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Producto vectorial 2: Propiedades - Contenido educativo

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Subido el 14 de noviembre de 2018 por Manuel D.

267 visualizaciones

Se estudian las principales propiedades del producto vectorial y se resuelve un ejercicio que requiere su uso

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En el siguiente vídeo vamos a estudiar las propiedades del producto vectorial de dos 00:00:02
vectores en R3. En anteriores vídeos habíamos visto cómo este producto vectorial se calcula 00:00:11
mediante un determinante 3x3. Bueno, pues muchas de estas propiedades se deducen de 00:00:16
las propiedades de los determinantes. La primera, por ejemplo, la propiedad anticomutativa. 00:00:22
u por v es igual a menos v por u. 00:00:28
Esto es porque si cambiamos de orden dos filas en un determinante, 00:00:30
pues el determinante cambia de signo. 00:00:34
Se puede usar, por ejemplo, si conocemos un producto y queremos calcular el otro. 00:00:36
Bastará con cambiar un signo. 00:00:41
La segunda propiedad. 00:00:43
Al multiplicar una fila de un determinante por un número, 00:00:45
el determinante queda multiplicado por ese número. 00:00:47
Lo sabemos. 00:00:50
El producto vectorial, pues funcionará de una manera parecida. 00:00:51
Esto es muy útil para sacar factor común en el producto vectorial y trabajar con números más sencillos. 00:00:55
Ahí tenéis un ejemplo. 00:01:01
Una tercera propiedad dice que el producto vectorial es distributivo con la suma de vectores. 00:01:03
Esto es, podemos quitar paréntesis con toda la tranquilidad del mundo. 00:01:08
Pero, ¿qué vector es exactamente el producto vectorial de u por v? 00:01:13
Es decir, ¿cuál es su dirección, su sentido y su módulo? 00:01:16
Bueno, pues el vector u por v es perpendicular a u y a v por construcción. Lo hemos hecho así. 00:01:19
Su módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman. 00:01:26
Y esta propiedad es un poco difícil de demostrar, bastantes cuentas, pero es muy importante. 00:01:30
Os pongo un link en los comentarios con un vídeo de su demostración. 00:01:37
Esta propiedad implica, esta propiedad fundamental, que el producto vectorial u por v se anula precisamente si los vectores son proporcionales, 00:01:43
pues formarán un ángulo de 0 grados y el seno de 0 es 0. 00:01:50
Por ejemplo, el producto vectorial de 1, 1, 1 por 4, 4, 4, vale sin hacer cuentas 0. 00:01:53
Bueno, sabemos la dirección y el módulo de u por v, pero ¿cuál será su sentido? 00:02:00
Bueno, debemos usar para saber el sentido, cuál de los dos sentidos dentro de la misma dirección, la regla de la mano derecha. 00:02:04
Hacemos un movimiento con los dedos enroscando el vector u hacia el vector v. 00:02:11
El dedo gordo estará apuntando hacia el sentido de u por v. 00:02:16
El otro sentido será el opuesto. 00:02:21
Por último, vamos a explicar una interpretación geométrica del producto vectorial que nos suele venir preguntada en muchos problemas. 00:02:24
Si queremos calcular el área del paralogramo que determinan u y v, debemos considerar su altura, h, pues el área será base por altura. 00:02:31
La base coincide con el módulo de uno de los vectores del vector u y la altura por trigonometría con el módulo de v por el seno del ángulo que forman. 00:02:41
Esto es exactamente el módulo del producto vectorial de u por v. 00:02:49
En definitiva, el módulo del producto vectorial u por v coincide con el área del paralelogramo determinado por los vectores u y v. 00:02:53
Bueno, vamos a resolver ahora un ejercicio utilizando las propiedades del producto vectorial. 00:03:02
En este ejercicio nos piden calcular una serie de productos vectoriales y nos dan tres vectores. En este ejercicio se ve que vamos a tener que aplicar las propiedades del producto vectorial que hemos visto en el vídeo. 00:03:05
Primero de todo vamos a calcular u por v, que es lo que nos piden. Es decir, tenemos que calcular este producto, menos 1, 2 menos 1, multiplicado vectorialmente por el 0, 3 menos 1. 00:03:18
¿Cómo? Pues utilizando el determinante ijk, ponemos en la primera fila el u, en la tercera fila el v y ahora desarrollamos. 00:03:33
Podemos ponerlo directamente como vector desarrollando por primera fila ya. ¿Qué quedaría? Pues aquí quitamos esta columna y nos queda 2 menos 1, 3 menos 1. 00:03:49
La siguiente, quitamos esta columna de aquí, quitamos esta y tendríamos menos uno menos uno, cero menos uno, pero ojo, aquí hay que añadir un signo menos que no se nos olvide, porque el adjunto de este término, como ocupa el lugar fila uno, columna dos, uno más dos tres, impar, luego hay que poner ahí un signo menos. 00:04:04
Después, aquí quitamos esta columna y tendríamos menos 1, 2, 0, 3. Así de sencillo. Luego el producto vectorial quedaría 2 por menos 1, menos 2, menos menos 3, menos 2 más 3, 1. 00:04:27
Ahora, 1 menos 0, 1 cambiado de signo, menos 1. Menos 3 cambiado de signo, no, sin cambiar de signo, menos 3. Y este es u por v. Ahora hay una serie de cosas que podemos hacer aplicando las propiedades de las potencias. 00:04:41
Esta sería el apartado A. Para el apartado B, ¿cuánto valdrá v por u? Pues como v por u es por la propiedad antisimétrica, esto va a ser menos u por v. Es decir, va a ser menos 1, menos 1, menos 3, pues menos 1, 1, 3. Así de fácil. 00:04:59
Siguiente ejercicio, 2u por v, apartado c. 2u por v, pues el 2 lo podemos sacar fuera y hay que multiplicar u por v. 00:05:18
u por v lo conocemos y eso multiplicado, u por v es este vector, multiplicado por 2 y ya está. 00:05:31
Para el apartado D lo mismo. Para el apartado D, u por 2v, el 2 también lo podemos sacar fuera y va a valer exactamente lo mismo. 00:05:42
Da igual si multiplicamos por 2 el primer vector o el segundo, el resultado es lo mismo. 00:05:56
Para calcular el apartado E necesitamos calcular u por w porque no lo conocemos. Vamos con él. 00:06:01
Pero aquí hay que pararse y mirar. Fijaos que estos dos vectores son proporcionales. ¿Por qué? 00:06:07
Porque el W es igual a menos 4 veces el vector U, es decir, estamos calculando U por menos 4U. Y como este vector U por U es 0, ¿por qué? Porque forma en un ángulo de 0º, seno de 0, 0, recordad, vectores proporcionales, producto vectorial 0. 00:06:15
Directamente esto es 0 sin hacer una sola cuenta. Entonces, como el vector u por w es 0, pues probablemente u por v multiplicado por w, vamos a ver cuánto vale. Enseguida lo podemos ver. 00:06:41
Vamos con ello. U por v multiplicado por w. Si cambiamos de orden tendremos v por u multiplicado por w. Lo que hemos hecho es cambiar de orden, cambiar de signo. 00:06:54
Y ahora agrupamos porque podemos agrupar, cambiar los paréntesis de orden, es la propiedad que nos dice que podemos multiplicar de izquierda a derecha siempre pero en el orden en el que queramos y este producto vale por cero, con lo cual menos v por cero, cero. 00:07:14
Ya está, así de sencillo. ¿Qué nos falta por calcular? Los módulos, el módulo de u por v y el módulo de v por u. Vamos con ello. 00:07:37
Módulo de u por v. Pues va a ser la propiedad del módulo. Módulo de u por módulo de v por el seno del ángulo que forman u y v. 00:07:49
Entonces, esto se puede hacer así o se puede sacar directamente, como tenemos u por v, módulo de este vector. Más sencillo. No nos compliquemos la vida. 00:08:05
módulo de u por v, pues va a ser raíz cuadrada de 1 más 1 más 3 al cuadrado, 9. Es decir, raíz de 11 y ya está. Fácil. 00:08:17
Y por último, el apartado h nos pide calcular el módulo de v por u, pero tened en cuenta que v por u y u por v son el mismo vector cambiado de signo, 00:08:31
Así que este necesariamente tiene que coincidir con el módulo de v por u. Porque ya digo que se verifica que u por v es igual a menos v por u. Lo tenemos aquí. Luego sus módulos coinciden. Luego en el apartado h también valdría raíz de 11. 00:08:39
Y ya lo tenemos. Espero que os haya resultado sencillo. Así se aplican las propiedades del producto vectorial. Nos vemos en futuros vídeos. Un saludo. 00:08:59
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
267
Fecha:
14 de noviembre de 2018 - 18:10
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Descripción ampliada:
Demostración de la fórmula del módulo del producto vectorial (producto cruz)
Duración:
09′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
103.20 MBytes

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