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Producto escalar de vectores-Teide-Tema 6-Apartado 4-4ESO-ACADEMICAS - Contenido educativo

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Subido el 11 de enero de 2022 por Pablo V.

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Teoría del producto escalar de vectores

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Bien, hoy vamos a comentar, vamos a continuar con el siguiente apartado del tema de geometría analítica, 00:00:01
que es el producto escalar de vectores. 00:00:08
En el apartado anterior hemos visto que es posible, o sea, que existe el producto de un escalar por un vector. 00:00:10
Y el producto de un escalar por un vector es un vector. 00:00:19
Sin embargo, ahora vamos a multiplicar dos vectores entre sí. 00:00:23
y que vamos a obtener un número, un escalar, ¿vale? Por eso se llama producto escalar de vectores. 00:00:26
Multiplicamos dos vectores entre sí y obtenemos un número. 00:00:34
Antes hemos visto que multiplicando un número, es decir, un escalar por un vector, obtenemos un vector. 00:00:38
Ahora multiplicamos dos vectores escalarmente entre sí y obtenemos un número. 00:00:47
Se llama producto escalar de vectores. Eso quiere decir que existe también el producto vectorial de dos vectores. 00:00:55
Pero eso no se estudia ahora, se estudia en bachillerato y en la universidad. 00:01:04
Ahora vamos a estudiar el producto escalar. 00:01:08
Esto se cubre en el apartado 4 del libro. 00:01:15
Dice, el producto escalar de dos vectores libres, no nulos, se denota u con un punto v, u puntito v, es un número real que se obtiene de la siguiente forma, el producto escalar de u por v, el producto escalar del vector u por el vector v, es igual al módulo de u por el módulo de v, por el coseno del ángulo que forman los vectores u y v. 00:01:19
Y el coseno del ángulo se representa así, como lo tenéis ahí. 00:01:49
Voy a escribir todo otra vez para que lo veáis mejor. 00:01:53
el producto escalar del vector u por el vector v y se utiliza un puntito, es igual al módulo del vector u por el módulo del vector v por el coseno del ángulo formado por los vectores u y v. 00:01:55
Y esto se representa así. Hay que escribir bastantes cosas, pero bueno, una vez que os acostumbréis, no es tan difícil, ¿vale? 00:02:23
Bien, ¿qué propiedades se deducen del producto escalar? 00:02:32
Pues el primero, muy evidente, que si yo multiplico escalarmente un vector por sí mismo, obtengo que el módulo de ese vector al cuadrado. 00:02:38
Es decir, si yo multiplico el vector u por sí mismo, de manera escalar, y yo aplico la definición, esto es igual al módulo de u por el módulo de u, de nuevo, por el coseno del ángulo que forma el vector u consigo mismo. 00:02:50
¿Y qué ángulo forma el vector u consigo mismo? 0. ¿Vale? u por módulo de u por el coseno de 0 grados. Perdón, coseno de 0. 00:03:15
¿Y cuánto vale el coseno de 0? 1, es decir, esto es igual al módulo de u al cuadrado por 1, porque el coseno de 0 vale 1, ¿de acuerdo? 00:03:34
Bien, la siguiente propiedad, si no veis lo del coseno, pues podéis ver que si yo tengo aquí un vector libre u y encima está el mismo, el coseno del ángulo que forman esos dos vectores es 0, ¿vale? 00:03:53
¿Qué pasa ahora si yo tengo dos vectores perpendiculares? Tengo el vector u y el vector v. Esto es el vector u y esto es el vector v y el ángulo que forman es recto. 00:04:14
Bien, pues aplicamos la definición. Producto escalar de u del vector u por el vector v, ¿cuál sería? El módulo de u por el módulo del vector v por el coseno del ángulo que forman, ¿vale? 00:04:29
En este caso hemos dicho que es 90. ¿Cuánto vale el coseno de 90? 0. Luego esto sería módulo de u por módulo de v por 0. Esto es igual a 0. 00:04:57
que es lo que queríamos demostrar, que el libro no lo demuestra, ¿vale? 00:05:15
Este símbolo de aquí, uy, perdón, este símbolo de aquí, ¿qué veis? 00:05:19
Es el de la perpendicularidad, es decir, siempre que tengamos nosotros dos vectores que son perpendiculares, 00:05:25
el producto escalar va a ser cero, y viceversa, por eso la implicación tiene doble sentido, 00:05:34
Es decir, si yo tengo que el producto de dos vectores es cero, eso me lleva de izquierda a derecha a que los vectores son perpendiculares. 00:05:41
Y ahora, de derecha a izquierda, si dos vectores son perpendiculares, eso implica que su producto escalar es cero, ¿vale? 00:05:52
Bien, otra propiedad. El producto escalar es conmutativo. 00:06:02
Es decir, el producto de u por v es lo mismo que v por u. Este no lo voy a demostrar porque es muy sencillo. 00:06:06
Otra propiedad, el producto escalar es asociativo respecto de la multiplicación por escalares. 00:06:14
Es decir, si yo tengo un escalar lambda, que es un número, que está multiplicando a un producto escalar de vectores, 00:06:20
yo puedo expresar eso de esta manera, asociando. 00:06:29
El producto, perdón, el escalar lambda, haciendo primero el producto del escalar lambda por el vector u y todo este vector lambda u multiplicándolo de manera escalar por v. 00:06:36
O, si quiero, puedo decir que este producto es el vector u por el vector lambda v, ¿vale? Es lo mismo. 00:06:49
Y también se cumple la propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma o resta de vectores. 00:07:01
Es decir, si tengo un vector u que está multiplicando a una suma o resta de vectores, eso es igual a u por v sub 1 más menos u por v sub 2. 00:07:08
Si queréis dibujo aquí las flechas típicas que solemos hacer cuando aplicamos la propiedad distributiva. 00:07:21
para que lo veáis más claro 00:07:31
bien 00:07:34
y ahora viene la propiedad 00:07:35
una de las propiedades que más vais a utilizar 00:07:38
trabajando con 00:07:40
vectores y haciendo el producto escalar 00:07:41
cuando los tenéis expresados en coordenadas 00:07:44
es decir, si yo tengo aquí 00:07:46
un vector 00:07:49
que tiene una coordenada 00:07:52
una rescisa a su 1 00:08:00
una coordenada, perdón 00:08:04
Y una coordenada B1 y tengo por otro lado un vector V que tiene unas coordenadas A2 y B2. 00:08:06
B2, B2, el producto escalar de U por V va a ser igual a qué? 00:08:24
Al producto, yo si expreso el vector de esta manera, por sus coordenadas, ¿vale? 00:08:38
y lo llamo a sub 1, b sub 1, por producto escalar a sub 2, b sub 2, eso va a ser igual a, aquí, me va a dar un número, ¿no? 00:08:47
El producto escalar de dos vectores no va a ser un vector, va a ser un número, eso es, a sub 1 por a sub 2, más b sub 1 por b sub 2. 00:09:03
Muy importante esta propiedad, la vais a usar muchísimo 00:09:16
Todo el producto de escalar de vectores es muy importante 00:09:20
Para los que vayáis a estudiar en la universidad 00:09:25
O que vayáis a ir a bachillerato 00:09:27
Se ve muchísimo, se utiliza muchísimo 00:09:30
Aquí nos pone una salvedad el libro 00:09:32
Porque dice que la propiedad que hemos enunciado 00:09:39
La de las coordenadas 00:09:42
Solo es válida en ciertas condiciones 00:09:43
En los próximos cursos estudiarás cuáles son esas condiciones con más detalle. 00:09:47
Pero bueno, ya os digo que cuando las coordenadas son cartesianas y los módulos de los vectores de la base son unitarios, 00:09:52
y las bases son ortonormales, se va a cumplir. Y en todo este curso ese va a ser nuestro caso. 00:10:00
Entonces, vamos a hacer el primer ejercicio, que es este que nos dan aquí resuelto. 00:10:06
lo voy a tapar, lo primero, para que no lo veáis 00:10:13
¿vale? vamos a ponerle el relleno a esto en blanco 00:10:16
y le vamos a quitar la transparencia 00:10:19
ahí lo tenemos, ¿vale? 00:10:23
bien, y entonces ahora vamos a trabajar nosotros sobre ello 00:10:28
luego descubriremos o comprobaremos que es lo mismo, ¿vale? 00:10:32
bien, entonces, voy a parar un momento porque tengo que hacer una cosa 00:10:36
Entonces, el ejercicio nos dice lo siguiente 00:10:42
Voy a bloquear esta capa y me voy a ir a la capa pizarra 00:10:52
Entonces, si yo escribo aquí, ¿qué va a pasar? 00:10:57
¿Me va a dejar o me va a mover el cuadro? 00:11:01
Vale, parece que me deja 00:11:03
Bien, dice, calcula el ángulo que forman los vectores u, menos 1, 4 y v, 2, menos 5 00:11:04
Bien, pues de momento nos sorprende un poco este ejercicio, no estamos acostumbrados 00:11:11
Pero vamos a ver que no es tan complicado, ¿vale? 00:11:17
Voy a ensanchar este cuadrado para tener más espacio 00:11:20
Bien, vale, pues nos pilla un poco de nuevas, no sabemos mucho cómo hacerlo 00:11:23
Pues aplicamos la definición, decimos, bueno, yo no sé mucho pero empiezo escribiendo lo que sé 00:11:35
La definición, es decir, el producto escalar de dos vectores y lo expreso u como v y aplico la definición. 00:11:40
Eso es el módulo de u por el módulo de v, ¿y por qué más era? Por el coseno del ángulo que forman los vectores u y v, ¿vale? Así. 00:11:49
Bien, por otro lado yo sé calcular el producto de dos vectores si conozco sus coordenadas cartesianas, ¿no? 00:12:05
Y entonces el producto de dos vectores, ahora, de estos dos vectores los sustituyo por sus coordenadas. 00:12:15
Esto es menos 1, 4, por 2, menos 5, y aplico la propiedad que me dice que el producto escalar de dos vectores 00:12:20
es la suma de los productos de sus primeras coordenadas, es decir, menos 1 por 4 más el producto de sus segundas coordenadas, 4 por menos 5. 00:12:30
¿Y eso cuánto es? Menos 1 por 4 es menos 4 menos 20. 4 por menos 5 es menos 20. Es decir, eso es menos 24. El producto escalar de esos dos vectores es menos 24. 00:12:49
No nos debemos sorprender de que nos dé un número negativo. Es posible. 00:13:07
Vale. Entonces, yo ya sé cuánto vale este producto escalar. 00:13:13
Y a mí me están pidiendo el ángulo. Bueno, yo de aquí voy a ver si puedo sacar el coseno. 00:13:21
Y luego expresaré, si consigo el coseno, podré expresar el ángulo, ¿no? 00:13:27
Pero para poder despejar el coseno necesito antes calcular el módulo de u y el módulo de v, porque esto ya lo sé, ya sé que vale menos 24, ¿vale? 00:13:33
Bien, pues calculamos el módulo de u. Módulo de u, ¿a qué es igual? ¿Cómo se calcula el módulo de un vector? Como la raíz cuadrada de la primera coordenada al cuadrado, que sería menos 1 al cuadrado, más la segunda coordenada al cuadrado. 00:13:43
Menos 1 al cuadrado más 4 al cuadrado 00:14:03
Y esto es igual a la raíz cuadrada de 1 más 16 00:14:06
Es decir, eso es igual a la raíz de 17 00:14:11
Ese es el módulo de u 00:14:15
Y el módulo de v, ¿cómo lo calculamos? 00:14:17
De la misma manera, la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado 00:14:19
Es decir, 2 al cuadrado más menos 5 al cuadrado 00:14:25
Es decir, eso es igual a la raíz cuadrada de 4 más 25 00:14:31
Y eso es igual a la raíz cuadrada de 29 00:14:37
¿Sí? 00:14:41
Bien, pues entonces ahora, si yo conozco el módulo de u, el módulo de v 00:14:43
Y el producto escalar, puedo calcular el coseno de u por v 00:14:48
Es decir, el coseno del ángulo que forman u y v 00:14:53
con este gorrito de ángulo 00:14:58
es igual a qué? 00:15:02
Dejo aquí el producto escalar 00:15:06
u por v 00:15:08
y en el denominador que voy a poner 00:15:12
el módulo de u 00:15:14
módulo de u 00:15:16
por el módulo de v. 00:15:17
¿Sí? 00:15:23
¿Cuánto vale el producto escalar de u por v? 00:15:25
Lo tengo aquí. Si no me he equivocado es menos 24. Ah, ya me he equivocado. Ya he visto una cosa que me he equivocado. ¿Vale? Esto es menos 1, 4 por 2 menos 5. Es decir, esto sería menos 1 por 2. Esto es un 2. Esto es un 2. 00:15:28
suprimir 00:15:48
¿vale? y entonces esto es 00:15:50
esto es un 2 00:15:54
menos 1 por 2 más 4 00:15:56
por menos 5 00:15:58
entonces menos 1 por 2 es 00:16:01
menos 2 00:16:02
¿no? como no os tengo ahí 00:16:03
para corregirme 00:16:11
cometo muchos errores 00:16:13
menos 2 00:16:14
vale, y ahora esto 00:16:17
es menos 22 00:16:19
esto es menos 22 00:16:22
bien, entonces esto sería 00:16:25
menos 22 00:16:28
partido por el módulo de u 00:16:31
que es raíz de 17 00:16:33
voy a repasar 00:16:35
rápidamente, menos 1 al cuadrado 00:16:37
más 4 al cuadrado 00:16:40
es 1 más 16 00:16:42
y 2 al cuadrado 00:16:43
y menos 5 al cuadrado es 4 más 25 00:16:45
creo que está bien 00:16:47
luego raíz de 25 por raíz de 00:16:48
29, ¿de acuerdo? 00:16:51
bien 00:16:56
un segundo 00:16:56
estaba comprobando si lo teníamos bien 00:17:00
y creo que sí, que lo llevamos bien 00:17:05
no quería avanzar sin tener que corregir más cosas 00:17:08
entonces ya esto lo podríamos hacer 00:17:10
todo con la calculadora 00:17:14
y nos daría, vamos a ver 00:17:15
cuánto nos daría, si no me equivoco 00:17:19
es menos 0,9908, menos 0,9908, ¿vale? Y ahora, si fuéramos con la calculadora, ¿vale? ¿Cómo 00:17:22
hallaría yo el ángulo? Es decir, yo conozco el coseno, pues el ángulo que forman u y 00:17:42
se expresa así, u,v, es decir, u,v con el gorrito, quiere decir, el ángulo que forman u y v es el arco, arco coseno de menos, bueno, lo voy a escribir, lo voy a escribir así, porque aquí no me cabe, control z, 00:17:48
a ver, es que ahora voy a mover el arco ese, vale, el marco, vale, esto es igual a el arco coseno de menos cero coma nueve nueve cero ocho. 00:18:13
Y eso si lo hacéis con la calculadora, con la tecla cos-1 o arcoseno-1, tal y como dice el libro, nos tiene que dar 172 grados, 172 grados, y luego 14 minutos, 14 minutos y 5 segundos, 5 segundos, ¿vale? 00:18:42
Lo voy a hacer yo con la calculadora, voy a parar un segundo para buscarla, sí, vamos a ver, ya lo tengo yo aquí hecho, ¿de acuerdo? Entonces, vamos a hacerlo desde este apartado de aquí, ¿vale? 00:19:07
Y os voy a decir cómo yo lo haría, se puede hacer de varias maneras con la calculadora, una de ellas es usar los paréntesis, ¿vale? Ponéis la tecla menos, ¿vale? No sé si se ve aquí bien, vamos a ver 00:19:24
No, no se me ve bien. 00:19:37
Le dais, depende de vuestra calculadora, pero en una de ellas podéis utilizar este menos que os viene con el paréntesis, ¿vale? 00:19:40
Entonces haríamos menos 22, luego dividido, abrimos paréntesis y hacemos raíz cuadrada de 17 multiplicado por raíz cuadrada de 29, cierro paréntesis. 00:19:46
Y eso me da menos 0,9908, ¿vale? 00:20:02
lo que nos estaba dando, lo que daba el libro, ese es el valor del coseno, es que no se ve muy bien, ese es el valor del coseno, así estaría, bien, ahora tengo que hallar el ángulo, 00:20:07
¿Qué es lo que hago? Ahora hago tecla shift y me voy a donde pone coseno, es decir, me aparece cos elevado a menos uno, que no quiere decir uno dividido entre el coseno, sino la función inversa del coseno. 00:20:24
En otras calculadoras más modernas os aparece directamente arc cos, ¿vale? Es decir, tú le das el valor del coseno y él te va a devolver el ángulo, ¿vale? 00:20:40
Y aquí, como nos está devolviendo un ángulo, tenéis que fijaros muy bien en cómo tenéis el modo de la calculadora. 00:20:52
Ahora, lo tenéis que tener en D, de degrees, de grados hexagesimales. 00:21:00
Si lo tenéis en R, la función os va a devolver el ángulo en radianes. 00:21:06
Tenéis que tener eso muy claro, ¿vale? 00:21:11
Fijaros en cómo tenéis la calculadora. 00:21:14
Yo la tengo en D y vosotros la tenéis que tener también en D. 00:21:16
Si no la tenéis en D, cambiad el modo tal y como ya os expliqué en clase, ¿vale? 00:21:19
Entonces, yo ahora hago shift, cos, y me aparece cos menos 1, cos menos 1, y le doy a la tecla ans, para utilizar el último resultado, y le doy a igual, y me aparece 172, no sé si se ve, 172, 2, 3, 4, 8, ¿vale? 00:21:25
¿Vale? Esos son los grados sexagesimales de forma incompleja y lo tengo que pasar a compleja. ¿Cómo se hace? Con la tecla de grados, minutos y segundos. Si le aprieto, me aparece 172,14,54. Voy a ver si encuentro una calculadora de estas de internet y os lo enseño, ¿vale? 00:21:47
Bueno, perdonad la interrupción, pero no he encontrado ninguna calculadora online similar a las que utilizamos, ¿vale? Hay que instalar el programa, casi no las tiene, pero bueno, yo como utilizo Linux, no tenían Mac para, o sea, solamente tienen para Windows y para Mac. 00:22:09
Pero bueno, con esto vale, más o menos. 00:22:28
Esta es la tecla, la que tenemos aquí, la que tendríais que utilizar es la de coseno, la función inversa al coseno, que es esta de aquí. 00:22:34
Y para activarla tenéis que dar primero al shift, ¿vale? Y sería shift coseno y luego teclearíais menos, con esta tecla de aquí, menos 0,9908 y os daría 172,14 y pico. 00:22:45
Y para pasarlo a forma incompleja tendríais que dar a esta tecla, que es la tecla de grados, minutos y segundos. 00:23:06
Entonces ya os aparecería 172, 14 minutos, 15 segundos. 00:23:14
Aquí os voy a resaltar también la tecla, el símbolo de los grados sexagesimales. 00:23:19
Que como veis, os aparecen, a ver, lo estoy poniendo, sí, lo voy a poner así, en ese estilo, en amarillo, que se ve mejor. 00:23:28
Es decir, este es el símbolo de los degrees, de los grados sexagesimales. 00:23:38
Porque cuando nosotros pedimos un arco coseno, nos va a devolver un ángulo, y ese ángulo va a estar en la unidad en la que tengáis el modo. 00:23:44
y para cambiar el modo recordad que tenéis que dar a esta tecla de aquí 00:23:53
dependiendo de la calculadora tendréis que dar a unas teclas u otras posteriormente 00:23:58
en esta en concreto que es la que os he puesto yo en la pantalla 00:24:08
que es mi calculadora, le dais a mode y le dais otra vez 00:24:12
y entonces os va a aparecer arriba DEG, RAD o GRAD 00:24:16
Para grado para decrease, que es el grado sexagésima, le dais a 1 y entonces ya os aparecería arriba el D. Hay que darle a mode dos veces. Mode, mode y ya os aparece 1, 2 y 3. Uno para decrease, otro para el 2 para radianes y el 3 para radianes. 00:24:21
Bueno, pues con esto vamos a terminar el apartado 4 de producto escalar y los ejercicios ya los iremos haciendo, ¿vale? 00:24:42
Yo creo que el ejercicio 10A es muy sencillo, ya lo podríais hacer. 00:24:54
El 10B sale también aplicando la definición, módulo de U por módulo de V por el coseno de 30. 00:25:01
y el 11 es un poco más complicado, el 12 también es más complicado, voy a hacer el 13 a modo de introducción, nos dicen determina x para que el vector v que es 2 más 3x y el segundo componente menos x sea perpendicular al vector u, ¿vale? 00:25:08
Pues este, ¿cómo se haría? Voy a cambiar el color, voy a volver otra vez al azul, entonces digo, u por v, u, producto escalar v, igual a 0, ¿no? Esto es lo que me están pidiendo a mí, ¿vale? 00:25:31
Pues entonces, ahora lo expreso, u es menos 4,5, producto escalar, 2 más 3x, menos x, igual a 0, ¿vale? Eso es lo que me están pidiendo, ¿vale? 00:25:49
Pues aplico la definición, o sea, la propiedad del producto escalar cuando conocemos las coordenadas. 00:26:08
Bien, pues el producto de este vector por este otro vector va a ser igual a una suma de los productos de los componentes. 00:26:15
La primera componente por la primera componente, la segunda componente por la segunda componente, 00:26:25
Es decir, menos 4 que multiplica, voy a escribirlo mejor, menos 4 que multiplica a 2 más 3x más la segunda componente del primer vector por la segunda componente del segundo vector y esto es igual a 0. 00:26:31
¿Vale? Bien. Entonces esto es menos 8, ¿no? Porque esto es menos 4 por 2, menos 8, y menos 4 por 3x, menos 12x. Es menos 8, menos 12x, y ahora más 5 por menos x. Es menos 5x igual a 0. 00:26:58
Muy bien. Y ahora esto, ¿cuánto será? Esto es menos 8 y menos 12x. Menos 5x es menos 17x igual a 0. Por lo tanto, esto nos queda, pasando el menos 17x al otro lado, que menos 8 es igual a qué? A 17x. 00:27:22
¿Vale? Por lo tanto, x es igual a menos 8 dividido entre 17. Y como no se puede simplificar, esa sería la solución, si no me he equivocado yo en nada. ¿Vale? Ese sería el ejercicio 13. 00:27:47
he hecho uno más para que practiquemos 00:28:05
pero ya grabaremos un vídeo más específico de problemas 00:28:09
y el 14 lo podéis hacer muy bien con lo que hemos visto 00:28:13
con el ejercicio del cálculo del ángulo que hemos visto 00:28:19
bueno, pues esto es todo por hoy 00:28:23
por el producto escalar 00:28:25
y ya otro día continuaremos con el siguiente apartado 00:28:26
que es la recta 00:28:30
pues nada más 00:28:31
por el momento 00:28:34
Hasta el próximo video. 00:28:37
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Autor/es:
Pablo Valbuena
Subido por:
Pablo V.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
49
Fecha:
11 de enero de 2022 - 21:18
Visibilidad:
Público
Centro:
CP INF-PRI-SEC ADOLFO SUÁREZ
Duración:
28′ 38″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
77.94 MBytes

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