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Ej1_hoja3_Triángulo producto escalar - Contenido educativo

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Subido el 17 de marzo de 2025 por Carolina F.

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Bueno, pues entonces, estamos, este es el ejercicio 1 de la hoja 3, ¿no? 00:00:03
Y nos dice que calculemos los lados y los ángulos de este triángulo y luego el perímetro y el área. 00:00:12
Entonces, lo más fácil, vamos a empezar por lo más fácil, que son los lados. 00:00:20
Los lados del triángulo son los módulos, o sea, lo que valen numéricamente los vectores que los unen, ¿vale? 00:00:24
Entonces, por ejemplo, el lado este pequeñito, el que va de A a B. Pues el vector que va de A a B, ese lo calculamos haciendo coordenada a coordenada la diferencia. ¿No? Hacemos 2 menos 1, 1. 2 menos 2, 0. ¿Vale? Este es el vector A a B. Y a cerrar la puerta. 00:00:32
Bueno, y entonces el módulo de este vector lo representamos poniéndolo así, entre las mismas líneas rectas que cuando nos referimos a un valor absoluto. 00:00:58
Buenos días, y es la raíz cuadrada de la primera coordenada al cuadrado más la segunda coordenada al cuadrado, que es lo que a ti te había salido con el 2, aquí, ¿no? 00:01:31
Entonces el módulo de este vector es 1 00:01:44
Luego de aquí a aquí hay una unidad 00:01:47
Como no sabemos qué es, pues le ponemos la U 00:01:50
Bueno, pues así con todos 00:01:54
El módulo del vector BC es 2 al cuadrado más 3 al cuadrado 00:02:04
Es 4 más 9 00:02:08
Es raíz de 13 que es 3,6 00:02:13
Pues ya sabemos lo que valen los lados 00:02:16
Para lo que viene después, aparte de esta nomenclatura que le hemos puesto 00:02:21
Vamos a llamar, como solemos hacer con los triángulos 00:02:29
Si este es el ángulo C, pues a este lado de aquí, al lado AB, le voy a llamar C pequeña 00:02:32
Al lado opuesto al vértice A, le voy a llamar A pequeña 00:02:38
Y al lado opuesto al vértice B, B pequeña 00:02:44
Lo voy a poner aquí en pequeñita 00:02:47
El vector AB, por tanto, es el lado C del triángulo. El vector AC es el lado B del triángulo. Y el vector BC es el lado A del triángulo. 00:02:50
Ya puedo calcular el perímetro 00:03:04
El perímetro de cualquier polígono es la suma de los lados 00:03:08
Entonces el perímetro es 1 más 4,24 más 3,6 00:03:14
Y es 8,84 unidades 00:03:23
Así sumo todos los lados 00:03:33
¿y el producto vectorial? 00:03:36
ese lo vamos a hacer 00:03:49
porque tenemos que calcular los ángulos 00:03:50
ese es para los ángulos 00:03:51
bueno, entre las operaciones 00:03:53
con los vectores 00:03:57
que está la suma, el producto por un escalar 00:03:58
y eso, vimos una 00:04:02
muy importante, y hoy vamos a ver otra 00:04:03
también muy importante 00:04:05
la que vimos el otro día se llama producto escalar 00:04:06
Y es multiplicar dos vectores, por ejemplo, vamos a multiplicar el vector AB por el vector AC, que son los dos vectores que forman el ángulo A. 00:04:10
Entonces, el producto escalar de dos vectores, el AB por el AC, se define como el módulo de AB por el módulo de AC por el coseno del ángulo que forman los dos vectores. 00:04:28
Si lo dibujo aquí, si me lo he trasladado aquí en pequeñito, es una cosa así. Y este es el ángulo que forman. En este caso, como este es el vértice A, pues el ángulo es A. 00:04:53
Entonces, si este es el vector AB y este es el vector AC, pues el ángulo que forman es este, el ángulo A. 00:05:05
Y también se puede calcular, este valor, o sea, el resultado es un número, decimos que es un escalar, o sea, el resultado no es un vector, es un número concreto. 00:05:14
Y también se calcula el producto escalar como la primera coordenada de cada vector multiplicadas entre sí y sumadas, es decir, lo escribo paso a paso. 00:05:30
La primera coordenada de AB es 1 y la primera coordenada de AC es 3. Pues es 1 por 3 más y la primera coordenada de AB es 0 por la primera coordenada de AC es 3. 00:05:46
Entonces, con estas dos definiciones, como dispongo de las dos 00:06:02
Puedo calcular el coseno de A porque va a ser mi única incógnita 00:06:09
O sea, las dos cosas son el producto escalar de estos dos vectores 00:06:14
Entonces, empiezo por la de abajo 00:06:18
1 por 3, 3, más 0, 3 00:06:21
Pues 3, que es el resultado de la expresión de abajo 00:06:24
es igual a módulo de AB 00:06:29
lo tengo calculado aquí arriba, 1 00:06:33
por módulo de AC 00:06:35
lo tengo calculado aquí arriba, 4,24 00:06:39
por coseno del ángulo A 00:06:42
y ya, entonces 00:06:48
la única incógnita que tengo es el coseno del ángulo A 00:06:51
¿vale? 00:06:54
entonces, el coseno de A 00:06:57
es 3 partido de 1 por 4,24 00:06:59
y 3 partido por 4,24 00:07:04
es 0,7 00:07:12
más o menos 00:07:14
707 00:07:16
si lo hacéis con raíz de 18 00:07:19
como a veces en la calculadora 00:07:22
vamos haciendo todas las operaciones así seguida 00:07:24
Bueno, entonces el ángulo A es la inversa de este coseno, lo que llamamos el arcoseno. El arcoseno de 0,7. 0,7, que si lo hacéis con la calculadora, es 45 grados. 00:07:27
Bueno, podemos seguir calculando todos los ángulos con el producto escalar, así lo practicamos. Y aquí entra lo que comentabas antes, la importancia de la dirección del vector. 00:07:44
¿vale? Del sentido del vector. Ahora veréis por qué. Y también, si no nos dicen nada 00:08:03
de cómo tenemos que resolver esto, podemos recurrir a lo que veíamos en trigonometría, 00:08:10
el teorema del seno o el teorema del coseno. Pues ya sabemos tres lados y un ángulo. Podemos 00:08:15
usar el teorema del seno o el teorema del coseno, ¿vale? El teorema del seno era. El 00:08:20
El teorema del seno era A entre seno de A igual a B entre seno de B igual a C entre seno de C. 00:08:31
El coseno es, si busco el coseno de A, pongo primero A al cuadrado. 00:08:47
¿Vale? Y es a al cuadrado igual a b al cuadrado más c al cuadrado menos 2bc por coseno de a. 00:08:53
¿Vale? Esto lo aprendimos en trigonometría y lo podríamos usar perfectamente para resolver esto. 00:09:04
¿Vale? 00:09:11
Claro, porque justo hemos encontrado el coseno, ¿no? 00:09:12
Claro, porque ya sabemos un ángulo. Ya sabemos el ángulo a. 00:09:17
Y los lados también. 00:09:20
Y sabemos los tres lados. Podemos seguir usando estas ecuaciones. 00:09:22
Por ejemplo, vamos a hacer una cosa. El ángulo B. Vamos a ver el problema que hay con el ángulo B. 00:09:29
Fijaos que es un ángulo obtuso. Tiene más de 90 grados. 00:09:42
Entonces, el ángulo B es el formado por los vectores BA y BC 00:09:47
Lo voy a dibujar aquí abajo 00:09:58
Este es el ángulo 00:10:01
Ahora, los vectores que lo forman son estos 00:10:05
Es decir, a este le estoy cambiando el sentido 00:10:11
Este es el punto A y este es el punto B 00:10:14
Pero no puede usar el vector AB sino el vector BA 00:10:17
Los tienen que tener el mismo origen, los dos vectores. Este vector es BA y este vector es BC. 00:10:21
Entonces, este producto vectorial de BA por BC, este producto vectorial me va a dar este ángulo, que es el ángulo B, que yo busco. 00:10:34
Pero hay que tener cuidado con eso 00:10:49
Que tengo que poner aquí BA y no AB 00:10:52
Ahora si queréis lo hacemos de las dos maneras 00:10:55
Venga, el vector BA 00:10:58
Si os fijáis 00:11:01
En vez de 1, 0 00:11:03
Es menos 1, 0 00:11:06
Porque voy de B a A 00:11:08
Entonces el destino es A 00:11:10
Entonces es 1 menos 2 00:11:13
Y el otro lado sigue siendo 0 00:11:15
porque es 2 menos 2, ¿vale? Lo pongo aquí arriba, que ahora no se ve lo otro. El vector 00:11:18
BA es 1 menos 2, es menos 1, 0, ¿vale? Entonces este es menos 1, 0 y este sí que es el mismo 00:11:26
que antes, ¿vale? Este sí que es 2, 3. Repasamos cómo es el producto vectorial. Tiene dos 00:11:45
expresiones. La primera, el módulo de BA. El módulo es el mismo, porque me da lo mismo 00:11:58
ir para un lado que para otro, la distancia es la misma. Y el módulo era 1. Escribo 00:12:05
primero la expresión. El módulo de BA por el módulo de BC por el coseno del ángulo 00:12:17
que forman, que en este caso es el ángulo B. Y la otra expresión era la de la primera 00:12:24
coordenada por la primera coordenada más la segunda coordenada por la segunda coordenada. 00:12:30
Entonces ahora tengo menos 1 por 2, menos 2, más 3 por 0, 0. Entonces es menos 2. Y 00:12:34
ahora, si igualo estas expresiones, bueno, el módulo de BA era 1 y el módulo de BC 00:12:47
era 3,6, ¿no? La raíz de 13. Entonces si igualo las dos expresiones me queda menos 00:12:53
2 igual a 1 por 3,6 por coseno de b. Y entonces, coseno de b es menos 2 partido de 3,6. Entonces, 00:13:00
Menos 2 partido de 3,6 es menos 0,5547. 00:13:15
Y si hacemos la inversa... 00:13:25
Es que he cogido, he hecho entero raíz de 13. 00:13:28
Ah, ya. 00:13:36
Pero bueno, si haces la inversa de este coseno, el ángulo B queda 123,7 grados. 00:13:38
¿Vale? Que efectivamente es este ángulo de aquí. ¿Qué pasa? Voy a cambiar de color. Es la inversa del coseno, importantísimo. Mira, ¿te acuerdas lo que era el coseno? 00:13:47
En un triángulo, esto se aplicaba a triángulos rectángulos, pero decíamos, bueno, yo puedo hacer rectángulos cualquier triángulo, porque trazo una línea vertical, así, y ya tengo aquí un ángulo recto. 00:14:07
Entonces decíamos, si este es el ángulo alfa, el seno de alfa era el cateto opuesto partido del cateto contiguo. El seno era cateto opuesto partido por hipotenusa. El coseno era cateto contiguo partido por hipotenusa. 00:14:23
Y la tangente era cateto opuesto partido por cateto contiguo. 00:14:47
Entonces esto te da un número, como en este caso nos ha dado este número. 00:14:52
Menos 0,5547 es el coseno del ángulo en este caso. 00:14:58
Pero entonces ahora con la calculadora haces la operación inversa para averiguar cuál es el ángulo. 00:15:04
¿Cuál es el ángulo? 00:15:09
¿Tienes tu propia calculadora? 00:15:11
Sí. 00:15:16
Vale. 00:15:16
Disculpe, eso es un ejemplo 00:15:18
No están pidiendo el problema 00:15:22
Esto es el 00:15:24
No, no, no, o sea 00:15:26
B por B A 00:15:27
Por B C 00:15:29
Este es el problema 00:15:30
Este es nuestro problema 00:15:32
Ejemplo es el que voy a contar ahora 00:15:35
A C por B C 00:15:40
Es B A 00:15:42
Por B C 00:15:45
Pero no es el arco coseno 00:15:47
Entonces 00:15:49
Sí, no sé cómo lo tienes en la calculadora, pero tienes que poner el ángulo coseno de ese elegir ese y ahora pones menos 0,5547. 00:15:49
Ah, pero esto es la inversa entonces. 00:16:03
Sí, es hacer, dale al 20. El ángulo es ese, redondeado, 123,7. Si ahora, si a ese ángulo le haces el coseno, te da menos 0, 00:16:05
¿Aquí? Sí. 00:16:17
Eso no es del answer, de la respuesta. 00:16:20
Es de la línea. 00:16:23
Sí, es. 00:16:28
Bueno. 00:16:29
O sea, utilizamos, cuando conocemos el coseno, podemos conocer el ángulo. 00:16:31
Y si calcularamos el seno, haríamos el arco coseno para saber el ángulo. 00:16:37
El arco seno. 00:16:41
El arco seno, sí. 00:16:42
Eso es. 00:16:43
Vale, cuidado con esta cosa que os voy a contar ahora. 00:16:48
Imaginaos que yo he cogido los vectores tal como estaban 00:16:52
Y he dicho, vale, pues para calcular el ángulo B voy a coger el AB y el AC 00:16:57
¿Eh? ¿Qué me puede pasar? Me puedo olvidar 00:17:03
¿Vale? Esto sí que lo voy a poner en verde porque no es el problema, sino para que veáis 00:17:07
¿Vale? Imaginaos que cojo AB por BC 00:17:12
es decir, me equivoco y estoy cogiendo 00:17:16
el vector que viene para acá 00:17:21
y el vector que va para arriba 00:17:22
este es el AB 00:17:25
y este es el BC 00:17:27
bueno, pues si hago el producto 00:17:29
vectorial, la parte de arriba 00:17:32
me da lo mismo, 1 por 3,6 00:17:34
por coseno de beta 00:17:36
los módulos 00:17:38
son las distancias 00:17:41
y son valores absolutos 00:17:42
Es lo que mide el vector. Pero la parte de abajo, aquí tengo un 1, no un menos 1. Entonces la parte de abajo me da 2 por 1, 2 más 3 por 0. La parte de abajo me da 2. 00:17:44
Entonces, cuando igualo 00:17:58
Me da 2 igual a 00:18:01
1 por 3,6 00:18:04
Por coseno de B 00:18:06
Entonces, el coseno de B 00:18:07
Me queda 00:18:11
Lo mismo, pero en positivo 00:18:13
Y si hacéis esto 00:18:16
Si hacéis el arcoseno 00:18:19
De eso 00:18:22
0, 5, 5, 4, 7 00:18:23
¿Por qué? Sale 56,3 grados, que no es correcto, porque si vemos nuestro triángulo, este ángulo B es obtuso, ¿vale? No puede ser. 00:18:31
¿Por qué es eso? Pues porque estamos calculando el coseno de este otro ángulo. En lugar de este, estaríamos calculando este otro. 00:18:47
por eso es importante 00:19:00
la dirección del vector 00:19:04
¿vale? 00:19:05
¿no nos acordamos de todo esto? 00:19:10
el teorema del seno y el teorema del coseno 00:19:12
y por ejemplo si queremos 00:19:14
el ángulo del C 00:19:16
tenemos que invertirlo 00:19:17
sería C por C A 00:19:19
C A por C B 00:19:22
eso es 00:19:25
lo que pasa es que como invierten los dos 00:19:26
al final te va a quedar lo mismo 00:19:28
Pero efectivamente hay que invertir CA y CB. 00:19:29
Otra posibilidad, utilizar el teorema del seno o el teorema del coseno. 00:19:34
Vale, pues el teorema del coseno. 00:19:42
Si quisiera haber hecho el coseno, el teorema del coseno para este mismo ángulo, 00:19:48
es el ángulo B 00:19:54
entonces sería B al cuadrado 00:19:59
igual A al cuadrado 00:20:01
más C al cuadrado 00:20:03
menos 2AC 00:20:04
coseno de B 00:20:06
lo sé todo 00:20:08
entonces 00:20:12
si me lo vais recordando 00:20:12
B al cuadrado es 4,24 al cuadrado 00:20:15
o sabéis que podemos hacer 00:20:19
Como es raíz de 18, raíz de 18 al cuadrado es 18. Una raíz al cuadrado es el número que hay dentro. Entonces, 18. A era raíz de 13. Pues raíz de 13 al cuadrado es 13. Y C era 1. Y 1 al cuadrado es 1. 00:20:24
Y ahora, esto es menos 2 por, A es raíz de 13, C es 1 y coseno de 2. 00:20:48
Entonces esto queda 18 menos 14, ¿vale? Paso estas dos aquí al otro lado, 18 menos 14, 4. 00:21:06
Y ahora todo esto lo paso restando. O sea, lo paso dividiendo pero con su signo menos. Lo hago por partes. Esto le queda 14 igual a menos 2 por raíz de 13 por 1, que ya no lo pongo, por coseno de b. 00:21:15
Entonces ahora todo esto pasa dividiendo, pero con su signo negativo 00:21:35
Esto es coseno de B 00:21:42
Y es que si lo hacéis con la calculadora da exactamente lo mismo 00:21:49
Porque voy a dividir 4 entre 2, 2 00:21:54
Con el signo menos, ¿vale? 00:21:56
Me da lo mismo que este arriba que abajo 00:21:59
Y la raíz de 13 era 3,6 00:22:00
O sea, esto me va a dar menos 0,5547 00:22:02
Si lo hacéis 00:22:07
O sea, llego al mismo resultado. ¿Vale? ¿Sí? Bueno, el ángulo que falta, en lugar de hacer ya el producto escalar, que ya hemos hecho un par de ellos, que lo podemos hacer también si queréis, lo podemos calcular recordando que la suma de los tres lados de un triángulo es 180 y ya tenemos dos. 00:22:09
Tenemos 45, tenemos 123,7. 00:22:33
Me vas diciendo cuál es, pero lo hago con el producto escalar. 00:22:37
A ver, sería el ángulo C y sería CA por CB. 00:22:54
Entonces hemos dicho que le cambiamos de signo a los dos. 00:23:05
Y este se queda menos 3, menos 3. Y este otro es menos 2, menos 3. Estos dos vectores, ¿vale? Ya cambiados de sentido. Si restamos las coordenadas me queda esto. 00:23:08
Con lo cual, los módulos, el producto este es menos 3 por menos 2 más 6 y menos 3 por menos 3 más 9. 6 más 9, 15. Haciendo la primera por la primera más la segunda por la segunda. Eso da 15. 00:23:21
Y la otra forma es los módulos de CA y de CB, que esos módulos son los mismos, aunque haya cambiado las coordenadas. Y uno era raíz de 18, 4,24, y el otro era 3,6, por el coseno de C. 00:23:44
Entonces, el coseno de C es 15 partido de este producto, ¿vale? 00:24:04
El coseno de C, todo eso da 0,98. 00:24:14
Y si hacemos el arco coseno, sale que C vale 11,31 grados. 00:24:20
Que tiene que ser lo mismo que da si sumamos los ángulos y le restamos 180. 00:24:30
Bueno, hasta aquí los lados y los ángulos. El perímetro ya lo tenemos. Y ahora, nuestros problemas que nos piden el área. 00:24:34
Entonces, hay una forma mucho más fácil de calcular el área de este triángulo. 00:24:50
El área de un triángulo, estas cosas las tenéis que saber, aunque no forman estrictamente parte del programa, pero hay que saberse que el área de un cuadrado es base por altura y el área del triángulo es base por altura partido por dos. 00:25:05
esto es de cultura general 00:25:20
no sé cómo decirlo 00:25:25
es base por altura partido por dos 00:25:26
entonces 00:25:29
lo más fácil para salir a barra del paso 00:25:30
aunque luego voy a volver a este problema 00:25:33
es decir, venga, yo sé la base 00:25:37
pero la altura sería esto 00:25:41
esta línea 00:25:44
esta es la altura 00:25:47
de este triángulo 00:25:50
que está así inclinado, torcido 00:25:52
y la base sí que es el lado C 00:25:53
entonces, base por altura 00:25:56
partido por 2, me falta conocer 00:25:58
esta H 00:26:00
entonces, lo vamos a hacer 00:26:01
ahora geométricamente, para terminar 00:26:04
el problema, pero es que 00:26:06
se hace mucho mejor con una operación 00:26:07
entre vectores que no os he contado 00:26:10
todavía, que se llama producto vectorial 00:26:12
vuelvo a poner 00:26:14
la rejilla 00:26:16
si os fijáis 00:26:17
entre esta línea 00:26:20
que está a la altura del 2 00:26:22
y el punto C 00:26:24
que está en el 5, pues hay 00:26:25
1, 2 y 3 unidades 00:26:27
es decir, h vale 3 00:26:29
y la base es 1 00:26:32
entonces es 00:26:40
1 por 3 00:26:41
partido por 2 00:26:43
que es 1,5 00:26:44
las unidades que sea 00:26:47
al cuadrado, porque es una superficie 00:26:49
al cuadrado 00:26:52
Pero ojo, y no creo que se me olvide, pero si se me olvida, vamos a poner un asterisco aquí y luego lo cuento. 00:26:53
Os lo cuento cómo se haría esto cuando veamos la otra propiedad que nos falta. 00:27:00
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Geometría
Niveles educativos:
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    • Bachillerato adultos y distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
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Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
17 de marzo de 2025 - 20:22
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB SIERRA DE GUADARRAMA
Descripción ampliada:
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Duración:
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