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Producto Mixto. Aplicaciones y propiedades
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Se demuestra la expresión del producto mixto como determinante 3x3, se explica alguna de sus propiedades y se aplica al cálculo de volumen del tetraedro.
En este vídeo vamos a estudiar el producto mixto de vectores en el espacio.
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El producto mixto de tres vectores u, v y w en el espacio se denota entre corchetes.
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Y no va a ser en realidad un producto como tal, sino un triple producto.
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Vamos a multiplicar escalarmente u por el producto vectorial de v por w.
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Fijaos que v por w es un vector, un producto vectorial, y al multiplicar un vector por u escalarmente,
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lo que obtenemos es un escalar, un número.
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Es decir, que el producto mixto de tres vectores va a ser un número.
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Vamos a calcularlo a partir de las coordenadas de los tres vectores.
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Imaginemos que tenemos u coordenadas a1, b1, c1, v coordenadas a2, b2, c2,
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y w coordenadas a3, b3, c3, respecto de la base canónica.
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Entonces, para calcular el producto mixto, lo primero que tenemos que hacer es calcular el producto vectorial
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y para ello recordar que se puede calcular como un determinante en el que la primera fila es i, j, k, la base canónica.
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Este determinante lo podemos desarrollar por la primera fila
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y obtendríamos la expresión vectorial del producto vectorial, Ss.
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Si ahora ese vector, que es el producto vectorial de v por w,
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lo multiplicamos escalarmente por u, ¿qué obtendremos?
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Pues esa fórmula de ahí.
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Y esa fórmula de ahí es el desarrollo por los elementos de la primera fila de ese determinante.
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Y ese determinante no es más que coger los tres vectores,
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ponerlos por filas, formar una matriz 3x3 y calcular el determinante.
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Y así es como se calcula el producto mixto, el determinante de los tres vectores puestos por filas o por columnas, si queremos.
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Bueno, muy fácil, ¿veis? Vamos a ver un ejemplo para que veáis lo fácil que se aplica todo esto.
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Si suponemos el primer vector que es el 0, 1, 1, el segundo vector que es el 1, 1, 0 y el tercer vector el 2, 1, 1,
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para calcular el producto mixto no habría más que ponerlos por filas o por columnas, ya digo, porque el determinante no cambia,
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y calcular ese determinante. Ahora, podemos aplicar
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Sarrus o fijarnos que podemos hacer ceros restando la segunda
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la tercera. Hemos hecho ahí ceros, con lo que en la primera fila
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si os dais cuenta hay 0, 0, 1. Es decir, que si desarrollamos por esa fila
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el determinante 3 por 3 se puede calcular como un determinante 2 por 2
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y ese determinante vale menos 2. Así que ese es el producto mixto de los tres vectores.
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Facilísimo. Bueno, como veis, el producto mixto se puede escribir
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como un determinante, pues a la hora de estudiar las propiedades de este producto mixto, pues
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valdrán las mismas propiedades que para los determinantes. Por ejemplo, si queremos calcular
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en vez de u por v por w, darle la vuelta y calcular v por u por w, pues el resultado
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tiene que ser el opuesto. ¿Por qué? Bueno, pues porque si cogemos un determinante e intercambiamos
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dos filas, el resultado cambia de signo. Luego esa propiedad se verifica y se va a verificar
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intercambiamos las dos filas que intercambiamos, así que permutando los vectores va a dar siempre
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cambiado de signo. Bien, ¿qué pasa si nosotros queremos calcular alfa por u, por v, por w? Es decir,
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introducimos un factor en uno de los tres vectores. Bueno, pues el producto mixto queda multiplicado
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por ese factor alfa. ¿Por qué? Bueno, pues porque si en un determinante una fila está multiplicada
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por alfa, ese alfa lo podemos sacar factor y el resultado quedaría multiplicado todo el determinante
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por alfa. La tercera propiedad nos dice que si tres vectores el determinante da cero
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es porque son linealmente dependientes. Pues efectivamente, entonces eso significará que
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el producto mixto de tres vectores es cero si solo si son dependientes. Eso es exactamente
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las propiedades de los determinantes. Y bueno, pues como cuarta propiedad podemos ver que
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si uno de los tres vectores descompone como suma de dos, el producto mixto puede descomponer
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como suma de dos productos mixtos. Y de nuevo, eso es la descomposición de una línea de
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un determinante en suma de dos. Bueno, de todas las propiedades, la más interesante
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es la interpretación geométrica, porque nos va a salir en numerosos problemas. Veremos
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que esta interpretación geométrica tiene que ver con el cálculo de volúmenes. Para
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ello, imaginemos que tenemos este producto mixto y que cogemos los tres vectores y los
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aplicamos sobre un mismo punto. Fijaos que entonces, a partir de estos tres vectores,
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si son linealmente independientes, podríamos formar un paralelepípedo, sin más que trasladar
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todos los vectores a todos los lados que faltan por construir del paralelepípedo, es decir,
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un prisma con caras paralelas 2 a 2. Bueno, si queremos calcular el volumen de este paralelepípedo,
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¿qué habría que hacer? Pues como todo paralelepípedo, su volumen será área de la base por
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altura. El área de la base, en nuestro caso, es el producto vectorial de v por w, porque v y w son
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los vectores que determinan la base y recordad la interpretación geométrica del producto vectorial
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de dos vectores. Ahora bien, ¿cómo calcular la h? Bueno, pues si os fijáis, por trigonometría, h puede
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descomponerse como producto del módulo de u por coseno del ángulo que forma u con el producto
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vectorial de v por w. ¿Por qué esto es así? Bueno, v por w, el producto vectorial, es el vector
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normal al plano, a la base. Entonces el vector normal a la base forma con u el ángulo precisamente
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que tenéis en la imagen, así que por trigonometría la longitud de u por el coseno del ángulo
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que forma sería la h. Es decir, ahora recordad la propiedad del producto escalar. El producto
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escalar de dos vectores se puede calcular como el producto de los módulos por el coseno
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del ángulo que forman. Es decir, que ese producto que tenéis ahí sería el producto
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escalar de u por producto vectorial v por w, es decir, el producto mixto. Hemos demostrado entonces
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que el volumen del paralelepípedo va a ser en valor absoluto el producto mixto de los tres
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vectores. Ahora, si quisiésemos calcular el volumen de un tetraedro, pues la cosa sería ligeramente
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distinta. Para formar el volumen de un tetraedro simplemente cogemos los tres vectores, los
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aplicamos sobre un punto y ahora ¿cuál es el volumen del tetraedro? Bueno, pues es un tercio
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del área de la base por la altura, como sabemos. Y ahora, desarrollando la misma idea, el área
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de la base ahora es un triángulo en lugar de un paralogramo, es decir, que no va a ser
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el módulo del producto vectorial, sino la mitad del módulo del producto vectorial.
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Y ahora, el mismo argumento anterior nos permite deducir que todo eso es el producto mixto,
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así que el resultado va a ser un sexto del producto mixto en valor absoluto de los tres
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vectores, y ese sería el volumen del tetrahedro. Vamos a ver un ejemplo. En el ejemplo anterior,
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en el que habíamos ya calculado el producto mixto, que valía menos 2,
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el volumen del tetrahedro formado por esos tres vectores,
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¿cuál sería? Pues simplemente, si tuviésemos que calcularlo,
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un sexto por valor absoluto de menos 2, es decir,
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un tercio sería el volumen de ese tetrahedro.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Autor/es:
- Manuel Domínguez Romero
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- 495
- Fecha:
- 23 de septiembre de 2019 - 22:10
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 06′ 46″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 29.15 MBytes
