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corrección examen - Contenido educativo

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Subido el 14 de marzo de 2021 por Yolanda S.

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Esta sería la corrección del examen. 00:00:10
En el primer ejercicio me daban dos matrices, A y B, que las tenéis ahí, 00:00:13
y me decían en el primer apartado que encontraran los valores de X de manera que existiera la inversa, ¿vale? 00:00:18
Siendo X un número real. 00:00:26
Para resolver esto, recordáis que lo primero que tenemos que hacer es calcular el determinante de esa matriz A. 00:00:28
1, 0, x menos 1, x más 1, 0, 3 00:00:35
e imponemos que ese determinante sea 0 00:00:45
resolviendo el determinante por Sarrus 00:00:50
obtenemos que x cuadrado menos 4 es 0 00:00:53
es una ecuación de segundo grado 00:00:57
que al resolverla tenemos como soluciones 00:00:59
más y menos 2 00:01:03
¿Vale? Con lo cual podemos concluir que para todo x distinto de más menos 2 existe la matriz inversa de a. 00:01:05
¿Vale? O lo que es lo mismo, que si x es igual a 2 o x es igual a menos 2, dado que el determinante de la matriz hemos impuesto que sea 0, 00:01:18
entonces no existiría matriz inversa. 00:01:30
En el apartado B me pedían que calculara a a la menos 1 siendo x igual a menos 1, ¿vale? 00:01:35
Bien, para ello lo que hacemos es calcular ese determinante que me quedaría 1, 1, menos 1, 1, 0, menos 2 y la última fila que sería 0, 0, 3, ¿vale? 00:01:43
Si calculáis este determinante como antes por Sarrus, me quedaría que vale menos 3. 00:02:05
A continuación lo que hacemos es calcular la adjunta de A. 00:02:13
Os recuerdo que para calcular una matriz adjunta tengo que sustituir cada elemento de la matriz por el adjunto que surge al eliminar la fila y la columna donde está 00:02:19
y el determinante del resto 00:02:33
por ejemplo 00:02:36
en el adjunto del a sub 1 1 00:02:37
eliminamos 00:02:40
esa fila 00:02:42
perdón, esta fila y esta columna 00:02:43
y me quedaría el determinante 00:02:46
que sería 3 por 0 0 00:02:47
y menos 2 por 0 00:02:49
os recuerdo que además el adjunto 00:02:52
porque lo que 00:02:56
acabamos de hacer es el menor complementario 00:02:58
el adjunto sería 00:03:00
acompañado de menos 1 elevado, en nuestro caso, como es el elemento a sub 1, 1, 00:03:01
sería menos 1 elevado a 1 más 1, que es 2, y por tanto sería el positivo. 00:03:08
De esa misma manera lo que hacemos es calcular los siguientes elementos de mi matriz 00:03:15
y me quedaría menos 3, 0. 00:03:20
La segunda fila sería menos 3, 0, 0. 00:03:26
Y la última sería menos 2, menos 1, menos 1. 00:03:31
Una vez que tenemos calculada la matriz adjunta, lo que hacemos es calcular su traspuesta, ¿vale? 00:03:38
Os recuerdo que para calcular una matriz traspuesta lo que tengo que hacer es intercambiar las filas y las columnas. 00:03:46
Es decir, mi primera columna será 0, menos 3, 0, la segunda columna será menos 3, 0, 0, y por último, menos 2, menos 1, menos 1, ¿vale? 00:03:55
Una vez que tenemos esta matriz, lo único que nos quedaría para calcular la inversa sería dividir por el determinante, que en nuestro caso era menos 3, ¿vale? 00:04:17
Por tanto, podemos decir que a la menos 1 es o bien 1 dividido menos 1 tercio por esta matriz o el resultado de hacer la división y que me quedaría 0, 1, 2 tercios, 1, 0, 1 tercio y la última fila 0, 0, 1. 00:04:31
Y con esto habríamos terminado el apartado B. 00:05:03
Vamos ahora a hacer el apartado C. 00:05:11
En el apartado C, lo que me decían era que para x igual a 1, calculará a por b traspuesta elevado a 2020, ¿vale? 00:05:19
Bien, para ello lo primero que tenemos que hacer es calcular cuánto vale A por B traspuesto, ¿vale? 00:05:44
Es decir, ponemos, teniendo en cuenta que aquí vale 1, me quedaría la matriz 0, 1, 1, 1, 0, 0 00:05:56
y la última 2, perdón, 2, 0, 3 00:06:08
Por otro lado, de traspuesta, como antes, intercambiamos filas por columnas 00:06:19
me quedaría 0, 0, 1, 1 tercio, 1, 2 tercios, y menos 1 tercio, 0, menos 2 tercios. 00:06:27
Tendríamos la matriz 0, 1, 0, 0, 0, 1, menos 1, 0, 0. 00:06:55
A continuación lo que hacemos es calcular, bueno, esto que hemos hecho es A por B traspuesta, ¿vale? 00:07:26
Ahora calcularíamos A por B transpuesta al cuadrado y lo que obtenemos al multiplicar esta matriz por sí misma, obtenemos la matriz 0, 0 menos 1, perdón, más 1, menos 1, 0, 0. 00:07:45
y por último 0, menos 1, 0. 00:08:17
De la misma manera obtenemos que A por B traspuesta al cubo, 00:08:26
que sería multiplicar esta A por B al cuadrado por A por B traspuesta, 00:08:37
obtenemos la matriz menos 1, 0, 0, 0, menos 1, 0, 0, 0, menos 1, que es menos la identidad, ¿vale? 00:08:43
Vale, y luego a continuación de esto, sabéis que cuando localizamos la matriz identidad, lo que hacemos es dividir el exponente que teníamos originariamente entre el exponente de la matriz con el que hemos obtenido la identidad, que en este caso sería 3. 00:09:05
Esta división la hacemos sin obtener decimales y tenemos 673 y de resto 1, ¿vale? 00:09:32
Con lo cual, esto lo que nos dice es que A por B traspuesta elevado a 2020 es igual a menos, porque nos salía la matriz menos la identidad, A por B traspuesta. 00:09:43
Es decir, sería la matriz 0, menos 1, 0, 0, 0, menos 1, 1, 0, 0. 00:10:08
Y con esto tendríamos terminado el primer ejercicio del examen, ¿vale? 00:10:37
vamos a ver el ejercicio número 2 00:10:43
en él me pedían que estudiara 00:10:51
dada esta función 00:10:54
definida a trozos 00:10:55
como estáis viendo 00:10:57
habría que calcular en el apartado A 00:10:58
cuál era la 00:11:02
continuidad de f 00:11:03
lo primero que vemos 00:11:05
es que en la rama superior 00:11:09
cuando f de x 00:11:12
es x más 1 00:11:14
es decir, para los valores 00:11:15
es menos 1, menores o iguales que 1, la función f de menos 1 no está definida, ¿vale? Por 00:11:17
tanto, además no forma parte de su dominio, ¿sí? El dominio de esta función son todos 00:11:25
los números reales menos el menos 1, que forma parte de ese intervalo. Con lo cual 00:11:35
Vale, ahí tenemos ya un punto de discontinuidad. 00:11:43
En cuanto a la otra rama, tenemos que el neperiano de x dividido de x menos 1, 00:11:46
su dominio serían todos los números reales menos el 1, ¿vale? 00:11:55
Que este punto, el 1, no pertenece, ya que la función está definida de esta forma, 00:12:10
para todos los valores de uno. Sin embargo, también podemos ver que la función es en el punto que pasa 00:12:17
de una rama a otra es en x igual a uno, con lo cual vamos a calcular su continuidad en x igual a uno. 00:12:27
Para ello damos los tres pasos de siempre, es decir, primero ver que la función está definida, 00:12:40
que tiene límite por la izquierda y por la derecha y que coinciden, ¿vale? 00:12:46
Para ver f de 1, sustituimos en la primera, en la segunda, perdón, en la primera 00:12:52
y sería 2 dividido de 1 más 1, con lo cual sería 1. 00:13:03
Por otro lado, calculamos el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda, que estamos en este mismo lado, y es 1 también, y calculamos el límite cuando x tiende a 1 por la derecha de la otra rama, que sería x menos 1. 00:13:12
¿Vale? En este caso tenemos una indeterminación de la forma 0 partido por 0 que vamos a quitar aplicando lo pital, ¿vale? 00:13:36
Para aplicar lo pital lo único que tenemos que hacer es derivar en el numerador y el denominador, ¿vale? 00:13:52
No aplicar la fórmula de la derivada. Con lo cual, por lo vital, tenemos que esto coincide con el límite cuando x tiende a 1 por la derecha de la derivada del neperiano, que es 1 dividido entre x, y la derivada del denominador, que es 1, ¿vale? 00:14:00
y esto cuando x tiende a 1 sería 1. 00:14:25
Por tanto, de estas dos condiciones lo que sabemos es que existe el límite cuando la función tiende a 1. 00:14:29
Además, ese límite es 1, por tanto, el apartado a es igual que el c 00:14:38
y esto implica que f es continua en x igual a 1. 00:14:46
En conclusión, sabemos que la función será continua, f es continua, para todos los x distintos de menos uno. 00:14:54
¿De acuerdo? Que era el punto que no pertenecía a su dominio. 00:15:13
En el apartado B, lo que me pedían era que calculara las asíntotas, ¿vale? 00:15:19
Habíamos visto que x igual a menos 1 no pertenecía al dominio de f, 00:15:38
por tanto, este es un candidato a que exista una asíntota vertical, ¿vale? 00:15:49
Para ello comprobamos calculando el límite cuando x tiende a 1, 00:15:56
De la función que sería el límite cuando x tiende a 1 de 2 dividido a menos 1, perdón. 00:16:01
De la función que era 2 dividido entre x más 1, ¿vale? 00:16:26
Si calculamos este límite, el numerador tendería a 2, el denominador tendería a 0, por tanto esto tiende a infinito y existe una asíntota vertical en x igual a menos 1. 00:16:33
Con relación a las a horizontales, calcularíamos el límite cuando x tiende a infinito de la función, ¿vale? 00:16:54
Y este límite es cero, ¿de acuerdo? 00:17:07
Por tanto, estamos en posición de decir que existe una asíntota horizontal en la recta igual a cero, ¿vale? 00:17:15
Como tenemos una asíntota horizontal, esto sabemos que nos lleva a la conclusión de que no hay asíntotas ubicuas. 00:17:28
Con respecto al apartado C, en el apartado C me decían que determinara un valor x0 menor que 1 00:17:37
que verificaba que la tangente a la gráfica en ese punto, es decir, en x0, f de x0, sea un medio 00:17:53
Tangente, perdón, sí, sí, el ángulo que forma es un medio, ¿vale? 00:18:06
Vale, entonces, vamos a ver, sabemos que la tangente coincide con la derivada de la función en el punto 00:18:22
Con lo cual lo primero que vamos a hacer es, como x tiene que ser un valor negativo 00:18:33
negativo, calculamos la derivada f de x en la rama superior, ¿vale? Que sería menos 00:18:38
2 dividido de x menos 1 al cuadrado, ¿vale? x más 1, perdón. Este valor debe coincidir 00:18:50
con la pendiente, es decir, con menos 1 medio. 00:19:01
De estas condiciones lo que sabemos es que 00:19:10
x más 1 al cuadrado debe ser igual a 4. 00:19:13
Esto es una ecuación de segundo grado 00:19:19
que al resolverla nos sale como soluciones 00:19:22
x igual a menos 3 y x igual a 1. 00:19:26
¿De acuerdo? 00:19:33
Como la condición es que f de x sub cero sea menor que uno, este va a ser nuestro x sub cero. 00:19:34
Además también nos piden que calculemos la ecuación de la recta tangente en ese punto. 00:19:43
La ecuación de la recta tangente, si lo recordáis, es y menos y0 es igual a f' en x0 por x menos x0. 00:19:52
¿Vale? Vamos a calcular y0, es decir, f en x0, que sería sustituyendo f de menos 3, que es 2 dividido entre menos 3 más 1, con lo cual esto sería menos 1. 00:20:06
Y ya lo tenemos todo, ¿vale? 00:20:28
Según esto, la ecuación de la recta tangente sería y más 1 igual a menos 1 medio, que es la pendiente, por x más 3. 00:20:31
Podéis desarrollar esta ecuación o bien dejarla así, con lo cual el ejercicio 2 estaría terminado. 00:20:45
Vamos con el ejercicio 3. 00:20:55
En el ejercicio 3 me dicen que consideramos esos tres puntos, el 3, 1, 2, 0, 3, 4 y menos 1, 1, 0. 00:20:56
Y se pide en el apartado A calcular las coordenadas de un punto Q, que le vamos a llamar X y Z, 00:21:07
de manera que AB y PQ sean linealmente dependientes, tengan sentidos opuestos y tengan el mismo módulo, ¿vale? 00:21:20
Bueno, pues vamos allá. 00:21:42
A ver, como A, AB y PQ son opuestos, eso significa que el vector AB es igual a menos PQ. 00:21:45
¿Vale? De aquí lo que obtenemos es que el vector AB, que es el menos 3, 2, 2, va a ser igual que el, no, entonces con esto sabemos que PQ será justo su opuesto, es decir, el 3, 2, 2. 00:21:57
¿Vale? Esto es el vector AB. Por otro lado, dado que Q es el punto X y Z, si calculamos PQ, tenemos que PQ sería X más 1 y menos 1 y Z. 00:22:31
Y esto, por la condición anterior, coincidirá con el 3, 2, 3, menos 2, menos 2 00:23:00
A ver, aquí son negativos porque hemos dicho que eran opuestos 00:23:14
Según esto, al tener dos vectores que son iguales, eso significa que sus componentes son iguales 00:23:19
Por tanto, x más 1 debe ser 3 00:23:28
Y de aquí obtenemos que X es 2 00:23:31
Y menos 1 debe ser menos 2 00:23:35
Y por tanto Y sería menos 1 00:23:39
Y por último Z sería menos 2 00:23:44
Por tanto el punto Q que buscamos sería 00:23:49
Q igual al 2 menos 1 menos 2 00:23:54
¿Vale? Vamos al apartado C. Ya sabéis que el B no habíamos visto, con lo cual no podría entrar en el examen. 00:24:00
En el apartado C me dicen que calcule el coseno del ángulo formado por PA y PB. 00:24:12
Bien, pues PA sería el 4, 0, 2 00:24:21
Por otro lado PB es el 1, 2, 4 00:24:33
Y como lo que nos piden es el coseno del ángulo 00:24:44
Lo que vamos a aplicar es la fórmula del producto escalar 00:24:52
¿Vale? Según esa fórmula sabemos que el producto escalar de, bueno en este caso, b por a, pa por pb, será igual al módulo de pa por el módulo de pb por el coseno del ángulo que forman que llamaremos alfa. 00:24:59
Como tenemos las coordenadas del vector, el producto escalar sería 4 más 0 más 8. 00:25:24
Y esto será igual con el módulo que sería la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado, es decir, 16 más 4 es 20, por la raíz cuadrada de 21 y coseno de alfa. 00:25:37
Despejando esta expresión tendríamos que el coseno de alfa es el cociente entre 12 y raíz de 20 por raíz de 21 00:25:58
Y ya estaría 00:26:10
Vamos a corregir el cuarto ejercicio, ¿vale? 00:26:12
En él me dan esta función 00:26:16
f de x igual a x a la sexta menos 4x a la cuarta 00:26:19
y me piden en el apartado A estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, ¿vale? 00:26:25
Para hacer esto, lo primero que tendríamos que calcular es la derivada, ¿vale? 00:26:39
Si derivamos esta función, nos quedaría que es 6x a la quinta menos 16x cubo. 00:26:47
cubo. ¿De acuerdo? Y además, para saber los candidatos, igualábamos esta expresión 00:26:56
a cero. Sacando factor común, x al cubo, obtenemos x al cubo que multiplica a 6x al 00:27:03
cuadrado menos 16. ¿Sí? Si esto es cero, bueno, podemos sacar más factor común, ¿vale? 00:27:15
Esto podemos hacer 2x cubo, 3x cuadrado menos 8. 00:27:26
Si igualamos esto a 0, entonces obtenemos por un lado x igual a 0 y por otro x es igual a más menos la raíz de 8 tercios. 00:27:37
¿De acuerdo? Vale. 00:27:54
Ahora lo que vamos a hacer, puesto que nos están mandando calcular crecimiento y decrecimiento 00:27:55
Vamos a ver estos puntos de qué manera cortan la recta real 00:28:03
¿Vale? ¿Qué intervalos nos salen al cortar? 00:28:08
Y los intervalos serían desde menos infinito a menos la raíz de 8 tercios 00:28:13
de menos la raíz de 8 tercios a cero, de cero a la raíz de 8 tercios, y el último es de la raíz de 8 tercios a infinito. 00:28:19
para ver si la función es creciente 00:28:47
sabéis que si lo es en un punto de intervalo 00:28:52
lo va a ser en todo el intervalo 00:28:56
entonces tomamos un punto de aquí 00:28:58
de este primer intervalo 00:29:02
nos vamos a nuestra función 00:29:04
y vemos si es positiva o negativa 00:29:05
y obtenemos que en este intervalo decrece 00:29:10
En este es creciente, aquí decrece y aquí crece, ¿vale? 00:29:14
Por otro lado, en el apartado B nos pedían los máximos y mínimos, ¿sí? 00:29:25
Teniendo en cuenta esto que hemos visto, estamos en condiciones de decir que en X igual a más menos la raíz de 8 tercios 00:29:34
lo que vamos a tener es un mínimo, o mínimos, y por otro lado, en x igual a cero, 00:29:43
que es donde la función pasa de ser creciente a decreciente, tenemos un máximo. 00:29:55
Este apartado podríamos hacerlo apoyándonos en este primero, o bien calculando la segunda derivada. 00:30:06
metemos los candidatos que hemos obtenido, es decir, x igual a 0 y x igual a la raíz, más o menos la raíz de 8 tercios 00:30:14
y vemos si la segunda derivada es positiva o negativa 00:30:26
con lo cual sabríamos si es positiva tenemos un mínimo y si es negativa tendríamos un más 00:30:30
en el apartado C lo que me dicen es que 00:30:41
hallemos el área de la región acotada y limitada por el eje igual a cero 00:30:49
y la gráfica igual a cero y f de x 00:30:56
¿de acuerdo? 00:31:03
bien, vamos a ver, si es igual a cero lo primero que tendríamos que encontrar 00:31:06
son los puntos de corte de la función f con el eje y. 00:31:10
Es decir, imponemos que f de x igual a x a la sexta menos 4x a la cuarta sea igual a cero. 00:31:15
Sacando factor común, aquí tendríamos x a la cuarta 00:31:27
que multiplica a x cuadrado menos 4 y esto es 0 en el caso de que x sea 0, x sea más menos 2, ¿de acuerdo? 00:31:41
Con lo cual lo que vamos a tener es una integral dividida en dos trozos, como lo que nos están pidiendo es un área, 00:31:57
consideramos que el área sería igual 00:32:08
consideramos valor absoluto 00:32:12
el límite inferior sería desde menos 2 a 0 00:32:14
de mi función que es x a la sexta 00:32:18
menos 4x a la cuarta 00:32:21
diferencial de x 00:32:23
más valor absoluto de la integral 00:32:26
que va desde 0 a 2 00:32:31
de la misma función que es x a la sexta menos 4x a la cuarta diferencial de x. 00:32:34
Como lo que tenemos entre manos son dos integrales definidas, tenemos que aplicar la regla de barro y vamos a integrar. 00:32:46
La integral de x a la sexta sería x a la séptima entre 7 menos 4 veces x a la quinta dividido entre 5 00:32:58
y como estamos aplicando a barro nos vamos a mover entre menos 2 y 0. 00:33:10
más la otra integral que es exactamente igual 00:33:16
x a la 7 entre 7 00:33:20
menos 4x a la quinta entre 5 00:33:23
y en este caso nos vamos a mover entre 0 y 2 00:33:29
¿vale? 00:33:35
aplicando barro, sabéis que es el extremo superior menos inferior 00:33:38
tenemos que al sustituir en la primera por 0 todo es 0 00:33:42
menos 4 por menos 2 a la quinta 00:33:49
a la 7, no, un momento que me he tocado 00:33:57
colocamos todo esto que se me había olvidado en valor absoluto 00:34:01
y empezamos a operar 00:34:16
si sustituimos x por 0 esto me quedaría 0 00:34:20
menos, menos 2 a la 7, séptimos, menos 4 por menos 2 a la quinta, quintos, más, nuevamente 00:34:25
valor absoluto, o si lo queremos hasta el final, 2 a la 7 séptimos menos 4 por 2 a la quinta quintos. 00:34:46
Y esto nos quedaría como resultado, valor absoluto de menos 512 dividido entre 35, o lo que es lo mismo, 512 treinta y cinco agos, bueno, unidades cuadradas, sería nuestra área solicitada. 00:35:00
Con esto estaría terminado todo el examen 00:35:37
Entonces, bueno, lo miráis 00:35:41
Si tenéis alguna duda, me preguntáis en clase, ¿vale? 00:35:45
Venga, hasta luego 00:35:51
Subido por:
Yolanda S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
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64
Fecha:
14 de marzo de 2021 - 19:52
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
35′ 54″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
105.93 MBytes

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