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Clase 21/01/2022 - Contenido educativo

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Subido el 23 de enero de 2022 por Pablo Jesus T.

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Vamos con la segunda clase de geometría 3D y después de acabar el otro día explicando que tres vectores que eran linealmente independientes forman una base, 00:00:00
no vamos a trabajar mucho en ese ámbito y vamos a pasar directamente a la base ortonormal, que es en la que se suele trabajar. 00:00:12
Entonces vamos a definir tres vectores, entonces aquí escribimos vector, abro dos paréntesis porque el comando vector espera un punto y ese es el segundo paréntesis, 00:00:22
1,00 y ya tengo el vector 1,00. Aquí ya lo tenemos, eso como sabéis de física, pues se suele definir como el vector i, así que le voy a renombrar y le voy a llamar i latina. 00:00:39
por defecto ya sabéis que le llama u al vector 00:00:59
además si queréis pues le vamos a dar propiedades 00:01:03
y le vamos a poner rojo 00:01:06
y bastante gordito 00:01:08
para que tengamos ahí ya nuestro vector i 00:01:12
como veis pues ahí está nuestro vector i 00:01:16
ahora lo que vamos a hacer es que el nombre del vector i 00:01:20
Pues como veis no tiene flechita, aquí vamos a saltar, no es ni de matemáticas ni de GeoGebra, pero tiene mucho que ver con las dos cosas, que es como escribir en el lenguaje de matemáticas látex, ¿de acuerdo? 00:01:27
Entonces nos vamos a básico y ahí donde pone rótulo, vamos a hacer esto un poquito más grande, donde pone rótulo, vamos, por cierto, esto me lo ha sacado aquí como una ventana, se puede manejar desde aquí. 00:01:41
Si yo lo pincho ahí me sale aquí en la derecha 00:01:58
Y si quiero que no me ocupe sitio en la pantalla 00:02:01
Pues simplemente al ponerme a la izquierda de la X 00:02:04
Me lo muestra en una ventana separada 00:02:10
Bueno, pues decíamos que en rótulo vamos a poner 2 dólares 00:02:12
Eso quiere decir, yo por cierto en rótulo podría escribir lo que quisiera 00:02:17
No influiría 00:02:22
Pero si pongo 2 dólares, además de escribir lo que quiera 00:02:24
lo va a considerar escrito en látex 00:02:28
entonces si yo aquí pusiera el comando látex 00:02:31
barra invertida, vec 00:02:33
y pues lo que va a ocurrir 00:02:38
cuando yo dé a enter 00:02:42
es que me ha escrito 00:02:44
no sé si lo veis ahí 00:02:47
el vector i con 00:02:49
lo voy a poner aquí debajo para que lo veáis mejor 00:02:52
con una flecha encima 00:02:55
Si yo lo que quiero es 00:02:56
Que poder copiar y pegar esto 00:03:02
Y no tener que escribirlo más veces 00:03:05
Si yo en vez de i, que es un texto 00:03:07
Pongo tanto por ciento n 00:03:09
Estoy indicando la variable nombre 00:03:12
¿Y cuánto vale la variable nombre? 00:03:14
Lo bueno que tiene es que si yo copio y pego este trozo 00:03:18
En cualquier otro objeto de GeoGebra 00:03:21
me va a poner lo que ponga en nombre con una flechita encima 00:03:26
entonces así trabajo menos 00:03:31
además vamos a ver un comando de latex 00:03:34
que sirve para hacerlo más grande 00:03:38
large hace más grande lo que viene detrás 00:03:43
si fuera en minúsculas es un tamaño 00:03:47
con la L mayúscula es otro tamaño 00:03:51
Las cinco letras en mayúscula es otro tamaño y luego vendría HUGE y luego HUGE todo con mayúscula. 00:03:53
Todo eso son tamaños diferentes de látex. 00:04:04
Cuando ahora cierro, pues veis que la I no solamente tiene la flechita encima, sino es bastante más grande que antes. 00:04:08
¿Vale? Vamos, si lo hago demasiado pequeño, ahora lo quiero. 00:04:16
Bueno, por cierto, como veis nos ha puesto los decimales, ya que estamos, vamos a ir a la vista gráfica y tanto en el eje Y como en el eje X, perdón, en el eje Y y en el eje Z vamos a hacer que solo nos muestre unidades y no decimales. 00:04:27
Así, aunque ahora me acerque más, no salen ya los decimales. 00:04:49
Bueno, pues ahí tengo el vector i, voy a escribir el vector j, entonces me pongo en entrada, doy en este caso bajar porque entrada está arriba, si tuvierais entrada abajo daríais subir y voy a hacer dos cosas, primero ya voy a definir el nombre delante, j igual y luego en el vector voy a poner 0,10, como veis ya se ha dibujado y ya tengo el vector j. 00:04:52
si pincho aquí 00:05:19
y en copiar estilo visual 00:05:22
¿de quién? 00:05:25
de I 00:05:27
¿a quién? 00:05:27
a J 00:05:29
pues ya me ha puesto J también 00:05:29
en rojo 00:05:31
recordad que dando a la tecla escape 00:05:33
va a saltar el cursor ahí 00:05:34
elige y mueve 00:05:37
para que podamos ver 00:05:38
pues ya tenemos J 00:05:39
pero no se ve la J con vector 00:05:40
está ahí la J 00:05:42
no sé si la voy a poder coger 00:05:43
ahora no me deja hacer clic y arrastrar, ahí está, ¿veis? yo ya tengo la J ahí, pero la J no tiene vector, ¿qué haremos? 00:05:46
bueno, pues nos vamos a la I, botón derecho propiedades, seleccionamos el rótulo, damos control C, vamos a la J, vamos a rótulo, 00:05:59
Damos control V, enter y resulta que ahora veremos que la J ya está en grande y con el vector encima. 00:06:10
¿Veis la J? Muy bien, pues ya tengo IJ. 00:06:23
Ahora repetir K va a ser muy rápido. 00:06:26
Me pongo ahí delante, escribo K,1 y ya tengo el vector K. 00:06:31
selecciono 00:06:38
de J a K 00:06:40
y en propiedades 00:06:42
selecciono 00:06:46
bueno, ahora fijaros que no necesitaría 00:06:48
hacer control C porque no he hecho nada 00:06:51
antes, así que cuando de control V 00:06:52
ya me lo pega también 00:06:55
así que ya tengo también 00:06:56
mi vector K 00:06:58
doy el IJ y mueve 00:06:59
movemos un poco K para que la letra 00:07:01
se vea bien ahí 00:07:05
y ya tengo mi base ortonormal I, J, K. 00:07:06
¿Por qué se llama base ortonormal? 00:07:12
Porque los vectores son perpendiculares 2 a 2, 00:07:16
no hace falta que utilice la herramienta ángulo para que lo veáis, 00:07:20
I, J son perpendiculares, si alguno no lo ve, lo puedo ver aquí, 00:07:24
I y J son perpendiculares, I y K son perpendiculares, J y K son perpendiculares. 00:07:30
Y además, el módulo es 1. 00:07:41
Así que, para mover la vista gráfica, esto rota en 3D, pero esto me permite moverme en el plano y centrarlo ahí. 00:07:50
¿Vale? 00:07:58
Bueno, más cosas de GeoGebra que vais aprendiendo. 00:08:00
Así que forman 90 grados. 00:08:04
Y la otra característica es que su módulo es 1. 00:08:06
Como veis llegan hasta el punto 1, lo cual quiere decir que son normales. 00:08:09
Y por tanto la base es ortonormal. 00:08:15
La base es ortonormal. 00:08:19
Si a la base ortonormal la unimos el punto 0, 0, 0, 00:08:22
resulta que nosotros lo que formamos es lo que se viene a llamar el espacio Euclidio 00:08:27
si yo os lo muestro pues aquí en la Wikipedia 00:08:33
tenemos el espacio Euclidio que os va a permitir ver o leer si queréis en qué consiste 00:08:38
ya hablamos de que los elementos de Euclides era el libro más importante de la antigüedad 00:08:48
y el más editado de las matemáticas y de la historia, excluyendo los libros religiosos, 00:08:55
y aquí explica cómo trabajar. 00:09:02
El espacio euclidio, que es lo que nosotros trabajamos y nos parece tan bien, 00:09:05
en realidad no corresponde con el espacio real. 00:09:10
Loacheski ya demostró, utilizando el fallo del quinto postulado de Euclides, 00:09:16
Que podía haber geometrías no euclídeas y Einstein lo utilizó para explicar las cosas que pasan en nuestro universo. 00:09:23
Así que que sepáis que nosotros no vivimos en un espacio euclídeo. 00:09:32
Pero vamos, para el caso, patatas. 00:09:37
Porque nosotros vamos a trabajar en un espacio euclídeo para esta asignatura. 00:09:40
Y bueno, pues tenemos I, J y K. 00:09:46
Yo ahora puedo escribir en la entrada, por ejemplo, 2i más 3j, esto me lo estoy inventando, más k. 00:09:47
Y lo que hago cuando escribo 2i más 3j más k, evidentemente, es pintar un vector. 00:09:59
El vector 2, 3, 1, como veis ahí en la vista algebraica. 00:10:06
porque para llegar desde el origen al extremo, el origen es el 0, 0, 0 00:10:10
pues hay que componer dos veces el vector i, tres veces el vector j y una vez el vector k 00:10:15
esto lo veremos después en otra simulación como se monta 00:10:24
y resulta que tengo el vector 2, 3, 1 00:10:30
pero el vector 2, 3, 1 termina en un punto 00:10:34
Ese punto que le podéis hacer poniendo p, o sea, bajamos, nos ponemos delante y ponemos p igual 00:10:37
Esto es una nomenclatura que GeoGebra entiende, pero matemáticamente estaría mal 00:10:46
Quede claro, si esto alguien me lo pone en el examen es un cero 00:10:53
¿Por qué? Porque p es un punto y sale de sumar vectores 00:10:56
En realidad esto sería op 00:11:01
pero bueno, GeoGebra me pinta el punto, habéis visto en cuanto lo he puesto, me lo ha puesto ahí y ahí está el punto P, 2, 3, 1, para que veáis, 2, 3, 1 vector, 2, 3, 1 punto, pero en realidad 2, 3, 1 no son coordenadas, son las coordenadas del vector OP, 2, 3, 1 es el vector de posición del punto P, 00:11:02
Entonces nos entendemos cuando decimos que P tiene de coordenadas 2, 3, 1, pero en realidad estamos hablando del vector de posición formado por la base ortonormal, la combinación lineal de la base ortonormal. 00:11:27
Pero vamos, esto simplemente para que lo entendáis. Si ahora yo defino, por ejemplo, voy a hacer el punto Q que sea 3, 1, 3, entonces ponemos 3i más j más 3k, 00:11:41
poner, pues tengo otro vector 00:12:02
y si ahí pongo 00:12:06
el punto Q 00:12:09
al extremo de ese vector 00:12:11
pues ya tengo los puntos P y Q 00:12:14
¿Veis? ¿Dónde está P? ¿Dónde está Q? 00:12:18
Engaña un poco, ¿verdad? 00:12:21
Cuando me pongo en la casita 00:12:22
engaña un poco dónde está P y dónde está Q 00:12:25
así se ve bien 00:12:29
Si ahora nosotros cogemos la herramienta vector y unimos, os dije que se puede hacer aquí, pero casi mejor hacerlo en la vista algebraica, el vector pq, pues tenemos este vector, el vector que va desde p hasta q. 00:12:30
Y ahora es relativamente sencillo ver que, por lo que dimos el otro día de la suma, OP más PQ da OQ. 00:12:47
Vamos a verlo aquí. 00:13:00
OP más PQ da el vector OQ. 00:13:04
de tal manera que el vector PQ sería OQ menos OP, en otras palabras, las coordenadas del vector PQ, 00:13:10
que aquí además va a ser el vector libre que corresponde al vector fijo PQ, es lo que llamamos W, 00:13:25
ahí en GeoGebra, como veis aquí, W es 1, menos 2, 2, y el vector OP es 2, 3, 1, y el OQ es 3, 1, 3. 00:13:32
En nuestro caso que estábamos haciendo, pues sería 3, 1, 3, menos 2, 3, 1, 00:13:51
si restamos las coordenadas 00:14:00
1 menos 2 00:14:03
porque evidentemente la suma de vectores 00:14:06
que no lo hemos puesto una vez que ya tenemos coordenadas 00:14:10
es simplemente sumar las coordenadas 00:14:14
y multiplicar un número por un vector 00:14:18
es multiplicar cada una de las coordenadas por el número 00:14:21
eso que os quede claro 00:14:25
lo vuelvo a poner aquí 00:14:27
si yo sumo los vectores a más b 00:14:29
Pues simplemente hay que sumar a1, a2, a3 más b1, b2, b3, simplemente hay que sumar las coordenadas, a1 más b1, más a2, perdón, coma, a2 más b2, coma, a3 más b3. 00:14:31
tengo la pizarrilla aquí en mala manera 00:14:53
y me quedamos mal escrito 00:14:57
pero bueno, y lambda por a 00:14:59
pues es 00:15:01
lambda a1 00:15:03
lambda a2 00:15:04
y lambda a3, vale 00:15:06
pues volvemos aquí 00:15:10
y lo que se había dicho 00:15:14
1 menos 2, 2 00:15:16
ahí se ve w 00:15:17
1 menos 2, 2 00:15:20
w, 1 menos 2, 2 00:15:21
muy bien 00:15:24
así que ya sabemos por qué las coordenadas de un vector es extremo menos origen. 00:15:28
Las coordenadas de un vector son extremo menos origen. 00:15:36
Con esto también vamos a pasar a ver la longitud de un vector con coordenadas. 00:15:43
¿Cómo se calcula la longitud de un vector con coordenadas? 00:15:49
Pues si nos vamos aquí, tenéis esta presentación que está colgada y ese es el vector u, el vector u cuyo extremo es p, tiene de coordenadas por lo que se ve aquí parece 14, 13, 6, que eso es lo de menos. 00:15:53
Pero forman un trihedral, un paralel epípedo, hemos formado con todas las caras, un paralel epípedo. 00:16:15
Si nosotros queremos llegar desde O hasta P, como veis, he puesto las líneas azules, he puesto 14 veces I, 13 veces J y 6 veces K, tenemos el vector U1, U2, U3. 00:16:23
vale, llego al punto P 00:16:41
¿cómo calculo la longitud del vector U? 00:16:45
pues por el teorema de Pitágoras 00:16:49
nosotros vamos a hacer este triángulo de aquí abajo 00:16:51
donde como esto forma 90 grados 00:16:54
tengo de O hasta aquí es un cateto 00:16:58
de aquí a aquí es otro cateto 00:17:01
y la línea verde, no la roja 00:17:03
la línea verde es la hipotenusa 00:17:06
Lo que pasa es que no veo la verde, pero es la verde la hipotenusa. 00:17:09
¿Cómo se calcularía eso? 00:17:13
Bueno, pues si esto lo llamo 1 y esto lo llamo u2, 00:17:16
la verde, que lo hemos llamado v, sería al cuadrado, u1 al cuadrado más u2 al cuadrado. 00:17:22
Es decir, v sería la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más u2 al cuadrado. 00:17:34
vale, si nosotros ahora lo ponemos así 00:17:40
a ver si soy capaz, bueno, más o menos 00:17:45
me tiembla y no voy a ser capaz 00:17:51
así que, nada, no soy capaz 00:17:55
bueno, casi 00:18:05
bien, en este triángulo tenemos la línea verde que es lo de antes 00:18:11
en este triángulo tenemos la línea verde que es lo de antes 00:18:15
es un cateto 00:18:19
lo que antes era la hipotenusa ahora es un cateto 00:18:20
U3 es el otro cateto y U es lo que queremos calcular, de tal manera que U cuadrado será V cuadrado más U3 al cuadrado, pero V cuadrado es 1 cuadrado más U2 cuadrado más U3 cuadrado. 00:18:23
Resumiendo, el módulo de un vector es simplemente la suma de los cuadrados de sus coordenadas. 00:18:41
coordenadas. Repito, la longitud de un vector, su módulo, es la raíz cuadrada de la suma de los 00:18:51
cuadrados de las coordenadas. ¿De acuerdo? Así que, pues aquí lo tenéis, por si alguno lo quiere ver 00:19:00
más se ve en esta construcción vale perfecto pues ya tenemos eso 00:19:11
más cosas vamos a ver otra construcción que nos va a dar los vectores paralelos vamos a ver aquí 00:19:26
y lo de los vectores paralelos. Si yo pinto, como tenéis aquí, cuatro vectores paralelos, que se puede ver si yo me pongo en un plano, en el otro plano o en el otro plano, 00:19:37
se ve en todos los casos que son vectores paralelos, pues cuando son paralelos los vectores 00:19:59
cuando se cumple que la proporción entre las coordenadas es la misma 00:20:04
la razón entre las coordenadas es la misma, de acuerdo, entonces en ese caso 00:20:11
pues los vectores son paralelos, como podéis ver aquí si yo antes dije 00:20:17
el vector u, por ejemplo, 2, menos 4, 8, y tengo el vector v, menos 1, 2, menos 4, 00:20:27
pues estos dos vectores son paralelos. ¿Por qué? Son vectores libres, 00:20:39
les puedo pintar donde quiera, no os confundáis. 00:20:45
2 menos 1 es igual que menos 4 partido por 2, que es igual que 8 partido de menos 4. 00:20:47
Entonces, como se ve, los vectores son paralelos, porque las coordenadas son proporcionales, 00:21:03
lo que indica que tienen la misma dirección. 00:21:10
¿Vale? 00:21:14
Muy bien, además pueden tener incluso el mismo módulo, es decir, que es que dos vectores libres iguales, o que son el mismo vector libre, valga la redundancia, lógicamente son paralelos. 00:21:17
Y hasta aquí la clase de hoy, porque la próxima ya es más importante, trabajaremos sobre el producto escalar de dos vectores. 00:21:34
Gracias. 00:21:47
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
195
Fecha:
23 de enero de 2022 - 12:48
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
21′ 48″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
145.76 MBytes

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