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EvAU Matemáticas II 2017 Septiembre B 3 Geometría - Contenido educativo

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Subido el 19 de marzo de 2018 por Pablo Jesus T.

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En este caso tenemos un problema de geometría de la EBAU de Madrid de la convocatoria del año 2017, la convocatoria de septiembre, el modelo B ejercicio 3. 00:00:02
Nos dicen que tenemos una recta que pasa por los puntos P1 y P2. 00:00:17
Vamos a pintar la recta, para eso empezamos pintando los puntos P1 y P2, 3, 2, 0 y 7, 0, 2. 00:00:23
Hemos visto para hallar la recta R, pues hemos visto cómo calcular el vector U, restando las coordenadas de P2 menos P1, 00:00:34
le da 4 menos 2, 2, y entonces ya podemos pintar la recta, que pasa por el punto 3, 2, 0, que tiene el vector director 4 menos 2, 2. 00:00:44
Aquí podríamos haber puesto 2 menos 1, 1, o lo que hubiéramos querido. 00:00:57
Luego diré si acaso por qué he puesto esto en este caso, aunque estaría exactamente igual de bien haber puesto 2 menos 1, 1, 00:01:01
simplificado, o menos 4 más 2 menos 2 00:01:10
bueno, pues esta es la recta R 00:01:14
y ahora nos dan un punto Q, 3, 5 menos 3 00:01:17
que es este de aquí, y nos dicen que cuál es la distancia 00:01:21
entre este punto y esta recta 00:01:26
bueno, pues para hallar la distancia de un punto a una recta, vamos a utilizar 00:01:29
la conocida fórmula de módulo 00:01:33
del producto vectorial de P1Q por el vector U, dividido por el módulo del vector U, que 00:01:37
luego veremos de dónde sale y simplemente nos ponemos a hacerlo. En el caso de para 00:01:47
hacer el producto vectorial, primero tenemos que hacer el vector P1Q, que sería 3 menos 00:01:54
3, 0, 5, menos 2, 3, y menos 3, 0, o sea, 0, 3, menos 3, aquí lo he puesto, y el otro, 00:02:04
el vector 4, menos 2, 2, que es el vector de la recta, ¿de acuerdo? Hacemos el producto 00:02:13
vectorial, nos queda menos 12j, menos 12k, y en su módulo, que es lo que tenemos que 00:02:20
hacer en el numerador, pues obviamente queda 12 raíz de 2, aunque aquí lo he puesto 00:02:30
muy expresamente, pero vamos, se veía claramente que era 12 por 1 más 1 raíz de 2, 12 raíz 00:02:35
de 2. El módulo del vector 1, 4 menos 2, 2, es 2 raíz de 6, y entonces si hacemos 00:02:42
la división, 12 raíz de 2 entre 2 raíz de 6, pues nos queda 2 raíz de 3, que es 00:02:51
la distancia del punto 00:02:58
a la recta, ¿de acuerdo? 00:03:02
si lo pasamos a decimales nos da 3,46 00:03:05
que si le preguntamos a GeoGebra cuál es la diferencia, como he hecho yo aquí 00:03:08
con la instrucción distancia entre un punto y una recta 00:03:13
pues nos ha dado 3,46, lo cual coincide 00:03:16
los cálculos que nosotros hemos hecho con el CAS 00:03:20
con la fórmula de la distancia 00:03:23
¿Y qué hubiera pasado si yo hubiera puesto aquí 2 menos 1, 1? 00:03:26
Está claro que este resultado, el numerador, habría sido diferente 00:03:35
Pero lógicamente, en el denominador, también habría sido diferente 00:03:38
Habríamos puesto 2 menos 1, 1 00:03:43
Con lo cual, el cociente, que es lo que me importa, la distancia 00:03:44
Hubiera sido la misma 00:03:49
Cuidado, no nos hubiéramos equivocado al escribirla 00:03:51
ecuación de la recta y uno lo hubiéramos simplificado y otro no. Pero si simplificamos 00:03:56
los dos o cambiamos de signo los dos, lo que queramos los dos, que pongamos lo mismo en 00:04:02
la tercera fila del determinante que de lo que luego hacemos el denominador, pues entonces 00:04:09
no cambia lógicamente la distancia porque está bien hecha. Decía que íbamos a ver 00:04:16
de dónde salía esta fórmula como curiosidad como sabéis esto se define como el área del 00:04:20
paralelogramo aquí tenéis el paralelogramo formado por los puntos p1 p2 q y este que sería 00:04:27
q más u de acuerdo aquí lo podemos ver entonces ese es el área del paralelogramo si yo lo divido 00:04:35
por el módulo de U, que es la base, ¿qué pasaría? Pues que entonces me daría esto ahora que lo estoy 00:04:42
viendo como plano, vamos a decirlo así, es un romboide. Si yo divido el área entre la base, 00:04:55
pues me va a dar la altura en perpendicular 00:05:05
luego lo veremos en el apartado B 00:05:09
que este ejercicio está muy bien puesto 00:05:13
y me permite además entender esto 00:05:16
esa es la distancia de Q a la recta 00:05:19
ahora vamos a calcular el punto de corte de la recta R 00:05:24
con el plano perpendicular a R 00:05:31
Bueno, pues tenemos que empezar por calcular el plano perpendicular a R que pasa por Q. 00:05:32
Para eso, lo vamos a hacer aquí, ya lo hemos pintado incluso, 00:05:38
pues lo que hacemos es la forma de un plano en forma normal. 00:05:43
Utilizamos de coeficientes 4 menos 2, 2, que si recordáis es el vector director de la recta, 00:05:48
y de punto el 3, 5 menos 3, que es el punto Q. 00:05:55
aquí, está aquí 00:06:00
entonces, lógicamente, la ecuación del plano que me sale 00:06:03
es perpendicular a la recta 00:06:06
y que pasa por Q 00:06:09
decir, bueno, pues yo no lo veo 00:06:11
que aquí esté, pero sí, si lo veis 00:06:15
ahí está, ¿de acuerdo? 00:06:18
y por cierto, si yo consigo poner esto 00:06:20
completamente recto, perpendicular 00:06:23
a ver, cuanto más lo muevo, peor 00:06:26
ahí estamos, resulta que la altura del paralelogramo anterior, la distancia de Q a la recta, también va a ser la proyección, calculando la proyección de Q sobre la recta, la longitud de este segmento, ¿de acuerdo? 00:06:30
Con lo cual vamos a comprobar en el apartado B, de alguna manera, si hemos hecho bien el apartado A. 00:06:51
¿Cómo se halla la intersección del plano con la recta? 00:07:00
Pues ya lo sabéis también, simplemente lo que tengo que hacer es sustituir en la ecuación del plano, 00:07:04
la he puesto simplificada, he dividido por 2, 2 menos 1, 1, lo que pasa es que aquí ya lo he puesto más 2, he sustituido las coordenadas paramétricas del plano, 3 más 4 lambda, 2 menos 2 lambda, 2 lambda, que por cierto lo tengo aquí también. 00:07:15
Bueno, pues esto lo hemos metido en la ecuación del plano naranja 00:07:37
y trabajando con ello me da 12 lambda más 6 igual a 0, resolviéndolo me queda lambda menos 1 medio 00:07:43
y si ahora yo sustituyo lambda menos 1 medio en la ecuación de la recta, 00:07:52
pues me da las coordenadas del punto Q' que he llamado, que es la proyección de Q sobre la recta, 00:07:57
que es 1, 3, menos 1, ¿lo veis? 00:08:04
Ahí está Q'. Por cierto, si yo le digo a GeoGebra, que en vez de como lo hemos hecho nosotros con cuentas, que es como hay que hacerlo en un examen, que nos calcule la intersección, pues vamos a ver lo que me ha salido. 00:08:07
Me ha salido el punto A, que está aquí, 1, 3, menos 1, que coincide con el punto Q', que nosotros hemos calculado. 00:08:32
Evidentemente, lo hemos hecho bien. 00:08:40
Por otro lado, de paso, le he pedido a GeoGebra que me calcule la longitud del vector QQ'. 00:08:43
Y, oh sorpresa, sale 2 raíz de 3, que es la distancia del punto a la recta. 00:08:50
Así que este ejercicio también sirve para aprender bastante teoría. 00:08:58
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
314
Fecha:
19 de marzo de 2018 - 21:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
09′ 04″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
27.27 MBytes

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