Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.
Problemas con sistemas de ecuaciones - Contenido educativo
Ajuste de pantallaEl ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:
Tres ejemplos de problemas resueltos mediante sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas.
Vamos a estudiar ahora cómo se resuelven los problemas con sistemas de ecuaciones.
00:00:00
Comenzamos con un problema sencillo de números en el cual el enunciado nos dice que la suma
00:00:12
de dos números es 91 y si se le suma 13 a uno de ellos se obtiene el otro. ¿De qué
00:00:19
número se trata? Una vez leído el enunciado lo primero que tenemos que hacer es reconocer
00:00:24
los datos conocidos y las incógnitas. En este caso tenemos dos incógnitas que son
00:00:37
dos números diferentes. Voy a llamar al primer número X y al segundo número Y. Lo hemos
00:00:44
denotado con letras diferentes porque los dos números no tienen por qué ser iguales.
00:01:01
Una vez escritas las incógnitas volvemos a leer el problema y escribimos el sistema
00:01:08
La suma de dos números es 91 así que X más Y tiene que dar 91. Si continuamos leyendo
00:01:14
observamos que nos dice que si se le suma 13 a uno de ellos se obtiene el otro número.
00:01:24
Es decir, Y tiene que ser igual a X más 13. Estas dos ecuaciones con dos incógnitas forman
00:01:30
el sistema que pasamos a resolver a continuación. El método que voy a utilizar es el de sustitución
00:01:41
dado que tenemos despejada la incógnita Y en la segunda ecuación. Escribimos la primera
00:01:51
ecuación sustituyendo la Y por la expresión algebraica dada en la segunda ecuación, es
00:01:58
decir, la Y es X más 13. Por lo tanto, X más X más 13 nos tiene que dar 91. Simplificando
00:02:05
la ecuación nos queda 2X más 13 es igual a 91. Es decir, 2X es igual a 91 menos 13.
00:02:17
Despejando la X nos queda 78 entre 2 que da como resultado 39. No olvidemos calcular
00:02:25
el valor de la otra incógnita, es decir, Y a través de la expresión X más 13. Así
00:02:36
nos queda que la Y es 39 más 13 dando como resultado 52. Finalmente escribimos la solución,
00:02:49
es decir, los números buscados son 39 y 52 y pasamos a realizar la comprobación para
00:03:01
ver que el problema está resuelto correctamente. La suma de los dos números, 39 más 52, nos
00:03:08
da 91, que era la primera condición del problema, y además podemos observar que el segundo número,
00:03:15
es decir, en este caso 52, es 39 más 13. Como segundo ejemplo vamos a estudiar el
00:03:22
siguiente problema. La base de un rectángulo mide 8 metros más que su altura y el perímetro
00:03:31
mide 76 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Dado que en el problema aparece
00:03:37
un elemento geométrico, comenzamos realizando un dibujo. En este caso el dibujo es de un rectángulo.
00:03:44
Sobre él voy a escribir las incógnitas del problema, que son las dimensiones, es decir,
00:03:57
el largo y el ancho. Llamamos X al largo del rectángulo e Y al ancho. Leyendo de nuevo el
00:04:02
enunciado del problema vemos que la base tiene que medir 8 metros más que su altura. Eso lo
00:04:12
podemos escribir como X es igual a Y más 8 y tenemos de esta forma la primera ecuación del
00:04:18
sistema. Para escribir la segunda ecuación tenemos como información que el perímetro mide 76 metros.
00:04:26
Recordar que el perímetro es la suma de todos los lados, así X más Y más X más Y tiene que dar 76.
00:04:36
Estas dos ecuaciones forman el sistema que procedemos a resolver.
00:04:51
Vamos a simplificar la segunda ecuación sumando los términos semejantes. Fijaros
00:04:57
que X más X nos da 2X y luego tenemos por otro lado Y más una Y que nos quedan 2Y igual a 76.
00:05:05
Una vez que hemos simplificado el sistema vamos a proceder a resolverlo, en este caso
00:05:22
por el método de sustitución, puesto que tenemos despejada la incógnita X en la primera ecuación.
00:05:30
Comenzamos escribiendo la segunda ecuación 2 por el valor de la X. El valor de la X es Y más 8,
00:05:40
así que escribimos entre paréntesis 2 por Y más 8 y continuamos escribiendo más 2Y igual a 76.
00:05:50
Para resolver la ecuación con paréntesis se multiplica el 2 por la Y y el 2 por el 8,
00:05:59
es decir, 2Y más 16 más 2Y es igual a 76.
00:06:06
Sumando los términos semejantes tenemos 2Y más 2Y son 4Y más 16 igual a 76, es decir,
00:06:17
4Y es igual a 76 menos 16 dando como resultado 60. Entonces Y es igual a 60 dividido entre 4 que es igual a 15.
00:06:30
Hallamos el valor de la X con la expresión X igual a Y más 8, es decir, X es 15 más 8 dando como resultado 23.
00:06:49
Escribimos la solución del problema respondiendo a la pregunta de las dimensiones del rectángulo.
00:07:06
La base mide 23 metros y la altura mide 15 metros. Comprobamos que el problema está correcto dado que la base de 23 metros tiene que medir 8 metros más que la altura, es decir, 23 es igual a 15 más 8, lo cual está correcto.
00:07:21
Y la segunda frase o segunda condición del problema nos dice que el perímetro tiene que ser de 76 metros, es decir, si sumamos 23 más 15 más 23 más 15 nos da 76. Así hemos comprobado que tenemos correctamente resuelto el problema.
00:07:51
Como tercer ejemplo vamos a estudiar un problema de edades. Lo vamos a resolver aplicando un sistema de ecuaciones. El problema nos dice lo siguiente. La diferencia entre la edad de una madre y la de su hijo es de 24 años. Hace 10 años la edad de la madre era el quíntuplo de la del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
00:08:22
Como se trata de un problema de edades comenzamos dibujando una tabla donde vamos a escribir los datos. En la tabla hemos escrito en las filas a los participantes del problema, es decir, a la madre y a su hijo, y en las columnas a los estados temporales a los cuales hace referencia el enunciado, hace 10 años y el presente.
00:08:45
Procedemos a rellenar la tabla con las incógnitas en el presente. Voy a llamar X a la edad del hijo e Y a la edad de la madre. De esta forma la expresión algebraica correspondiente a la edad del hijo hace 10 años será X menos 10.
00:09:10
Y la edad correspondiente de la madre hace 10 años será Y menos 10.
00:09:35
Leemos de nuevo el enunciado para escribir las ecuaciones del sistema.
00:09:42
La diferencia entre la edad de la madre y su hijo es de 24 años. Esta frase se refiere al presente, por lo tanto, utilizando las expresiones del presente tenemos que Y menos X nos tiene que dar 24.
00:09:49
La segunda frase comienza con hace 10 años, es decir, utilizamos los datos de la columna de hace 10 años y así escribimos que la edad de la madre, es decir, Y menos 10, era, lo cual lo traducimos con el símbolo del igual, el quintuplo.
00:10:05
El quintuplo significa por 5.
00:10:31
Y ahora escribimos la edad del hijo. La edad del hijo hace 10 años, fijaros que en la tabla es la expresión X menos 10. El 5 multiplica a este binomio y por ello hay que escribirlo entre paréntesis.
00:10:36
Estas dos ecuaciones forman el sistema y antes de resolverlo por cualquier método algebraico voy a simplificarlo. Escribiré la primera ecuación como estaba, Y menos X igual a 24 y en la segunda voy a quitar el paréntesis multiplicando por 5 a la X y del 5 al menos 10.
00:10:50
Escribo la primera ecuación ordenada con primero el término de X menos X más Y igual a 24 y voy a ordenar también la segunda ecuación pasando los términos 5X a la izquierda, fijaros que pasa restando por eso me queda menos 5X más Y igual a menos 50 más el 10.
00:11:14
Fijaros que el término menos 10 pasa a la derecha con el signo contrario, por eso nos queda menos 50 más 10.
00:11:42
Una vez simplificado el sistema lo voy a resolver por el método de sustitución despejando la Y en la primera ecuación nos queda 24 más X y si sustituimos en la segunda ecuación tenemos menos 5 por X más 24 más X que vale la Y tiene que dar menos 40.
00:11:51
Simplificando los términos semejantes menos 5X más X nos queda menos 4X más 24 tiene que dar menos 40, es decir menos 4X es igual a menos 40 menos 24, fijaros que ha pasado a la derecha con el signo contrario.
00:12:15
Menos 4X es igual a menos 64 y para despejar el valor de la X recordar que el número que multiplica la incógnita pasa dividiendo con el mismo signo, esto nos queda menos 64 entre menos 4 queda menos entre menos más y 64 entre 4 es 16.
00:12:34
Hallamos ahora el valor de la Y que lo tenemos en la expresión algebraica aquí arriba, Y es igual a 24 más X, es decir como X nos ha dado 16 tendremos que Y es 24 más 16 dando como resultado 40.
00:12:55
Escribimos ahora la solución que es la respuesta a la edad actual de cada uno, el hijo tiene 16 años y la madre tiene 40 años.
00:13:14
Realizamos ahora la comprobación, efectivamente si a 16 le sumamos 24 nos da 40 que es la edad de la madre, por lo cual se cumple la primera condición del enunciado.
00:13:36
Y hace 10 años podemos ver que el hijo tendría 6 años y la madre 30, efectivamente 30 es 5 veces la edad del hijo, es decir 5X6, por lo tanto sabemos que tenemos resuelto correctamente nuestro problema.
00:13:51
- Autor/es:
- Miguel Gras Gigosos
- Subido por:
- Miguel G.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 17
- Fecha:
- 29 de enero de 2024 - 9:06
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CEPAPUB SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES
- Duración:
- 14′ 18″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 960x540 píxeles
- Tamaño:
- 59.00 MBytes
