Producto escalar de dos vectores | Mediateca de EducaMadrid

Hoy vamos a ver en qué consiste el producto escalar de dos vectores. 00:00:01

Ya sabíamos que estábamos estudiando el espacio vectorial de dimensión 2, los vectores en el plano. 00:00:06

Sabíamos que esos vectores se podían escribir con respecto a distintas bases de dicho espacio vectorial, 00:00:13

pues la canónica, que era la 1, 0, 0, 1, o cualquier otra base que nos inventemos. 00:00:21

Ya sabemos que una base en un espacio vectorial de dimensión 2 está compuesta por dos vectores que no son proporcionales. 00:00:25

sobre todo lo que habíamos estado viendo, y también recordamos que hay una serie de operaciones que se pueden realizar entre vectores, 00:00:31

podemos sumar dos vectores, u más v, el resultado va a ser otro vector, podemos restar los vectores, u menos v, el resultado va a ser otro vector, 00:00:38

o podemos multiplicar un vector por un escalar, por un número, y el resultado también sería otro vector. 00:00:50

La operación que vamos a introducir ahora tiene como peculiaridad que el resultado ya no va a ser un vector 00:00:56

Cuando yo hago la operación entre dos vectores no me encuentro otro elemento del espacio 00:01:05

Me encuentro un número 00:01:10

Esto es a lo que llamamos producto escalar 00:01:11

El producto escalar lo vamos a escribir así con un punto un poco más gordo 00:01:14

De u y v va a dar lugar a un número 00:01:24

De ahí el nombre del producto, se llama producto escalar porque el resultado es número 00:01:29

Escalar quiere decir número 00:01:34

¿Cómo se define el producto escalar de dos vectores? 00:01:37

El producto escalar de dos vectores se define como el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman, u y v 00:01:41

luego efectivamente se trata de un número porque el módulo de u ya sabemos que es un número 00:01:53

el módulo de v ya sabemos que es otro número y el coseno del ángulo que forman pues ya sabemos que es otro número 00:02:00

luego imaginaos que me dicen que u es igual a 2,1 que v es igual a 0,3 00:02:05

y me dicen que el coseno del ángulo que forman pues es el que sea, un número conocido 00:02:14

No me voy a aventurar a poner 1 porque probablemente no se cumpla con las condiciones que estoy poniendo aquí 00:02:21

Pero imaginad que es un número cualquiera 00:02:26

Yo haría el módulo de u, que sería la raíz cuadrada de la suma de las coordenadas al cuadrado 00:02:28

Yo haría el módulo de v y el coseno ya sería conocido 00:02:36

Luego el producto escalar de los dos vectores va a ser raíz de 5 por 3 00:02:44

Por lo que valga el coseno 00:02:49

o sea, en definitiva haría esas cuentas un número 00:02:51

Cosas importantes del producto escalar 00:02:54

El producto escalar lo que me va a permitir detectar es si dos vectores son perpendiculares 00:02:58

Si u y v son perpendiculares, el ángulo que forman va a ser de 90 grados 00:03:03

y el coste de 90 ya sabemos que es 0 00:03:09

Luego, u y v, o u va a ser perpendicular a v 00:03:11

si y solo si, su producto escalar es 0 00:03:16

Es decir, si son perpendiculares se verifica que su producto escalar es cero y si su producto escalar es cero es que son perpendiculares, ¿vale? 00:03:22

O sea que esto es un resultado bastante importante que vamos a utilizar más cosas del producto escalar. 00:03:29

Bueno, pues puede ocurrir que en vez de ser perpendiculares los dos vectores formen un ángulo agudo, ¿vale? 00:03:38

En este caso, si el ángulo es agudo, acordaos de la circunferencia goniométrica, si el ángulo es agudo de los dos vectores, el coseno, acordaos que el coseno siempre era el valor de la coordenada x, en este caso es positivo. 00:03:48

lo u por v va a ser mayor que 0 00:04:02

pero si yo me encuentro con dos vectores 00:04:06

que forman un ángulo mayor de 90 grados 00:04:09

este sería alfa 00:04:11

el coseno ya sería negativo 00:04:13

acordaos que el coseno siempre era la coordenada x 00:04:20

luego el producto escalar de u por v 00:04:23

en el caso de que formen un ángulo obtuso 00:04:26

va a ser menor que 0 00:04:29

eso también me da información 00:04:30

Bueno, en cuanto a las propiedades del producto escalar, se verifica la propiedad conmutativa, u por v es lo mismo que v por u, se verifica también la propiedad asociativa, si yo tengo lambda, un número cualquiera que multiplica un producto escalar, esto es lo mismo que multiplicar lambda por uno de los vectores y luego hacer el producto escalar, me da igual multiplicar lambda por uno que por otro, 00:04:32

Es decir, si yo tengo 3 por u por v, me da lo mismo hacer 3 por u, que ya lo sé hacer, y luego hacer el producto escalar por v, que hacer u por 3 por v. 00:04:56

Análogamente, si yo tuviera, pues no sé, 2u por v, esto sería lo mismo que 2u por v 00:05:10

O si yo me encontrara con menos u por 5v, pues esto va a ser lo mismo que menos 5uv 00:05:19

u por v, ¿vale? Producto escalar 00:05:28

Y, por supuesto, se verifica también la propiedad distributiva del producto respecto de la suma 00:05:31

Si yo tengo un producto escalar V más W, esto es lo mismo que hacer un producto escalar V más un producto escalar W. 00:05:36

Y esto va a permitir hacer los ejercicios de hoy. 00:05:48

Espero que os haya quedado claro más o menos, ¿vale? 00:05:50