Ejercicio propiedades de los logaritmos 2

Hola chicos, hola chicas, vamos a resolver este ejercicio 00:00:00

que nos dice que escribamos una igualdad equivalente a cada una de esas que tenemos en el apartado 00:00:04

pero que no contenga logaritmos. 00:00:10

Vale, y para esto vamos a utilizar dos cosas. 00:00:13

Primero vamos a tener que utilizar las propiedades de los logaritmos que os he escrito a la derecha. 00:00:16

Vale, vamos a utilizar esas tres propiedades de los logaritmos 00:00:20

y luego vamos a utilizar también que si yo tengo, bueno, las propiedades las he escrito con logaritmos decimales 00:00:23

directamente. Ya sabéis que se pueden escribir igual para logaritmos con cualquier base. Pero 00:00:30

luego voy a usar también que si yo tengo el logaritmo en cualquier base de A y el logaritmo 00:00:35

en la misma base de otro número B y eso me da el mismo resultado, obligatoriamente tiene que 00:00:41

ocurrir que A y B sean iguales. Porque logaritmos de números distintos me dan resultados distintos. 00:00:47

Entonces si los logaritmos son iguales, los números tienen que ser iguales también. Entonces si yo 00:00:54

consigo escribir que el logaritmo de algo sea igual al logaritmo de algo, puedo igualar los 00:00:59

argumentos. Entonces, aprovechando estas dos cosas, lo primero que tenemos que hacer, vamos a empezar 00:01:04

por el apartado A, es que yo aquí tengo un logaritmo, pero aquí tengo varios logaritmos. 00:01:11

Entonces, para poder usar lo que acabamos de ver, que si yo tengo logaritmo de algo igual a logaritmo 00:01:19

de algo puedo igualar los argumentos, esto que acabamos de ver, primero tengo que escribir 00:01:25

el segundo miembro como un solo logaritmo. ¿Y eso cómo lo hago? Pues utilizando las 00:01:29

tres propiedades. Por ejemplo, aquí vemos que tenemos delante de los logaritmos números 00:01:34

multiplicando, ¿vale? Pues voy a aprovechar esta propiedad donde tengo un número multiplicando 00:01:40

delante del logaritmo y vemos que eso va a ser el logaritmo de una potencia, ¿vale? 00:01:44

Entonces los números que están delante de los logaritmos multiplicando los metemos dentro 00:01:50

el logaritmo en el exponente y entonces voy a escribir que el logaritmo de a es igual al 00:01:54

logaritmo de x al cubo más el logaritmo de y menos el logaritmo de z al cuadrado vale entonces vamos 00:02:01

a fijarnos fijaros ahora que tengo aquí una suma de dos logaritmos vale pues nos vamos a la primera 00:02:13

propiedad que nos dice que la suma de los logaritmos lo podemos escribir como el logaritmo 00:02:17

de un producto. Estamos aplicando estas propiedades al revés de cómo están escritas, ¿vale? 00:02:22

Con lo cual, esto voy a poder escribir que es logaritmo de x al cubo por y, menos logaritmo 00:02:28

de z al cuadrado, ¿vale? Y ahora tengo aquí una resta de logaritmos, pues nos vamos a 00:02:35

la segunda propiedad, esta de aquí, y vemos que vamos a poder escribir la resta de logaritmos 00:02:42

como el logaritmo de la división, con lo cual voy a poder escribir que el logaritmo 00:02:47

de a es igual al logaritmo de, y ahora divido, x cubo y partido entre z al cuadrado. Bueno, 00:02:51

y ahora ya tengo lo que tenía aquí. Tengo logaritmo de algo igual a logaritmo de algo, 00:03:01

¿vale? Si los dos logaritmos valen lo mismo es porque los argumentos de los logaritmos 00:03:05

son iguales, ¿vale? De aquí puedo deducir entonces que a es x al cubo por y partido 00:03:09

por z al cuadrado y tengo una igualdad sin logaritmos, que es lo que me pedía el enunciado. 00:03:15

Vale, pues vamos a hacer esto mismo con el apartado b. 00:03:21

El apartado b me dice que el logaritmo de b es igual a 4 veces el logaritmo de x menos 5 veces el logaritmo de y más 2 veces el logaritmo de z. 00:03:27

¿Vale? Entonces, primero en el segundo miembro, hacemos lo mismo que antes, introducimos los números que están multiplicando a los logaritmos como exponentes. 00:03:42

Y me queda que esto es logaritmo de x a la cuarta menos logaritmo de y a la quinta más logaritmo de z al cuadrado. 00:03:50

Ahora tengo lo primero una resta de logaritmos, pues lo escribo en el segundo miembro, lo escribo como el logaritmo de la división. 00:04:04

Me quedaría el logaritmo de x a la cuarta entre y a la quinta. 00:04:12

¿Vale? Realmente se podría hacer todo a la vez, pero para no haceros lío, lo vamos a ir haciendo paso por paso. ¿Vale? Y ahora me queda en el segundo miembro el logaritmo de una suma, con lo cual lo puedo escribir como el producto de los argumentos. ¿Vale? El logaritmo del producto de los argumentos. 00:04:16

Me queda x a la cuarta entre y a la quinta por z al cuadrado, que es un producto de fracciones. 00:04:36

Esto lo puedo escribir así, x a la cuarta por z al cuadrado entre x a la quinta. 00:04:43

Y ahora ya tengo dos logaritmos que son iguales, puedo igualar los argumentos. 00:04:49

Con lo cual este sería el resultado del apartado b. 00:04:55

Vamos a resolver el apartado c de manera similar. 00:05:01

que nos dice que el logaritmo de c es 2 veces el logaritmo de x menos 3 veces el logaritmo de y más 2. 00:05:06

Bueno, entonces vamos a hacer lo mismo y escribimos que el logaritmo de c, 00:05:18

vamos a introducir los números que están delante multiplicando dentro del logaritmo como exponentes. 00:05:23

Entonces nos quedaría el logaritmo de x al cuadrado menos el logaritmo de y al cubo 00:05:28

Y ahora tenemos el problemita de que aquí el 2 no es un logaritmo, no lo podemos meter dentro del logaritmo. 00:05:33

Pues lo que vamos a hacer es escribir el 2 como un logaritmo, ¿vale? 00:05:39

El logaritmo decimal de quién me da como resultado 2? Pues tiene que ser 10 al cuadrado, ¿vale? 00:05:43

Es decir, esto es el logaritmo de 100. El logaritmo de 100 me da 2. 00:05:49

Pues en lugar de escribir 2, escribo el logaritmo de 100. 00:05:54

Y ahora, pues sigo aplicando las propiedades. El logaritmo de c me da, tengo primero una resta, pues me dará el logaritmo de la división, logaritmo de x al cuadrado entre y al cubo, más logaritmo de 100, y ahora tengo una suma, con lo cual me quedará el logaritmo del producto. 00:05:57

Tengo que multiplicar la fracción por 100, que es lo mismo que multiplicar el numerador, ¿no? Con lo cual me quedará el logaritmo de 100x cuadrado partido por y cubo, de lo cual obtengo que c es igual a 100x cuadrado partido por y cubo, ¿de acuerdo? 00:06:23

Bueno, con esto yo creo que seríais capaces de hacer el apartado C, con lo cual os dejo que practiquéis vosotros y desarrolléis el apartado C, que yo creo que con esto os va a resultar fácil. 00:06:42

Un saludo. 00:06:55