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27_distancias 2.1 d(P,r) altura paralelogramo - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a deducir la fórmula que permite calcular la
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distancia entre un punto y una recta cualquiera de R3.
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He aquí una de estas rectas
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que vendrá caracterizada por uno de sus puntos
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y uno de sus vectores directores.
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Y he aquí el punto.
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El objetivo es calcular la distancia entre el punto y la recta.
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Si partimos de este punto genérico de la recta
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obtenemos una distancia al punto dada por el módulo de este vector ARP
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que es variable y que dependerá del punto elegido.
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Llamamos distancia entre el punto y la recta a la más corta
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de todas las distancias posibles
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y esa es precisamente la que
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forma un ángulo recto con el vector director.
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Sin embargo, en la práctica
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salvo que hayamos obtenido previamente este punto C, que es el punto
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proyección de P
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sobre la recta
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no sabemos calcular directamente esta distancia.
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La alternativa para calcularla
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consiste entonces en considerar este paralelogramo.
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En este paralelogramo la base
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viene dada por el módulo del vector director
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y la altura es precisamente la distancia buscada.
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El área del paralelogramo también variará en función del punto elegido.
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Al igual que lo hará la longitud de su base, lo que no varía nunca es la altura
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que queremos calcular.
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Procedemos entonces de la siguiente manera.
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Consideramos estas dos fórmulas
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para calcular el área del paralelogramo.
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Una como módulo
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de ese producto vectorial entre el vector director de la recta y el que une
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uno o cualquiera de sus puntos con el punto P.
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La otra fórmula para el área del paralelogramo es la conocida de la
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geometría elemental.
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Igualamos ahora
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los valores de ambas expresiones
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y de ahí podemos despejar la altura
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como ese cociente.
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Observemos que
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si variamos el punto, el numerador de ese cociente que es el área
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aumentará o disminuirá
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pero lo hará de forma proporcional
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a la variación
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de la base del módulo de uvr y por lo tanto la altura,
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como decimos, permanece constante.
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Tenemos entonces esta fórmula para la distancia de un punto a una recta
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en la que los datos
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son el vector director y un punto cualquiera de la recta que podemos
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obtener siempre de sus ecuaciones
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y el punto
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cuya distancia queremos calcular.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Guerrero López, Jaime
- Subido por:
- Jaime G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 7
- Fecha:
- 28 de agosto de 2023 - 9:33
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
- Duración:
- 02′ 28″
- Relación de aspecto:
- 2.00:1
- Resolución:
- 894x448 píxeles
- Tamaño:
- 3.28 MBytes
