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AL3. 4. Resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AL3 dedicada a los sistemas de ecuaciones lineales. En la videoclase de hoy
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estudiaremos la resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss.
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En esta videoclase vamos a volver sobre la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando
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el método de Gauss. Y digo volver porque el método de Gauss para resolver sistemas
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de ecuaciones ya lo estudiamos el año pasado, en primero de bachillerato, en el bloque de
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álgebra elemental dentro de la unidad de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
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Lo primero que necesitamos antes de poder definir el método de Gauss es hablar de la
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equivalencia de sistemas. Como veis aquí, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes
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cuando tienen las mismas soluciones. Y se llaman transformaciones elementales a aquellas
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que podemos hacer sobre distintos sistemas de ecuaciones manteniendo la equivalencia,
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manteniendo cuáles son las soluciones.
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Y estas son, como podéis ver, cambiar el orden de ecuaciones o de incógnitas,
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multiplicar una ecuación por un número que sea distinto de cero,
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si podemos multiplicar también podemos dividir por un número distinto de cero,
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y sumar a una ecuación una combinación lineal de las restantes ecuaciones.
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Y igual que podemos sumarla, podemos restarla.
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Os recuerdo que una combinación lineal de las ecuaciones puede ser 2 veces la ecuación 3 menos la ecuación 1, o bien menos 2 veces la ecuación 2 más 4 veces la ecuación 3 menos 4 veces la ecuación 1.
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Como veis, sumas o restas de números que multiplican a las distintas ecuaciones.
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El método de Gauss lo que hace es partir de la matriz de coeficientes ampliada m estrella de un sistema
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y sobre ella realizar distintas transformaciones elementales para obtener una matriz escalonada.
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La razón es que en una matriz escalonada directamente podemos leer, o más adelante en la siguiente videoclase hablando de sistemas con parámetros,
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podremos discutir de una forma muy sencilla cuáles son los rangos de la matriz de coeficientes
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y la matriz de coeficientes ampliada, de tal forma que de una forma muy sencilla
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podremos discutir la compatibilidad del sistema y podremos decidir si el sistema es compatible o incompatible
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y en el primer caso incluso si es compatible determinado o compatible indeterminado.
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Y asimismo, una vez que tenemos esa matriz escalonada, siempre y cuando sea equivalente, por supuesto,
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podremos determinar de una forma muy sencilla sin ver que el sistema sea compatible la solución del
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sistema si es compatible determinado o bien las infinitas soluciones si es compatible indeterminado
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cuáles son esas transformaciones elementales que podemos hacer y que haremos sobre la matriz de
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coeficientes ampliada para obtener esa matriz escalonada que va a ser el objeto el objetivo
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del método de gauss pues bien podremos sin restricciones cambiar el orden de las filas
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Podremos cambiar el orden de las columnas, pero cuidado, únicamente dentro de la submatriz M, dentro de la submatriz de coeficientes.
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Os recuerdo que la última columna en la matriz ampliada va a ser siempre la columna de los términos independientes, y esa columna no puede cambiar de sitio.
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Así pues, podemos cambiar el orden de columnas, pero nunca la última, únicamente dentro de la submatriz M.
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Podremos multiplicar una fila por un número siempre que sea distinto de 0
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Y como decía anteriormente, si podemos multiplicar también podemos dividir
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Y podemos sustituir una fila por una combinación lineal que la incluya con coeficiente distinto de 0
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Y haremos, por ejemplo, sustituciones de la fila 3 por la fila 3 menos la fila 2
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Aquí estamos multiplicando la fila 3 por 1
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y le estamos restando una combinación lineal que es sencillamente la fila 2.
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O podremos sustituir la fila 3 por 4 veces la fila 3 más 2 veces la fila 1.
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Y aquí estamos sustituyendo la fila 3 por la combinación lineal 4 veces esa misma fila.
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Aquí tenemos el coeficiente distinto de 0 más 4 veces la primera, lo que corresponda.
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Otras transformaciones que podemos hacer va a ser eliminar una fila que sea nula
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o igual a otra o múltiplo de otra
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o bien que se vea que es combinación lineal de otras.
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Para más detalles os invito a que volváis a ver las videoclases
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que he mencionado dentro de la unidad de ecuaciones
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y sistemas de ecuaciones en el bloque de álgebra elemental, donde
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definíamos con cuidado desde el principio en qué consiste
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el método de Gauss, se veían cuáles eran esas transformaciones elementales que se
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podrían realizar. Se veía con mucho detalle cuál es el algoritmo concreto que nos permite utilizar
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el método de Gauss para transformar la matriz de coeficientes ampliada en esa matriz escalonada
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utilizando los pivotes. Y veíamos distintos ejemplos de sistemas incompatibles y entonces
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veíamos cómo el sistema de Gauss nos indicaba que el sistema no tiene solución. Sistemas compatibles
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determinados y veíamos como el método de Gauss nos indicaba que había una única solución y sistemas
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compatibles indeterminados y veíamos como el método de Gauss nos indicaba el espacio, el tamaño del
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espacio de soluciones y nosotros elegíamos o podíamos elegir de una determinada manera cuáles
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eran las incógnitas que no iban a estar determinadas y tomaban valores arbitrarios y cómo expresar el
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resto de incógnitas en función de éstas. Con esto que hemos visto y con lo que vais a ver en las
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videoclases a las que he hecho referencia ya se podrá resolver estos ejercicios en donde mediante
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el método de Gauss se van a estudiar los sistemas de ecuaciones que ya se han estudiado en los
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ejercicios anteriores, se va a discutir y resolver siempre que sea posible, puesto que si el sistema
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es incompatible, no se puede resolver estos sistemas de ecuaciones y vamos a hacer hincapié
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en los sistemas homogéneos. Aquí fijaos en que en estos dos ejemplos los términos independientes
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son todos idénticamente nulos y vamos a discutir y resolver estos sistemas homogéneos. Esto lo
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haremos en clase, lo haremos también en alguna videoclase posterior. En el aula virtual de la
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asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información
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en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes
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a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 11
- Fecha:
- 8 de septiembre de 2024 - 19:03
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 07′ 38″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 18.68 MBytes
