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Representación de parábolas - Contenido educativo

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Subido el 29 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Representación de parábolas

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Representación de parábolas. 00:00:01
Las parábolas son las curvas que obtenemos al representar polinomios de segundo grado. 00:00:03
En este caso tenemos varios ejemplos. 00:00:08
Igual a 2x al cuadrado más 28x más 101, igual a x al cuadrado, 00:00:10
e igual a x al cuadrado menos 7x más 10. 00:00:15
En general, serían de la forma, igual a x al cuadrado más bx más c. 00:00:20
Aquí, por ejemplo, la a es 2, la b es 28 y la c es 10. 00:00:26
Aquí a es 1, b es menos 7 y c es 10. Aquí a es 1, b es 0 y c es 0. 00:00:32
Las tres que hemos puesto arriba tienen la propiedad de que la a es positiva. 00:00:43
2, 1 o 1. 00:00:49
Bien. En estos casos la parábola tiene esta forma. 00:00:52
O sea, digamos que se extiende hacia arriba. 00:00:56
Sin embargo, cuando la a es negativa, como es el caso de abajo, 00:01:01
donde tenemos que a es igual a menos un medio 00:01:04
b es igual a menos nueve medios 00:01:06
y c es igual a menos siete 00:01:08
la parábola tiene esta forma 00:01:09
donde se extiende hacia abajo 00:01:11
bien 00:01:13
de hecho si cogemos las parábolas cualquiera de estas 00:01:17
por ejemplo igual x al cuadrado 00:01:21
y tomamos la misma con los signos al revés 00:01:22
obtendríamos la misma parábola pero invertida 00:01:25
reflejada en el eje x 00:01:28
si cogemos por ejemplo en esta parábola 00:01:32
y igual a menos x al cuadrado más 7x menos 10, con todos los signos cambiados, 00:01:35
obtendríamos también la misma parábola, solo que al revés, reflejada en el eje x. 00:01:44
De modo que la dirección, digámoslo así, solo depende del signo de la A. 00:01:56
Esa es la primera observación. 00:02:01
Voy a borrar todo ahora mismo. 00:02:03
La segunda observación es que hay un punto que es el de mínima altura o máxima altura 00:02:05
llamado vértice 00:02:12
y que si cogemos el vértice 00:02:16
las parábolas son simétricas 00:02:22
respecto al vértice 00:02:24
cosa que se ve perfectamente 00:02:26
en las imágenes 00:02:29
¿Cómo se calcula el vértice? 00:02:29
Bueno, vamos a ver cómo se calcula la parte 00:02:41
del eje X del vértice 00:02:43
Bueno, si ponemos la ecuación de segundo grado 00:02:45
tenemos X es igual a menos B 00:02:48
más menos raíz cuadrada de B cuadrado 00:02:50
menos 4AC partido por 2A 00:02:51
Bueno, pues esta fórmula nos va a ayudar 00:02:53
recordar la fórmula del vértice 00:02:55
porque el vértice 00:02:58
tiene la fórmula 00:02:59
menos b partido por 2a 00:03:01
y coincide 00:03:04
con la primera parte de aquí 00:03:06
de hecho si cogemos la ecuación del segundo grado 00:03:07
y quitamos la raíz 00:03:10
tenemos automáticamente la fórmula del vértice 00:03:11
de modo que eso es una 00:03:14
anemotermia muy fácil para recordarse 00:03:16
además esto no es una casualidad 00:03:18
está bastante relacionado 00:03:20
con el vértice, ya lo veremos enseguida 00:03:22
Bueno, por ejemplo, en la parábola x al cuadrado, que es la más fácil, ¿cuánto es el vértice? 00:03:24
b sería que es 0, menos 0 partido por 2a, que es 2 por 1, 0 partido por 2, que es 0 00:03:32
Y de hecho, el vértice está en posición 0, en x igual a 0 00:03:40
Vamos a ver esta parábola 00:03:46
El vértice es menos b partido por 2a 00:03:50
Que sería menos 28 partido a 2 por 2 00:03:54
Menos 28 partido por 7 00:04:00
Perdón, por 4 que es menos 7 00:04:03
Y podemos comprobar que está en la posición de x igual a 7 00:04:07
Con eso ya conocemos la posición del vértice 00:04:12
En la parábola azul lo mismo 00:04:16
Tenemos que el vértice es menos b partido por 2a 00:04:18
Y esto sería menos menos 7 partido por 2 por 1 00:04:25
7 partido por 2 que es 3 con 5 00:04:31
De hecho si cogemos el vértice está en el lugar de x igual a 3 con 5 00:04:35
Por último, en la de abajo, el vértice es menos b partido por 2a, eso sería menos 9 medios entre 2 por menos 1 medio, menos por menos más, 00:04:42
9 medios entre 00:05:06
menos 1, si queréis esto 00:05:07
y esto es 00:05:10
menos 9 medios 00:05:14
que es menos 4,5 00:05:17
de hecho, cogeis la vertical 00:05:21
y está en el punto 00:05:25
x igual a menos 4,5 00:05:26
de modo que el vértice se puede calcular con mucha facilidad 00:05:28
bueno, voy a borrar todos los cálculos 00:05:32
y ahora pongo únicamente el valor de los vértices 00:05:38
¿de acuerdo? 00:05:40
aquí tenemos los 4 vértices 00:05:46
7, 0, 3,5 y menos 4,5 00:05:47
Además de los vértices hay otra información importante 00:05:58
que son los ceros, que son los cortes con el eje X 00:06:02
Por ejemplo, en la parábola azul 00:06:07
esto sería X es igual a 7 más menos raíz cuadrada de 49 menos 40 00:06:09
partido por 2, 7 más menos raíz de 9 00:06:19
partido por 2, 7 más menos 3 partido por 2 00:06:22
que hay dos soluciones, 7 entre 2 es 3, igual a 5 00:06:26
7 menos 3, 4 entre 2, 2 00:06:28
entonces los ceros son 00:06:32
2 y 5, si los ponemos son precisamente el 2 y el 5 00:06:35
son los cortes, es lógico porque es el lugar donde la altura 00:06:42
de la parábola es 0, y eso es el corte con el eje X 00:06:45
En la palabra verde, pues para ir a los ceros, bueno, multiplicamos todo, tenemos la ecuación menos 1 medio de x cuadrado menos 9 medios de x menos 7 igual a 0, multiplicamos todo por 2 para que siga, sea más fácil, y tendríamos menos 2 partido por 2 x cuadrado menos 9 por 2 partido por 2 menos 7 por 2 igual a 0, 00:06:49
estoy haciendo todos los pasos 00:07:17
y esto nos da menos x cuadrado 00:07:18
menos 9x menos 14 igual a 0 00:07:21
y ahora ya resolvemos 00:07:26
bueno multiplicamos todo por menos 1 para que quede más sencillo 00:07:27
y tendríamos x cuadrado más 9x más 14 00:07:31
igual a 0 00:07:35
y la solución es 00:07:37
x es igual a menos 9 más menos raíz cuadrada de 00:07:39
menos 56 partido por 2 00:07:46
igual a menos 9 más menos raíz cuadrada de 25 partido por 2 00:07:53
igual a menos 9 más menos 5 partido por 2 00:07:58
que serían menos 14 entre 2 que es menos 7 00:08:02
y menos 4 entre 2 que es menos 2 00:08:05
los ceros son menos 2 y menos 7 00:08:09
justo los que tenemos aquí 00:08:13
Vamos a ver ya las que nos... 00:08:15
Bueno, antes de nada una observación 00:08:22
Fijaos que el vértice está en el punto medio de los ceros 00:08:23
Lo cual es lógico por simetría 00:08:27
Aquí hay diferencia de 1 y medio, 1 y medio 00:08:30
Aquí hay diferencia de 2 y medio 00:08:32
Y 2 y medio 00:08:34
No siempre es algo en 2 y medio 00:08:36
La diferencia puede ser 3, puede ser 5 00:08:38
Aquí es coincidencia por los ejemplos que he puesto 00:08:39
Bueno, sigamos 00:08:42
De hecho, si os fijáis 00:08:44
Tenemos que... 00:08:46
¿Cuál es la ecuación del vértice? El vértice es menos b partido por 2a. 00:08:49
¿Cuáles son los ceros? Pues serían menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4ac partido por 2a. 00:08:54
¿Qué ocurre aquí? Pues ocurre que si cogemos los ceros y el vértice los ponemos, 00:09:03
Tenemos que un cero es menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4c partido por 2a 00:09:10
Otro es menos b partido por 2a 00:09:19
Y otro es menos b más raíz cuadrada de b cuadrado menos 4c partido por 2a 00:09:21
Si os fijáis, si cogemos el vértice y le subamos esta cantidad tenemos un cero 00:09:27
Si restamos esa cantidad tenemos otro cero 00:09:30
Obviamente es el punto medio 00:09:33
¿De acuerdo? De hecho, una forma de calcular el vértice sería hacer el punto medio de las dos raíces 00:09:35
Y se podría encontrar 00:09:42
Pero bueno, es muy fácil de calcular 00:09:43
Y si lo calculáis, pues así os aseguráis que todo está bien 00:09:46
Bueno, sigamos 00:09:49
¿Cuáles son las raíces de aquí? 00:09:51
Pues si x cuadrado es igual a cero 00:09:54
x es más o menos raíz cuadrada de cero, que es más o menos cero 00:09:56
El cero es una raíz doble 00:10:01
Fijaos que aquí hay una única raíz y que coincide con el vértice 00:10:03
¿Qué ocurre? 00:10:09
Lo que ocurre es que aquí la parábola corta una sola vez al eje X 00:10:13
Por eso hay una única raíz 00:10:19
Que yo es doble porque si cogemos con lupa muchas parábolas cercanas 00:10:20
Cortan dos, cuando llegamos a esa corta una sola vez 00:10:25
Hay muchas más parábolas que cortan una sola vez 00:10:29
Pues por ejemplo, esta parábola que tendríamos en el 8 sería x menos 8 al cuadrado, que sería x cuadrado menos 16x más 64. 00:10:34
Si cogía esta parábola, tiene esta forma, bueno, un poco más delgada, y un único cero en el 8. 00:10:44
Con lo cual, es posible que las parábolas tengan dos cortes con el eje, que es cuando hay dos ceros, dos raíces, cuando la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, un solo corte, cuando tiene una única solución. 00:11:02
Bueno, vamos a ver este último ejemplo. Pues tenemos x es igual a menos b, más menos raíz cuadrada de 28 al cuadrado, que es 784, menos 4c, que sería 4 por 2, 8, por 101, que es 808, todo ello entre 2a, que es 4. 00:11:15
Esto nos da menos 28 más menos la raíz cuadrada de menos 24 partido por 00:11:44
Bueno, no me cabe aquí un segundo 00:11:51
Lo he puesto abajo 00:11:54
Menos 28 más menos raíz cuadrada de menos 24 partido por 4 00:11:55
Y esto no existe 00:11:58
¿Qué ocurre? Que no hay ceros 00:11:59
Y eso es porque la parábola nunca corta al eje X 00:12:02
Entonces una parábola puede cortar al eje X una vez 00:12:06
Que hay un cero doble 00:12:17
Dos veces 00:12:20
o ninguna 00:12:20
también hacia abajo podemos tener parábolas así 00:12:22
solo que son negativas y de este tipo que no tiene solución 00:12:26
resumiendo 00:12:30
la parábola tiene un vértice 00:12:36
y está en 00:12:37
la posición de la X igual a 00:12:43
menos de partido por 2A 00:12:46
la parábola además es simétrica 00:12:47
respecto a la línea vertical que pasa por el vértice 00:12:50
los cortes como el eje X 00:12:52
son las raíces o ceros de la parábola 00:13:04
que ya hemos visto que aquí hay dos 00:13:06
aquí también hay dos 00:13:08
aquí hay uno 00:13:10
y aquí no hay ninguno, puede ser 0, 1 o 2 00:13:12
y luego se extiende hacia arriba si A es positivo, como es en estos casos 00:13:15
y hacia abajo si A es negativo 00:13:20
al final del vídeo daremos una breve explicación de la razón matemática 00:13:29
por la que ocurre todo esto 00:13:37
veamos ahora paso a paso cómo representar parábolas 00:13:39
lo primero que hacemos es localizar quienes son A, B y C 00:13:43
esto es AX cuadrado más BX más C 00:13:48
A es 1, B es menos 4 y C es igual a 3 00:13:52
Obviamente esto no lo escribimos, esto es igual que la ecuación del segundo grado 00:13:56
Los tenemos en mente, sin necesidad de escribirlos 00:14:00
Los escribo porque estoy explicando 00:14:03
El segundo paso es localizar el vértice 00:14:06
¿Cuánto vale el vértice? 00:14:09
El vértice era menos B partido por 2A 00:14:12
Recordamos que esta fórmula no hace falta aprendérsela porque ya la conocemos 00:14:14
Si cogemos la ecuación del segundo grado 00:14:20
el vértice está aquí 00:14:22
quitamos la raíz y ya tenemos el vértice 00:14:33
esto es el vértice 00:14:38
bueno, sustituimos aquí 00:14:40
y tenemos 00:14:43
menos menos 4 partido por 2 por 1 00:14:44
y esto es 4 partido por 2 00:14:47
que es 2 00:14:51
bueno, se puede hacer directamente este paso 00:14:51
lógicamente, estoy explicando 00:14:54
por eso pongo todos los pasos 00:14:55
siguiente cuestión, calculamos los ceros 00:14:56
¿cuáles son los ceros? 00:15:01
Pues x es igual a 4 más menos raíz cuadrada de 16 menos 12 partido por 2 00:15:02
4 más menos raíz de 4 partido por 2 00:15:08
4 más menos 2 partido por 2 00:15:11
3 y 1 00:15:13
Entonces tenemos que el vértice es 2 00:15:15
Y los ceros son 1 y 3 00:15:20
Y ya con eso tenemos toda la información relevante 00:15:23
Ya lo único que nos queda es 00:15:26
Poner una tabla 00:15:29
Con la X y aquí igual a X cuadrado menos 4X más 3 y calcular los puntos. 00:15:32
Lo que hacemos en primer lugar es poner el vértice que era 2 en el centro y luego ponemos unos cuantos más arriba y unos cuantos más abajo. 00:15:39
2, 1, 0, menos 1. 00:15:46
2, 3, 4 y 5. 00:15:50
Con estos ya tenemos de sobra, con 7 puntos, ¿no? 3 para arriba y 3 para abajo por el vértice. 00:15:54
Aquí tenemos el vértice y aquí tenemos un 0 y aquí tenemos otro 0. 00:15:57
Y ya es únicamente representar. 00:16:09
Vamos a ver enseguida que no hace falta hacer tantos cálculos. 00:16:12
Los voy a poner porque es la primera vez, pero podemos agarrar mucho tiempo. 00:16:15
Aquí tendríamos menos 1 al cuadrado, menos 4 por menos 1, más 3. 00:16:19
Aquí tendríamos 0 al cuadrado, menos 4 por 0, más 3. 00:16:30
Aquí 1 al cuadrado menos 4 por 1 más 3. 2 al cuadrado menos 4 por 2 más 3. Y podemos seguir así. Y si ahora calculamos todos estos valores, obtenemos lo siguiente. Esto nos da 8. Cogemos la calculadora. Esto nos da 3. Esto nos da 0. Ojo, ¿por qué no da 0? Porque la ecuación de segundo grado son los valores donde esto vale 0. 00:16:34
entonces en este caso esto no hace falta calcularlo 00:17:13
bueno, tampoco hace falta calcular esto 00:17:16
si esto es 0 00:17:20
es cuestión de poner directamente el 3 00:17:22
sigamos calculando 00:17:24
aquí obtenemos menos 1 00:17:28
aquí 0 00:17:33
aquí 3 y aquí 8 00:17:34
bien, el que tenga dificultades 00:17:37
que haga todos estos cálculos y ya está 00:17:43
pero muchos los podéis ahorrar 00:17:45
empezando por los 0, tampoco haría falta escribir esto 00:17:46
pero es que si observamos 00:17:49
aquí hemos cogido el 2 00:17:51
y hemos cogido simétricamente 00:17:52
aquí tres valores y aquí otros tres 00:17:54
y recordamos 00:17:56
que la parábola era simétrica 00:17:58
¿cómo se traduce eso? 00:18:01
pues que aquí tenemos menos uno 00:18:06
y aquí tres valores iguales 00:18:08
cero, tres y ocho 00:18:09
cero, tres y ocho 00:18:12
si calculamos tres de los valores 00:18:14
por ejemplo estos tres 00:18:16
los voy a hacerlo más fáciles 00:18:17
estos tres no hace falta calcularlos 00:18:20
ya son cero, tres y ocho 00:18:24
No haría falta hacer esto ni esto. Vamos a hacer otra vez los cálculos pero escribiendo lo mínimo. x e igual a x cuadrado menos 4x más 3. Ponemos menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5 donde v es esto y aquí tenemos un 0 y aquí otro 0. 00:18:26
bueno 00:18:51
en primer lugar 00:18:52
donde están los ceros vale 0 00:18:54
con lo cual aquí no hace falta calcular nada 00:18:56
en segundo lugar cuando es 0 00:18:58
solo hay que poner el valor 3 00:19:04
porque esto ya nos da 0 automáticamente 00:19:05
y ya si que tenemos que calcular 00:19:09
lo demás en la calculadora 00:19:11
menos 1 al cuadrado menos 4 por menos 1 00:19:12
más 3 que esto nos daría 8 00:19:14
2 al cuadrado menos 4 por 2 00:19:17
más 3 que nos da menos 1 00:19:21
y una vez que hemos hecho esto 00:19:22
y ya hemos calculado todos los que están a un solo lado del vértice 00:19:25
ya es copiar los datos 00:19:28
¿qué tenemos? 00:19:29
0, 3 y 8 00:19:31
pues les ponemos 00:19:33
0, 3 y 8 00:19:34
y ya tendríamos todos los cálculos hechos 00:19:41
fijaos que solo hemos calculado en rigor 00:19:45
dos cosas 00:19:47
y una de ellas además 00:19:49
ni siquiera nos cabe en la gráfica 00:19:49
no vamos a poder dibujarla 00:19:51
en fin, bueno 00:19:52
lo siguiente que hacemos es poner los puntos 00:19:54
que se puede poner directamente en el eje x 00:19:56
pero yo lo voy a escribir 00:19:58
porque así se entiende mejor 00:19:59
tenemos x-1 y 8 00:20:01
x0 y 3 00:20:04
x1 y 0 00:20:07
x2 y menos 1 00:20:09
x3 y 0 00:20:12
x4 y 3 00:20:14
x5 y 8 00:20:16
que son los mismos que tendríamos aquí 00:20:18
eso no voy a repetirlo 00:20:20
y ya, es cosa de ponerlos 00:20:21
menos 1, 8 no nos cabe, estaría por aquí arriba 00:20:25
0, 3 00:20:28
aquí 00:20:31
1, 0 00:20:33
2, menos 1 00:20:36
3, 0 00:20:38
4, 1 00:20:41
y luego ya el 5, pues que no cabe 00:20:42
sería el 8 que no nos cabe, estaría por acá 00:20:47
unimos 00:20:49
con una curva la parábola 00:20:50
y ya tenemos 00:20:53
la representación 00:20:54
bueno, la parte de aquí estaría más metida hacia adentro 00:20:57
porque ya sabemos que aquí está en el 8 00:21:01
pero bueno, esencialmente es esto 00:21:02
y ya está hecha 00:21:05
de hecho si calculamos como ordenador la parábola 00:21:07
nos sale lo siguiente 00:21:12
aquí tenemos la parábola 00:21:13
muy parecida al dibujo que hemos hecho 00:21:16
y aquí tenemos la información resumida 00:21:20
las raíces o ceros 00:21:27
y el vértice 00:21:29
Veamos ahora este ejemplo, tenemos aquí ax cuadrado más bx más c, donde a es igual a 1, b es igual a 9 y c es igual a 18 00:21:33
Naturalmente no tenemos que calcular esto, lo ponemos para que todo quede claro 00:21:46
Lo primero que hacemos es calcular el vértice, que era menos b partido por 2a 00:21:52
Forma que no tenemos por qué aprender, porque si tenemos la ecuación de segundo grado 00:21:56
X es igual a menos B más menos raíz cuadrada de B cuadrado menos 4C partido por 2A 00:22:00
Resulta que esta parte de aquí es el vértice 00:22:06
Que es coger la fórmula y quitar la raíz con la que hay dentro 00:22:09
Y ya lo tenemos 00:22:14
Y esto sería menos menos 9 partido por 2 por 1 00:22:16
Que sería 9 medios que es 4 con 5 00:22:20
Los segundos son las raíces 00:22:25
X es igual a 9 más menos raíz cuadrada de 81 menos 72 partido por 2, 9 más menos raíz cuadrada de 9 partido por 2, 9 más menos 3 partido por 2, 9 entre 2 es 6, 9 menos 6 es 3, entonces el vértice es 4,5 y los ceros son 3 y 6. 00:22:27
Y ya lo siguiente es calcular la tabla 00:22:51
Voy a hacer esta vez lo mismo 00:22:55
Aquí voy a poner x y aquí 00:22:57
Y igual a x cuadrado más bx más c 00:22:59
x igual a x cuadrado 00:23:03
Perdón, más bx más c, perdón 00:23:12
Me he despistado 00:23:14
Menos 9x más 18 00:23:15
Menos 9x más 18 00:23:18
Ponemos el vértice en primer lugar 00:23:21
que es 4 con 5 en el centro 00:23:24
y ya es poner los números cercanos 00:23:27
el siguiente es el 5, el anterior es el 4 00:23:32
y ya 3, 2, 6, 7 00:23:35
y vemos que entre ellos están las raíces 00:23:39
están el 3 y el 6 00:23:42
aquí tenemos un 0 y aquí otro 0 00:23:47
y este es el vértice 00:23:50
Lo mismo aquí, el anterior es 4, el siguiente es 5, y luego ya 3 y 2, 6 y 7 00:23:52
Este es el vértice, esto es un 0 y esto es otro 0 00:24:02
Bueno, voy a hacer en ambos casos los cálculos 00:24:08
Pero esta vez voy a empezar primero haciendo todos los cálculos de forma rápida 00:24:13
Calculando lo mínimo para que se vea la ventaja de esto 00:24:19
luego ya para la gente que le cueste más haré todos los cálculos a la bestia 00:24:21
bueno, pues aquí cogemos, voy a hacer aquí los cálculos directos 00:24:24
aquí es 0 y 0, ya sabemos que son raíces, no hay que calcular más 00:24:31
aquí sería 4,5 al cuadrado menos 9 por 4,5 más 18 y esto nos da menos 2,25 00:24:37
Hacemos lo mismo en el 4, 4 al cuadrado menos 9 por 4 más 18 y esto nos da menos 2 00:24:47
Y ahora lo hacemos lo mismo en el 2 y tenemos 2 al cuadrado menos 9 por 2 más 18 que nos da 4 00:24:59
Y luego ya por simetría, alrededor del vértice, si ese es el vértice, aquí tenemos menos 2, 0 y 4, aquí tenemos por simetría, el menos 2 aquí, el 0 que ya estaba, y el 4 aquí. 00:25:17
Y ya tendríamos todos los valores. 00:25:33
Pero si se quiere hacer la bestia, se puede hacer la bestia. 00:25:35
Cogemos 2 al cuadrado menos 9 por 2 más 18, igual a 4, y lo voy a escribir todo para la grabación, para que no tengáis que esperar. 00:25:38
Y bueno, pues ya sería calcular. Aquí nos daría 0, aquí nos daría menos 2, aquí menos 2 con 25, aquí nos daría menos 2, 0 y 4. 00:25:48
Evidentemente no da falta escribir esto, lo podéis escribir directamente en la calculadora. 00:25:59
Ahora bien, acordaos de los paréntesis. Ponemos los puntos, que son el 2, 4, el 3, 0, el 4, menos 2, el 4 con 5, menos 2 con 25, 00:26:03
el 5 menos 2 00:26:17
el 6, 0 00:26:19
y el 7, 4 00:26:22
y ya los ponemos 00:26:23
a ver, menos 4 con 5 00:26:25
que es el vértice 00:26:28
menos 2 con 25, estaría por aquí 00:26:29
el 4 menos 2 00:26:34
aquí, el 5 menos 2 00:26:37
aquí 00:26:41
el 3, 0, aquí 00:26:42
el 6, 0, aquí 00:26:44
el 2, 4 00:26:47
aquí 00:26:49
el 7, 4 00:26:51
aquí 00:26:53
y ya es cuestión de completar el dibujo 00:26:53
con una curva 00:26:57
y ya tenemos la parábola dibujada 00:26:58
y esto sería todo 00:27:11
y de hecho, si ponemos la parábola hecha por ordenador 00:27:13
veremos que se parece mucho 00:27:16
ya está 00:27:18
para poner toda la información relevante 00:27:21
aquí tenemos las raíces o ceros 00:27:27
y aquí el vértice 00:27:28
más información, si cogemos esta parábola 00:27:30
y le caemos el sigma a todo 00:27:36
todo al revés, x cuadrado menos x cuadrado 00:27:37
Menos 4x más 4x más 3 menos 3 00:27:41
¿Qué parábola obtenemos? 00:27:43
Obtenemos la misma parábola, solo que reflejada, al revés, digamoslo así 00:27:47
Justamente la simétrica extra 00:27:51
El vértice tendrá la misma posición x y los ceros la misma posición x también, obviamente 00:27:55
Raíces o ceros, 1, 3 00:28:03
Vértice, 2 00:28:07
1 y 3 00:28:09
Y 2 00:28:11
Más información 00:28:12
Tenemos aquí esta parábola con estas dos raíces y el vértice. 00:28:17
Y ahora vamos a coger parábolas donde cambiamos el término independiente. 00:28:22
Si subamos aquí uno, ¿qué le pasa a la parábola? 00:28:29
Aquí hemos calculado los celosos raíces, es un 2 doble, lo mismo que el vértice, 00:28:33
y los raíces se han cambiado. 00:28:37
Si cambia la ecuación, cambian las raíces. 00:28:40
Pero fijaos que el vértice es el mismo, 2 y 2. 00:28:41
Es lógico, si el vértice es menos b partido por 2a 00:28:44
Aquí no aparece para nada la c 00:28:47
Si la a y la b son la misma 00:28:49
El vértice va a ser el mismo 00:28:51
Bueno, veamos ahora como es la parábola 00:28:53
La prueba es la misma 00:28:57
¿Qué ocurre? 00:28:58
Que esto es la parábola anterior 00:29:00
x cuadrado menos 4x más 3 00:29:01
Y le hemos sumado 1 00:29:04
Sumarle 1 significa que toda la función 00:29:05
Se suma 1 hacia arriba 00:29:08
La hemos trasladado hacia arriba 00:29:10
Entonces es la misma parábola 00:29:12
Solo que cerrada uno hacia arriba 00:29:15
El vértice es el mismo 00:29:18
Lo que han cambiado son las raíces 00:29:20
En este caso había dos 00:29:24
Ahora hay una sola 00:29:25
Siguiente ejemplo 00:29:27
Ahora cogemos más cinco 00:29:30
Que es el anterior 00:29:32
Es x cuadrado menos cuatro x más cinco más dos 00:29:33
Igual que antes 00:29:38
Calculamos las raíces que ya no existen 00:29:42
Podéis hacer la ecuación de segundo grado y no van a salir 00:29:45
Y el vértice no cambia 00:29:47
Si reinventamos la función que tenemos 00:29:50
Que es esta verde 00:29:52
¿Qué ha pasado? 00:29:54
Que esta es 00:29:55
Pues x cuadrado menos 4x más 4 más 1 00:29:56
Es la anterior tras la dada 1 00:30:01
O bien x cuadrado menos 4x más 3 más 2 00:30:03
Donde hemos sumado 2 a la roja 00:30:09
Entonces lo hemos movido 00:30:13
¿Qué es lo que pasa entonces? 00:30:15
Lo que pasa es que cuando vamos sumando números aquí 00:30:19
Lo que estamos sumando hacia arriba y hacia abajo 00:30:21
Si sumamos números más grandes es posible que deje de tener raíces 00:30:23
Si va subiendo 00:30:28
Y sumando algún número llega el momento en que se corte aquí 00:30:30
De hecho esta parábola es la siguiente menos 1 00:30:34
x cuadrado más 4x más 4 menos 1 00:30:42
Esta la dejamos así 00:30:46
Y esta es x cuadrado más 4x más 4 más 1 00:30:48
A su vez esto es igual a x menos 2 al cuadrado 00:30:54
Así que esto es x menos 2 al cuadrado menos 1 00:31:02
Y esto es x menos 2 al cuadrado más 1 00:31:07
¿Qué ocurre? 00:31:11
Cuando esto es un cuadrado perfecto va a ser siempre una parábola que tenga vértice aquí 00:31:15
Cuando es una raíz doble, que tiene esa factorización, vamos a tener siempre esto, que va a ser así. 00:31:21
Si a eso le restamos un número, vamos a tener siempre dos raíces, porque será esta parábola bajada, 00:31:29
con lo cual habrá raíces siempre porque se cortan dos veces. 00:31:42
Y si le damos un número, lo que va a ocurrir es que no va a haber raíces, porque se da subida y se separa del eje X. 00:31:45
Fijaos que cuando hacemos x menos 2, el menos 2 es el vértice de todas en esta suma. 00:31:55
De hecho, esta descomposición así es única. 00:32:03
En general, algebraicamente, tenemos este resultado, 00:32:10
donde las veces de esto las hace este cuadrado que está aquí, junto con esta a, 00:32:16
y las veces de este numerito las hace esto. 00:32:24
por eso todas las parábolas tienen esa forma 00:32:27
todas tienen un vértice que siempre es menos b partido por 2a 00:32:30
porque si x más b partido por 2a es igual a 0 00:32:35
x es menos b partido por 2a 00:32:39
y por eso siempre unas parábolas son las otras 00:32:41
sumando una parábola arriba 00:32:45
y sale de eso 00:32:47
y así es como salen las raíces, con ellas raíces, etc. 00:32:50
De hecho, si os fijáis, esto se parece al discriminante de la ecuación de segundo grado. 00:32:55
Todo tiene que ver. 00:33:01
Bueno, con esto cerramos la parte de representación de parábolas. 00:33:03
Un último detalle es que este valor es exactamente, bueno, si esta es la función f de x, f del vértice, es decir, de menos e partido por 2a. 00:33:09
Bien, y un último detalle más, si tenemos una parábola de esta forma, 00:33:24
Entonces, la forma de la parábola solo depende de A. 00:33:29
Me explico. 00:33:34
Todas estas parábolas, aquí veis, igual a x al cuadrado, igual a x al cuadrado más otras cosas, más otras cosas, más otras cosas. 00:33:37
Pues todas estas parábolas tienen la misma A, que en este caso A es igual a 1. 00:33:46
Porque tenemos 1 por x al cuadrado. 00:33:50
Entonces podéis observar que esta forma de aquí abajo es igual a esta, igual a esta, igual a esta 00:33:53
De hecho la palabra entera es igual 00:34:05
En apariencia parece que la rosa es más grande que la roja, por ejemplo 00:34:07
Pero eso es porque si nosotros extendiéramos la roja y la pusiéramos más lejos, por la de la pantalla, veríamos que es igual de grande 00:34:10
Es porque solo está habiendo un trozo 00:34:19
pero si cogemos el trozo que se ve de la roja 00:34:20
y lo trasladamos 00:34:23
a la rosa 00:34:24
veremos que son iguales 00:34:26
y un último detalle ya 00:34:29
es que 00:34:31
las raíces pueden 00:34:33
no ser números naturales 00:34:34
en los ejemplos que hemos puesto 00:34:37
los up, les estamos explicando 00:34:39
es material nueva, tiene que ser más fácil 00:34:41
pero por ejemplo en la verde 00:34:43
tenéis aquí 00:34:45
esta parábola y las dos raíces 00:34:46
si las calculáis 00:34:49
tienen valores irracionales 00:34:50
de hecho así están 00:34:54
también puede ocurrir en la representación que ocurra eso 00:34:55
lo que pasa es que en los ejemplos que he puesto 00:34:58
pues no ha sido así 00:35:00
de hecho no lo pediré en el examen 00:35:03
es decir, no voy a pedir en el examen 00:35:07
representar palabras que tengan raíces racionales 00:35:09
se podría hacer, pero no tiene tiempo 00:35:12
así que no lo escondré así 00:35:14
y un último detalle 00:35:19
es que la razón por la cual 00:35:22
esto solo depende de la forma de A 00:35:25
es esta fórmula que hay aquí 00:35:27
¿de acuerdo? 00:35:29
bueno, no he explicado la fórmula en este PowerPoint 00:35:33
solamente he dicho que existe y que es así 00:35:35
¿vale? si se desarrolla esta fórmula 00:35:36
de hecho, alfabricamente 00:35:39
y se simplifica, aparece esto 00:35:40
por último, un ejemplo 00:35:43
donde se ve que si tú cambias la A 00:35:47
cambia la forma de la parábola 00:35:50
aquí tenemos 00:35:51
la roja es igual a x al cuadrado 00:35:52
si tenemos 2x o 4x 00:35:55
pues vemos que se hace más delgada 00:35:58
más fina 00:36:00
si cogemos igual a x al cuadrado 00:36:01
partido por 2 o partido por 4 00:36:04
vemos que se hace más ancha 00:36:05
bueno pues con esto hemos terminado 00:36:07
la explicación de las 00:36:10
representación de las parábolas 00:36:12
Idioma/s:
es
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
68
Fecha:
29 de mayo de 2024 - 7:21
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Representación de parábolas
Duración:
36′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
325.38 MBytes

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