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T1_MATRICES_2 - Contenido educativo

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Subido el 17 de septiembre de 2020 por Monica F.

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Continuamos con el tema de matrices. 00:00:00
Vimos en la última clase lo que era una matriz cuadrada 00:00:02
y hoy vamos a ver tipos de matrices cuadradas. 00:00:05
La primera que vamos a ver se llama matriz triangular superior 00:00:08
y por el nombre, pues, podemos saber lo que es. 00:00:11
Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. 00:00:15
Es diagonal superior, triangular superior, 00:00:19
porque solo hay elementos en el triángulo superior. 00:00:22
En el resto son todos ceros, ¿vale? Más o menos. 00:00:25
De la misma manera, una matriz es triangular inferior si todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros. 00:00:30
Es decir, en este caso tenemos datos por aquí abajo y por arriba todo ceros. 00:00:41
Bueno, me ha salido un poco mal, pero esa sería la matriz triangular inferior. 00:00:48
Continuamos con la matriz diagonal. 00:00:56
es aquella en la que todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son ceros. 00:00:58
Solo es distinto de cero los elementos de la diagonal principal. 00:01:04
¿Y qué les pasa a los elementos de la diagonal principal? 00:01:08
Que i es igual a j, vale lo mismo, serían el 1, 1, a sub 2, 2, a sub 3, 3, a sub 4, 4. 00:01:11
Es decir, solo los de la diagonal principal. 00:01:18
Entonces, estos de aquí son distintos de cero. 00:01:21
Y todos los demás, ceros. Fuera de aquí, ceros, ceros, ceros. ¿Vale? 00:01:24
Esto matemáticamente se escribe como vemos aquí. Cuando i es distinto de j, cuando i es distinto de j, el elemento vale cero. 00:01:31
Fuera de la diagonal principal, cero. Cuando el elemento vale lo mismo, la fila y la columna están en la diagonal principal, entonces vale alguna cosa. 00:01:42
Bueno, pues de todas las matrices diagonales hay una en concreto súper importante que se llama la matriz identidad y que se denota por una I mayúscula. 00:01:50
Acordaos que dijimos las matrices se denotan por letras mayúsculas y en principio cualquier letra empezando por la A, 00:02:02
pero hay algunas letras concretas que reservamos a matrices importantes como la matriz nula que vimos y la matriz identidad. 00:02:09
Esta se designa por la letra I mayúscula. 00:02:16
Bueno, pues la matriz identidad es una matriz diagonal en la que todos sus elementos valen 1 y es la que veis aquí. Tiene solamente distinto de 0 los de la diagonal principal y además el único valor que toman es 1. 00:02:19
Pues vemos ejemplos y vemos que esta matriz A es una matriz diagonal porque solamente tiene elementos distintos de cero, los de la diagonal principal. 00:02:36
La matriz B es una matriz identidad porque es del tipo de esta, es diagonal y además los elementos de la diagonal valen 1. 00:02:51
Y si vemos los otros ejemplos, que se ven bien, pues la C es triangular inferior porque todos los elementos que son distintos de cero están en este triángulo inferior. 00:03:01
En cambio, los que están fuera son cero y la D es triangular superior porque este triángulo superior es distinto de cero 00:03:17
y lo que está por debajo de la diagonal es igual a cero, como habíamos visto en la definición. 00:03:27
Pues continuamos y vamos a ver ahora lo que es una matriz traspuesta. 00:03:33
Es otro concepto de matrices muy importante que vamos a utilizar con bastante frecuencia. 00:03:41
Si A es una matriz de dimensión m por n, la matriz traspuesta de A, que se designa por A con un superíndice t minúscula, se dice así, 00:03:47
y se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas, y su dimensión es n por m. ¿Por qué? 00:03:59
Porque si la primera era m por n, la tumbo, le doy la vuelta, y lo que eran filas ahora son columnas, lo que eran columnas ahora son filas. 00:04:07
vemos este ejemplo tan sencillito que dice, esta matriz A es la primera fila 3 menos 3, 3, la segunda 0, 1, 2 y es de dimensión 2 por 3. 00:04:14
Su traspuesta es como girarla 90 grados hacia la derecha, tumbarla, ¿vale? O ponerla de pie en este caso sería, ¿no? 00:04:24
Entonces, la primera fila se convierte en la primera columna y la segunda fila se convierte en la segunda columna. 00:04:33
y hemos pasado de una matriz 2x3 a una matriz 3x2, luego la dimensión de A y la de A traspuesta están cambiadas, 00:04:40
y la primera es m por n y la segunda n por n. 00:04:49
Cuando tenemos una, sabiendo ya lo que es el concepto de matriz traspuesta, podemos seguir viendo otros tipos de matrices cuadradas, 00:04:53
que es la matriz cuadrada simétrica y la matriz cuadrada antisimétrica. 00:05:02
Vamos con la primera. 00:05:08
Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta. Eso significa que cada elemento a su bijota es igual al que tiene cambiando el número de la fila y de la columna. 00:05:09
Quizás se entiende mejor al revés. Si en una matriz cada elemento es igual que su simétrico, esa matriz coincide con su traspuesta. 00:05:26
Y lo vemos en este ejemplo A. 00:05:39
Esta es la diagonal principal y tenemos que pensar que doblamos el papel por esa línea. 00:05:42
Como aquí hay un 5 y aquí también, coincidirían al doblar el 3 con el 3 y el 1 con el 1, 00:05:47
pues esta matriz se dice que es simétrica. 00:05:53
Y además si la transponéis, veis que os queda la misma matriz, es decir, que se cumple esto. 00:05:57
¿Qué pasa en la matriz antisimétrica? 00:06:02
Pues vamos a ver. Una matriz cuadrada es antisimétrica cuando su opuesta coincide con su traspuesta. 00:06:05
Aunque os parezca un trabalenguas, lo vemos despacito. Fijaos que es igual que esto. 00:06:16
Y esto, o sea, es parecido. Hay un signo menos y aquí hay un signo menos también. Vamos con la segunda parte. 00:06:21
Aquí vemos que cada elemento es igual a su simétrico cambiado de signo. 00:06:27
En lugar de igual a subsimétrico como aquí, a subsimétrico cambiado el signo, ¿vale? 00:06:32
Bueno, pues cuando ocurre eso, resulta que si a la matriz A le cambio todos sus elementos de signo, 00:06:37
que esa sería la opuesta menos A, coincidiría con la traspuesta. 00:06:45
Y vamos a ver en el ejemplo A cómo sería esta matriz si fuera antisimétrica. 00:06:49
Lo primero, tendría que doblar por aquí y tendría que ser, si aquí hay un 5, aquí tendría que haber un menos 5. 00:06:56
Imaginaos que esto fuera un menos 3, pues aquí tendría que haber un 3. 00:07:05
Y si aquí hubiera un 1, pues aquí un menos 1. 00:07:08
¿Entendéis la definición de antisimétrica? 00:07:11
¿Y qué ocurre con la diagonal principal? 00:07:13
Pues que siempre es 0. ¿Por qué? 00:07:16
Porque tiene que ser antisimétrico cada elemento. 00:07:19
Es decir, que el a sub 1, 1 sea igual a menos el mismo, el único número que cumple que es igual a su opuesto es el 0, por eso en una matriz antisimétrica la diagonal principal es 0 y el resto de valores cumplen que los simétricos son opuestos, ¿de acuerdo? 00:07:22
Bueno, pues hemos visto que la primera matriz del ejemplo es simétrica y vemos que en el ejemplo B, el enunciado sería, 00:07:40
dice si es simétrica o antisimétrica, pues no es ninguna de las dos cosas. ¿Por qué? Porque es que no es ni cuadrada. 00:07:54
Y hemos dicho que las simétricas y las antisimétricas son cuadradas. Por cierto, hay matrices cuadradas que tampoco son ni simétricas ni antisimétricas, 00:07:59
porque tienen valores que no tienen ninguna simetría de ningún tipo, ¿vale? 00:08:08
Bueno, pues hasta aquí, ah, tenemos un ejemplo más, el c. 00:08:12
Esta matriz es antisimétrica porque la diagonal principal son ceros 00:08:16
y los valores simétricos 7 y menos 7 son opuestos 00:08:21
y entonces vemos que menos c coincide con la traspuesta de c 00:08:26
y decimos que es antisimétrica, pues hasta aquí la clase de hoy. 00:08:30
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Subido por:
Monica F.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
33
Fecha:
17 de septiembre de 2020 - 17:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CORTES DE CÁDIZ
Duración:
08′ 39″
Relación de aspecto:
0.75:1
Resolución:
1200x1600 píxeles
Tamaño:
79.36 MBytes

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