

un par de ejemplos más 00:07:41

x elevado a 7 00:07:44

derivada es igual a 00:07:45

7x6 00:07:47

x al cubo 00:07:49

derivada es 00:07:51

3x2 00:07:53

el ejemplo de la función x 00:07:54

es un caso particular de aquí 00:07:58

por ejemplo, si cogemos x 00:08:00

derivada 00:08:01

x es x elevado a 1 00:08:03

con lo cual su derivada es 00:08:06

1 veces, que es el exponente 00:08:08

por x elevado a 0 00:08:10

y x elevado a 0 se le vale 1 00:08:12

con lo cual es 1 00:08:15

pero bueno, más sencillo pensar 00:08:15

que la derivada de x es 1 00:08:17

y ahorramos 30 00:08:21

pues como ejercicio para practicar 00:08:21

hacemos los siguientes ejemplos 00:08:24

x elevado a 9 00:08:26

derivada 00:08:28

x elevado a 2 derivada 00:08:30

x elevado, yo que sé, a 8 derivada 00:08:33

y si queréis, pues x elevado a 25 derivada 00:08:39

pues hacéis esos ejemplos para ir a la grabación y corregimos 00:08:43

bueno, el resultado sería 00:08:46

aquí sería x elevado a 9 derivada 00:08:51

9x elevado a 8 00:08:54

x cuadrado 2x elevado a 1, que el 1 no se pone 00:08:56

con lo cual 2x 00:09:00

8x elevado a 7 00:09:01

y 25x elevado a 4 00:09:04

Muy bien 00:09:08

Pues ahora pasamos a 00:09:11

hacer la derivada 00:09:15

de un polinomio 00:09:17

Para ello tenemos dos propiedades 00:09:19

Propiedad de número 00:09:22

Si yo tengo una función f 00:09:24

y la multiplico por un número a 00:09:25

su derivada es 00:09:28

a por la derivada de f 00:09:30

y si yo tengo dos funciones f y g 00:09:33

y hago la derivada 00:09:37

la derivada será la suma de las derivadas 00:09:40

por ejemplo 00:09:43

si yo tengo la función 00:09:47

5x al cubo 00:09:49

derivada 00:09:54

su derivada es 5 00:09:56

por la derivada de 3x al cubo 00:09:58

que sería 3x al cuadrado 00:10:00

en total sería 00:10:02

3 por 5 es 15 00:10:04

15x al cuadrado 00:10:05

y si yo cojo la derivada de x al cubo 00:10:07

más x a la 7, derivada, sería la derivada de ésta, 3x2, más la derivada de ésta, 7x6. 00:10:12

Bueno, pues estas dos propiedades se pueden unir haciendo la derivada de un poder óptimo. 00:10:27

Bueno, si queréis practicar antes de lo siguiente, haced, por ejemplo, 9x a la 6 derivada y x a la 8 más x al cuadrado derivada. 00:10:35

Para ir a la grabación, lo hacéis y continuamos. 00:10:50

Bueno, el resultado es 9 por 6x5, que sería 9 por 6, 54x5. 00:10:56

Y aquí, pues, 8x7 más 2x. 00:11:08

Bueno, pues... 00:11:15

Bueno, hagamos ahora la derivada de un polinomio. 00:11:18

Antes de nada, observemos que, si tenemos estas dos propiedades, que f más g derivada es f' más g', 00:11:20

y un número por una derivada es ese número, y la derivada de un número por una función es ese número por la derivada, 00:11:28

se puede apuntar a las propiedades 00:11:38

es decir, primero que si yo tengo una suma de 2 00:11:41

podemos hacer suma de 50 funciones 00:11:43

f más g más h 00:11:44

por ejemplo derivada 00:11:47

y la segunda es que si yo cojo por ejemplo 00:11:48

multiplico esas funciones por números 00:11:54

pues af más bc 00:11:56

más ch 00:11:58

donde a veis esos números 00:12:00

la derivada de todo 00:12:02

será la derivada de a por f 00:12:04

más b por g 00:12:05

más c por h 00:12:07

derivada que será 00:12:09

a por la derivada de f 00:12:13

más b por la derivada de g 00:12:15

más c por la derivada de h 00:12:17

esto es lo que se llama ser lineal 00:12:19

pero bueno 00:12:22

eso es un nombre nuevo que tampoco 00:12:23

ahora es imprescindible la cuestión es que 00:12:25

esto 00:12:29

podemos pasar directamente de aquí a aquí 00:12:31

de acuerdo 00:12:33

pues nada, vamos a hacerlo 00:12:35

con un polinomio 00:12:37

Bueno, dicho lo anterior, hay que decir que lo que valía para la suma vale para la resta. 00:12:39

Es decir, si yo tengo f menos g derivada, pues esto es f más menos 1 por g. 00:12:46

Esto es la derivada de f, más menos 9 veces la derivada de g, que es f menos g. 00:12:53

Esto tiene menos g' o sea que lo que vale para la suma vale para la resta si es incomplicable. 00:13:00

¿De acuerdo? 00:13:04

Dicho lo cual, vamos a hacer la derivada de un polinomio. 00:13:05

Bien, realicemos ahora la derivada de un polinomio. Tenemos por ejemplo el polinomio 5x4 menos 9x al cubo más 3x al cuadrado menos 5x más 3. 00:13:08

Bueno, pues la derivada es así como hemos dicho 00:13:30

Dejamos el 5 y ahora multiplicamos por esta función que es 4x al cubo 00:13:36

Bajamos el menos 9 y multiplicamos por esta función 3x al cuadrado 00:13:42

Bajamos el 3 y multiplicamos por esta función 2x 00:13:47

Menos 5 y multiplicamos por esta función 1 00:13:52

Y le he dado el número de una constante que hemos dicho que es 6 00:13:55

Y ahora ya pues calculamos lo que hay detrás 00:13:58

5 por 4 nos da 20, 9 por 3, 27, 3 por 2, 6, 5 por 1, 5. 00:14:03

Dos observaciones, una es que el 0 no se escribe y otra que es más fácil pasar directamente a 5 por 1, 5. 00:14:16

Pero es que es más fácil pasar de todos directamente de aquí a aquí. 00:14:21

Vamos a hacer un ejemplo más así y luego haremos otro directamente. 00:14:25

Por ejemplo, vamos al polinomio 7x a la 8, menos 9x a la 4, menos x al cubo, más 20x más 3. 00:14:29

Bueno, pues derivamos esto 00:14:52

Si tenemos 7 por la derivada de lo que va a la derecha 00:14:57

8x7 menos 9 por la derivada de la función 00:15:03

4x al cubo 00:15:07

Aquí no hay ningún número multiplicando, tanto mejor, más fácil 00:15:10

3x al cuadrado más 20 por la derivada de x que es 1 00:15:13

Más 3 que su derivada es 0, pero hemos dicho que es 1 y lo contamos 00:15:19

Y ahora pues multiplicamos, ¿no? 00:15:22

7 por 8, 56, x7, menos 9 por 4, 36, x al cubo, menos 3x al cuadrado, más b. 00:15:26

Y ya se ha terminado la derivada. 00:15:37

Bueno, pues ahora hacéis un par de ejemplos. 00:15:39

Por ejemplo, los polinomios 8x al cubo, menos 4x al cuadrado, más 2x, menos 7 derivados. 00:15:41

Y la derivada, pues 9x7 menos 5x5 más 2x cuadrado más 4 00:15:53

Para esta grabación, realizamos las derivadas y las corregimos 00:16:09

Bien 00:16:20

Pues corregimos, tenemos 8 y ahora la derivada 3x cuadrado menos 4 00:16:22

por la derivada de x cuadrado que es 2x 00:16:30

más 2 00:16:33

por la derivada de x que es 1 00:16:34

y esto que ni se pone ya 00:16:35

sería más 0 pero es que ni se pone 00:16:36

y ahora multiplicamos 00:16:39

3 por 8 es 24 00:16:41

x cuadrado menos 4 por 2 es 8x 00:16:42

más 2 00:16:46

y aquí lo mismo 00:16:46

9 por 7 es 63 00:16:48

bueno perdón, me adelanto un poco 00:16:51

hacemos los pasos 00:16:53

9 por 7 es x6 00:16:57

Menos 5 por 5x4 00:16:59

Más 2 por 2x 00:17:02

Y eso que no se pone pues no lo ponemos 00:17:05

Y más 0 no lo ponemos 00:17:07

Ahora calculamos 00:17:08

109,63 00:17:09

Menos 25x4 00:17:11

Más 4x 00:17:15

Bueno, lo que vamos a hacer después 00:17:17

Es pasar directamente de aquí a aquí 00:17:20

Sin hacer 00:17:22

Paso intermedio 00:17:25

Hacemos un eje 00:17:28

Vamos a hacer dos ejemplos. Os saco un ejemplo, pero voy a hacer vosotros otro. Otros dos. 00:17:33

Por ejemplo, tenemos el polinomio 7x8 más 4x a la 5 menos 3x al cuadrado más 2x menos 12, derivada. 00:17:46

Es esto que voy a hacer yo y vosotros podéis hacer los polinomios 7x4 menos x al cubo menos 2x al cuadrado más 7x menos 9 derivada 00:18:02

Y 14x a la 5 00:18:19

Menos 00:18:26

7x al cubo 00:18:29

Menos 2x al cuadrado 00:18:32

Más x 00:18:34

Menos 10 00:18:35

Derivada 00:18:37

Pues nada 00:18:38

Hago esta 00:18:40

Directamente hacemos 7 por 8 00:18:42

56 00:18:45

Y ahora ya ponemos 00:18:46

Derivada de esto 00:18:48

x a la 7 00:18:49

Ahora, 4 por 5, 20, y dejamos, bajamos el grado en una, x4, menos, ahora multiplicamos grados, 3 por 2, 6, dejamos la x 00:18:50

Y ahora, el 2, quitamos la x, directamente lo dejamos así, casi mejor si queréis hago el 3 y luego os pongo por ejemplos 00:19:05

7 por 4, 28, y dejamos el x, 4, menos, ahora, ¿la x hace sola? Pues 3x cuadrado, bajando el grado. 00:19:17

Siguiente, 2 por 2, 4, menos 4x, y dejamos, bajamos el x cuadrado. 00:19:28

Ahora, más 7 y con 1x desaparece, y el 9 ni se pone, o sea, la idea de 9 va a ser 0 ni se pone eso. 00:19:36

Siguiente, multiplicamos esto por el 5, 14 por 5, 70 00:19:42

Y bajamos al grado de la X, X4, menos 00:19:47

7 por 3, 21, y bajamos al grado a X cuadrado, menos 00:19:51

2 por 2, 4, y la X baja al grado, está al cuadrado, vuelve a ser la X 00:19:56

La X pues va a ser 0, y ya está 00:20:02

Y esto nos lo tenemos en cuenta porque es una pasta 00:20:06

Pues ahora os pongo un par de ejemplos 00:20:09

Si queréis puedo borrar 00:20:14

Bien, ahora hagamos un par de ejemplos 00:20:15

Y para ello borraremos la parte de arriba 00:20:17

Bien, pues tomamos los polinomios 00:20:19

x a la 6 00:20:24

Más 9x a la 5 00:20:26

Menos 7x a la 4 00:20:29

Más 3x a la 2 00:20:31

Menos x 00:20:34

Más 14 00:20:37

Derivada 00:20:39

El polinomio 5x7 menos 9x cuadrado o cubo más 7x menos 2 derivada. 00:20:40

Y el codinomio, 9x5 menos x4 más 3x3 menos 8x2 menos 9x más 2, derivada. 00:21:01

Pues bien, para la grabación, realizáis estos ejercicios y después corregimos. 00:21:22

Bien, pues sería la derivada de x6, 6x5, más, ahora multiplicamos 9 por 5 que nos da 45 y bajamos el exponente de la x, x4, menos. 00:21:29

Ahora 7 por 4 es 28 y bajamos el exponente de la x, x al cubo 00:21:47

Más 3 por 2 es 6 y bajamos el exponente de la x 00:21:54

Luego menos x es menos 1 y menos 14 tiene derivada 0, no se pone 00:21:59

Ya está 00:22:03

Siguiente, 7 por 5 es 35 y bajamos el grado de la x 00:22:04

que 6 menos 9 por 3 00:22:11

27 00:22:14

bajamos el dado de la x 00:22:17

en una unidad, en 2 00:22:19

más 7x se queda en 7 00:22:20

y el 2 pues nada, desaparece 00:22:23

siguiente 00:22:25

9 por 5, 45 00:22:27

bajamos el dado de x 00:22:29

a la 4 00:22:31

menos 00:22:32

la de x4 es 00:22:33

4 00:22:35

que también puede ser 4 por 1 00:22:37

No, porque 1 es lo que multiplica la x, 4x³, más 3 por 3 es 9, x², menos 8 por 2 es 16, x, y lo que multiplica eso es 9, pues menos 9. 00:22:39

Y aquí ya tenemos los siguientes ejemplos de derivadas de polinomios, que va a ser la más habitual en este curso. 00:22:57

Empezamos por dar algunas funciones más, ¿vale? 00:23:10

y son la función elevada a x 00:23:11

que es la derivada más sencilla de todas 00:23:15

porque es ella misma 00:23:18

y luego 00:23:20

la derivada del logaritmo neperiano de x 00:23:23

que es 00:23:27

bueno, también se suele poner con minúscula 00:23:31

1 partido por x 00:23:33

y eso son muy sencillas 00:23:38

no hay que ir más 00:23:45

entonces quizá para practicarlas 00:23:45

podemos hacer ejemplos de lo anterior 00:23:47

¿vale? 00:23:49

pero vamos a ver 00:23:51

8 elevado a x 00:23:52

Menos 3 00:23:56

Partido, perdón, menos 3 logaritmo de perinodo de x 00:23:59

Más 9x al cubo, derivado 00:24:03

Pues eso sería 8 00:24:07

Ahora ponemos la deriva de esta función 00:24:11

Que como os hablaba en la memoria 00:24:13

Es elevado a x 00:24:14

Menos 3 00:24:16

Ahora ponemos la deriva de esta función 00:24:18

Que es 1 partido por x 00:24:20

más 9, y ahora ponemos la idea de esta función 00:24:22

que no hace falta hacerlo así, sino que directamente sabemos cómo se 00:24:25

opera con polinomios, lo hacemos igual, es más rápido, bueno, yo puedo hacer 00:24:29

9 por 3x cuadrado, o más rápido, directamente 00:24:33

9 por 3 es 27, 27x cuadrado 00:24:37

bueno, pues 00:24:41

haced vosotros las siguientes derivadas 00:24:44

4 logaritmo de perinodo de x 00:24:48

menos 9x a la 5 00:24:54

más 6 elevado a x derivada 00:25:01

y 7x a la 8 00:25:08

más 9 elevado a x 00:25:14

menos x al cubo 00:25:18

partido por 2 00:25:23

más 9 00:25:24

logaritmo de x 00:25:30

vale, pues ponéis la grabación y deshacéis 00:25:32

corrijo 00:25:37

pues sería 00:25:43

voy a hacer otro color 00:25:45

4 por 00:25:47

1 partido por x 00:25:51

menos 9 por 5, 45x4 00:25:52

más 6 elevado a x 00:25:55

eso se puede explicar como 00:25:58

4 partido por x menos 45x4 00:26:01

más 6 elevado a x 00:26:03

en caso de que haya que hacer posteriores cálculos 00:26:05

y aquí lo mismo, por 7 por 8 00:26:08

56x elevado a 7 00:26:11

más 9 elevado a x 00:26:14

el 9 se deja, eso es la derivada igual 00:26:16

menos 00:26:18

un medio de 00:26:20

pues x elevado 00:26:23

pues la derivada de x 00:26:26

que es 3x cuadrados 00:26:28

más 9 por 1 partido por x 00:26:30

que simplificando se queda 00:26:32

56x elevado a 7 00:26:34

más 9 elevado a x 00:26:37

menos 3 medios 00:26:39

x al cuadrado 00:26:41

más 9 parecido por x 00:26:43

y ya está 00:26:45

muy bien 00:26:46

pues ahora ya 00:26:49

empezamos a complicar un poco las cosas 00:26:52

pero bueno, paso a paso 00:26:55

si queréis 00:27:01

hacéis una pausa, descanséis un rato 00:27:03

y luego seguís porque ya os digo 00:27:05

que se complica un poco esto 00:27:07

Antes de nada, recuerdo que tenemos las derivadas x elevado a n' igual a nxn-1 00:27:10

La derivada de elevado a x derivada elevado a x 00:27:16

Y logaritmo de p' de x derivada 1 partido por x 00:27:22

Bueno, ahora vamos a ver la derivada del producto 00:27:27

Y aquí está lo sorpresivo 00:27:34

Porque la derivada de x del producto de las funciones 00:27:38

no es el producto de las derivadas 00:27:42

sino la derivada del primero 00:27:46

por el segundo 00:27:48

más el primero 00:27:49

por la derivada del segundo 00:27:52

veamos algunos ejemplos 00:27:54

¿vale? 00:27:57

vamos a ver, por ejemplo 00:27:59

x al cubo 00:28:03

por e elevado a x 00:28:05

derivada 00:28:07

x elevado a 4 logaritmo perinatal de x 00:28:08

derivada 00:28:14

y por ejemplo 00:28:16

elevado a x, logaritmo de perimodo de x 00:28:17

derivado 00:28:20

bueno, esto lo hacéis vosotros 00:28:21

vamos a hacer esta 00:28:27

derivada del primero 00:28:29

3x al cuadrado 00:28:32

por el segundo 00:28:35

elevado a x 00:28:37

más el primero sin derivar 00:28:39

por la derivada del segundo 00:28:41

con lo cual siempre es 00:28:45

derivada del primero 00:28:47

por esa cantinela 00:28:48

por el segundo 00:28:51

más el primero sin derivar 00:28:53

por la derivada del segundo 00:28:56

aquí por ejemplo, derivar el primero 00:28:58

4x al cubo 00:28:59

por el segundo 00:29:02

logaritmo de perino de x 00:29:04

más 00:29:06

el primero sin derivar 00:29:07

por la derivada del segundo 00:29:10

fijaos aquí se puede simplificar esto 00:29:12

esto es 4x al cubo 00:29:15

logaritmo de perino de x 00:29:17

y x es 4 entre x 00:29:19

y esto ya lo hacéis vosotros que si no, si os lo hago yo no lo podéis hacer vosotros 00:29:20

y os pongo alguna más 00:29:37

x7e elevado a x derivado 00:29:39

bueno y una más 00:29:45

8x4 logaritmo de x 00:29:47

derivado 00:29:51

ponéis la grabación y hacéis 00:29:53

bueno corregimos 00:29:55

Sería la derivada del primero elevado a x por el segundo más el primero sin derivar, que en este caso da igual porque es elevado a x, por la derivada del segundo. 00:30:00

Y ya está. Se puede poner de forma un poco más elegante, pero así estaría bien. 00:30:22

siguiente 00:30:26

derivada del primero 00:30:32

por el segundo 00:30:34

más 00:30:38

el primero es la derivada 00:30:40

por la derivada del segundo 00:30:43

se podría poner más que más 00:30:47

igual que esto de aquí 00:30:50

se podría poner también 00:30:51

por ejemplo 00:30:53

ordenando x7 00:30:55

más 7x6 00:30:57

por elevado a x 00:30:59

igual que aquí se podría poner 00:31:01

x al cubo 00:31:02

Hacemos 3x cuadrado por elevado a x 00:31:04

Pero bueno, así está bien 00:31:07

Y ahora hacemos esto de aquí 00:31:09

Lo único es darse cuenta que 00:31:13

Si es la constante, hacemos el 8 00:31:15

Por la derivada de lo que sigue 00:31:16

Que aquí ya sería 00:31:18

Abrimos paréntesis 00:31:19

Y ponemos la derivada del producto 00:31:22

O sea, si queréis 00:31:24

Eso es 8 por la derivada de 00:31:26

x4 logaritmo de 1 de x 00:31:29

Pero si queréis perder el tiempo 00:31:31

Hacemos directamente esto 00:31:32

Derivada de x es 4, 4x al cubo, por el segundo, el logaritmo perinatal de x, más el primero sin derivar, por la derivada del segundo. 00:31:34

Ahora bien, también se puede ver esto de otra forma, quizá más rápida. 00:31:50

Consigamos esto como una función y esto como otra. 00:31:55

Derivada del primero, pues 4 por 8, 32x al cubo, por el segundo. 00:31:59

más el primero sin derivar, 8x al cuadrado, por la derivada del segundo. 00:32:09

Bueno, y tanto aquí como aquí se podría simplificar. 00:32:16

Aquí, por ejemplo, sería 32x al cubo logaritmo de x, más 8x al cubo. 00:32:18

Y ya está. 00:32:25

Bueno, y para completar un poco lo dado, vamos a apuntar varias cosas. 00:32:31

Vamos a apuntar ahora productos y sumas de derivadas. 00:32:35

Por ejemplo, tenemos la función 3x5 elevado a x, menos el logaritmo periano de x, más 7 veces x por el logaritmo periano de x, derivada. 00:32:39

¿Cómo sería esto? Pues sería igual, lo único es que hacemos igual que antes. 00:32:57

igual que cuando operamos con números 00:33:03

¿vale? 00:33:04

primero hacemos los productos 00:33:06

y luego lo de las sumas 00:33:07

y ya está 00:33:10

en ese orden 00:33:12

entonces, derivada número 1 00:33:15

este de aquí 00:33:18

pues nos olvidamos de los demás por ahora 00:33:18

y hacemos solamente esta 00:33:21

tenemos 00:33:22

la primera que es la f 00:33:23

y la segunda que es la c 00:33:24

pues la calculamos 00:33:26

derivada de c 00:33:27

c por 5 es 15 00:33:28

15x bajo el grado de una unidad 00:33:31

cuadrado 00:33:33

dejamos la g sin derivar 00:33:34

más 00:33:36

ahora ponemos 00:33:38

que el primero es sin derivar 00:33:40

3x5 00:33:42

y la derivada de la segunda que se queda igual que es la l o la l 00:33:43

y esta parte ya está 00:33:48

vamos a la segunda 00:33:51

menos 00:33:53

pero aquí, ojo, tenemos un menos 00:33:55

ah bueno, aquí no hay ningún problema 00:33:58

vale 00:34:00

luego os pongo un ejemplo 00:34:00

Pues la derivada del logaritmo de x es 1 partido por x, y ya. 00:34:04

Siguiente, es más, vamos a hacer la derivada de 7x, esta es la f, esta es la g. 00:34:08

La derivada de 7x, 7, por la g, logaritmo de periódico de x, más la f sin derivar, por la derivada de la g. 00:34:14

Y bueno, ya sabéis que eso se puede simplificar, pero bueno, vamos a dejarlo así, que estamos practicando nada más. 00:34:24

A ver, un ejemplo con la otra, ¿vale? 00:34:30

7x8 elevado a x menos 14x cuadrado. 00:34:33

Logaritmo de periodo de x menos 10x. 00:34:44

No voy a hacer otra cosa, perdóname. 00:34:53

10 veces elevado a x por el logaritmo de periodo de x. 00:34:56

Deriva de todo esto. 00:35:01

Pues vamos a ver. 00:35:05

Igual que antes, hacemos primero esto, después esto, y después esto. 00:35:05

Entonces tenemos primero, aquí tenemos la f, y aquí la g. 00:35:12

Si no se ve bien, voy a mostrar con otro color, f y g. 00:35:18

Pues nada, vamos a ver, derivada de la f. 00:35:23

7 por 8 es 56, 56x7, por la g, que la dejamos igual. 00:35:28

Más la derivada de la derivada, que es la f, 7x8, por la derivada de la g, que es el grado de x. 00:35:36

Hasta aquí todo bien. 00:35:45

Ahora menos. 00:35:47

Ahora somos el segundo bloque, pero ojo, el menos va a parecer a todo. 00:35:48

Habrá que poner un paréntesis. 00:35:53

Si no se pone paréntesis, habrá que darse cuenta del signo menos. 00:35:57

Derivado primero, 14, 14, 28, 28x. 00:36:03

Bueno, esta es la f, no es la antes. 00:36:08

Esta es la c, 28x por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar, 14x, por la derivada de la segunda, que es una partida por el pi. 00:36:10

Pues nada, el gestor tiene que tener en cuenta el paréntesis, es lo único 00:36:27

Porque aquí esto, cuando se opere, será menos 28X logaritmo de P1 de X 00:36:31

menos 14, bueno, X por 1 partido por X, que sería menos 14 00:36:41

Esto es 1 00:36:46

Entonces, el hecho es que aquí hay un menos 00:36:48

Si no se pone el paréntesis, pues aquí, cuando nos damos cuenta de que hay un menos 00:36:54

lo ponemos directamente o bien nos estropea. Siguiente, aquí tenemos la siguiente función 00:37:00

igual que antes tenemos dos partes, la f y la g. Pues igual, estamos rezando, abrimos 00:37:09

un paréntesis y tenemos pues 10 elevado a x, pues eso. Deriva el primero, 10 que es 00:37:19

elevado a x, por el segundo sin derivar, más el término sin derivar, por el edad del segundo que es 1 partido por x 00:37:25

y ya está, bueno pues si queréis hacéis alguno más y ya está 00:37:37

bueno os pongo un par de ejemplos y practicáis 00:37:46

vale, este es un poco más pequeña la imagen para que os podáis escribir, vale 00:37:50

Vamos a hacer una cortina. 00:37:55

Bien, pues vamos a poner un par de ejemplos. 00:38:00

Por ejemplo, 7x al cuadrado elevado a x, menos 9 veces el logaritmo de periódico de x, más 3 veces x5, el logaritmo de periódico de x, derivada. 00:38:02

¿Y otra más? Pues lo que sea. 00:38:21

7x al cubo 00:38:23

logaritmo de pi a la de x 00:38:27

menos 00:38:29

8 veces e a la de x 00:38:30

logaritmo de pi a la de x 00:38:32

más 5 veces 00:38:34

x al cubo 00:38:40

menos 00:38:41

9x4 00:38:42

logaritmo de pi a la de x 00:38:48

derivado 00:38:51

bueno pues las hacéis 00:38:52

para esta grabación y corremos 00:38:56

vale 00:38:59

igual que antes separamos antes los que 00:39:02

este, este y este 00:39:06

y aquí tenemos la f 00:39:09

la g 00:39:12

hasta el primer bloque sería 00:39:13

6714, 14x 00:39:17

derivada del primero de la f por la g 00:39:20

más 00:39:24

la f sin derivar 00:39:25

por la derivada de la g 00:39:28

y así está, segundo 00:39:30

En el escudo tenemos una sola función 00:39:34

Pues la dejamos para menos 9 00:39:37

Con el intervalo de logaritmo de periódico de x 00:39:39

Que es 1 partido por x 00:39:41

Ya está 00:39:42

Y aquí tenemos dos funciones 00:39:43

La f 00:39:47

Y la g 00:39:48

Después tendríamos la f 00:39:50

3 por 5 es 15 00:39:52

15x a la 4 00:39:53

Por la g 00:39:56

Más 00:39:57

Ya no me cabe 00:40:00

la primera sin derivar 00:40:02

3x5 por la derivada 00:40:03

de la g que es 1 partido por x 00:40:06

bueno ya sabéis 00:40:08

que esto es 00:40:10

3x4 pero bueno 00:40:10

no lo voy a escribir 00:40:14

todo otra vez 00:40:16

y ya esto de aquí pues aquí tenemos 4 funciones que se suman 00:40:16

esta, esta 00:40:22

esta y esta 00:40:24

e igualmente 00:40:26

que antes pues 00:40:28

hacemos un producto 2 00:40:29

la f que es esta y la g 00:40:30

Pues lo hacemos. Entonces tendríamos, derivada de la f, 7 por 3 es 21, 21x cuadrado, por la g, logaritmo de p1 de x, más la f sin derivar, 7x al cubo, por la g, logaritmo de p1 de x. 00:40:32

bien 00:40:52

y ahora pues 00:40:53

ya tenemos la primera parte 00:40:57

ahora la segunda 00:40:59

menos, pero abrimos un paréntesis 00:41:00

porque tenemos un grupo 00:41:03

que va a ser largo, ya que tenemos la f 00:41:08

y la g 00:41:10

pues lo hacemos 00:41:12

derivada de la f 00:41:15

pues lo dejamos que es 8 00:41:16

por la derivada de elevado a x que es 00:41:19

elevado a x, por la g sin derivar 00:41:21

más 00:41:23

la f sin derivar por la derivada de la g 00:41:26

y ahora cerramos el paréntesis que habíamos abierto aquí 00:41:30

tercera parte de la función 00:41:33

más, pues es un polinomio muy sencillo 00:41:37

no hay producto de funciones 00:41:41

que es por ejemplo 15, 15x cuadrado 00:41:43

menos, y como hay un menos aquí en producto 00:41:46

volvemos a poner un paréntesis 00:41:49

y nuevamente tenemos aquí la f y aquí la g 00:41:51

Pues la f es 00:41:54

9 por 4 es 36 00:41:57

Derivado de la f 00:41:59

36x cubo 00:42:00

Por la g 00:42:04

En derivar 00:42:06

Más 00:42:07

La f en derivar 00:42:09

Por la derivada de la g 00:42:12

Y ya está 00:42:15

Y luego al final 00:42:18

Podemos quitar paréntesis 00:42:20

Y entonces tendríamos 00:42:21

Menos 8 elevado a x 00:42:22

igualidad de periodo de x menos 8 elevado a x partido por x por ejemplo 00:42:24

eso se puede dejar así, eso dejamos igual 00:42:31

y ahora pues esto también se puede dejar igual 00:42:35

y aquí pues nada, vamos a quitar paréntesis 00:42:40

menos 36x cubo logaritmo de periodo de x menos por más menos 00:42:44

y aquí eso se puede operar porque es x4 entre x que es x cubo menos 9x al cubo 00:42:49

Pero bueno, como estamos practicando con esto también estaría bien. 00:42:54

Tenemos un constituente del partido por g cuya derivada es f' por g menos f por g', todo ello en 3g cuadrado. 00:43:00

Podéis comprobar que se parece la derivada del producto, solo que en vez de sumar, gastamos y luego dividimos en 3g cuadrado. 00:43:12

Bueno, pues sacamos algunos ejemplos. 00:43:22

Por ejemplo, e elevado a x partido por logaritmo de pi no de x y también, por ejemplo, e elevado a x entre x elevado a pi. 00:43:24

Bueno, pues aquí tenemos, esta es la f, esta es la g y ahora aplicamos f' por g menos f por c' entre g cuadrado. 00:43:44

y igual que antes 00:43:58

f' ¿cuánto es? 00:44:01

elevado a x 00:44:04

por g 00:44:04

pues el 00:44:06

logaritmo de perino de x 00:44:09

menos 00:44:11

f elevado a x 00:44:12

por g' 1 partido por x 00:44:15

y abajo 00:44:17

g cuadrado 00:44:18

que sea logaritmo de perino de x 00:44:21

todo ello al cuadrado 00:44:23

y ya está 00:44:25

hagamos la otra 00:44:26

aquí tenemos la f, aquí tenemos la g 00:44:30

y aplicamos la fórmula de antes 00:44:32

f' por g menos f por g' 00:44:36

y abajo un g al cuadrado 00:44:39

entonces a la hora de derivar 00:44:40

pues tenemos 00:44:44

f' elevado a x 00:44:46

por g x5 00:44:50

menos f 00:44:53

elevado a x nuevamente 00:44:55

porque es la misma función 00:44:57

por g', 5x4, todo ello dividido entre g cuadrado, x5, g cuadrado. 00:44:59

Bueno, vamos a ver, voy a hacer un poco esto, ¿vale? 00:45:09

Luego veremos por qué. 00:45:13

Eso puede significar que tenemos que encontrar que esto es x elevado a 10, 00:45:16

con lo cual tendríamos, 00:45:20

vamos a ver el color, disculpad, 00:45:23

tendríamos 00:45:24

elevado a x por x5 00:45:27

entre x10 00:45:29

menos 00:45:31

elevado a x 00:45:33

por 5x4 partido por x10 00:45:34

x5 entre x10 sería 00:45:37

elevado a x por x elevado a 00:45:41

menos 5 00:45:46

menos 00:45:46

elevado a x por 5x 00:45:49

x elevado a 00:45:55

menos 6 00:45:59

Bueno, vamos a ver esto desde otro punto de vista 00:45:59

Esta función es la misma que si yo pongo elevado a x por x elevado a menos 5 derivada 00:46:05

Y esto es, derivada del primero elevado a x por el segundo sin derivar x menos 5 00:46:14

Más derivada del primero sin derivar elevado a x por derivada del segundo 00:46:23

Menos 5, x a la da menos 5 menos 1 00:46:30

Y esto es menos 6 00:46:34

Y ya si lo despegamos bien 00:46:35

Sería elevado a x por x a la menos 5 00:46:38

Menos 00:46:41

Bueno 00:46:43

Elevado a x 00:46:45

Por 5x a la menos 6 00:46:48

Lo he puesto así para que se vea que son iguales 00:46:50

Y que se vea bien lo de elevado a x menos 6 00:46:52

Pero para dejarlo de forma elegante 00:46:54

Habría que poner 00:46:56

x a la menos 5 elevado a x 00:46:58

menos 5x elevado a menos 6 00:47:00

elevado a x 00:47:03

por lo menos el 5 delante de la x 00:47:04

no está mal otra cosa pero así es más o menos 00:47:07

bueno 00:47:11

voy a borrar esto aquí aparte 00:47:13

porque voy a ponerlo como ejemplo 00:47:15

y con tanto número podría 00:47:17

bueno, lo dejamos aquí 00:47:20

ya resumiendo únicamente esto 00:47:23

vale 00:47:25

y después traduciré 00:47:26

la imagen y pondré 00:47:29

Y podéis hacer ejemplos, ¿vale? 00:47:31

Bien, antes de poner ejemplos vamos a ver un ejemplo de derivada que aparece mucho 00:47:36

Tenemos arriba un polinomio, por ejemplo, x al cuadrado menos 7x más 4 00:47:41

Entre el polinomio, x al cuadrado más 9x menos 2 00:47:46

Derivada 00:47:50

Esto parte, por ejemplo, a la hora de representar funciones, ¿vale? 00:47:52

Porque esas se pueden representar 00:47:57

Vale, aquí tenemos la de esta, aquí tenemos la g 00:47:58

Y ahora vamos a hacer la fórmula de f' por g menos f por c', que es c cuadrado. 00:48:02

¿Qué vamos a hacer ahora? 00:48:14

f', pues la derivada de arriba, que es 2x más 7, por g, lo de abajo, x cuadrado más 9x menos 2, 00:48:17

menos la f pero de arriba 00:48:28

x cuadrado menos 7x más 4 00:48:33

por supuesto con paréntesis 00:48:37

uno de los problemas comunes a la hora de hacer derivadas 00:48:38

es no poner los paréntesis 00:48:41

por c prima, la derivada de abajo 00:48:43

2x más 9 00:48:47

y ahora derivamos por el denominador al cuadrado 00:48:48

x cuadrado más 9x menos 2 00:48:52

todo ello al cuadrado 00:48:56

y ya está 00:48:57

ya tenéis bastantes ejemplos 00:48:58

vamos a poneros ahora 00:49:00

cuatro ejemplos para 00:49:02

por ejemplo, pues 00:49:04

elevado a x 00:49:10

partido 00:49:11

por, por ejemplo 00:49:14

x5, vamos a ponerle 1 00:49:16

que ya sabéis como se hace cuando hay sumas abajo 00:49:18

derivada 00:49:20

vale, esto es 00:49:21

un tamaño menor, siguiente 00:49:24

pues 00:49:26

por ejemplo, logaritmo 00:49:28

p1 de x entre x al cubo derivada. Aquí un polinomio como antes. Vamos a poner, por ejemplo, 00:49:33

Pues, x al cubo menos 3x cuadrado más 2 entre x a la 5 más 3x menos 1, derivada. 00:49:46

Y aquí abajo, pues, o más otro, por ejemplo, pues, elevado a x menos logaritmo perino de x partido por x cuadrado menos 2x más 3, o más 8, derivada. 00:50:01

Bueno, pues para ir a la grabación, hacéis estos cuatro ejemplos y luego, pues, lo decimos. 00:50:19

Primer ejemplo, aquí tenemos la f, aquí tenemos la g, y la derivada es f' por g menos f' en gc al cuadrado, 00:50:27

Que sería f' elevado a x por g x elevado a 5 menos 1 menos f elevado a x por g' por 5x elevado a 4 00:50:38

Ya está 00:50:53

Denominador de cuadrado que sería x5 más 1 todo ello al cuadrado 00:50:54

La siguiente es más fácil 00:51:00

Igual que antes esta es la f, esta es la c 00:51:03

tenemos f' por g menos f' entre g cuadrado 00:51:06

f' 1 partido por x por g x al cubo menos f 00:51:12

pues sería logaritmo de x por g' 3x cuadrado 00:51:22

todo ello entre el denominador que es x al cubo al cuadrado 00:51:32

luego se podría simplificar un poco más 00:51:36

Aquí podríamos poner x cuadrado, x a la 6, y luego ya podríamos hacer algo como hemos hecho aquí, un retodo, etc. 00:51:40

Pero bueno, por ahora lo dejamos, que es lo que hemos ido practicando. 00:51:52

Siguiente, tenemos dos polinomios, igual que antes, tenemos f' por c, menos f por c', 00:51:57

Y en el denominador, c al cuadrado 00:52:08

Pues vamos a hacerlo 00:52:11

f' 00:52:13

Pues la derivada del numerador 00:52:17

Que sería 00:52:20

3x al cuadrado 00:52:21

Menos 6x 00:52:23

Por g 00:52:25

Pues x5 más 3x 00:52:27

Menos 1 00:52:29

Menos gf 00:52:30

Pues sería x al cubo 00:52:32

Menos 3x al cuadrado 00:52:35

Menos 2 00:52:37

Por g' 00:52:38

5x4 más 3. Y en el denominador, c al cuadrado, denominador al cuadrado, que sería de la función g al cuadrado, que sería x5 más 3x menos 1, todo ello al cuadrado. 00:52:39

Y ya la última que nos queda, aquí tenemos la f, aquí tenemos la g, y ya sería unir todo. 00:52:56

esto no lo pongáis vosotros, no os va a faltar 00:53:02

lo pongo yo por motivos pedagógicos 00:53:11

pero dicho ya debería empezar a dejar de ponerme 00:53:13

a ver, f' 00:53:17

f' 00:53:18

todo el numerador 00:53:18

derivado de todo el numerador, que es una resta 00:53:20

que es elevado a x 00:53:24

menos 1 partido por x 00:53:26

vale, entonces aquí tened en cuenta 00:53:27

que es todo esto 00:53:30

Ahora bien, como luego vamos a multiplicarlo por algo, hay que ponerlo entre paréntesis. 00:53:31

Por g, todo esto, por x cuadrado menos 2x más 8, menos la f entera, todo esto, 00:53:36

pues e elevado a x menos logaritmo cuadrado de x, por la derivada del denominador, 00:53:47

por x cuadrado menos 2x más 8, y abajo el denominador al cuadrado, x cuadrado menos 2x más 8, todo ello al cuadrado, y ya está. 00:53:53

Ahora vamos a hacer combinar multiplicación y cociente, por ejemplo haciendo f por g partido por h. 00:54:08

vale, pero no con una fórmula 00:54:16

sino aplicando las dos 00:54:20

por ejemplo hacemos 00:54:21

e elevado a x 00:54:25

logaritmo de x entre x elevado a 7 00:54:27

no es 2 00:54:30

derivado 00:54:30

entonces 00:54:33

aquí tenemos la f 00:54:35

aquí la g 00:54:37

voy a hacerlo un poco más claro con otro color 00:54:38

y hacemos f' por g 00:54:43

menos f por c' 00:54:48

y aquí el g cuadrado 00:54:50

Ahora bien, f' es un producto, vamos a llamarlo f'c con una c mayúscula y una c mayúscula, sería f' por g más f por g'. 00:54:53

Pues vamos a hacer la f', que está aquí, elevado a x, lo volvimos a tener x, f' por g, más f elevado a x por g', uno partido por e. 00:55:05

Ahora ya por g, pero la del denominador a la minúscula, por x cuadrado, perdón, por x7 más 2, ahora estamos f, que es el numerador, elevado a x por y menos polinomio de x, por la derivada, la de g, que es 7x6. 00:55:21

Ahora ponemos el denominador al cuadrado, pues x7 más 2, todo el cuadrado, y ya está. 00:55:51

Bueno, pues hacemos un solo ejemplo que sería bastante, y me interesa este tipo de cosas para profundizar, ¿vale? 00:56:04

no está. Hacemos por ejemplo el ejemplo x5 logaritmo y peinado de x partido por e elevado a x 00:56:11

por cierto se puede complicar y poner abajo también un producto, vamos a utilizar un ejemplo 00:56:25

todo ello derivado, bueno pues vamos a hacerlo, bueno pues no, al revés lo hacéis vosotros 00:56:33

para ir a la relación y luego corregir 00:56:41

a ver 00:56:43

quizás pudiese ser mejor 00:56:44

las más grandes poner 00:56:47

las mayúsculas para esas cosas 00:56:49

pero bueno, como ya he empezado 00:56:51

de todos modos, vamos a hacerlo así 00:56:53

tenemos 00:56:55

Fg, vale 00:56:57

aquí tenemos 00:56:58

el F' por C 00:57:00

menos 00:57:05

F por C' y abajo el C cuadrado 00:57:06

vale 00:57:09

y ahora hacemos la 00:57:11

sabiendo que dentro de la f aquí tenemos un producto con una f mayúscula y una f mayúscula 00:57:14

y en ese producto vamos a tener igualmente el f' por c más f por c' 00:57:22

pues empezamos con la derivada del f' que es el numerador 00:57:31

vamos a hacerlo 00:57:35

abrimos un paréntesis y tenemos 5x4 logaritmo que hay en la de x 00:57:36

más x5 por la derivada del logaritmo que es 1 partido de 2 00:57:42

ahora la g elevado a f 00:57:47

menos la f que es lo de arriba 00:57:50

numerador x5 logaritmo pleno de x 00:57:55

por la derivada de g 00:57:58

que en este caso es la derivada del lado de x que es elevado a x 00:58:00

y dividimos todo el denominador al cuadrado 00:58:04

elevado a x al cuadrado 00:58:07

y ya está 00:58:10

y esto podría complicar lo que queramos 00:58:12

o sea, yo que sé, podría hacer 00:58:14

e elevado a x, logaritmo de periódico de x 00:58:18

por, yo que sé, x al cubo más 00:58:22

x cuadrado 00:58:26

elevado a x, vale, por ejemplo esta, si queréis lo hacéis para simplificar un poco 00:58:30

pero se puede verificar todo lo que queráis, voy a borrar esto de acá 00:58:34

vamos a probar, bueno pues si queréis hacéis esta, vale 00:58:38

Aquí vemos que esto va a ser la f y esta la g. 00:58:42

Entonces hacemos el f' por g menos f por c' entre g al cuadrado. 00:58:52

f' es la derivada de un producto de todo esto. 00:58:58

La derivada es 3x al cuadrado. 00:59:02

Ahora tenemos un producto que sería 2x elevado a x más x al cuadrado elevado a x. 00:59:03

Cerramos paréntesis. 00:59:12

denominado a la hora por e elevado a x, logaritmo de peinado de x, aquí no hace falta paréntesis 00:59:13

porque estamos multiplicando, pero bueno, si queréis se pone, menos f, pues tenemos 00:59:21

que x u, aquí sí que se mete paréntesis, x u más x cuadrado de e elevado a x, por g 00:59:27

prima, que es un producto, pues sería derivada primero, e elevado a x, logaritmo de peinado 00:59:34

Y aquí ponemos el denominador elevado a x al cuadrado. 00:59:39

Ya es coger funciones cada vez más grandes, se puede complicar lo que se quiera entre 00:59:51

todos. 00:59:55

De acuerdo? 00:59:56

Bueno, vayamos avanzando. 00:59:57

Bueno, la siguiente parte que tenemos es la composición de funciones. 00:59:59

Bueno, recordemos antes de toda la composición, como una de las funciones tenemos f de g de x, por ejemplo, a ver, si tenemos f de x igual a x cuadrado más 3x, por ejemplo, tenemos g de x igual a elevado a x, pues entonces, ¿qué sería, por ejemplo, f de 5? 01:00:03

Sería donde cuando pone la X ponemos el 5 01:00:30

En este caso 25 más 15 que vale 40 01:00:33

F de 3 que sería 3 al cuadrado más 3 por 3 01:00:38

Que en este caso sería 18 01:00:44

Y F de G de X 01:00:47

¿Cuánto vale G de X? 01:00:49

Elevado a X sería F de elevado a X 01:00:53

Y es donde tenemos la X 01:00:57

Ponemos todo lo que hay aquí dentro 01:01:00

Que sería 01:01:03

Donde estará x ponemos eso 01:01:05

En este caso 01:01:13

Elevado a x y elevado a x 01:01:13

Sería elevado a x al cuadrado 01:01:17

Más 3 elevado a x 01:01:19

Que es elevado a 2x 01:01:21

Más 3 elevado a x 01:01:23

Otro ejemplo en este caso 01:01:25

Pues si g de x 01:01:27

Es el logaritmo de x 01:01:29

Pues sería 01:01:32

Logaritmo de x 01:01:34

al cuadrado más 3 veces 01:01:35

el logaritmo de la pierna de x 01:01:39

eso sería f de g de x 01:01:40

y si por ejemplo c de x 01:01:43

vale 01:01:46

x más 3 01:01:47

pues f de g de x 01:01:50

sería 01:01:53

donde pone la x 01:01:54

ponemos la c 01:01:56

en este caso es x más 3 01:01:57

pues sería aquí x más 3 01:02:01

y aquí x más 3 01:02:04

Ya está. Entonces vamos a hacer, bueno, otra más sencilla, si tenemos, yo que sé, g elevado a x es la f, y g es x cuadrado más 3, pues f de g de x sería, esto es x cuadrado más 3, la f es e, donde pone la x, ponemos la c, en este caso, x cuadrado más 3. 01:02:05

si queréis hacer, yo que sé 01:02:34

hacer por ejemplo esto 01:02:38

f de x es 01:02:39

x cuadrado más 1 01:02:41

bueno, eso puede hacer con más 01:02:43

si queréis hacer esto con x y con g 01:02:47

puedo hacer h de x 01:02:49

igual a 01:02:51

x menos 7 y yo puedo hacer 01:02:53

yo que sé 01:02:55

t de f de x 01:02:55

igual y yo que sé 01:02:59

t de, perdón 01:03:01

y f de h de x 01:03:03

Por ejemplo, podemos ver la f cuanto vale elevado a x y la ce x cuadrado más 3 por donde pone la x ponemos lo que está dentro. 01:03:10

En este caso es elevado a x. 01:03:21

Si resolvemos lo que está dentro tendríamos elevado a 2x más 3. 01:03:24

Si multiplicamos la h de x, ¿cuál es? x más 7. 01:03:31

la f elevada a x por donde esté la x 01:03:34

ponemos la h que significa x más 7 01:03:38

bueno pues por ejemplo tenemos f de x 01:03:42

esta 01:03:46

f de x igual a x más 2 01:03:47

y h de x por ejemplo es logaritmo de p no de pi 01:03:51

puedes hacer por ejemplo 01:03:55

f de h de x 01:03:57

g de f de x 01:03:59

y f de g de x 01:04:03

Para ir a grabación 01:04:06

Y después pues lo haces 01:04:08

Y luego corregimos 01:04:12

Corrección 01:04:13

Pues h de x 01:04:15

Cuanto es 01:04:16

Logaritmo de p1 de x 01:04:17

F de h de x 01:04:18

Vamos a poner el x 01:04:19

Logaritmo 01:04:20

Logaritmo de x al cuadrado 01:04:21

Más 1 01:04:23

Aquí cuanto vale f de x 01:04:24

x al cuadrado más 1 01:04:27

F de x más 2 01:04:29

Entonces vamos a poner la x 01:04:30

Y ponemos la otra función 01:04:32

Que es x al cuadrado más 1 01:04:33

x cuadrado más 1 más 2 01:04:35

que es x cuadrado más 3 01:04:38

g de x ¿cuánto es? 01:04:40

x más 2 01:04:43

la f esta 01:04:44

por lo tanto ponemos la f 01:04:45

ponemos la x en la f 01:04:47

y ponemos la g 01:04:49

x más 2 01:04:50

en este caso tendríamos x más 2 al cuadrado 01:04:52

que es x cuadrado más 4x más 4 01:04:55

más 2 01:04:57

que es x cuadrado más 4x más 6 01:04:59

ya está 01:05:02

bien, veamos ahora la derivada de la composición que es lo que se llama regla de la cadena 01:05:04

tenemos por ejemplo una función e de f de x y derivamos 01:05:13

pues bien, la derivada es igual a c' de f de x por f' de x 01:05:19

esto compensa esa regla 01:05:33

si he puesto la f dentro, pues lo que vamos a ver es esto 01:05:35

vamos a ver, si yo por ejemplo, la función g de x, pues yo que sé, el logaritmo es reno de x, vale 01:05:42

y f de x, por ejemplo, el polinomio x cuadrado más uno, vale, pues g de f de x sería 01:05:52

sabiendo que esto es 01:06:03

x cuadrado más 1 01:06:08

sería el logaritmo de periado 01:06:09

de dentro que es x cuadrado más 1 01:06:12

entonces 01:06:14

si me piden la derivada 01:06:16

aquí lo que nos van a pedir 01:06:17

es la derivada del logaritmo de x cuadrado 01:06:19

más 1 01:06:22

y aquí vamos a aplicar la derivada 01:06:23

entonces aquí había dos formas 01:06:26

la primera es aplicar la regla de la bestia 01:06:29

aquí tenemos el logaritmo de periado 01:06:31

pues cogemos 01:06:34

que esta es la g 01:06:36

y esta es la f 01:06:36

¿qué haríamos? 01:06:40

g' 01:06:42

g' de x 01:06:43

que es 1 partido por x 01:06:46

esto sería 1 partido por x 01:06:48

entonces ahí en la x ponemos lo que hay dentro 01:06:50

x cuadrado más 1 01:06:54

que es la f 01:06:56

entonces sería 01:06:57

esto sería el 01:07:00

g' de f de x 01:07:02

y luego multiplicamos 01:07:05

por la derivada de f 01:07:07

que es f' de x, que en este caso es 2x más 1, la derivada de 2x 01:07:09

y nos quedaría 2x partido por x al cuadrado más 1 01:07:14

bien, esa es una forma de hacerlo 01:07:20

hay otra, que a la mayor parte de la gente le suele parecer más fácil 01:07:24

y es aprenderse el doble de cuartas 01:07:32

pero en vez de aprender la derivada de 01:07:37

Te prendes logaritmo de pi 1 de x derivada es igual a 1 partido por x y te prendes la derivada del logaritmo de pi 1 de f que es 1 partido por f por f' 01:07:40

En este caso se puede poner incluso f' partido por f que es un poco más rápido. Entonces aplicando esto ya tienes automáticamente la derivada. 01:07:55

Tienes, ¿cómo sería esta derivada? 01:08:06

F' partido por F, F' es 2X, F es X cuadrado más 1. 01:08:10

¿Vale? Entonces lo único es, hay que aumentar el número de fórmula. 01:08:18

Por ejemplo, nosotros teníamos, X elevado a N, derivada igual a NXN-1. 01:08:29

Pues tenemos también f elevado a n derivada pues n f elevado a menos 1 por f' 01:08:38

Tenemos elevado a x derivada es igual a elevado a x 01:08:53

Pues entonces tenemos elevado a f de una función derivada elevado a f por f' 01:09:02

Además esto viene bien para la integración, ¿vale? 01:09:10

El siguiente, logaritmo de f' derivada es, pues, f' partido por f, por lo que hemos dicho antes. 01:09:15

Perdón, me he adelantado. 01:09:25

Logaritmo de f' derivada es 1 partido por x. 01:09:29

y en la otra parte tendríamos 01:09:34

logaritmo de p' de f 01:09:37

derivada es 01:09:38

f' partido de 4 01:09:40

pues bien, ahora lo que habría que hacer 01:09:41

es 01:09:45

hacer derivadas así 01:09:46

por ejemplo, vamos a ver 01:09:49

por ejemplo, o bien 01:09:50

aplicamos la regla de cadenas como hemos visto antes 01:09:52

que les será más fácil 01:09:55

a algunos porque no tienen que aprenderse nuevas derivadas 01:09:57

y 01:09:59

esta sería más fácil a otros 01:10:00

y le parece más fácil lo primero 01:10:02

pues que haga eso, los que no utilizan esto 01:10:05

yo he visto que a la gente les no es fácil 01:10:07

así que es la que explica 01:10:09

bien, vamos a ver, pues por ejemplo 01:10:11

nos piden derivada de e elevado a 01:10:16

x5 más 3x 01:10:18

derivada de 01:10:21

logaritmo de periano de 01:10:24

x al cubo 01:10:26

vale, vamos a hacer estas dos 01:10:28

pues esta sería 01:10:38

derivada de esto 01:10:40

tenemos e elevado a la función 01:10:42

estamos en este caso 01:10:43

entonces la derivada es 01:10:45

elevado a f por f' 01:10:47

elevado a la función 01:10:49

por la derivada de la función 01:10:51

que ojo, si no lo hago es que lo ponemos en paréntesis 01:10:56

2x' 01:10:58

porque si no, estuviese en paréntesis 01:10:59

la elevado a x, etc. 01:11:03

solo multiplicaría el 2x 01:11:05

la de aquí, vamos a separar 01:11:06

sería 01:11:09

logaritmo de f 01:11:12

cuya derivada es f' partido por f 01:11:14

en este caso 01:11:17

f' es 01:11:18

3x cuadrado 01:11:20

y f de x al cubo 01:11:22

bueno, vamos a hacer una pequeña observación 01:11:23

aquí podemos simplificar 01:11:27

y nos queda x cuadrado entre x al cubo 01:11:30

nos queda x 01:11:32

3 partido por x 01:11:33

ahora bien, habría otra forma de hacer esto 01:11:35

que es observar 01:11:37

con las propiedades del logaritmo 01:11:39

que esto es 3 veces el logaritmo de p1 de x 01:11:41

derivada 01:11:44

y esto es 3 por la derivada del logaritmo 01:11:44

que es 1 partido por x 01:11:47

que es 3 partido por x 01:11:48

igual que antes 01:11:51

con métodos distintos 01:11:53

obtenemos la misma solución 01:11:54

bueno, reducimos la imagen 01:11:56

para poder escribir 01:12:01

nuevas fórmulas y que eso se quede 01:12:04

y después 01:12:05

pasamos 01:12:08

la parte de abajo al otro lado 01:12:10

vale 01:12:12

bien 01:12:13

siguiente 01:12:15

unos cuantos ejemplos vamos a poner 01:12:17

vale 01:12:20

Por ejemplo, ahora 6, pues por ejemplo, elevado a x al cubo más 3x más 1, derivada. 01:12:23

O por ejemplo, logaritmo de periano de x al cuadrado más 2x más 3, derivada. 01:12:37

O por ejemplo, elevado a logaritmo de periano de x, derivada. 01:12:46

Bien, pues igual que antes, paráis la grabación, realicéis esas derivadas y corregimos. 01:12:55

Bueno, cortamos. Primero, esto es e elevado a la función, esto es f, entonces la derivada es e elevado a f por f' 01:13:10

Pues ponemos, elevado a f, que es elevado a x al cubo, más 3x más 1, por su derivada, que ponemos entre paréntesis, que sería 3x al cuadrado, más 3x. 01:13:18

¿Ya está? 01:13:34

Entre paréntesis, porque si no, solo multiplicaría el primer término. 01:13:35

Aquí ya hemos ubicado que es una función, y esto es el logaritmo de la línea de f. 01:13:39

Su derivada es f' partido por x. 01:13:43

arriba la derivada 01:13:46

abajo la f 01:13:49

ponemos por ejemplo abajo la f que es más fácil 01:13:50

esto sería f' partido por f 01:13:52

x cuadrado más 2x más 3 01:13:55

y arriba su derivada 01:13:58

que es 2x más 2 01:13:59

esa es la única que 01:14:01

bueno, para los que no saben 01:14:03

el método de aplicar la regla de cadena 01:14:05

la del logaritmo sí que compensa 01:14:07

para tener esa memoria porque sale 01:14:09

más simplificada 01:14:11

y esto de aquí 01:14:12

Bueno, aquí también hay otros métodos, ya veremos los otros métodos 01:14:14

Sería elevado a f por f' 01:14:17

Pues eso, elevado al logaritmo de p1 de x 01:14:22

Por la derivada del logaritmo, que es 1 partido por x 01:14:25

Ahora bien, esto se puede simplificar 01:14:29

Porque el logaritmo y f son inversas 01:14:31

De modo que elevado al logaritmo de p1 de x es x 01:14:34

Esto es x por 1 partido por x, que es 1 01:14:37

Y de hecho, si bien hemos observado 01:14:39

que elevado a la derivada de x es x 01:14:43

tendríamos x' 01:14:46

que es mal 01:14:48

no obstante, hacemos un ejemplo más 01:14:51

donde ya no tenemos x 01:14:53

¿vale? 01:14:55

por ejemplo, vamos a ver 01:14:57

logaritmo de la periana 01:14:59

bueno, aquí si hacemos esto 01:15:05

vamos a tener también la derivada de x 01:15:07

¿vale? 01:15:09

y logaritmo de la periana 01:15:12

que aquí ya no tenemos eso 01:15:15

elevado a x 01:15:16

más x al cuadrado 01:15:17

bueno, pues vamos a ver 01:15:19

aquí tenemos logaritmo de determinado de f 01:15:23

cuya derivada es 01:15:30

f' partido por f 01:15:32

que sería elevado a x 01:15:33

de la derivada de f 01:15:36

por f entre f 01:15:38

que nos da 1 01:15:39

igual que antes 01:15:42

esto es la inversa y esto es la función 01:15:45

x derivada 01:15:47

cuya derivada es 1 01:15:49

y aquí ya no podemos hacer eso 01:15:51

así que cogemos esto es f y tomamos f' partido por x 01:15:53

pues f' es la elevada de arriba elevado a x más 2x 01:15:58

y la f es elevado a x más x cuadrado más 01:16:04

bueno, ya tenemos unos cuantos ejemplos, ¿no? 01:16:08

hechos 01:16:14

ya lo que vamos a hacer es ir mezclando estas cosas 01:16:14

por ejemplo 01:16:20

último ejemplo 01:16:22

porque este es un poquito más difícil de ver 01:16:24

en la composición 01:16:28

un elevado a algo etc. es fácil 01:16:31

pero es un poco más complicado cuando tenemos algo elevado a n 01:16:32

por ejemplo, si yo tengo 01:16:35

logaritmo de x 01:16:36

elevado 01:16:38

a 5 01:16:40

derivado 01:16:42

aquí aplicamos el f al lado de n 01:16:44

derivada 01:16:47

por la n 01:16:47

por f al lado de n-1 01:16:49

por f' 01:16:52

En este caso, ¿cuál sería la derivada? 01:16:53

Pues tenemos f elevado a 5, con lo cual sería 5f elevado a 4 por f'. 01:16:57

Aquí vemos que tenemos dos variables, la n y la x. 01:17:12

Bueno, pues vamos a hacerlo. 01:17:15

Sería 5 por los de dentro, logaritmo parinógeno de x elevado a 4 por la derivada de dentro, que es 1 partido por x. 01:17:17

otro ejemplo 01:17:30

e elevado a x 01:17:33

todo ello 01:17:41

e elevado a 4 01:17:44

aquí es lo que vamos a hacer 01:17:45

una serie aplicable como he dicho antes 01:17:48

tenemos que 01:17:51

f elevado a 4 01:17:53

derivada es 4 veces 01:17:55

f al cubo por f' 01:17:57

pues eso es 01:17:59

e elevado a x 01:18:01

4 veces 01:18:03

al cubo por f' 01:18:05

f' que es e elevado a x. Otra forma de hacerlo es viendo que esto es e elevado a 4x. 01:18:07

Y aquí tenemos la composición e elevado a f por f' que sería e elevado a 4x por la derivada que es 4. 01:18:17

Con lo cual sería 4e elevado a 4x. 01:18:29

Si seguimos leyendo esto, tenemos 4 elevado a 3x por e elevado a x. 01:18:35

Esto es, sumamos los exponentes, 4 elevado a 3x más x, que es 4 elevado a 4x 01:18:40

Por dos caminos obtenemos lo mismo, siempre y cuando hayamos simplificado bien 01:18:49

Y bueno, y ya un último ejemplo más de este tipo 01:18:55

Tenemos x cuadrado más 3x más 1, todo ello elevado a 7 01:19:02

Y luego derivamos, pues hacemos lo mismo de antes 01:19:11

Tenemos f elevado a n derivada n f n-1 por f' como es un 7, f elevado a 7 derivada sería 7 f elevado a 6 por f'. 01:19:16

Pues eso es. Esa es la función. 01:19:31

Sería pues 7x cuadrado más 3x más 1 todo ello elevado a 6 por f'. 01:19:38

7x elevado a 6 01:19:48

y aquí la f' que sería 01:19:50

2x antes 01:19:52

ya está 01:19:54

ya tenemos el resultado 01:19:56

otro ejemplo más 01:19:59

ya para 01:20:05

x al cuadrado 01:20:06

todo y todo al cubo 01:20:09

derivada 01:20:10

pues eso sería 01:20:15

f al cubo 01:20:16

derivada 01:20:18

3f al cuadrado por f' 01:20:19

sería 01:20:21

3 por x al cuadrado 01:20:23

al cuadrado 01:20:26

por la derivada de x cuadrado que es 2x 01:20:27

y desarrollamos 01:20:30

3x elevado a 4 01:20:31

por 2x 01:20:34

3 por 2 es 6 01:20:34

x elevado a 5 01:20:37

ahora 01:20:38

otra forma de hacerlo sería 01:20:40

cuadrado por 3 es 6 01:20:43

x elevado a 6 01:20:45

derivada que es 6x5 01:20:46

obviamente lo mismo 01:20:50

bueno pues podéis hacer algunos ejemplos 01:20:52

Bueno, hemos reducido las dos definitivas anteriores, ¿de acuerdo? 01:20:55

¿Vale? Para que tengáis los ejemplos viendo esto a ver. 01:21:06

Entonces los ejemplos que vamos a poner son los siguientes. 01:21:09

Por ejemplo, logaritmo de P1 de X elevado a la 8 derivada. 01:21:14

Veamos ahora una combinación de producto y composición, regla de la cadena. 01:21:30

bien, podemos congelar la cadera como g de f de x derivada igual a e' de f de x por f' 01:21:36

o bien, pues en cada caso tenemos elevado a f derivada elevado a f por f' 01:21:51

prima, logaritmo de f derivada f' partido por f, y f elevado a n derivada igual a nfn-1 por f'. 01:22:01

Bueno, y luego tenemos la regla de todo esto, que es f por c derivada igual a f' por c más f por e'. 01:22:17

Bueno, pues, combinar las dos es hacer una cosa y después la otra. 01:22:32

Vamos a hacer, por ejemplo, primero hacemos un producto combinado de este tipo. 01:22:41

Derivada de x al cubo por elevado a x cuadrado más 1. 01:22:50

Pues aquí tenemos un producto, aquí tenemos la f y aquí tenemos la c. 01:23:00

Pues lo que está fuera es el producto. 01:23:10

¿Vale? ¿Cómo sabemos qué es lo que está más afuera? A ver, si tuviese que calcularlo a mano, ¿qué haría primero? 01:23:13

Pues primero calcularía el x cuadrado más 1, después la e, y ya después de eso multiplicar por el x al cubo. 01:23:18

Entonces, lo último que hacemos es lo que tengo que derivar. ¿Vale? 01:23:22

En este caso tenemos el producto, y vamos a hacerlo. 01:23:26

Sería f' por g, más f por g'. 01:23:30

f', pues si f es x al cubo, 3x cuadrado. 01:23:34

por g, la dejamos igual, e elevado a x cuadrado más 1, más f, x al cubo, por g', bien, ahora 01:23:41

con la g', hay que aplicar una de estas fórmulas, por ejemplo esta, o bien aplicar esta regla 01:23:53

de memoria, pero bueno, como no veo parte de la gente que prefiere esto, pues dejaré 01:23:58

eso, entonces, aquí tenemos e elevado a una función, vamos a poner como e elevado a h, 01:24:03

derivada que es elevado a h por h' y esta es la función h 01:24:11

o bien decir que es elevado a f por f' pero tenemos que entender que esta f de x al cuadrado más 1 es diferente a la f anterior 01:24:16

podemos hacerlo 01:24:23

sería elevado a lo que está ahí 01:24:25

elevado a x al cuadrado más 1 por la derivada por f' o h' que es 2x 01:24:28

y ya está, en este caso no hace falta hacer el paréntesis 01:24:36

Otro ejemplo, logaritmo deperiano de x cuadrado más 2x por e elevado a derivado, por eso 01:24:39

aquí tenemos la f, la g, entonces igual que antes sería f' por g más f por g', la diferencia 01:25:04

aquí la f es un poco más complicada, hay que hacer la f. Aquí tenemos el logaritmo neperiano de la función, si queréis, de h o de f, me da igual, 01:25:16

cuya derivada es f' partido por f, aunque aquí la f es lo que hay dentro, no todo. Pues hacemos eso, o si queréis, cogeis logaritmo neperiano de h, 01:25:27

cuya derivada es 01:25:37

h' partido por h 01:25:40

podemos hacerlo con esta 01:25:42

donde el h es esto que hemos puesto aquí 01:25:44

h' 01:25:46

2x más 2 01:25:48

h 01:25:50

x cuadrado más 2x 01:25:51

ahora multiplicamos por g 01:25:53

elevado a x 01:25:55

más 01:25:57

ahora tenemos f que es todo esto 01:25:58

logaritmo de 01:26:01

neperiano 01:26:03

de x cuadrado más 2x 01:26:04

y ahora por la derivada de g 01:26:12

si es elevado a x voy a derivar la misma 01:26:14

elevado a x 01:26:17

y ya está 01:26:18

bueno vamos a hacer un ejemplo más 01:26:19

ya que esto parece un poco más difícil 01:26:22

y luego ya pues ponemos 01:26:25

otros ejercicios 01:26:27

bueno pues ahora 01:26:31

hagamos otra derivada 01:26:36

de ese tipo 01:26:39

por ejemplo tenemos la función 01:26:40

x al cubo 01:26:42

más 3x cuadrado menos 2x más 1 01:26:44

por elevado a x cuadrado más 3x más 5 01:26:48

parece complicada pero no es muy complicada 01:26:53

porque tenemos únicamente un producto de funciones 01:26:56

esta es la f, esta es la g 01:27:00

y sabemos derivar todo eso 01:27:03

igual que antes tenemos 01:27:05

F' por g más f por g'. 01:27:08

F', pues eso es, la derivada de todo esto, 3x cuadrado más 6x menos 2 por g, 01:27:18

tenemos todo lo que está aquí, elevado a x cuadrado más 3x más 5, 01:27:29

Ahora sumamos f, el polinomio que tenemos aquí, x al cubo más 3x al cuadrado menos 2x más 1 por g' que es la derivada de esto. 01:27:36

Teniendo en cuenta que tenemos e elevado a una función cuya derivada es e elevado a f por g'. 01:27:54

Si extraíamos h, pues sería e elevado a h por h'. 01:28:04

con lo cual tendríamos e elevado a h 01:28:08

x cuadrado más 3x más 5 01:28:13

por h' que está derivado de arriba 01:28:19

2x más t 01:28:22

y ya está 01:28:24

igual que antes aquí no hace falta 01:28:26

poner paréntesis porque son productos 01:28:29

bueno pues ahora podéis hacer unos tres ejemplos 01:28:33

Por ejemplo, x5 más 3x más 1 por elevado a x cuadrado más 3x derivada. 01:28:37

Y por ejemplo, pues, lo cual es un eperiano de x al cubo más 2 por x elevado a 8. 01:28:55

y yo que sé 01:29:13

los valores de P1 de X 01:29:15

por elevado a 01:29:17

X cuadrado más 1 01:29:20

estas tres 01:29:21

para ir a grabación las hacéis 01:29:23

y luego corregimos 01:29:26

bueno, pues igual que antes, aquí tenemos la F 01:29:26

aquí tenemos la G 01:29:31

aquí tenemos la F 01:29:33

la G, la F y la G 01:29:35

y ahora ya hay que derivar 01:29:38

bueno 01:29:40

pues eso sería 01:29:43

5x4 derivada de f 01:29:45

por g más f por g' 01:29:49

sería 5x4 más 3 derivada de f 01:29:53

ahora por la g elevado a x cuadrado más 3x 01:29:58

más f sin derivar 01:30:02

5, perdón 01:30:07

x elevado a 5 más 3x más 1 01:30:10

por la derivada de g, que g es una función de este tipo 01:30:17

¿vale? elevado a f por f' sería su derivada 01:30:21

o elevado a h por h' sería la función h 01:30:25

por lo cual sería elevado a h, elevado a esta función 01:30:28

x cuadrado más 3x, por su derivada 2x más 01:30:33

bien, siguiente ejemplo 01:30:37

esto es igual que antes, tenemos f' por g 01:30:41

más f por g', 01:30:45

donde 01:30:48

f' ya es logaritmo de periodo de una función 01:30:50

cuya derivada 01:30:54

recordamos que es f' partido por f. 01:30:56

Si esta función 01:30:59

íbamos a h, sería h' partido. 01:31:00

Pues ya está. 01:31:03

Lo hacemos. 01:31:05

Pues ponemos h' partido por h. 01:31:06

Estamos en 01:31:10

derivada de f. 01:31:10

Sería la derivada de todo esto 01:31:12

que es 01:31:14

h' 3x 01:31:16

partido por h que es 01:31:18

perdón 3x cuadrado 01:31:19

partido por h que es x cubo más 2 01:31:22

ya tenemos f' 01:31:24

ahora la g 01:31:27

por x elevado a 2 más 01:31:28

ahora la f sin derivar 01:31:30

logaritmo periano de x al cubo 01:31:32

más 2 01:31:35

y ahora la derivada de g que es 01:31:36

8xy, lo podría ordenar un poco mejor 01:31:38

o lo que sea 01:31:40

pero bueno, tampoco tenemos todo el espacio 01:31:41

Bueno, ¿qué podría hacer? Vamos a ver. 01:31:45

Sería uniendo esto, 3x elevado a 10, entre x al cubo más 2, y eso lo pongo en adelante, más 8x elevado a 7, 01:31:48

es el logaritmo de x al cubo más 2. 01:31:58

Sigamos. 01:32:02

Aquí tenemos la f, igual que antes, f' por c, más f por e'. 01:32:04

bien, f es logaritmo de prima de x 01:32:10

su derivada es 1 partido por x 01:32:14

la g es elevado a x cuadrado más 1 01:32:16

la sumamos 01:32:19

y ahora tenemos f 01:32:21

logaritmo de prima de x sería 01:32:23

perdón, sí 01:32:27

y ahora la derivada de g 01:32:29

que es de esta forma 01:32:32

o elevado a h por h prima 01:32:33

que sería 6 a la función h 01:32:36

elevado a x cuadrado más 1 01:32:38

por su derivada, que es 2x 01:32:42

y ya está 01:32:43

bueno 01:32:45

bueno, pues veamos alguna derivada más 01:32:48

tipo 01:32:51

composición de producto 01:32:51

de otra forma, vamos a ver 01:32:54

por ejemplo, vamos a coger 01:32:57

elevado a 01:32:59

x al cubo 01:33:02

por logaritmo de perinode x 01:33:04

vale 01:33:05

ya hemos hecho algunas parecidas 01:33:08

con la división, pero bueno, pues aquí tendríamos elevado a f por f' pero sabiendo que la f es un producto de las funciones f por g 01:33:12

pues nada, hacemos eso, elevado a una función, que eso es elevado a x al cubo logaritmo de f' por, aquí está el elevado a f 01:33:26

y aquí el f' 01:33:39

y el f' es un producto 01:33:41

con lo cual habrá que hacer 01:33:42

f' por g 01:33:44

más 01:33:46

f 01:33:47

por g' 01:33:51

pues vamos a hacerlo 01:33:54

que f' es el 01:33:56

3x cuadrado por g 01:33:59

logaritmo que hay en la de x 01:34:01

más fx al cubo 01:34:02

y el g' 01:34:05

1 partido por x 01:34:05

se puede simplificar un poco más aquí 01:34:07

pero bueno, vamos a dejarlo así 01:34:10

porque esto sería x al cuadrado 01:34:11

otro ejemplo más 01:34:14

pues por ejemplo 01:34:17

logaritmo periano 01:34:19

de 01:34:22

x al cubo 01:34:23

por elevado a x 01:34:27

derivado de todo esto 01:34:30

pues esto sería 01:34:32

derivado del logaritmo periano de f 01:34:34

sería f' partido por f 01:34:37

que en este caso es 01:34:40

bueno, voy a borrar un poco esto de acá 01:34:42

aquí tendríamos 01:34:48

el f' 01:34:54

y el f' 01:34:55

bueno, esto sería 01:34:58

y el f' que tenemos 01:34:59

tenemos un producto 01:35:01

f por g, sería 01:35:03

f' por g más 01:35:05

f por g' 01:35:07

y vuelvo a la derivada de f' 01:35:08

serían 3x cuadrado 01:35:10

que es la f por g 01:35:13

más 01:35:15

ahora la f 01:35:17

que sería x al cubo por lo llevado a x que es elevado a x 01:35:18

y abajo ponemos la f que es x al cubo elevado a x 01:35:26

bueno, eso se puede simplificar totalmente 01:35:32

vale, pues por ejemplo esto es 3x cuadrado x al cubo elevado a x elevado a x 01:35:36

Más x al cubo elevado a x 01:35:45

Entre x al cubo elevado a x 01:35:49

Lo que pasa es que ahora tenemos que 01:35:52

Esto se va, esto se va, esto se va, esto se va, esto se va, esto se va 01:35:55

Y el de x al cuadrado se va como el de x al cubo 01:36:02

Con lo cual lo que tenemos es 01:36:05

3 partido por x más 1 01:36:07

Se ha simplificado mucho 01:36:10

No es tan raro si sabemos que 01:36:12

Aplicando las reglas de los logaritmos, tenemos logaritmo de peinado de x al cubo más el logaritmo de peinado de e elevado a x 01:36:16

Esto es tres veces el logaritmo de peinado de x y esto es logaritmo de peinado de e elevado a x como son inversas estas x 01:36:25

Entonces lo que tenemos ya es la derivada de esto, que es la de esto, sería 3 por 1 partido por x más 1 que es 3 partido por x más 1 01:36:38

lo mismo 01:36:48

vale 01:36:49

bueno pues hagamos algún 01:36:52

ejemplo más 01:36:54

que nos hemos expresado un poco 01:36:57

bueno, que ahora un poco lo que esto rara vale 01:36:58

hacemos algún ejemplo más 01:37:00

por ejemplo el mismo que teníamos 01:37:03

o similar, vale, para variar un poco 01:37:04

pero con un pequeño truco 01:37:09

como sumar alguna otra cosa, por ejemplo 01:37:13

2x 01:37:15

para que ya no podamos hacer el truco que hemos hecho 01:37:16

antes, vale, y es obligatorio 01:37:19

pues utilizar la fórmula 01:37:21

Esta de que el logaritmo de n pegado a f es f' partido por f 01:37:22

Como os dije, esta sí compensa esa de la memoria 01:37:28

Bueno, pues esto sería igual a f' partido por f 01:37:32

Esto es f 01:37:38

Ponemos abajo ya la f 01:37:40

x7 elevado a x más 2x 01:37:44

Y aquí tenemos la f' 01:37:47

Aquí tenemos un producto 01:37:49

f por g 01:37:51

Entonces sería f' por g más f por c', que sería derivada de f, 7x6 por g elevado a x más f, que sería x7, por la derivada de g, que es g elevado a x. 01:37:54

Ahora seguimos con lo que está arriba, con la derivada de f minúscula 01:38:20

Añadiendo esto de aquí 01:38:24

Más la derivada de esto 01:38:26

Que es más 2 01:38:29

Y ya está 01:38:31

Bueno, pues voy a reducir ahora esta imagen 01:38:34

Y después, pues, hacéis unos ejemplos 01:38:38

Unos ejercicios 01:38:43

Bien, pues por ejemplo, hacemos las funciones 01:38:44

elevado a x al cubo por logaritmo perinodo de x 01:38:51

vale 01:39:03

la función, pues yo que sé, logaritmo perinodo de, vamos a hacer una como esta 01:39:05

x elevado a 9 elevado a x 01:39:13

más el logaritmo perinodo de x 01:39:17

y yo que sé, y otra más, pues 01:39:19

elevado a 01:39:23

x7 01:39:26

logaritmo de piano de x 01:39:29

menos 01:39:30

elevado a x 01:39:33

más 1 01:39:35

ya está 01:39:36

pues nada 01:39:39

vamos haciendo todo 01:39:41

paráis la grabación, realizáis 01:39:42

las derivadas 01:39:44

y luego ya pues 01:39:47

hacemos la corrección 01:39:49

bueno, corregimos esta que es la más fácil 01:39:49

igual que antes tenemos 01:39:52

g elevado a f por g prima 01:39:55

pues vamos a ver 01:39:57

sería 01:39:59

elevado a f 01:40:01

la derivada sería 01:40:03

elevado a x al cubo 01:40:04

logne a por y no de x 01:40:08

por su derivada 01:40:09

que sería 01:40:12

aquí tenemos un producto 01:40:13

esta es la f 01:40:16

esta es la g 01:40:17

sería g prima por g más f de g prima 01:40:18

sería 01:40:21

3x cuadrado 01:40:23

logaritmo perigono de x 01:40:25

más x al cubo por 1 partido por x 01:40:27

y ya está 01:40:30

vale, siguiente derivada 01:40:31

la derivada es 01:40:34

aquí tenemos 01:40:36

lo del logaritmo perigono de f 01:40:37

que es f' partido por f 01:40:40

aquí tenemos 01:40:46

la f' 01:40:47

con lo cual será el f' 01:40:49

partido por f 01:40:52

que sería lo siguiente 01:40:53

a ver, bueno, vamos a poner F' 01:40:56

aquí tenemos un producto, esto es F, esto es G 01:41:01

y sería F' por G más F por G' 01:41:05

bueno, vamos a ponerlo, F' 9X8 01:41:09

por G elevado a X más 01:41:13

FX9 por G' elevado a X 01:41:17

ahora seguimos con lo que hay dentro de la F 01:41:21

que sería más logaritmo de P a la X, pues lo añadimos 01:41:25

Más su derivada, porque estamos derivando de arriba 01:41:27

Más 1 partido por x 01:41:30

Y abajo ponemos la f, que es todo lo que está aquí 01:41:33

x9 elevado a x 01:41:36

Más logaritmo de piano de x 01:41:39

Ya está 01:41:41

Siguiente, la de aquí 01:41:43

Nuevamente tenemos el elevado a f por f' 01:41:45

Esta es la f 01:41:48

Pues ponemos 01:41:50

Elevado a f, pues elevado a todo eso 01:41:52

x7 logaritmo de piano de x 01:41:54

menos el elevador de x más 1 01:41:57

y aquí el eje prima 01:41:59

el eje prima que sería 01:42:01

pues aquí tenemos un producto 01:42:03

aplicamos el producto de siempre 01:42:05

f'g más f'g' 01:42:07

f' que sería 01:42:11

7x6 por g 01:42:13

logaritmo perinodal de x 01:42:16

más fx7 01:42:18

g' 1 partido por x 01:42:21

Ahora ya seguimos derivando lo que está en el numerador 01:42:24

Nos queda esto 01:42:27

Menos elevado a x y el más 1 que sería más 0 01:42:28

Que no se pone 01:42:32

Ya está 01:42:33

Bueno 01:42:38

Llegado a este punto 01:42:50

Comento dos cosas 01:42:52

La primera es que hay algunas derivadas que no he explicado 01:42:55

¿Vale? 01:42:59

Por ejemplo 01:43:02

Pues la derivada de a elevado a x 01:43:03

Es el logaritmo de pi a 01:43:06

de a por a elevado a x. Habitualmente tomamos el número e, porque es un caso particular 01:43:10

de esto, pero más sencillo. Porque si yo cojo elevado a x y yo derivo, aplicando esta 01:43:20

fórmula tendré el logaritmo de pi a 1 de e por elevado a x. Lo que pasa es que el logaritmo 01:43:25

de pi a 1 de e, es decir, ¿a qué número elevaré para que me dé e? Es 1, porque elevado 01:43:30

1 es 1. De modo que esto vale 1 y esto es elevado a x. Por eso utilizamos el elevado a x. Por ejemplo 01:43:38

en la física para hacer exponentes y en la matemática. Porque a la hora de derivar es mucho más 01:43:49

De hecho, el número e en buena parte tomó importancia cuando Euler explicó las tablas de los logaritmos observando que con el número e se hace mucho más sencillo. 01:43:55

Y en la matemática detrás de esto está la derivada. 01:44:10

No puedo explicar por qué. 01:44:17

Habría que saber el polinomio de Taylor, y aunque X no utilizaba el polinomio de Taylor para calcular esas cosas, sino otros métodos que nos destacaban, 01:44:20

con argumentos originales, pues lo cierto es que cuando nos vemos a Conrigor, 01:44:27

aparte de derivadas y lo que sea, entonces cuanto más sencilla sea la derivada, más fácil es para hacer cálculos. 01:44:34

Entonces la base natural de los exponentes y de los logaritmos es el número b. 01:44:40

Esa es la razón. 01:44:48

Y luego la derivada de un logaritmo en cualquier base, en base a, por ejemplo, de x, 01:44:51

que es el logaritmo de x partido por el, perdón, necesitado. 01:45:03

Está pensando que es 1 partido por x por el logaritmo de perinodo de x, ¿vale? 01:45:10

Entonces, ¿cuál es la razón? 01:45:28

La razón es muy sencilla. 01:45:31

Igualmente que antes, ¿vale? 01:45:34

Si yo hago el logaritmo de perinodo de x derivada, sería 1 partido por x logaritmo de perinodo de x. 01:45:35

y esto vale 1, con lo cual es 1 partido por x, es la más sencilla 01:45:44

pero eso aquí se ve fácilmente porque aplicando la fórmula del logaritmo 01:45:48

es el logaritmo del p1 de x entre el logaritmo del p1 de a 01:45:52

y al derivar, esto es 1 partido por el logaritmo del p1 de a 01:45:54

porque eso es un número nada más, y sale fuera 01:45:58

por la derivada de esto, que es 1 partido por x 01:46:02

y aquí tenemos razón, lo ponemos un poco más centrado 01:46:08

Bueno, pues con esto tenemos estos dos ejemplos 01:46:13

Vamos a ver 01:46:22

Bueno, vamos a hacer un pequeño parón 01:46:23

Para mencionar algunas funciones que no he mencionado antes 01:46:27

La primera es que hemos hablado mucho de elevado a x y su derivada 01:46:34

Pero no hemos hablado de la derivada de un número cualquiera 01:46:39

Elevado a x 01:46:48

Por ejemplo, 2 elevado a x derivado 01:46:50

Bueno, pues en este caso 01:46:53

La derivada es el logaritmo de A por A elevado a x 01:46:57

Por ejemplo, en este caso 01:47:02

Logaritmo de A por A elevado a x 01:47:04

A ver, ¿y por qué en el caso de esta sencilla? 01:47:07

Ya sabéis que es un número 01:47:13

2,71828 01:47:14

e infinitos decimales? 01:47:16

pues porque si yo aplico 01:47:19

la fórmula anterior, ¿qué tendría que poner delante? 01:47:20

tendría que poner aquí antes 01:47:23

el logaritmo de P1 de A 01:47:24

y ya tendría la misma fórmula, pero en un caso particular 01:47:26

y podría ir igual que los del 2 01:47:28

perdón, el logaritmo de P1 de A 01:47:30

quería decir 01:47:33

¿qué ocurre? 01:47:33

que el logaritmo de P1 de A 01:47:36

es 1 01:47:38

¿por qué? por la definición 01:47:39

¿a qué número e elevaré? 01:47:42

¿para que me dé a 1? 01:47:45

por lo tanto, esto vale 1 01:47:46

al valer 1, esto es igual a elevado a x 01:47:48

de hecho, la razón por la cual 01:47:50

en matemática y en física 01:47:54

tomamos para hacer exponenciales 01:47:55

el número e y no otro número 01:47:57

y la razón por la cual tiene tanta importancia 01:47:59

es el hecho de que la derivada 01:48:02

sea extremadamente sencilla 01:48:04

y también la del logaritmo 01:48:06

en el caso del logaritmo 01:48:09

del neperino de un número 01:48:14

la derivada es 1 partido por x 01:48:15

pero el logaritmo en cualquier base a 01:48:19

de un número x 01:48:22

es 1 partido por x 01:48:24

por el logaritmo de peñado de a 01:48:30

o al revés, por el logaritmo de peñado de x 01:48:32

esto cambia mucho las cosas 01:48:35

de hecho el número e 01:48:37

cobró una importancia fundamental 01:48:39

precisamente por este detalle 01:48:42

A ver, ya había aparecido antes, ¿vale? Pues por ejemplo, hablando del interior descompuesto, etc., o al ver la catenaria, que es la cuerda, la forma de una cuerda que se cuelga de dos palos, ¿no? Por ejemplo. 01:48:46

Pero a la hora de hacer cálculos, ¿vale? Intentar calcular todas las tablas de logaritmos que había, hacía falta aplicar un método para hacerlo. 01:49:02

Y entonces, Euler, con métodos que se inventó él, muy originales, vio que todos los cálculos de las tablas de logaritmos se sintetizaban muchísimo si tomábamos un número que era precisamente el número g. 01:49:11

Y aunque él no empleó derivadas para hacerlo, la forma rigurosa de hacer esas series que él hizo es empleando derivadas. 01:49:26

porque hay una cosa llamada serie de Taylor 01:49:34

tal tal tal 01:49:37

que no está grabando el temario 01:49:37

pero que eso permite 01:49:41

hacer cálculos de todo tipo de funciones 01:49:43

las tablas de logaritmos, exponenciales 01:49:45

tablas de funciones 01:49:47

trigonométricas 01:49:49

bueno 01:49:50

pues bueno ya último detalle 01:49:53

vale 01:49:55

y es que 01:49:55

en algunas tablas de logaritmos 01:49:58

al hacer a elevado a x 01:50:01

derivada 01:50:03

Aparece 1 partido por el logaritmo 01:50:04

En base a t 01:50:10

Por a elevado a x 01:50:11

Es la misma tabla 01:50:13

Yo lo sé porque alguien ha puesto tipo de derivada 01:50:15

Cuando es tan compleja 01:50:18

Es que es lo mismo 01:50:19

Quiere decir, si aplicamos 01:50:20

Esto es exactamente el logaritmo de P no de a 01:50:22

No sé por qué 01:50:26

Están tan complicados 01:50:27

Lo demuestro en un segundo 01:50:29

A ver, 1 partido el logaritmo 01:50:31

En base a 01:50:33

D es 1 partido por logaritmo de perinodo de A entre logaritmo de perinodo de A 01:50:34

Y ahora 1 es 1 partido por 1, multiplicamos así 01:50:40

Tenemos logaritmo de perinodo de A entre logaritmo de perinodo de A 01:50:44

Pero es que logaritmo de perinodo de A es 1 01:50:47

Con lo cual esto es el logaritmo de perinodo de A 01:50:51

Es lo mismo 01:50:55

Así que no tiene sentido complicarlo tanto 01:50:56

En alguna de las tablas de logaritmos aparece 01:51:03

yo cogería esta 01:51:06

que es la más sencilla 01:51:09

en fin 01:51:11

Tutorial de derivación - formato reducido - Bachillerato CCSS - Contenido educativo

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