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Ejercicio 3 Parcial 1 T2 2024 - Solución - Contenido educativo
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Ejercicio 3 Parcial 1 T2 2024 - Solución
Bueno, pues vamos con este tercer ejercicio, que son tres puntos, el 30% del examen, y
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que nos hablan de un cuadrado. Tenemos que construir un cuadrado en el que nos dan dos
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vértices consecutivos, que quiere decir que no están en la diagonal del cuadrado. Con
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lo cual, nos están pidiendo una serie de cosas, como el área y, bueno, que calculemos
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el resto. Entonces lo suyo es hacerse un dibujo, esto es fundamental, por favor, que nadie
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haga este ejercicio sin dibujo. Los ejercicios de geometría, si no los hacemos con dibujo,
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vamos a acabar muy mal. Entonces, nada, tenemos aquí el punto 3 y el punto 1, es decir, las
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ordenadas del punto 3-1, quiero decir, 3, 4, 5 y 6, esta sería la abscisa 6, y la ordenada
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menos 1, que estará por aquí, luego este es el punto A y este es el punto B. Empezamos
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por ahí. Y ahora, ¿qué nos piden? Pues que dibujemos el cuadrado. Esto es, vamos
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a tener un cuadrado de lados, del primer lado AB, y entonces lo primero que hay que darse
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en cuenta es que, como esto es el lado del cuadrado, pues los otros lados irán en las
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rectas perpendiculares. Pero, y aquí viene el que hay que tener cuidado siempre que tengamos
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un problema de geometría, tenemos que ver si hay más de una posible solución. Y en
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este caso, pues evidentemente, aquí sale un cuadrado y aquí sale otro cuadrado, luego
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hay dos soluciones y deberíamos de ser capaces de reconocerlo y de pintarlas y de calcularlas,
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no solo, es decir, tenemos el cuadrado azul y tenemos el cuadrado verde. Bueno, entonces,
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¿cómo calcular primero el área de cualquiera de ellos que son iguales? Y luego las coordenadas
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de los puntos y después nos piden calcular las ecuaciones de unas rectas. Venga, vamos
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con ello. En primer lugar, el área. Para calcular el área necesitamos la longitud
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del lado y recordad, la longitud del lado es el módulo del vector AB. El módulo del
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vector AB, primero que recordamos es el vector AB. El vector AB se puede calcular restando
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las coordenadas de B menos las de A, o a ojo, como veamos, la X pasa de 3 a 6, luego
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estamos hablando de que aumentamos 3, y la Y pasa de 1 a menos 1, quiere decir que restamos
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2, que disminuimos menos 2. Con lo cual, el módulo va a ser la raíz cuadrada de 9 más
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4, cuidado con el signo, va en positivo, raíz de 13. Esto va a ser unidades, es longitud
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la medida del lado. Por lo tanto, el área será lado al cuadrado, L por L, es decir,
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raíz de 13 por raíz de 13, raíz de 13 al cuadrado, esto es 13. Trece unidades cuadradas,
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que es lo que mide el área. Bien, vamos con el apartado B, en el que nos piden que
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calculemos las coordenadas de los puntos en cuestión, que son el C y el D. Vamos a nombrar
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como C y D a estos, y C' y D' a estos, porque serían las soluciones alternativas. Lo primero
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es darse cuenta de que el vector AC tiene el mismo módulo y es perpendicular al vector
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AB, entonces tenemos que buscar el vector AC. Para ello, sabemos que un vector perpendicular
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se obtiene cambiando el orden y cambiando un signo. Como este tiene pendiente positiva,
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pues simplemente cambiamos, el signo negativo pasa a positivo, damos la vuelta y tenemos
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el vector 23. Como vector, que daos cuenta que tiene el mismo módulo y es perpendicular,
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este sería el vector que yo acabo de calcular, el vector AC. Entonces, el otro, el opuesto,
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que lo voy a poner de verde, ya que estamos con el verde, vamos a diferenciar AC', sería
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el mismo pero opuesto, hacia abajo, es decir, menos 2 menos 3. Tiene el mismo módulo pero
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sentido opuesto. Y ahora ya nada más nos queda calcular los vértices. El vértice
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C va a ser, a partir del vértice A, sumar el vector AC y esto nos da, pues el punto
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A tenía coordenadas 3, 1, más las coordenadas del punto B, del vector AC, que son 2, 3,
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pues el vector nos quedaría 5, 4, es decir, el vector C, es decir, estas son las coordenadas
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del punto C. 5, 4. Daos cuenta que lo que estamos haciendo en el fondo es esta suma
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de vectores, o sea, C es igual a A más AC, que son las coordenadas del punto C, idem
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con las coordenadas del punto D, pero ahora para hallar las coordenadas del punto D tengo
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que, empezando en C, sumar CD. Y CD es lo mismo que AB, porque son paralelos, son equipolentes,
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vaya. Así que no tengo más que coger las coordenadas que me dieron antes, 5, 4, y sumarle
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las coordenadas del vector AB, que lo tengo por aquí, que es este de aquí, 3, menos 2,
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obteniendo las coordenadas del punto en cuestión, que son 8, 2.
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Y ese es mi punto D. Y ahora nos quedaría calcular las coordenadas de los puntos verdes,
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que sería la otra alternativa solución del problema. Bueno, y para calcular las otros
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dos puntos que nos quedarían, pues, del rectángulo verde, es hacer algo muy parecido, voy a escribirlo
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en verde para que quede distinto. Entonces, para calcular el punto C', lo calcularíamos
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a partir del punto A, sumando el vector AC', es decir, serían las coordenadas del punto
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3, 1, sumando el vector menos 2, menos 3, y el punto en cuestión sería el 1, menos
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2. Fijaos, 1, menos 2, encaja con lo que nos ha dado. Y calcularíamos el punto de
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prima de la misma forma, a partir del punto B, sumándole el vector B', que es el mismo
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exactamente, porque son paralelos, menos 2, menos 3. Y el punto B en cuestión, vamos
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a recordar que no lo tengo por aquí, el punto B era el 6, menos 1, bueno, está, 6,
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menos 1, más menos 2, menos 3, y se acabó. Tenemos calculado, por tanto, sería el 4,
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menos 4. Vamos a comprobar que encaja más o menos, el 4, menos 4, 4, menos 4, aproximadamente
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este punto es el 4, menos 4, correcto. Y tenemos calculado los vértices de este cuadrado,
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que es lo que nos pedían. Bueno, vamos con el apartado C, determina las ecuaciones paramétricas
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explícita y explícita de la recta AB, que son, vamos a pintarla de rojo, la recta AB,
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esta de aquí, y AC, pues que nos ha dado esta. Bueno, en función de cómo lo tengáis,
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si habéis llamado esto C, pues os tendría también que calcular, dependiendo de cómo
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lo tengáis, ya digo, pues tendríais que tener que calcular esa recta. Lo que vamos
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a calcular, os voy a dejar calculadas esta recta y estas dos, por si acaso, pues para
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que las tengáis y así comprobáis con lo que os ha dado, porque como el punto C y
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el D no está claro que sean ABCD o ABDC, pues bueno, calculamos todo. Para ello, consejo,
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vamos a escribir las coordenadas de los puntos, aquí, vamos con el apartado C, el punto
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A es el punto 3, 1, el punto B es el punto 6, menos 1 y el vector AB es el vector 3,
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menos 2. Y a partir de estas calculamos la recta que pasa por A y por B. Bueno, pues
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vamos a calcularla, nos la piden en forma paramétrica, pues paramétrica simplemente
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es escribir XI igual a punto, por ejemplo, nos vale el A o el B, vector multiplicado
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por T, pues esta sería la ecuación. Y para ecuación explícita, es decir, para ecuación
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de la forma Y igual a MX más N, pues podemos hacerlo de múltiples formas, por ejemplo,
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la M la calculamos dividiendo las coordenadas del vector, menos 2, 3, esa es la M, sustituyendo
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en un punto calcularemos la N. Y el punto, pues el 3, 1, 1 igual a menos 2 tercios por
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3 más N, y esto da menos 2, ¿qué pasa cómo? Más 2, así que esto es N igual a 3. Con
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lo cual la recta sería igual a menos 2 tercios de X más 3. Bueno, esto es la A, calculamos,
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esta es la recta que une A con B. Podemos calcular la recta que une A con C, pues de
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la siguiente forma. Vamos a coger el punto C en cuestión, el punto C lo tenemos por
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aquí, es el punto 5, 4, entonces vamos a escribir los puntos al lado. A, punto, es
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el punto 3, 1. C, era el punto, ya me he olvidado de él, 5, 4. Vector y vector AC, pues en
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realidad el vector y vector AC es el perpendicular, lo tenemos calculado, es el 2, 3, se puede
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calcular también restando 5, 3, 5 menos 3, 2, 4 menos 1, 3. Y a partir de aquí se
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hace todo exactamente lo mismo que hemos hecho aquí. Voy a hacerlo de otra forma para que
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veáis cómo se podría hacer de otra forma y decir, pues sacamos el punto posición más
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el vector y vector. Y ahora, para sacar la forma ecuación punto pendiente, lo que puedo
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hacer es despejar la T de ambas, T es igual a X menos 3 partido por 2 y la T de aquí
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es igual a Y menos 1 partido por 3. Y multiplicando en cruz, 3X menos 9 tiene que ser igual a
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2Y menos 2 y despejando la Y tendremos que Y es igual a 3X partido por 2 y el menos 2
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que pasa sumando, menos 9 más 2 es menos 7, entre 2 menos 7 medios. Ok. Esta sería
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la solución. Bueno, comprobado de otra forma es 3 medios, es perpendicular a menos 2 tercios,
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así que las rectas son perpendiculares como tienen que ser. Y únicamente deciros que
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puede ser que hayáis querido calcular en vez de esta recta, la recta que pasa por el
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vector 3,1, con el punto 3,1 quiero decir, y por el otro punto en función de cómo lo
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hayáis llamado. El otro punto era el 8,2, así que el vector director de esta recta
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sería el vector 5,1 restando coordenadas y por lo tanto la pendiente sería un quinto
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y tendríais que calcular la L también. Bueno, pues esto es todo. Enseguida vamos
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con los siguientes ejercicios. Hasta luego.
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- Autor/es:
- Manuel Romero Muro
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 26
- Fecha:
- 23 de enero de 2024 - 12:12
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 11′ 37″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 28.23 MBytes
