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Error máximo y tamaño de muestra. Ejercicios - Contenido educativo
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Clase 14 Enero. Ejercicios de intervalos de confianza. Error máximo admitido y tamaño de muestra.
Bueno, voy a haceros este vídeo para sustituir la clase de ayer que me di cuenta que al final de la clase no se había grabado,
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entonces voy a intentar reproducir la clase de ayer para subiros a la aula virtual.
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Bueno, voy a compartir enseguida el OneNote.
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Bueno, la clase comenzamos realizando los ejercicios que os dije que teníais que realizar, ¿vale?
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Para el día de ayer, jueves 14.
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Entonces, lo primero, tengo aquí los ejercicios, jueves 14 de enero, empezamos la explicación, voy a borrarlo para reproducirlo de nuevo, haciendo un pequeño repaso de lo que es el intervalo de confianza.
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Voy a intentarlo reproducir más o menos como lo hice ayer en la clase.
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Bueno, ya quedamos claro que en nuestra variable tenemos una población con una media de la población, una desviación típica de la población, ¿vale?
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Y que ahora vamos a coger una muestra con una media X, con una desviación típica de la población, de la media, perdón, y que vamos a distribuir, o sea, sabemos que se distribuye según una normal de media a la de la población y desviación típica, la desviación de la población partido de la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
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Entonces, nuestra variable tenemos que seguir una distribución con un intervalo de confianza de 1 menos alfa para dar el intervalo de confianza.
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Nuestro intervalo de confianza se encuentra entre estos dos límites, el límite inferior y el límite superior.
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en el medio de la campana está la media de la muestra
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y que tenemos el índice, el nivel de confianza es uno menos alfa
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pero que también dijimos que alfa es el nivel de significación
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que este nivel de significación es lo que dividimos en dos partes en la campana
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en alfa medios y alfa medio en la parte de la izquierda
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y estos son las fórmulas del intervalo
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Pero nuestra variable no sigue una distribución normal estándar, ¿vale? Sabemos que la distribución normal estándar de 0, 1 está tipificada, viene, perdón, no está tipificada, viene en tablas, ¿vale? Entonces, nuestra variable que no sigue una distribución normal estándar la vamos a tipificar, ¿vale? Y nuestra variable es la de la muestra, que ahora la vamos a pasar a una Z de la muestra, ¿vale?
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Entonces, entraríamos en la tabla, ¿vale? Esto sería el menos Z alfa medios y esto es lo que llamamos Z alfa medios, ¿vale? Con un nivel de confianza de 1 menos alfa, lo que nos den.
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y en la mitad se encontraría la media, que en este caso, como estamos simplificando, vale 0, ¿vale?
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Y esto sería también el alfa medios y el alfa medios, ¿vale?
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Y de esta forma, ¿vale?, podemos entrar por las tablas de distribución estándar.
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A continuación hemos pasado, pasamos a realizar el ejercicio 1, el ejemplo 1 de los apuntes.
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El ejemplo 1 de los apuntes, que es el que está aquí copiado, dice, se sabe que la desviación típica de las estaturas de las chicas de 18 años es 9 centímetros.
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Si se toma una muestra de tamaño 64 en el que se obtiene una estatura media de 166, ¿cuál será el intervalo de confianza?
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Para el nivel de confianza, al 90% de la estatura media de la población.
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Lo primero que tenemos que hacer es ponernos los datos. Yo aquí he puesto los datos, mi desviación típica, 9, la media de la muestra, el tamaño de la muestra y el nivel de confianza, el 90.
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Lo que me están pidiendo es el intervalo de confianza, entonces el intervalo de confianza, la fórmula es x menos z alfa medios sigma partido del tamaño de la muestra y x más z alfa medios sigma partido del tamaño de la muestra.
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¿Qué es lo que desconocemos de aquí? El valor Z alfa medios.
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Y este valor Z alfa medios es lo que tenemos que entrar en la tabla a mirarlo.
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¿Y cómo entramos en la tabla? Con el nivel de confianza.
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Porque si nos vamos aquí arriba, el nivel de confianza, vamos a ponerlo aquí, 1 menos alfa, que es el nivel de confianza,
00:06:08
lo que significa es la probabilidad de que la media de la población esté dentro del intervalo de confianza.
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Entonces, esta es nuestra fórmula del intervalo de confianza y tenemos que sacar el Z alfa medios.
00:06:45
Como el nivel de confianza es 90, yo tengo que sacar un intervalo de confianza al 90%.
00:06:53
Y tengo que encontrar en la tabla el Z alfa medios. El Z alfa medios que está por debajo de todo el área que hay desde este valor, desde este límite, por debajo de la campana.
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Vale, pero sabemos que como el área total es 100%, vale, menos 90 que es el nivel de confianza me queda que el nivel de significación es un 10%, vale, que se tiene que dividir en la cola derecha de la campana que es alfa medios que es un 5% y la otra cola de la campana que es alfa medios que es otro 5%, otro 5%, vale.
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Entonces, tengo que entrar por 0,90 más lo que está debajo de ese alfa zeta medio, es el negativo, ¿vale?
00:07:47
Que es 5%.
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Luego tengo que entrar por 0,90 más 0,05, tengo que entrar por 0,95, ¿vale?
00:07:58
Entonces, ahora nos vamos a las tablas para entrar en la probabilidad de 0,95.
00:08:05
Vale, si os vais a las tablas, el 0.95 no se encuentra en la tabla.
00:08:15
Se encuentran dos valores, el 0.9495 y el 0.905.
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Este corresponde a un valor de la variable de 1.64 y este a 1.65.
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Aquí tenéis que elegir, o tomo este, o tomo este, o tomo la media.
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Vale, yo aquí he tomado la media.
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Podría haber sido tan válido tomar el 1.64,
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porque 0.94.95 prácticamente es 0.95.
00:08:41
Vale, yo he tomado la media.
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La media de esos dos valores es 1.64.5,
00:08:47
lo sustituyo en la fórmula del intervalo de confianza
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y obtengo este intervalo de confianza,
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que significa que con un 90% de probabilidad
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la media de la población se encuentra en el intervalo
00:09:07
164,15, menor que mu, que es la media de la población, 167,65.
00:09:11
Nos vamos al ejemplo, a los ejercicios de ensayo que están al final de los apuntes.
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Y tenemos el ejercicio 1, que en los apuntes viene resuelto, pero yo también lo resolví ayer.
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Vale, voy a borraros para volverlo a obtener. Los datos del ejercicio. Leemos, dice, para determinar el peso medio de los jóvenes de 20 años se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño N.
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Nos ponemos aquí los datos. Tamaño N es 81. Si la media de la muestra ha sido 55 kilogramos, se sabe que la desviación típica es 4. Hallar en el apartado A un intervalo de confianza al 94%. Vale. Esta es la fórmula tenemos del intervalo de confianza. Vale. Y tenemos que hallar con la tabla el Z alfa medios. Vale.
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Entonces tenemos un nivel de confianza al 94%, nos dibujamos la campana, dibujamos los dos extremos que son los que quiero conseguir, lo que pasa que nosotros vamos a entrar en la tabla a buscar el Z alfa medios, ¿vale?
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94%, ¿vale? Aquí, que es el nivel de confianza, pero 100 menos 94 me queda un 6%, ¿vale? El nivel de significación es 6, que dividimos entre alfa medios aquí 3% y el otro alfa medios 3%, ¿vale?
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Luego tenemos que entrar por 0,94 más lo que está debajo del menos Z alfa medios, que es 0,03, ¿vale?
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Tenemos que entrar por 0,097, ¿vale?
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Y si vamos a la tabla, el 0,97, ¿vale? El Z alfa medios correspondiente al 0,97 es 1,88, ¿vale?
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Esto me lo da la tabla
00:11:57
Litrando
00:12:00
Por
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0,97
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Sustituís en la fórmula
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Del intervalo de confianza
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Y nos queda este intervalo
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Vale, el apartado B no lo podemos hacer
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Que es lo que quedó pendiente
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Este apartado
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Es para hoy
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Mañana
00:12:23
15 de enero
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Vale
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Vamos al ejercicio 2. Voy a intentar reproducir también. El ejercicio 2 nos dice, la dirección de un centro de secundaria establecido con la media de horas semanales dedicadas al estudio es 15 horas. Aquí tenemos los datos.
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Con una desviación típica de una hora, durante este presente curso el departamento de matemáticas quiere demostrar que esta media ha disminuido
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Para ello ha elegido una muestra, aquí tenemos lo que va a hacer este año el departamento
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Elige una muestra de tamaño 150 y con una media de la muestra de 12,7
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Dice calcular el nivel de confianza
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Para que la media poblacional
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Se encuentre dentro del intervalo
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Este es otro dato
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Que me dan
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¿Vale?
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Se encuentre dentro de este intervalo
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Esta media tiene que estar dentro de este intervalo
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Perdón
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Esto no es así
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Se encuentre dentro
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¿Vale?
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La media
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Me dice
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que se tiene que encontrar dentro del intervalo 12,557 y 12,843, ¿vale?
00:14:01
Nuestra media, lo que estaba puesto es que nuestra media de la muestra
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sigue una distribución normal de media 15 y desviación típica 0,082,
00:14:17
que el 0,082 se saca de dividir 1 entre raíz cuadrada de 150.
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cuenta. Entonces, ahora, siempre nos estaban dando el nivel de confianza y en este ejercicio
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han cambiado. Lo que tengo que calcular es justamente el 1 menos alfa, ¿vale? Esto es
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lo que tengo que calcular, ¿vale? Me dan el intervalo de confianza, que es 12,557,12843, ¿vale?
00:14:43
Nos ponemos la fórmula del intervalo de confianza, x menos z alfa medios sigma raíz cuadrada,
00:15:03
x más z alfa medios sigma raíz cuadrada de n, ¿vale?
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Y aquí tenemos que, ¿qué es lo que tenemos que calcular aquí para poder sacar el nivel de confianza?
00:15:23
El z alfa medios, ¿vale?
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Y el z alfa medio lo vamos a calcular con la fórmula.
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Entonces, cogemos, podemos coger el intervalo, el extremo inferior o el superior, yo he cogido este, ¿vale? Entonces, cojo este extremo, este extremo tiene que ser igual a este extremo, ¿vale? Lo tenéis uno debajo, entonces lo he puesto en verde, 12,843 tiene que ser igual a la media de la muestra más el Z alfa medio, que no lo conozco por la desviación típica.
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Despejando el alfa zeta medios, ¿vale?
00:16:06
Si lo despejamos, está aquí despejado, nos sale un zeta alfa medios de 1,75
00:16:11
¿Vale? Entonces una vez que tengo el 1,75 me voy a la tabla a mirar
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A ver qué porcentaje o qué probabilidad representa
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Y esa probabilidad que representa, ¿vale?
00:16:30
Si miramos en la tabla, aquí yo lo tengo dibujado
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Esto es el valor que nos da la tabla, ¿vale? Nos da este valor que hemos redondado al 96%, pero claro, este no es realmente el nivel de confianza que nos están pidiendo, porque nosotros hemos entrado en el nivel de confianza, hemos dado este valor, hemos encontrado el 1,75, ¿vale?
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que es el valor Z alfa medio
00:17:01
corresponde a todo lo que está por debajo
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luego corresponde al 0,96
00:17:06
es en total al 1 menos alfa
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más el alfa medios
00:17:12
¿vale?
00:17:16
entonces 0,96 va a ser igual a
00:17:16
el alfa medios
00:17:19
¿vale?
00:17:24
si es 96 nos queda que alfa es un 4%
00:17:24
¿vale?
00:17:28
lo tenéis aquí escrito
00:17:28
Luego tenemos que alfa medios es un 2%, ¿vale? Entonces, este 0,96 tiene que ser igual a algo más 0,02 y ese algo a la fuerza tiene que ser 0,92, ¿vale?
00:17:29
Y el resultado es que nuestro problema está desarrollado con un nivel de confianza al 92%.
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El apartado B dice, ¿se puede afirmar con el mismo nivel de confianza anterior que ha disminuido el tiempo medio dedicado al estudio?
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Pues sí. ¿Por qué? Ya se podría desde el principio, porque si el año pasado la media de la población de los estudiantes estudiaban 15 horas, tenemos que ver si estas 15 horas pertenecen a este intervalo o no.
00:17:58
Y como vemos, no pertenece al intervalo al 92% de confianza. Luego ha disminuido, porque además la media de la población es 12,7, con lo cual 15 está por arriba de lo que es la población este año.
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Bueno, el apartado C lo tenéis que hacer para mañana, para mañana, 15 de enero, ¿vale?
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Y luego el ejercicio 3 y el 4 también se tiene que hacer para mañana y para mañana, ¿vale?
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Entonces, ahora vamos a explicar lo que nos queda de los apuntes, ¿vale?
00:18:45
Que nos quedaban dos cosas, el error, ¿vale? El error admitido, admitido.
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Cuando nosotros damos un intervalo de confianza en el que se encuentra la media de la población para un determinado nivel de significación, es decir, con una probabilidad del 90 o del 95, admitimos que estamos cometiendo un error.
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Entonces nuestro intervalo de confianza, que es este, la media de la población se encuentra entre estos dos valores
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Y estos dos valores de aquí dependen del nivel de significación
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Entonces, dependiendo de la probabilidad, vamos a cometer un error
00:19:25
¿Cuál es el error?
00:19:30
Lo voy a dibujar o lo voy a explicar de nuevo
00:19:32
Aquí
00:19:35
Sí, tenemos aquí nuestra variable
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que esta es la muestra
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esta es la distribución
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de la muestra
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tenemos un nivel
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de significación
00:19:47
que es 1 menos alfa
00:19:50
tenemos un intervalo
00:19:51
de confianza
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y tenemos nuestra media
00:19:54
de la muestra
00:19:56
la media de la población
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se va a encontrar
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por ejemplo por aquí
00:20:00
o por aquí
00:20:01
no sabemos dónde
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pero si se encuentra por aquí
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y nosotros estamos dando
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este intervalo
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De confianza quiere decir que estamos cometiendo un error. ¿Cuál es el error máximo que cometemos? Este. Este es el error máximo que cometemos. Esta fórmula hay que sabérsela. Es el error que cometemos con un nivel de confianza determinado.
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nos dice que el error máximo
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admitido depende
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si veis la fórmula
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depende
00:20:34
si nos fijamos en la fórmula
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pues depende de
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la desviación típica
00:20:43
del tamaño de la muestra
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y del nivel de significación
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¿por qué del nivel de significación?
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porque el Z alfa medio se saca
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con el nivel de confianza
00:20:54
¿Vale?
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Entonces, si nos damos cuenta qué es lo que está en el numerador,
00:20:57
lo que está todo en el numerador está multiplicando al error.
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Luego, cuanto mayor sea la desviación típica, mayor va a ser el error.
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Cuanto mayor sea Z alfa medios, mayor va a ser el error.
00:21:12
Y el alfa Z medios viene de mayor del nivel de confianza.
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Entonces, al aumentar el nivel de confianza, aumenta el Z alfa medios y aumenta el error.
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¿Qué es lo que divide? El tamaño de la muestra.
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Luego me dice que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, como está en el denominador, más pequeño va a ser el error.
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Entonces, lo que nos dice aquí una conclusión es que para una determinada confianza dada, si se quiere disminuir el error, hay que aumentar el tamaño de la muestra.
00:21:41
Y para un mismo tamaño de la muestra si se desea mayor seguridad o mayor confianza tenemos que admitir un mayor error. Vamos a hacer un ejemplo que tenéis aquí el ejemplo 2. Tenemos un ejemplo que viene del ejemplo 1 de la estatura de las chicas de 20 años que tenía una desviación típica de 9 centímetros al 90% y me mandan calcular el error máximo.
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Lo tenemos aquí calculado, ¿vale? Aunque tenéis el ejercicio resuelto, lo resuelvo en el vídeo, ¿vale? Entonces tenemos el error máximo es el Z alfa medios por sigma partido del tamaño de la muestra, ¿vale?
00:22:18
El Z alfa medios, como es al 90%, ¿vale? Tenemos que sacarlo de la tabla, ¿vale? Con un 90%. Pero no podemos entrar por 90%, por 0,9. Tenemos que entrar por 0,9 más 0,05. ¿Vale? Entonces tenemos que entrar por 0,95.
00:22:46
Y el 0,95 es el que habíamos calculado antes con la media, que era 1,645, el valor de Z alfa medios, ¿vale?
00:23:04
Entonces, sustituyendo tenemos 1,645 por 9 partido del tamaño de la muestra, que es 64, nos da un error máximo de 1,85 centímetros.
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¿Qué quiere decir esto? Otra forma de expresar el intervalo de confianza que lo pongo yo aquí. Otra forma de expresar el intervalo de confianza o la media de la población es que la media de la población es la media de la muestra más menos el error máximo que cometemos.
00:23:32
¿Vale? Entonces, la media de la población será 166 más menos el error máximo que he calculado para una confianza del 90%.
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Si seguimos más abajo, dice, si aumentamos el tamaño de la muestra a 100, el error viene otra vez calculado.
00:24:07
Entonces, comparar. Si pasamos de 64 a 100, ¿vale? El error baja de 1,65 a 1,48 centímetros, disminuye, ¿vale? Y si dejamos la misma tamaña de muestra, 64, pero aumentamos la confianza al 95%, está calculado de nuevo aquí el error.
00:24:15
Para 95% hay que volver a calcular el Z alfa medios, que si entráis en la tabla es 1.96. Si calculáis el error, fijaros a cuánto aumenta el error, aumentando a 95 el nivel de significación.
00:24:41
Y por otra parte, la otra parte que tenemos o que nos queda de los apuntes de encontrar es el tamaño muestra para un determinado error, ¿vale?
00:24:58
que tengo la fórmula que es zeta alfa medios sigma partido de raíz de n, ¿vale?
00:25:43
Fijamos ese error y lo que me piden es calcular a cuántas personas tenemos que entrevistar, ¿vale?
00:25:50
Entonces, si este es el error máximo que tengo que cometer, ¿vale?
00:25:57
Tiene que ser, esta fórmula que es el error, tiene que ser menor o igual que el error máximo que me dicen en el problema, ¿vale?
00:26:06
Entonces, para calcular el tamaño de n, lo que tenemos es que despejar n, ¿vale?
00:26:16
Entonces, para despejar n, lo que os recomiendo es hacer igualdad.
00:26:24
Imaginaros que yo aquí, el error máximo es un dato conocido, ¿vale?
00:26:30
Dato, ¿vale?
00:26:35
Que puede ser 1, 1,5, etcétera, ¿vale?
00:26:36
Entonces, si yo quiero despejar n, imaginaros que tengo allí una igualdad, ¿vale?
00:26:38
El error pasa dividiendo, el error máximo, ¿vale?
00:26:47
Y la n pasa aquí multiplicando, ¿vale?
00:26:52
Para quitar la raíz cuadrada hay que elevar todo al cuadrado, ¿vale?
00:26:55
Entonces me queda z alfa medios sigma, el error máximo, todo elevado al cuadrado, ¿vale?
00:27:00
Y sabemos que eso tiene que ser menor a n, que es el tamaño de la muestra.
00:27:08
¿Vale? Vamos a aplicar esta fórmula para un ejemplo.
00:27:19
Entonces, os dice, viene del ejemplo 1, ¿vale? Aunque lo llamamos 3, viene del ejemplo 1, ¿vale? De las estaturas de las chicas, con desviación típica, con un tamaño de muestra, en ese caso era de 64, con una media muestral de 166 y un nivel de confianza de 90.
00:27:21
En este ejemplo, se quiere estimar la media de la población con un error máximo de 1,5 y un nivel de confianza del 95%.
00:27:45
Dice cuál será el tamaño muestra que necesitamos determinar o a cuántas personas necesitamos entrevistar.
00:27:56
Entonces, tenemos que la fórmula Z alfa medios sigma partido de raíz de n tiene que ser menor a 1,5 centímetros, que es el error máximo.
00:28:04
Si despejo de aquí, me queda que Z alfa medios sigma partido de raíz de n, perdón, partido de 1,5 al cuadrado, tiene que ser menor que n.
00:28:21
¿Vale? Necesitamos sacar el Z alfa medios por la tabla con un nivel de confianza del 95%, ¿vale?
00:28:41
Ya lo tenéis que saber de memoria, si es 95%, ¿vale? El Z alfa medios tenemos que entrar por 0,95 más 0,05, luego hay que entrar por 0,97 y este valor mirando la tabla es 1,96, ¿vale?
00:28:51
Entonces, si sustituís aquí, es 1,96 por 9 partido de 1,5 al cuadrado, ¿vale?
00:29:11
Y eso tiene que ser menor que n, o n tiene que ser mayor que ese valor.
00:29:22
Si lo calculáis, os sale un tamaño de la muestra de 138,3.
00:29:26
Como no puedo poner 138, n tiene que ser mayor a 139 personas entrevistadas.
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Y aquí es el mismo ejemplo, el apartado B, pero con un error de un centímetro, esto ya lo hacéis vosotros, con un nivel de confianza del 80%, ¿vale? Y aquí está resuelto.
00:29:41
Y luego ya simplemente deciros que para mañana, este ya está hecho, ¿vale? Está hecho, el apartado B es para mañana, el 2 hasta el A y el B está hecho, ¿vale? Y el apartado C para mañana, el ejercicio 3 para mañana y el ejercicio 4 para mañana.
00:29:59
Bueno, con esto creo haber completado la clase de ayer.
00:30:27
Bueno, pues vuelvo a la reunión, cierro la reunión y con esto quedaría más o menos la clase que dimos ayer 14.
00:30:36
- Idioma/s:
- Autor/es:
- Yolanda de la Puente Pinero
- Subido por:
- Yolanda De La P.
- Licencia:
- Reconocimiento
- Visualizaciones:
- 17
- Fecha:
- 15 de enero de 2021 - 9:29
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES GOMEZ-MORENO
- Duración:
- 30′ 53″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 130.62 MBytes
