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Logaritmos. Definición y ejemplos - Contenido educativo

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Subido el 13 de noviembre de 2020 por Yolanda A.

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En este vídeo vamos a trabajar los logaritmos. Vamos con la definición. 00:00:03
El logaritmo en base a de p se escribe logaritmo en base a de p y significa el exponente al que tengo que elevar a para que me dé p. 00:00:11
Escrito de manera matemática sería de la siguiente manera 00:00:33
Diremos que el logaritmo en base a de P es igual a B 00:00:40
Si y solo si A elevado a B me da P 00:00:46
En el ejercicio 1 de la página 26 vimos numerosos ejemplos de aplicar esta definición. 00:00:55
Por ejemplo, de la página 30 del ejercicio 1. 00:01:16
¿Cuál es el exponente al que tengo que elevar 2 para que me dé 64? 00:01:27
Así a primera vista no tengo ni idea. 00:01:33
Desde luego 64 es par, pero quizá no todos tengamos claro que 64 es una potencia de 2. 00:01:36
Una de las estrategias que puedo usar para trabajar ejercicios de radicales y de logaritmos pasa por factorizar el radicando en el caso de un radical y el argumento en el caso de un logaritmo como nos ocupa. 00:01:46
Así que factorizo 64 y me queda, comprobadlo, que 64 es 2 a la sexta 00:02:04
No es casualidad, me lo están poniendo porque quieren que me cuadre 00:02:13
Porque la definición la voy a poder aplicar sin usar calculadora 00:02:17
Solamente cuando los argumentos sean potencias puras de la base 00:02:23
Así que llegados a este punto, volviendo a lo que significa, recordad, ¿a qué exponente tengo que elevar 2 para que me dé 2 a la sexta? 00:02:30
Pues obviamente el resultado es el exponente que vemos, lo estamos viendo, es 6. 00:02:53
Puesto de esta manera, yo podía no tener claro cuál era el exponente al que tenía que elevar 2 para que me diese 64. 00:03:01
Pero una vez que el 64 lo he puesto como una potencia de 2, no tengo dudas, es un 6. 00:03:09
Vamos a hacer otro a ver si aclaramos esto. 00:03:18
En el b, también muy muy sencillito, logaritmo en base 2 de 16, factorizo ese 16 y otra vez, no por nada, me queda que es un 2 a la cuarta. 00:03:20
Así que, otra vez, puedo leer directamente cuál es el exponente al que tengo que elevar 2 para que me dé 2 a la cuarta. 00:03:35
Pues es 4. 00:03:44
Vamos a complicarlo. 00:03:46
Mirad, en el C, a ver, que ponga esto así, en el C me ponen el logaritmo en base 2 de 1 partido por 4. 00:03:48
Bien, tengo una fracción y claro, yo quiero una potencia de 2 y esto no es una potencia de 2, 00:04:03
Pero dentro de esta fracción en el denominador veo una potencia de 2. 00:04:14
Ese 4 es una potencia de 2. 00:04:18
Pues lo pongo como una potencia de 2. 00:04:22
Y diréis, ya, Jolly, ¿pero y el 1? 00:04:25
Bueno, el 1 ya veremos. 00:04:27
Mirad, tengo una potencia de 2 en el denominador. 00:04:28
¿Cómo hago para que esa potencia de 2 suba al numerador? 00:04:32
Ya os acordáis, ¿verdad? 00:04:36
Resulta que eso puede ocurrir simplemente 00:04:39
al cambiar de posición la potencia 00:04:41
me cambia de signo el exponente 00:04:44
y ya lo tengo, ya lo tengo como lo quería 00:04:47
ya tengo un logaritmo en base 2 00:04:50
de una potencia en base 2 00:04:53
y leo directamente el exponente 00:04:55
porque recordad que el logaritmo es un exponente 00:04:58
¿de acuerdo? 00:05:03
vamos con el apartado 00:05:07
venga, con el de 00:05:08
el logaritmo en base 2 de la raíz cuadrada de 2 00:05:10
tengo que poner este radical como una potencia de 2 00:05:16
y es automático por definición 00:05:20
esto es 2 elevado a un medio 00:05:24
recordad el índice no se ve pero es un 2 00:05:26
y va a ir en el denominador de la fracción que está en el exponente 00:05:29
y una vez que lo tengo así 00:05:34
Está claro que el exponente al que tengo que elevar 2 para que me dé 2 elevado a 1 medio es 1 medio. 00:05:36
En el E, el logaritmo en base 3 de 243, no tengo ni idea. 00:05:47
Yo no sé cuál es el exponente al que tengo que elevar 3 para que me dé 243. 00:05:57
¿Qué tengo que hacer? Factorizar 243 y ver si tengo suerte 00:06:03
Y si tengo suerte, guay, y si no, pues ya me busco la vida 00:06:08
Pero voy a tener suerte porque este ejercicio me lo han puesto para que tenga suerte 00:06:12
Me va a quedar un 3 a la quinta 00:06:15
Y esto va a ser exactamente 5 00:06:18
Bien, ¿no? 00:06:21
Venga, vamos con otro 00:06:23
El F, el logaritmo en base 3 de 1 partido por 27 00:06:25
Si factorizo este denominador me va a quedar, que sorpresón, 1 partido de 3 al cubo 00:06:34
Que sorpresón, que la base del logaritmo sea la base de la potencia 00:06:44
Pues no, no es una sorpresa, me tenía que salir porque si quieren que aplique la definición 00:06:49
O cuadra directamente con la definición o a ver que hago 00:06:54
Así que paso esto a una potencia de 3 00:06:58
¿Cómo? Subiendo esta potencia que está en el denominador al numerador. 00:07:03
¿Cómo? Cambiando el signo al exponente. Cuidado. 00:07:07
Así que tengo que el resultado es menos 3. 00:07:12
Bien, ¿no? 00:07:16
Bueno, voy a borrar y voy a seguir, que hay unos cuantos que quiero que veáis. 00:07:19
Estamos en el G. 00:07:23
Y en el G tengo el logaritmo en base 3 de la raíz cúbica de 9. 00:07:25
¿Vale? Yo quiero poner esto como una potencia de 3. Lo primero es que tengo que coger este radicando y factorizarlo. 00:07:34
No voy a tener que hacer ni la rayita porque está claro que 9 es 3 al cuadrado. 00:07:43
Lo siguiente que tengo que hacer es coger este radical y colocarlo como de su forma potencial. 00:07:49
El exponente del radicando es el numerador de la fracción y el índice de la raíz es el denominador de la fracción 00:07:55
Y aplicando la definición, el exponente al que tengo que elevar 3 para que me dé 3 elevado a 2 tercios, vamos, que es 2 tercios 00:08:05
En el h, el logaritmo de 0,001, Adelaida diría, por notación científica 00:08:13
y es verdad, bueno, primero, lo primero de todo 00:08:26
aquí no hay nada, voy a cambiar el color, que este no me gusta 00:08:31
aquí no hay nada, y si no hay nada 00:08:35
¿cuál es la base? efectivamente, si no hay nada 00:08:41
la base es 10, ¿vale? así que 00:08:45
voy a escribirlo, a ver 00:08:49
en azul, ojo, si en la base 00:08:54
Esto es una flecha. No hay nada, entonces hay un 10. Vale. Y tenemos el logaritmo de, vamos a pasar este decimal a fracción. 00:09:03
¿Os acordáis? Como me lo hagáis mal en el examen veréis. Arriba el número sin coma. Es que luego os confundís en lo más fácil. 00:09:28
Arriba el número sin coma y abajo un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga. 00:09:36
Y efectivamente esto me va a quedar el logaritmo en base 10 de 1 partido de 10 al cubo. 00:09:45
Y como bien decía Adelaida, esto al final queda como el logaritmo de 10 elevado a menos 3. 00:09:52
Que saldría lo mismo si aplico notación científica 00:10:00
Si escribo esto en notación científica me va a quedar esto 00:10:05
Y así que el exponente es menos 3 00:10:08
¿De acuerdo? 00:10:12
Recordad, cuando tengo un número decimal 00:10:14
Voy a tener que pasarlo a fracción 00:10:19
Y a partir de ahí trabajo 00:10:24
el logaritmo 00:10:28
en base 00:10:31
5 de 0,2 00:10:34
lo primero 00:10:37
ya sé que no lo veis claro 00:10:40
ya sé que no lo veis claro 00:10:42
¿qué decís? ¿esto qué es? 00:10:44
sed un poco 00:10:47
básicos 00:10:47
hay un número decimal 00:10:49
quitad el número decimal 00:10:51
transformadlo en fracción y no vayáis más lejos 00:10:53
se os va a ir haciendo la luz 00:10:56
según vayáis avanzando 00:10:57
Pero no entréis en pánico y digáis, no sé hacerlo, faja, me voy. No. El número sin comas partido de un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga. 00:10:59
¿Esta fracción la puedo simplificar? 00:11:14
Sí, pues la simplifico. 00:11:17
Divido arriba por 2 y divido abajo por 2. 00:11:23
Y ya ha aparecido el 5. 00:11:26
Ya ha aparecido la potencia de 5 que tenía que acabar apareciendo. 00:11:28
Hay que tener un poquito de fe y pensar que no nos van a poner cosas que no sabemos hacer. 00:11:32
Este 5 para subirlo arriba le cambio el signo al exponente. 00:11:40
Y ya lo tengo. Este logaritmo, este exponente al que hay que elevar 5 para que me dé 5 elevado a menos 1 es menos 1. 00:11:45
Vamos, aquí dicho queda muy bien, pero ahora decirlo aquí. 00:11:54
El exponente al que tengo que elevar 5 para que me dé 0,2 es menos 1. 00:11:59
¿Qué? Ahí ya tiene más gracia, ¿verdad? 00:12:04
Vamos a hacer de la página 30 el 37 00:12:06
Que también habíamos hecho uno muy parecido 00:12:10
Que es calcular la base 00:12:15
Me piden que halle la base 00:12:19
Tengo el logaritmo en base B 00:12:23
De 10.000 igual a 00:12:29
Uy, he puesto un menos y no hay menos 00:12:35
Es un 2 00:12:37
Me están preguntando 00:12:40
¿A quién tengo que elevar al cuadrado para que me dé 10.000? 00:12:47
Vamos a aplicar la definición. 00:12:55
b al cuadrado igual a 10.000. 00:13:01
¿Cómo hago para despejar b? 00:13:05
¿Qué es lo contrario de elevar al cuadrado? 00:13:07
Hacer raíces cuadradas. 00:13:10
Así que si yo hago raíz cuadrada en los dos lados, 00:13:13
mi balanza no cambia, o sea, es legal matemáticamente hablando 00:13:18
la raíz cuadrada de b al cuadrado es más menos b 00:13:23
pero como estoy con logaritmos 00:13:29
las bases tienen que ser positivas 00:13:32
así que de las dos soluciones me quedo la positiva 00:13:34
y la raíz de 10.000 es 00:13:37
que podéis usar la calculadora o podéis factorizar 00:13:42
Esto es la raíz de 10 a la cuarta, que ya sabéis que las potencias de 10 son muy fáciles, así que b será 10 elevado a 4 medios, os lo estoy desmigando, la base es 100, ¿lo veis? 00:13:47
Entonces vamos con el, extrae el a, vamos con el b. 00:14:09
Logaritmo en base b de 125 igual a 3. 00:14:28
Así que lo que tengo que hacer es, no sé quién, b elevado al cubo tiene que ser 125. 00:14:35
Factorizo y me queda que b al cubo es 5 al cubo. 00:14:44
Esto solo ocurre, el resultado de dos potencias es igual, con sus exponentes iguales, sí, solo sí, coinciden las bases. 00:14:54
¿Vale? 00:15:08
Para que el resultado de dos potencias de igual exponente coincida, es obligatorio que las bases coincidan. 00:15:09
¿De acuerdo? 00:15:21
El exponente es par, las bases pueden ser iguales u opuestas la una de la otra. 00:15:22
Pero, como estamos con logaritmos, las bases siempre son positivas. 00:15:28
Y los argumentos también, claro, como consecuencia directa. 00:15:34
Los exponentes ya, eso toca andar. 00:15:40
El logaritmo en base b de un cuarto es igual a menos uno. 00:15:42
Eso pasa, sí y solo sí. 00:15:59
b elevado a menos uno es igual a un cuarto 00:16:02
lo tenemos hecho, ¿por qué? 00:16:08
porque un cuarto es cuatro elevado a menos uno 00:16:11
tenedlo muy presente por favor 00:16:14
esto de que los denominadores suben al numerador cambiando el signo del exponente 00:16:15
y esto ocurre, si y solo si 00:16:21
b es igual a cuatro 00:16:24
en el d tendremos 00:16:27
A ver, el logaritmo en base b de 2 raíz de 2 es igual a 1 medio. 00:16:34
Este os encanta, ¿eh? 00:16:50
Ya habéis visto, el 2 raíz de 2 ya habéis brotado. 00:16:53
Esto quiere decir que b elevado a 1 medio es igual a 2 raíz de 2. 00:17:02
Y diréis, pero ¿qué me estás contando, por favor? 00:17:07
Pero evidentemente este 1 medio es la raíz de B es igual a 2 raíz de 2. 00:17:10
Pero esto no es igual que esto. ¿Por qué? 00:17:17
Porque aquí todo B está dentro de la raíz y aquí hay un 2 fuera. 00:17:20
¿Y ahora yo qué hago? 00:17:24
A mí me encantaría que todo lo que hay aquí estuviese dentro de una raíz cuadrada. 00:17:26
Si yo tuviese, yo qué sé, si yo tuviese esto, un ejemplo, 00:17:31
que la raíz de B es igual a la raíz cuadrada de 17 00:17:37
estaría, porque yo diría, pues eso pasa porque B es igual a 17 00:17:45
pero no es este caso, porque aquí tengo un 2 fuera 00:17:49
¿qué hago? 00:17:52
porque además yo nunca he visto esto 00:17:54
no, no lo hemos visto nunca 00:17:56
nosotros lo que hemos hecho ha sido siempre lo contrario 00:17:58
siempre hemos sacado factores 00:18:00
y sin embargo ahora tengo que meter factor 00:18:02
Tengo que hacer que se ve entre, perdón, que este 2 entre. 00:18:07
Fijaos, para salir los exponentes los dividíamos entre el índice. 00:18:12
¿Os acordáis? Pues para entrar los exponentes los multiplicamos por el índice. 00:18:17
Este 2 es este 2 y para entrar se tiene que calzar un cuadrado. 00:18:25
¿Seguro? Seguro, mirad, ahora este 2 al cuadrado sale 00:18:31
¿Y cómo sale? Como un 2, exactamente lo que había 00:18:36
Bueno, pues voy a operar aquí y me va a quedar la raíz de 2 al cubo que es la raíz de 8 00:18:39
Así que chicos, ¿quién es B? 00:18:46
Obviamente B es 8 00:18:48
Voy a borrar el eje, ¿vale? 00:18:54
Y voy a darle a este un color especial 00:19:01
Y quiero que veáis que este 2 es este 2, que lo he tenido que elevar al cuadrado, porque si no, no me salía. 00:19:04
¿Vale? 00:19:18
Lo que hemos hecho ha sido introducir factores dentro de la raíz. 00:19:20
Introduzco el 2 dentro de la raíz. 00:19:32
¿De acuerdo? 00:19:42
Bien, este ejercicio está. 00:19:43
Vamos a hacer el ejercicio 38. Calcula aplicando la definición de logaritmo. 00:19:45
Logaritmo en base 4 de 16 al cubo más logaritmo en base 4 de 2 00:20:03
Más el logaritmo en base 10 de 0, 3 ceros y un 1, una milésima 00:20:11
Perdón, una diezmilésima 00:20:20
Más el logaritmo en base 10 de la raíz cúbica de 10 partido de 100 00:20:23
Vamos a ver 00:20:31
Base 4, quiero poner este 16 como base 4 00:20:33
No voy a aplicar propiedades, ya sé que estáis deseando tirar este 3 00:20:37
No lo vamos a hacer así, vamos a hacer lo que nos dicen 00:20:41
Vamos a aplicar propiedades 00:20:43
16, 16 es 4 al cuadrado 00:20:46
El 16 está elevado al cubo y yo elevo al cubo 00:20:54
Este 16, así 00:20:59
está elevado al cubo y yo el 4 al cuadrado lo elevo al cubo, ¿vale? 00:21:03
Más, ¿vale? Y diréis, muy bien, Yoli, y ahora este raíz, este 2, como... 00:21:10
¡Ay, ya lo me he adelantado! Este 2, ¿cómo lo pongo? Como potencia de 4. 00:21:16
Bueno, este 2, obviamente, lo puedo poner, y aquí es imaginación al poder, 00:21:22
la raíz de 4. ¿A que sí? 00:21:27
Esto se te tiene que ocurrir. Aquí, esto es fácil 00:21:32
porque tengo que pasarlo a fracción. 00:21:36
3 y 4. Y esto 00:21:41
es toda potencia. Esto es 10 elevado 00:21:44
a un tercio y esto es 10 elevado al cuadrado. 00:21:48
Venga, esto es el 00:21:54
logaritmo en base 4 de 4 elevado a 6, hay que multiplicar exponentes, esto es el logaritmo 00:21:56
de 4 elevado a 4, esto es el logaritmo en base 4 de 4 elevado a 1 medio, esto es el 00:22:03
logaritmo de 1 partido de 10 a la cuarta y este es el logaritmo en base 10 de 10 elevado 00:22:11
a un tercio menos dos. Esto será, ¿a qué exponente hay que elevar cuatro para que me 00:22:18
dé cuatro a la sexta? Pues a seis. ¿A qué exponente hay que elevar cuatro para que me 00:22:28
dé cuatro elevado a un medio? Pues un medio. Aquí todavía tengo que hacer una transformación 00:22:33
Y aquí tengo que resolver una cuenta. 00:22:40
Un tercio menos dos, fijaos, será un tercio menos, aquí pongo un tres, tres entre uno a tres por dos, seis. 00:22:44
Y esto será menos cinco tercios. 00:22:57
Así que esto será seis más un medio, menos cuatro, menos cinco tercios. 00:23:06
Así que tendremos, de común denominador, el seis. 00:23:14
bueno voy a hacer el 6 menos 4 00:23:17
así me queda el número 00:23:18
como un denominador el 6 00:23:20
esto será un 12, esto será un 3 00:23:28
y esto será un 10 00:23:36
y me va a quedar 15 menos 10 00:23:37
sextos 00:23:42
Autor/es:
Yolanda A.
Subido por:
Yolanda A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
29
Fecha:
13 de noviembre de 2020 - 18:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MATEO ALEMAN
Duración:
23′ 56″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
134.63 MBytes

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