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Velocidad orbital: Deducción de la 3ª ley de Kepler - Contenido educativo

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Subido el 25 de noviembre de 2020 por Àngel Manuel G.

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En este vídeo deducimos la tercera ley de Kepler y la ecuación de la velocidad de un cuerpo en órbita circular

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En este vídeo vamos a hablar sobre la velocidad orbital y la tercera ley de Kepler. 00:00:06
Para ello vamos a coger como ejemplo la velocidad orbital de la luna alrededor de la Tierra. 00:00:12
Entonces aquí tendremos la Tierra, aquí tendremos la luna y sabemos que la luna gira alrededor de la Tierra. 00:00:20
Vamos a querer calcular a qué velocidad gira 00:00:36
Pues bien, en este sistema podemos aplicarnos las fuerzas, podemos dibujarnos las fuerzas que actúan 00:00:40
Las voy a dibujar con el color rojo 00:00:47
Tendremos una fuerza que actúa, que la Tierra hace sobre la Luna 00:00:50
Y que es así, fuerza que la Tierra hace sobre la Luna 00:00:57
Y sobre la Luna no estará actuando ninguna otra fuerza porque como no está en contacto con nada 00:01:03
Ni siquiera hay aire porque está en el vacío 00:01:08
Pues no hay rozamiento, no hay normal 00:01:10
El peso sería esta fuerza de la Tierra sobre la Luna 00:01:13
Realmente no hay ninguna otra fuerza 00:01:16
Vamos a dibujarnos los ejes del movimiento 00:01:18
Pues bien, la Luna se está moviendo en esta dirección y sentido 00:01:22
Por lo tanto esto de aquí será el eje X 00:01:29
Y este de aquí, donde está esta fuerza Tierra-Luna 00:01:32
orientado hacia afuera va a ser el eje que nosotros llamamos Z, ¿por qué es el eje Z? 00:01:39
porque si esta fuerza no estuviese habría un movimiento hacia afuera, este es el eje 00:01:45
entonces en el que la luna gira, el eje Y donde no actúa ninguna fuerza ni pasa nada 00:01:50
pues sería un eje hacia afuera de la pizarra, ¿qué fuerzas actúan entonces? la única 00:01:55
fuerza es la de la tierra sobre la luna, entonces nos vamos a escribir la fuerza de la tierra 00:02:01
sobre la Luna, recordamos que escribimos el módulo, como escribimos el módulo no vamos 00:02:06
a poner el signo menos ni vamos a poner el vector unitario, entonces va a ser G, masa 00:02:11
de la Tierra, masa de la Luna, dividido entre la distancia entre la Tierra y la Luna, y 00:02:17
ya está, esta es la fuerza de la Tierra a la Luna, y estas son todas las fuerzas que 00:02:26
actúan por lo tanto cuando la ponemos en el eje z observamos que va al revés de lo que nosotros 00:02:31
hemos dicho que era positivo así que es menos g masa de la tierra masa de la luna entre distancia 00:02:37
tierra luna es la masa de la luna por la aceleración centrípeta porque la aceleración centrípeta porque 00:02:47
que es la que hace que gire, que es la que actuaba siempre en el eje z. 00:02:55
Y con un signo menos, porque la aceleración centrípeta es hacia acá. 00:03:00
Entonces, ahora simplificamos la masa de la Luna, simplificamos el signo menos, 00:03:10
y lo que nos queda es que la aceleración centrípeta es g por la masa de la Tierra 00:03:15
dividido entre la distancia entre la Tierra y la Luna. 00:03:23
si recordamos que la aceleración centrípeta es velocidad al cuadrado 00:03:27
dividido entre radio que en este caso es la distancia de la Tierra 00:03:33
me he dejado un cuadrado aquí, perdón, me falta un cuadrado en todas las distancias 00:03:36
y aquí distancia Tierra-Luna está sin cuadrado 00:03:41
observaremos que la velocidad a la que se mueve la Luna 00:03:45
esta distancia cancela con esta distancia es 00:03:50
Entonces g por la masa de la Tierra dividido entre la distancia entre la Tierra y la Luna raíz cuadrada. 00:03:53
Esto de aquí se conoce como la velocidad orbital. 00:04:02
La velocidad orbital se puede calcular de otra forma, otra forma mucho más sencilla que esta que acabamos de hacer. 00:04:14
pero es que esto no nos va a servir normalmente para calcular la velocidad 00:04:20
sino que nos va a servir para poder calcular la masa de la Tierra 00:04:24
o la distancia entre la Tierra y la Luna 00:04:27
¿Cómo vamos a calcular esta velocidad? 00:04:29
Pues bien, si sabemos el periodo 00:04:32
periodo orbital 00:04:37
que sabéis que para la Luna es 28 días 00:04:40
se puede calcular la frecuencia angular 00:04:46
o la velocidad angular de este movimiento que es omega 2pi entre el periodo, dado una vuelta 2pi entre el periodo y aplicando la condición de que la velocidad es la velocidad angular por el radio 00:04:53
que en este caso es la distancia de la Tierra a la Luna, observamos que la velocidad orbital es 2pi por esta distancia Tierra-Luna entre el periodo. 00:05:13
Si ahora sustituimos esta velocidad aquí, vamos a observar que podemos despejar de la siguiente manera. 00:05:26
2pi por la distancia entre la Tierra y la Luna, entre el periodo 00:05:35
y le voy a pasar, en lugar de poner la raíz, voy a poner esto al cuadrado 00:05:42
es igual a g por la masa de la Tierra entre la distancia de la Tierra a la Luna 00:05:45
si despejamos un poquito esto vamos a observar que llegamos a una relación que es 00:05:55
Entonces el periodo al cuadrado entre la distancia de la Tierra a la Luna elevada a 3 es igual a 4 por pi al cuadrado entre g por la masa de la Tierra. 00:06:02
esto de aquí nos dice que siempre que orbitemos al mismo planeta, en este caso a la Tierra 00:06:18
la relación T cuadrado entre distancia al cubo, periodo al cuadrado 00:06:26
entre radio de la órbita al cubo es una constante 00:06:31
esto de aquí es la tercera ley de Kepler 00:06:36
como habéis visto la hemos deducido para la Tierra y la Luna 00:06:42
pero podemos hacer exactamente el mismo razonamiento hablando de la tierra y el sol 00:06:47
en este caso la tierra sería la que orbita y donde ponga tierra pondría sol 00:06:52
y donde ponga luna pondría tierra y nos quedaría la misma relación 00:06:57
con la distancia tierra al sol y aquí la masa del sol 00:07:01
porque la masa de la tierra sería la que se iría 00:07:06
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Àngel M. Gómez Sicilia
Subido por:
Àngel Manuel G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
270
Fecha:
25 de noviembre de 2020 - 19:33
Visibilidad:
Público
Duración:
07′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1024x576 píxeles
Tamaño:
268.91 MBytes

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