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AR1. 2.4 Conjuntos numéricos. Operaciones con conjuntos - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos conjuntos
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de números y operaciones con ellos. En esta videoclase vamos a definir y vamos a ver cómo
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se representan distintos conjuntos de números reales que van a ser realmente importantes
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puesto que nos van a aparecer continuamente en los siguientes bloques.
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Estoy pensando, por ejemplo, en la forma en la que se van a representar las soluciones de las ecuaciones
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o la forma en la que se van a representar las soluciones de las inequaciones,
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o bien los sistemas de ecuaciones o los sistemas de inequaciones.
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Estos, a su vez, van a ser importantes a la hora de hablar del dominio de funciones
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o bien de aspectos relevantes de las funciones.
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Como veis, estoy hablando del bloque de álgebra y estoy hablando del bloque de funciones.
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Esto va a ser, insisto, realmente importante.
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Vamos a comenzar con conjuntos discretos que van a estar formados por un conjunto finito de números reales,
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como vemos aquí, por ejemplo, este conjunto ABC, tres números reales y ya,
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o bien un conjunto infinito numerable.
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Aquí tenemos un x1, un x2, un x3, etc.
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Y estos puntos suspensivos nos van a indicar una cantidad infinita de números.
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O bien aquí tenemos puntos suspensivos por delante, puntos suspensivos por detrás
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y una muestra de unos ciertos conjuntos.
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Un ejemplo de conjunto finito podría ser el conjunto formado por el número 2 y el número 5, sin más.
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Un ejemplo de conjunto infinito numerable de este estilo podría ser, por ejemplo,
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el conjunto formado por los números 2, 4, 6, 8 puntos suspensivos.
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Aquí vemos que tenemos los números pares positivos.
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O bien podríamos pensar en el conjunto formado por puntos suspensivos, menos 5, menos 3, menos 1, 1, 3, 5 y en ese caso, puntos suspensivos por cierto,
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en ese caso lo que tengo es el conjunto de los números impares, de los números enteros impares.
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Tenemos los números negativos, tenemos los números positivos.
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A la hora de representar los conjuntos discretos lo que vamos a hacer es representar la recta real, la recta numérica y lo que vamos a hacer es utilizar las técnicas que había comentado en la videoclase 2.1 hablando de la representación en la recta numérica para ello.
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Podemos, por ejemplo, tomar aquí el número a y representarlo donde queramos y utilizarlo como referencia.
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Tomar el número b, que en este caso va a ser mayor que el número a, y representarlo donde queramos a la derecha del número a.
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Y a partir de ahí ya tenemos una unidad de medida, tenemos la distancia definida entre el numerito a y el numerito b,
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tomando b menos a y el valor absoluto, en este caso si b es mayor que a, b menos a ya va a ser un número positivo,
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y buscar cuál es la posición que le correspondería al número C,
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utilizando A como referencia y utilizando la unidad de longitud,
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la distancia que separa B y A.
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Por ejemplo, o otra posibilidad sería, independientemente de los valores A, B y C,
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representar el número 0 como origen, donde queramos,
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representar el número 1 a su derecha como escala,
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a partir de ahí tendremos el número 2, 3, 4, 5 a igual separación,
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hacia la derecha del número 1 y hacia la izquierda del 0 tendríamos menos 1 menos 2 menos 3 y ahora que tenemos esa especie de regla por así decirlo
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donde tenemos marcados los números enteros podemos buscar dónde pintar el número A, el número B y el número C
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utilizando esa escala graduada, esa especie de regla y sobre ella pintar estos números.
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Utilizando cualquiera de estas dos técnicas podríamos representar el conjunto infinito numerable, viene el primero, viene el segundo
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Y lo que se suele hacer habitualmente para indicar que hay más números aparte de estos que yo he podido pintar en esta representación finita,
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puesto que no puedo pintar infinitos números en la recta real, habitualmente se indican estos puntos suspensivos que se van a corresponder con estos.
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Aparte de conjuntos discretos, también van a ser relevantes conjuntos que se denominan intervalos.
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Son números reales comprendidos entre dos, un límite inferior y un límite superior, o bien un límite a la izquierda, un límite a la derecha, tal y como estamos representando los números dentro de la recta real.
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Tenemos intervalos abiertos que están formados por todos los números comprendidos entre dos valores, un límite inferior y un límite superior, pero sin incluirlos.
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Aquí vemos números X mayores que A, mayor estricto, menores que B, menor estricto. Se representan de esta manera, número A, número B, con un círculo abierto indicando que no se toma el número A, el número A y el número B.
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en este caso, no están incluidos en el conjunto y se marca, de alguna manera, todos los números comprendidos entre A y B.
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En este caso he elegido el color y se ve claramente como el número A no está incluido, círculo abierto, el número B no está incluido
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y se ve que me estoy refiriendo a todos estos números que hay aquí, puesto que estoy utilizando un símbolo distinto, en este caso un color distinto.
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Cuando sí se toman los extremos del intervalo, lo que tenemos es un intervalo cerrado.
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Aquí vemos las desigualdades, que ya no son estrictas.
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Vamos a coger x mayores o iguales que a, menores o iguales que b.
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Y esto se va a representar de la misma manera, pero para indicar que a y b, si fue conjunto, lo que se utilizan son puntos rellenos.
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Fijaos que en el caso de un extremo abierto se ponen paréntesis, en el extremo de un intervalo cerrado se ponen corchetes.
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Así que un intervalo de esta manera con paréntesis es abierto, así con corchetes es cerrado.
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¿Qué ocurre si tenemos un intervalo semiabierto o semicerrado con un extremo abierto y un extremo cerrado?
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Pues que nos encontraremos en un extremo un paréntesis y en el otro extremo un corchete.
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Donde tengamos el corchete, el intervalo está cerrado y ese extremo sí está incluido en el intervalo.
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Donde tengamos un paréntesis, en ese extremo el intervalo está abierto y ese elemento no forma parte del conjunto.
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En forma de desigualdades, pues en el caso del paréntesis tendremos la desigualdad estricta, como veis aquí y aquí.
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En el caso del corchete la tendremos no estricta, como veis aquí y aquí.
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Con el paréntesis tendremos en la representación gráfica un punto abierto,
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con el corchete tendremos un punto cerrado.
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Además de intervalos, utilizaremos en ciertos contextos semirrectas.
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Podemos pensar en que una semirrecta se corresponde con un intervalo
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en el que uno de los extremos va a más infinito o bien a menos infinito.
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Aquí tenemos una semirrecta, por ejemplo, abierta a la derecha.
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Comienza en menos infinito, son todos los números reales comenzando por menos infinito,
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o sea, tan a la izquierda como yo quiera, tan pequeños como yo quiera,
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hasta llegar al valor a, que es el extremo derecho.
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Y en este caso decimos que es una semirrecta abierta, abierta a la derecha,
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porque a la derecha tenemos un límite con un paréntesis.
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En este caso, desde menos infinito hasta abierto, son todos los números reales menores estrictos que a.
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y se van a representar de esta manera, A como un punto abierto, puesto que en ese extremo la semirrecta está abierta,
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y son todos los números menores que A.
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El representar aquí esta cabeza de flecha es algo que no es estándar, es una mera cuestión estética,
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una forma de que quede bien claro que nos estamos extendiendo a la izquierda tanto como queramos, tanto como podamos,
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eso es lo que representa este menos infinito, es utilizar una flecha.
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Aquí tenemos una semirrecta abierta a la derecha.
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Podemos tener una semirrecta abierta a la izquierda, con el límite izquierdo que sea abierto y hacia la derecha alcanzando más infinito, números tan grandes como queramos, tan grandes como podamos. Eso es lo que representaría este más infinito.
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Al igual que tenemos semirrectas abiertas, podemos tener semirrectas cerradas, en las que el extremo sí se incluye. Y en ese caso no utilizaremos paréntesis, sino que utilizaremos corchetes en ese extremo, en este caso A, que representa el límite de la semirrecta.
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Y aquí tenemos un punto cerrado para indicar que tenemos todos los números menores o iguales que a y aquí, por ejemplo, todos los números mayores o iguales que a.
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Un concepto que también vamos a utilizar es el de entorno.
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Se define el entorno con centro en un número real a y con radio r positivo.
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Se va a denotar de esta manera entorno con centro a y radio r como el conjunto de todos los números reales cuya distancia con respecto del centro a es menor que r.
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menor estricto. Así pues, lo que vamos a tener es, en el fondo, un intervalo abierto. En el centro,
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lo que vamos a tener es el número a, nos vamos a mover hacia la izquierda una distancia igual a r,
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hacia la derecha una distancia mayor a, perdón, igual a r, de tal forma que vamos a llegar hasta
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el número a menos r y por la derecha hasta el número a más r. Estos dos números no van a estar
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incluidos porque la distancia con respecto de a es idénticamente igual a r y nosotros tenemos
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números cuya distancia sea menor que r. Así pues, tenemos el intervalo abierto con este extremo en
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a menos r y este otro extremo en a más r. Se define el entorno reducido como un entorno del cual hemos
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excluido el centro, al cual hemos eliminado el centro. Se va a representar de esta manera, e de
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entorno y esta asteris como habla de entorno reducido, con centro a y radio r, el conjunto de
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todos los números reales cuya distancia a el centro que es a es estrictamente mayor que cero
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para excluir el número a y menor que r y como veis se corresponde con lo anterior. En este caso no
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tenemos un único intervalo sino que tenemos dos, la unión de dos. Vamos a las operaciones dentro de
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un momento. Sería el intervalo que va desde a menos r hasta a abierto junto con el intervalo
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que va desde A hasta A más R. Podemos pensar en la unión de estos dos intervalos abiertos o podemos
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pensar en este intervalo del que hemos excluido el centro que sería el punto A. Esa es la forma en la
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que a partir de la definición se define el entorno reducido. Nosotros utilizaremos tanto los conjuntos
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discretos como los intervalos y las semirrectas como soluciones más adelante de situaciones en
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que estemos interesados, soluciones de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inequaciones, sistemas de
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inequaciones, pensando en, por ejemplo, describir elementos importantes de las funciones, dominio,
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intervalos de crecimiento, decrecimiento, etcétera. Hablaremos de todo ello en los bloques posteriores.
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El concepto de entorno y entorno reducido aparecerá en un momento dado a la hora de dar ciertas
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definiciones, pero no será algo que nosotros utilicemos expresamente para todo esto que he
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mencionado anteriormente. Podemos utilizar las representaciones que hemos visto anteriormente
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para representar, por ejemplo, la recta real completa, que sería un intervalo abierto con
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límites infinitos, desde menos infinito hasta menos infinito. Y podemos representar cualquier
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conjunto vacío como un intervalo abierto que tenga el mismo inicio que final. Este es el conjunto de
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todos los números, comenzando por x sin cogerlo y acabando en el mismo x sin cogerlo. Este es el
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conjunto vacío y eso valdría para cualquier valor de x real. He hablado hace un momento de la unión
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de dos intervalos. Bueno, pues dados dos conjuntos cualesquiera, a1 y a2, cualesquiera, contenidos en
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la recta real, nosotros vamos a utilizar las siguientes operaciones. Vamos a hablar de la
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unión, vamos a hablar de la intersección y en algún momento también vamos a hablar de la diferencia.
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La unión de dos conjuntos va a estar formado por todos aquellos elementos que forman parte bien del primero o bien del segundo.
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Así que solo en uno, solo en otro o bien en los dos, todos aquellos elementos que cumplan con esto se van a encontrar dentro de este conjunto unión.
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Este símbolo que vemos aquí, que parece que es en realidad una especie de V, es el operador lógico O.
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Así que en la unión de A1 y A2 se van a encontrar todos los elementos reales, puesto que hablamos de la recta real, que se encuentren en A1 o se encuentren en A2.
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Y ese O no es exclusivo, no es o bien en uno o bien en otro, tiene que encontrarse en alguno de ellos, o bien en el primero o bien en el segundo, nos vale que estuvieran en los dos.
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Que estuvieran los dos se refiere a la intersección, que se representa de esta manera.
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Y aquí tenemos la intersección de este conjunto A1 y A2.
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Y aquí sí, en la intersección, se van a encontrar únicamente aquellos elementos reales que estén simultáneamente en los dos conjuntos.
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Y aquí tenemos la definición.
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Este símbolo que vemos aquí, es una V invertida, se lee como I.
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De tal forma que aquí tenemos los números reales que se encuentran en a1 y se encuentran en a2. Aquí sí tenemos los números que simultáneamente cumplen, que están en uno y están en el otro.
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En cuanto a la diferencia, lo que vamos a hacer es, aquí por ejemplo tenemos a1 menos a2. Vamos a leerlo de esa manera, como si fuera una resta. La diferencia entre a1 y a2.
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Lo que vamos a hacer es empezar tomando los elementos de A1 y de él eliminar aquellos elementos que también se encuentren en A2.
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Aquí tenemos esa definición que acabo de dar. Son los números reales que se encuentran en A1 y no se encuentran en A2.
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Fijaos que nos centramos en A1, dentro de A1 miramos cuáles son los elementos que además están en A2, esto es la intersección, y esos elementos se excluyen.
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Y lo que tenemos son elementos que están en A1 y que no están en A2.
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Esto también lo podríamos representar de esta otra manera. Son los elementos de A1 que además no están en A2.
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Con esto que hemos visto ya podemos resolver estos ejercicios que veremos en clase, probablemente veremos en alguna videoclase posterior.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 14
- Fecha:
- 21 de agosto de 2025 - 19:03
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 15′ 50″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 38.10 MBytes
