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Estudio del rango de una matriz dependiendo de un parámetro - Contenido educativo

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Subido el 11 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Según los valores de A, determina el rango de esa matriz A, 3 por 3. 00:00:08
Bueno, como mucho puede tener rango 3, que sería que el determinante de A fuese distinto de 0. 00:00:12
Entonces vamos a empezar por ahí. 00:00:19
Vamos a ver para qué valores el determinante de A es distinto de 0 y por lo tanto el rango de A sería 3. 00:00:20
Venga, pues entonces, determinante de A. 00:00:27
El determinante 1, 2, 4, 1A, 4, 1A, A cuadrado. 00:00:29
Vale, con la regla de Sarrus, pues nos queda a al cubo más 8 más 4a menos 4a menos 4a y menos 2a al cuadrado. 00:00:36
Vale, 4a y menos 4a se me van y entonces me queda el polinomio a cubo menos 2a al cuadrado menos 4a más 8. 00:00:55
Vale, tenemos que ver cuando el determinante de A es 0 00:01:04
Es decir, ver cuáles son las soluciones de esta ecuación de grado 3 00:01:09
Bueno, pues para resolver una ecuación de grado 3, una ecuación polinómica de grado 3 00:01:16
Lo que hacíamos era factorizarla 00:01:21
Vamos a factorizarla buscando las raíces por Ruffini 00:01:23
Y las posibles raíces enteras son el 1 menos 1, más menos 2, más menos 4 y más menos 8 00:01:26
que son los divisores del término independiente 00:01:33
vale, el 1 no sirve, no nos sirve porque si sumo los coeficientes 00:01:35
1 menos 2 menos 1 menos 4 menos 5 más 8 00:01:38
me sale 3, que es distinto de 0 00:01:43
luego por el teorema del resto, el resto de ese polinomio no sería 0 00:01:45
luego no es divisible por a igual a 1 00:01:49
por el menos 1 lo podemos probar pero tampoco va a ser 00:01:53
lo probamos por Ruffini de una forma rápida 00:01:57
me quedaría 1, menos 1, menos 3, 3 menos 1, 1, 9 00:02:00
este es distinto de 0, por lo tanto no es divisible, no tiene como raíz la igual a menos 1 00:02:10
vale, probamos con el 2 00:02:17
1, menos 2, menos 4, 8 y con el 2 00:02:18
bajamos el 1, 1, 2, 0, 0, menos 4, menos 8, 0 00:02:23
Pues sí, nos sale, luego este polinomio se puede factorizar como a menos 2 por a cuadrado menos 4 00:02:31
Y esto justo es una identidad notable 00:02:38
Luego es a menos 2 por a menos 2 o más 2 por a menos 2 00:02:40
Agrupando a menos 2 al cuadrado por a más 2 00:02:46
Por tanto, si A distinto de 2 y A distinto de menos 2 00:02:51
Entonces el determinante de A es distinto de 0 00:03:01
Con lo cual el rango de la matriz A vale 3 00:03:08
Hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0, no nulo 00:03:14
Luego el rango de A es 3 00:03:20
Vamos a ver qué pasa si A es igual a 2 00:03:21
Si A es igual a 2, vamos a cambiar la matriz A 00:03:26
Me queda la forma 1, 2, 4 00:03:32
1, 2, 4 00:03:35
1, 2, 4 00:03:37
Pues me doy cuenta que las tres filas son iguales 00:03:39
Por lo tanto, el rango de A es 1 00:03:42
Rango de A vale 1 00:03:46
Y si A es igual a menos 2, pues vamos a ver quién es A 00:03:49
¿Quién nos queda la matriz A? 00:03:55
La matriz A nos queda 1, 2, 4 00:03:57
1 menos 2, 4 00:04:01
Y 1 menos 2, 4 00:04:03
Estas dos filas son iguales y estas son independientes 00:04:07
Pues entonces nos queda que el rango de A vale 2 00:04:11
Vale, lo he hecho viendo las filas, el número de filas o columnas 00:04:17
Lo podríais haber visto también, linealmente independientes 00:04:23
En este caso, por si lo hubiera visto por columnas 00:04:26
Las tres columnas son proporcionales, el rango es 1 00:04:30
En este caso, esta y esta son proporcionales 00:04:33
Pero esta y esta no, o esta y esta no lo son 00:04:37
Por lo tanto, el rango es 2 00:04:41
Si lo quiero ver por menores, aquí buscaríamos 00:04:42
Como ya no puede ser rango 3 00:04:46
Buscaríamos un menor de orden 2 distinto de 0 00:04:47
Por ejemplo, este menor de aquí sería distinto de 0 00:04:51
Tengo el 1, 2, 1, menos 2 00:04:54
Este sería, valdría menos 2, menos 2, menos 4, distinto de 0 00:04:56
Ya he encontrado un menor de orden 2 distinto de 0 00:05:03
Luego el rango 2 00:05:06
Aquí nunca encontraría un rango 00:05:07
Bueno, porque las tres líneas son iguales 00:05:12
Nunca encontraría un menor de orden 2 distinto de 0 00:05:13
Todos los menores de orden 2 son iguales a 0, por lo tanto el rango 1. 00:05:17
Bien, determina según M el rango de esa matriz. 00:05:28
Lo primero de todo, yo observo que es una matriz de dimensión 3 por 4. 00:05:32
Luego, como mucho, el rango de esta matriz va a ser 3, es decir, el rango es menor o igual que 3. 00:05:37
Vale, ahora no puedo ir como antes, como en el ejemplo anterior, calculando el determinante de A, 00:05:44
puesto que no es una matriz cuadrada. 00:05:49
luego ahora el proceso que vamos a seguir es el que hemos aprendido con la definición o explicación 00:05:51
de cómo calcular el rango de una matriz utilizando determinantes por menores 00:05:59
vale, como la matriz es no nula, puesto que hay elementos distintos de 0 00:06:04
por ejemplo la 1,1 es un elemento distinto de 0 00:06:10
puedo asegurar que el rango de esta matriz es mayor o igual que 1 00:06:12
Puesto que hay menores de orden 1 distintos de 0 00:06:17
Vamos a buscar un menor de orden 2 distinto de 0 00:06:21
Vamos a ver si lo encontramos 00:06:27
Y si yo me fijo aquí en este menor 00:06:28
Me aparecería que el menor 1, 2, menos 1, 1 00:06:32
Tiene como valor 1 más 2, 3 00:06:37
Distinto de 0 00:06:40
Lo cual me dice que entonces el rango de esta matriz 00:06:41
es al menos 2, bueno, que el rango es 2, 00:06:47
o sea, al menos 2, 00:06:53
que el rango de esa matriz al menos es 2, 00:06:57
porque he encontrado un menor de orden 2 distinto de 0. 00:06:59
Bueno, pues a partir de ese menor de orden 2, 00:07:03
añadiendo elementos de otra fila y columna, 00:07:05
vamos a formar un menor de orden 3. 00:07:07
Por ejemplo, vamos a añadir los elementos de primera fila y tercera columna, 00:07:11
columna, formando el menor, 2m menos 1, 3, 1, 2, m más 1, menos 1, 1, 0. Vamos a calcular 00:07:14
este valor, nos queda 0 menos m menos 1 por m más 1, más 3, más 6, menos 2 por m más 00:07:24
1 y 0. Bueno, hacemos las operaciones, nos damos cuenta de que aquí tenemos una identidad 00:07:40
notable, m menos 1 por m más 1, que es m cuadrado menos 1, esta identidad notable es 00:07:47
m cuadrado menos 1, con ese menos por delante tendríamos, a ver, vamos a hacerlo bien, 00:07:53
menos m cuadrado más 1. Ahora sumamos estos dos elementos, dos sumandos, más 9 y quitamos 00:07:59
este paréntesis, menos 2m, menos 2. Agrupando tenemos menos m cuadrado, menos 2m, 1 más 00:08:08
8. Vale, vamos a estudiar este determinante. Entonces, vamos a ver cuándo este determinante 00:08:21
es 0 y cuándo no es 0. De momento vamos a factorizar, vamos a ver cuándo este determinante, 00:08:30
cuando este menor es 0. 00:08:34
Para ello vamos a resolver la ecuación de segundo grado que tenemos aquí. 00:08:37
Y nos quedaría que m igual a 2 más menos la raíz de 4 más 32 y partido de menos 2. 00:08:43
Luego 2 más menos 6 partido de menos 2. 00:08:52
2 más 6, 8 partido de menos 2, menos 4. 00:08:56
2 menos 6, menos 4 partido de menos 2, 2. 00:08:58
Por lo tanto, la factorización de este menor o de este determinante, cuidado con ese menos, quedaría m si menos 4 es raíz, m más 4 es el factor, y si 2 es raíz, m menos 2 es el factor. 00:09:01
Concluimos. 00:09:18
Vamos a ver. 00:09:20
Ahora, si m distinto de menos 4 y m distinto de 2, cuando tenga valores de m distintos de menos 4 y distintos de 2, 00:09:21
este menor es distinto de 0, ese valor es distinto de 0. 00:09:33
Entonces, el rango de la matriz sería 3, y habría encontrado un menor 2 de 3 distinto de 0. 00:09:36
Vamos a ver qué pasa si m igual a menos 4. 00:09:44
Vamos a ver qué podemos decir 00:09:48
Si m igual a menos 4 00:09:51
Bueno, aquí hemos encontrado 00:09:53
O sea, hemos trabajado con un menor de orden 3 00:09:55
Que lo hemos conseguido a ese menor de orden 2 00:09:57
Añadiéndole elementos de esta fila y esta columna 00:10:00
Pero yo puedo construir otro menor de orden 3 00:10:03
A partir de ese menor de orden 2 00:10:05
Añadiendo elementos de la primera fila y de la tercera columna 00:10:07
Luego construiríamos el determinante 00:10:11
Teniendo en cuenta que m vale menos 4 00:10:14
2, menos 4, menos 1, menos 5, menos 1, 1, 2, menos 1, 1, 1, menos 4 00:10:17
Fijaos, qué determinante que he añadido 00:10:26
Estos elementos de la primera fila y de la cuarta columna 00:10:29
Calculamos su valor y esto me queda 00:10:33
menos 16 más 5 menos 1 menos 2 menos 2 y menos 20 00:10:36
este determinante sin hacer los cálculos ya se ve que va a salir distinto de 0 00:10:48
pero hacemos los cálculos 00:10:52
menos 16 más 5 menos 11 menos 1 menos 12 menos 2 menos 14 00:10:53
menos 2 menos 16 y menos 20 menos 36 00:10:59
distinto de 0 00:11:02
Luego si la m vale menos 4, aunque este menor de orden 3 era 0, este otro menor que hemos conseguido añadiendo elementos de la primera fila pero de la cuarta columna es distinto de 0 00:11:03
Luego aquí también se cumple que el rango de a también vale 3 00:11:16
Y por último lugar, bueno voy a hacerlo por aquí arriba para aprovechar pizarra 00:11:21
Ahora, por último lugar, vamos a ver qué ocurre si m igual a 2 y vamos a seguir el mismo proceso. 00:11:31
Vamos a añadirle a este menos 2 en 2 los elementos de primera fila, cuarta columna, dándole el valor a m igual a 2. 00:11:42
Luego 2, 1, menos 1, 1, 2, 1, menos 1, 1, 2. 00:11:49
Si calculamos este determinante, me queda 8 menos 1, menos 1, menos 2, menos 2 y menos 2. 00:11:55
Haciendo esta operación nos sale 8 menos 1, 7, menos 1, 6, menos 2, 4, menos 2, 2, menos 2, 0. 00:12:06
Nos sale que también ese otro menor de orden 3 es 0. 00:12:13
O sea, luego todos los menores de orden 3 que he construido a partir de este menor de orden 2 me dan 0. 00:12:18
Por lo tanto, el rango de aquí, yo concluyo que el rango es 2. 00:12:24
En definitiva, teníamos, en resumen, si m distinto de 2, rango 3. 00:12:31
Y si m igual a 2, el rango 2. 00:12:42
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
61
Fecha:
11 de octubre de 2020 - 20:24
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
12′ 56″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.26

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