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Corrección Opción A Universidad RJC 2024 +25 - Contenido educativo

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Subido el 18 de febrero de 2025 por Jose Andres G.

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Hay un error en la resolución del ejercicio 3) apartado b), no se pide el determinante de A^20 sino cómo es la matriz A^20. Se hará un video explicativo

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Muy bueno, vamos a intentar hacer un vídeo clásico. Listo. El examen de acceso a universidad 00:00:01
mayor de 45 años. El de Harry Juan Carlos. Vamos poco a poco. Sea una función, voy a poner un 00:00:10
poquito más grande para que se vea mejor. f de x es igual a 3, la estáis viendo aquí, una función 00:00:18
definida a trozos. Es 3 partido por x menos 3 en el caso de que x sea menor estricto que 0. Y x 00:00:24
cuadrado menos x menos 1, si x mayor a 4 es 0. Estudie la continuidad de la función. 00:00:30
Para la continuidad de la función, lo primero es, el polinomio, la de abajo, es continuo 00:00:38
en todos sus puntos, porque un polinomio es continuo en todos sus puntos. La de arriba, 00:00:44
¿de acuerdo? La 3 partido por x menos 3, eso solo habría que estudiarlo por sí sola, 00:00:50
donde se anula la parte de abajo, donde se anula el denominador, porque no puede ser partido por cero. 00:00:58
Pero si te fijas, para que se anule el denominador, la x tiene que ser igual a 3. 00:01:05
Y aquí estás en el tramo de x menor que cero. Por lo tanto, nunca vas a llegar por ningún problema. 00:01:10
¿Qué significa eso? Que solo lo tienes que estudiar como siempre en el cero. 00:01:17
Y entonces lo de siempre. Empezamos. 00:01:20
f de 0 00:01:22
en x igual a 0 00:01:24
es este de aquí, pues sería 00:01:27
voy a poner entre paréntesis para que vea 00:01:28
lo que estoy haciendo 00:01:31
lo que estoy haciendo es cambiar 00:01:32
la x de aquí por el 0 00:01:34
menos 0 00:01:37
menos 1 00:01:39
o sea, sé que esto sale menos 1 00:01:41
ahora tendrías que ver 00:01:43
el límite cuando x tiende a infinito 00:01:45
cuando x tiende a 0 por la derecha 00:01:47
y el límite cuando x tiende a 0 00:01:49
por la izquierda 00:01:51
Vamos a ponerlo así para que quede bonito. 00:01:52
Cuando x tiende a 0 por la derecha, en este caso, 0 por la derecha son los números mayores que 0. 00:01:59
Por lo tanto, estoy aquí. 00:02:16
¿Qué significa? Que es hacer exactamente lo mismo que aquí. 00:02:17
Por lo tanto, como ya lo tengo hecho, eso es menos 1. 00:02:22
¿Dónde tengo el problema? ¿Dónde puedo tener el problema, mejor dicho? 00:02:25
el problema lo puedo tener 00:02:28
el límite cuando x 00:02:31
tiende a 0 por la izquierda 00:02:34
ahí es donde puedo tener el problema 00:02:36
entonces 00:02:38
¿qué hacemos? lo mismo 00:02:40
x menor que 0 00:02:42
aquí sería 3 00:02:44
partido 00:02:46
0 menos 3 00:02:47
y esto es 3 partido 00:02:50
0 menos 3 menos 3 00:02:52
y 3 entre menos 3 menos 1 00:02:53
conclusión 00:02:56
Como todo es igual, la función es continua en todos sus puntos. 00:02:57
Como te dice la continuidad de la función en genérico, tienes que ponerlo así en genérico. 00:03:10
No digas la función es continua en x igual a 0, en todos sus puntos. 00:03:15
Si aquí en vez de decir, estudia la continuidad de la función, te dice, estudia la continuidad de la función en x igual a 0, 00:03:18
pues aquí pondríamos la función es continua en x igual a 0. 00:03:24
Pero como no te lo especifica, pues tú dices, mira, en todos los puntos y fuera. 00:03:27
Lo siguiente que me pide es que calcule el límite cuando x tiende a infinito y cuando x tiende a menos infinito de f de x. 00:03:31
x tiende a infinito. 00:03:42
Según D, yo no sé si lo encuentro. 00:03:49
¿Dónde está infinito? 00:03:51
Aquí. 00:03:52
Vale. 00:03:53
Eso sería lo mismo que el límite cuando x tiende... 00:03:54
Vale, despacito. 00:04:04
El límite... 00:04:08
el límite cuando x tiende a infinito es cuando el infinito positivo es cuando x es mayor que cero. 00:04:09
Por lo tanto, estoy aquí abajo. 00:04:17
Entonces sería el límite cuando x tiende de x al cuadrado menos x menos 1. 00:04:18
Vale, si lo hacemos en plan bestia, esto sería infinito al cuadrado, que es infinito, 00:04:25
menos infinito 00:04:30
porque le dice menos x 00:04:38
pues sería menos infinito 00:04:41
menos 1, perdón. 00:04:42
Y esto es una indeterminación. 00:04:47
Esta es una indeterminación 00:04:49
infinito menos infinito. 00:04:50
Pero ya he dicho que cuando son polinomios 00:04:53
el que gana 00:04:55
es directamente 00:04:55
el más grande. 00:04:57
El grado mayor. 00:05:01
El grado mayor gana. 00:05:02
En polinomios gana el grado mayor. 00:05:04
Y no tienes que justificarlo. 00:05:05
Entonces ya dices, mira, esto es lo mismo que el límite cuando x tiende a infinito de x al cuadrado. 00:05:07
Y ya directamente aquí dices, pues mira, esto es igual a infinito al cuadrado, que es infinito positivo. 00:05:14
Ahora tengo que hacer el otro. 00:05:28
Vamos por el otro. 00:05:29
Voy a pegar aquí abajo. 00:05:32
Bien, el otro es el que me va a dar la lata. 00:05:35
Entonces vamos a ponerlo bien. 00:05:38
El límite cuando x tiende a menos infinito. 00:05:40
Bueno, me va a dar la lata entre comillas. 00:05:43
Porque tampoco te creas que te va a dar mucho la data, va a ser incluso más fácil. 00:05:44
Esto sería el límite cuando x tiende a manera infinita de, y aquí viene la cosa. 00:05:48
Arriba es 3 partido por x menos 3. 00:05:57
3 partido de x menos 3. 00:06:02
Si lo hacemos, esto va a ser igual a 3 partido... 00:06:14
Realmente, si quiero ir más lento, sería 3 partido por infinito menos 3. 00:06:23
Perdón, infinito menos 3 no. 00:06:29
Menos infinito menos 3. 00:06:32
¿Qué es lo que pasa aquí? 00:06:37
Bien. 00:06:39
Pero es que menos infinito menos 3 es menos infinito. 00:06:40
El infinito se lo cometo. 00:06:44
Y cualquier número partido por infinito, y esto tiene que justificarlo, 00:06:45
y me da igual si es más infinito o menos infinito, es 0. 00:06:49
Con lo cual, ya tenemos todo hecho. 00:06:53
Ya tenemos el a y el b. 00:06:56
No tenía más misterio. 00:06:59
Ya hemos calculado el límite cuando x es infinito y el límite cuando x es menos infinito. 00:07:01
Bueno. 00:07:05
Siguiente. 00:07:07
Voy a bajarlo un poquito porque aquí no lo hago. 00:07:08
Sea la función f de x es igual a x cuadrado por e elevado a menos 2x. 00:07:12
Determina el intervalo de crecimiento y decrecimiento de la función. 00:07:20
Vale. Para hacer el a, lo que tenemos que hacer es la derivada primera. No tienes otra. 00:07:22
Para hacer la derivada primera, esto es como un producto. Es x cuadrado por e elevado a menos 2x. 00:07:30
Entonces, tienes que acordarte de la fórmula de la derivada del producto, que era la derivada del primero, que es x cuadrado, la derivada de x cuadrado es 2x, 00:07:36
por el segundo sin derivar, pero el segundo es elevado a menos 2x, 00:07:46
más el primero sin tocarlo, el primero sin derivar, por la derivada del segundo. 00:07:55
Pero la derivada del segundo, la derivada de una exponencial es la derivada de lo de arriba, 00:08:01
de lo que tiene la potencia, es decir, la derivada de menos 2x, que es menos 2, 00:08:05
lo voy a exponer en tres paréntesis 00:08:10
por 00:08:12
la misma exponencia 00:08:15
elevado a menos 2x 00:08:17
bien 00:08:19
¿qué he hecho? 00:08:23
he doblado 00:08:26
la vez elevada a menos 2x 00:08:28
bien, siempre que te salga esto 00:08:30
primero 00:08:34
si tienes un número y letras multiplicando 00:08:35
por Dios 00:08:38
te recomiendo que pongas primero el número 00:08:39
y después la letra 00:08:42
entonces en vez de x cuadrado por menos 2 00:08:42
yo te recomiendo que hagas 00:08:45
Mira, menos 2 por x cuadrado. 00:08:46
Y ya he puesto, más por menos es menos. 00:08:52
Y siempre que tengas uno de exponenciales, como la exponencial a la derivada se va a mantener la misma, 00:08:58
el truco está en sacar factor común eso. 00:09:05
¿Cómo se saca factor común eso? Muy simple. 00:09:11
Se pone la misma exponencial 00:09:13
Y se multiplica por lo que está haciendo la distributiva 00:09:18
Lo que lleva cada uno 00:09:32
Sería el primero 2x y el segundo menos 2x cuadrado 00:09:33
Habrá gente que me dirá 00:09:38
Oye, ¿podría haber sacado también el 2 y una x? 00:09:40
Sí, pero ¿para qué? 00:09:43
Que también lo puede hacer 00:09:47
es decir, que si te das cuenta 00:09:48
incluso podría haber hecho esto 00:09:53
pero que si no te das cuenta 00:09:55
no pasa nada 00:09:58
porque lo vas a tener que hacer después 00:09:58
y tampoco, no haría falta 00:10:00
si te das cuenta 00:10:03
me estoy liando, perdón 00:10:06
sería saco el 2x 00:10:07
y si saco el 2x entonces esto quedaría 00:10:09
1 y aquí quedaría 00:10:11
menos x 00:10:13
que esto no lo ves 00:10:14
ni te preocupes por ahora, ¿vale? 00:10:18
Si esto no eres capaz de verlo, no te preocupes 00:10:20
porque si no lo ves, no hay ningún problema. 00:10:22
Se puede hacer sin eso. 00:10:24
Ahora, determina el crecimiento y el crecimiento de la función. 00:10:26
Lo que tienes que hacer, una vez que has hecho 00:10:29
la derivada, 00:10:30
es igualarla a cero. 00:10:34
Bien, esto hemos hecho ya algunos. 00:10:38
Entonces, lo que tienes que hacer es 00:10:40
coger y decir, mira, 00:10:42
esto es igual a cero. 00:10:45
Y os dije, si tenéis 00:10:47
una multiplicación 00:10:48
solo te sirve si está igualado a cero 00:10:51
si no es igualado a cero no, pero es que lo que te va a tener es eso 00:10:53
para que salga igual a cero 00:10:56
tienes que estudiar 00:10:57
tienes que estudiar 00:10:58
las dos opciones 00:11:01
y las dos opciones 00:11:04
que el primero 00:11:06
sea igual a cero 00:11:07
que el segundo sea igual a cero 00:11:15
primero 00:11:23
las exponenciales nunca pueden 00:11:28
ser cero. En un número finito 00:11:31
sí pueden serlo si está elevado a menos 00:11:32
infinito. Pero eso no 00:11:35
puede ser. Sería súper mega 00:11:37
y hiper extraño. Para que pasase eso 00:11:39
lo que te tienes que tener arriba 00:11:40
en vez de menos 2x tendría que ser 00:11:42
una fracción. Y no van a llegar a ese nivel. 00:11:44
Por lo tanto, de aquí 00:11:47
no se saca nada. 00:11:48
¿Por qué? Porque no tiene solución. 00:11:51
Ahora, 00:11:54
de abajo, aquí tienes dos opciones. 00:11:55
Primera opción. 00:11:58
Tienes que resolverlo. 00:12:00
Pero esto es una ecuación de segundo grado. 00:12:00
Entonces, opción 1. 00:12:04
a, b, c. 00:12:06
Donde a sería 0. 00:12:08
Perdón, a es menos 2, que es lo que va con la x al cuadrado. 00:12:11
b sería 2, que es lo que va con la x sin cuadrado. 00:12:15
Y c sería 0. 00:12:17
Porque es el número que va sin letra. 00:12:19
Y te plantas por menos b, más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4c partido por 2. 00:12:24
Esa es una opción. 00:12:30
que la puedes hacer y te convino a que la hagas 00:12:31
porque las muy malas, si no te das cuenta 00:12:35
de lo que voy a venir ahora, tira por ahí 00:12:37
vas a tardar unos 3-5 minutos más 00:12:38
pero es que llegas a lo mismo 00:12:41
la otra opción es darte cuenta 00:12:42
que se puede sacar factor común 2x 00:12:44
porque en los dos está el 2 00:12:46
y en los dos hay una x y el más pequeño 00:12:48
es elevado a 1 00:12:50
y entonces se saca lo que te dije 00:12:51
que sacaba aquí, vale, voy a seguir por aquí 00:12:54
pero si tú no quieres 00:12:59
seguir por aquí 00:13:02
tira por aquí 00:13:03
y coge la formulita y tira para delante. 00:13:05
Te va a salir lo mismo, todo depende si te das cuenta de más opciones o menos. 00:13:08
Como tenéis mogollón de cosas que ni te complica. 00:13:12
Si ves que esto es muy complicado, dices, mira, tiro por ahí, hago ABC, la formulita y ya está. 00:13:14
Aquí hago lo mismo, es una multiplicación igual a cero. 00:13:20
Entonces, o 2x es igual a cero, por lo tanto, para que 2x sea igual a cero, 00:13:24
la única opción es que la x sea cero, o 1 menos x es igual a cero. 00:13:29
Pero para que esto sea posible, la X tiene que valer por narices 1. 00:13:35
Vale. 00:13:42
Con esto ya he sacado los dos puntos que tengo que separar. 00:13:42
Que tengo que separar. 00:13:51
Cuidado que esto es un poquito laborioso. 00:13:53
Y además, como te estoy dando varias opciones, es laborioso. 00:13:56
Entonces, primera cuestión. 00:14:00
¿Qué tienes que hacer? 00:14:03
Pues lo primero que tienes que hacer, que es lo que yo recomiendo, mejor dicho, 00:14:05
la línea 00:14:08
y en esta línea 00:14:11
vamos a poner 00:14:13
aquí 00:14:15
no pasa nada 00:14:17
en forma 00:14:23
y esta línea 00:14:25
punta vértica por dios 00:14:28
y otra línea más, por aquí por ejemplo 00:14:29
en este caso si no estoy 00:14:34
haciendo cambios 00:14:36
entonces esto sería 00:14:36
empezaría menos infinito 00:14:38
este sería el 0 00:14:46
la línea del 0 00:14:50
Esta sería la línea del 1 00:14:52
Y esta sería infinito 00:14:54
¿Qué tengo que hacer ahora? 00:14:56
Recuerda, ahora voy a escoger valores de cada intervalo 00:15:02
Sustituirlos en la derivada 00:15:06
¿De acuerdo? 00:15:09
Y ver su signo 00:15:11
El signo te va a decir si es creciente, si es decreciente o es constante 00:15:13
Por ejemplo, desde menos infinito hasta cero 00:15:16
Pues voy a coger x igual a menos 1 00:15:20
Cojo y me pongo 00:15:23
Entonces, tengo que estudiar la derivada de f en menos 1. 00:15:26
De hecho, esto me sale mayúscula, qué guay. 00:15:32
Bien, ¿qué tengo que hacer entonces? 00:15:34
Simple y llanamente, coger y sustituir en la derivada, ¿vale? 00:15:38
En la derivada, es decir, en esta de aquí. 00:15:45
Voy a poner aquí. 00:15:49
La voy a volver a poner aquí para que se vea bien y no os perdéis más de la cuenta. 00:15:51
La pongo aquí. 00:15:56
donde pone x pongo menos 1, entonces saldría, esto sería por menos 1, que por lo que sea me la he quitado, 00:15:57
esto sería 2 por menos 1, menos 2 por menos 1 al cuadrado. 00:16:14
Lo que me interesa única y exclusivamente es el signo. 00:16:27
El signo de la exponencial depende del signo que tenga afuera. 00:16:31
Si la exponencial no tiene signos, que es positivo, eso siempre va a ser positivo. 00:16:35
Si no, ni te preocupes. Hazlo. Vas a ver que esto de aquí te va a salir positivo. 00:16:39
¿Qué número? No lo sé, te vas a decir así mal. 00:16:44
Pero es que no te importa el número, lo que te importa es el signo. 00:16:46
Pues tú hazlo, porque esto va a ser menos 2 por menos 1 e al cuadrado. 00:16:49
Y vas a ver que sale positivo. 00:16:53
Y esto va a ser 2 por menos 1, menos 2. Menos 2. Menos 1 al cuadrado es 1 positivo y menos 2 por 1, menos 2. 00:16:54
Así que sería menos 2, menos 2, menos 4. Lo que me interesa no es el 4, lo que me interesa es que es menos. 00:17:04
Y ahora, más por menos, menos. ¿Qué significa eso? Que en todo este tramo me sale negativa. 00:17:11
Y si sale negativa, ¿qué significaba? 00:17:17
Significaba que era decreciente 00:17:20
Y ahora sigues haciendo lo mismo 00:17:22
Entre 0 y 1 00:17:36
Recordad que no podéis coger los extremos 00:17:37
Tienes que coger el punto intermedio 00:17:40
¿Quién cogería ahora? 00:17:41
Pues el X, por ejemplo 00:17:42
Pues 0,5 00:17:44
Pues esto va 00:17:46
X, 0,5 00:17:47
Y haría exactamente lo mismo 00:17:49
Lo mismitico 00:17:53
Lo te lo dejo que lo hagas en casa si quieres 00:17:54
y vas a ver que en este caso va a salir más por más, o se hace más. 00:17:57
Te vas a dar cuenta que casi siempre van a ir cambiándose. 00:18:03
No tiene, no lo des por supuesto, pero casi siempre. 00:18:06
Entonces aquí te vas a dispositivo y por lo tanto aquí se supone, 00:18:10
se significa que este intervalo es el siguiente. 00:18:14
Ahora, ¿quién cogería entre el 1 y el infinito? 00:18:19
Pues cogería el x igual a 10, por ejemplo, 00:18:21
y al acoger el x igual a 10 te va a salir 00:18:24
la exponencial te va a salir positiva 00:18:27
y el otro te va a salir 00:18:29
negativo 00:18:31
así que más por menos 00:18:32
igual a menos, recuerda los números no me importan 00:18:34
lo que me importa para esto, para saber si es creciente o decreciente 00:18:37
constante son los signos 00:18:39
por lo tanto aquí te va a salir negativo 00:18:40
y por lo tanto esto significa 00:18:45
que esta parte también es 00:18:49
decreciente 00:18:50
por lo tanto, conclusión 00:18:52
La conclusión es la siguiente. La función crece desde 0 hasta 1 y la función decrece desde menos infinito hasta 0 unión. 00:19:04
¿qué estoy haciendo? 00:19:35
que no va a dar 3K 00:19:38
cero 00:19:39
unión 00:19:41
desde 1 00:19:43
hasta infinito positivo 00:19:46
con lo cual ya tendríamos hecho 00:19:48
el apartado A 00:19:53
pero es que el apartado B 00:19:54
determina el intervalo de crecimiento y decrecimiento de la función 00:19:57
aquí los tiene 00:20:01
ya están aquí, hecho está 00:20:02
el apartado B calcula la cuadradad 00:20:05
de los posibles máximos y mínimos de la función. 00:20:08
Pero es que los posibles máximos y mínimos 00:20:11
son justamente estos puntos. 00:20:12
Y no te están diciendo 00:20:14
que veas si es máximo o mínimo, 00:20:15
sino que calculas las coordenadas 00:20:19
de esos posibles máximos y mínimos. 00:20:20
Fíjate, calculas las coordenadas 00:20:23
de los posibles máximos y mínimos. 00:20:24
En ningún sitio te dice 00:20:25
dime si es máximo o mínimo. 00:20:26
Que tú quieras ser más guay 00:20:28
y ponerlo para adelante. 00:20:29
Pero no haría falta. 00:20:32
Solamente sacar las coordenadas. 00:20:33
Una cosa por si te da por hacerlo, lo de ver si es máximo o mínimo, no te pongas a hacer la segunda derivada. 00:20:38
Porque si has hecho este dibujito de aquí, ya te lo está dando. 00:20:44
¿Por qué? Porque decreciente significa que el dibujito hace esto, ¿vale? 00:20:48
Creciente significa que el dibujito va a hacer esto. 00:20:56
Y el otro que es decreciente significa que de nuevo va a hacer eso. 00:21:00
aquí ya tienes puesto que en el 0 00:21:03
eso va a ser un mínimo 00:21:07
y el 1 va a ser un máximo 00:21:08
con lo cual ya lo tendría 00:21:10
ya tendría hasta justificado 00:21:12
puedes decir que el 0 va a ser un mínimo 00:21:15
relativo y el 1 un máximo 00:21:17
relativo, ya está 00:21:19
pero como no te lo piden 00:21:20
no te compliques la vida 00:21:23
¿qué es lo que te están diciendo que haga? 00:21:24
para sacar las coordenadas 00:21:27
sacar las coordenadas lo único que tienes que hacer es decir 00:21:28
oye, la función era 00:21:31
elevado a menos 2x 00:21:32
por 00:21:37
a ver si lo veo 00:21:40
ah, perdón, x cuadrado por 00:21:42
elevado a menos x 00:21:47
x cuadrado 00:21:47
vale, que guay 00:21:51
x cuadrado 00:21:54
a ver, Andrés, despacito 00:21:56
x cuadrado 00:21:58
por elevado a 2x 00:22:01
menos 2x, perdón 00:22:02
Siguiente. ¿Qué hacemos ahora? 00:22:04
Tira para abajo. 00:22:17
Empezamos. x igual a 0. 00:22:19
Y lo que tienes que hacer es sustituir f de 0. 00:22:22
Pero es que f de 0 sería 0 al cuadrado por e elevado a menos 2 por 0. 00:22:25
Y yo no fue nada, pero no te compliques la vida. 00:22:42
porque 0 al cuadrado es 0 00:22:45
y 0 por lo que sea 00:22:49
siempre es 0, así que me da igual lo que sea la e 00:22:50
eso es 0 00:22:52
para x igual a 1 00:22:53
mismo rollo, tengo que sacar f de 1 00:22:56
tened cuidado que tened que sustituirlo para las coordenadas 00:22:58
en la función original, no en la derivada 00:23:00
en la original 00:23:02
en este caso sería 1 00:23:03
al cuadrado 00:23:05
por e 00:23:08
elevado a menos 2 00:23:13
por 1 00:23:15
Ahora yo qué hago aquí 00:23:15
Ahora te dan dos opciones 00:23:21
Primero 00:23:22
1 al cuadrado es 1 00:23:23
Y elevado a menos 2 por 1 00:23:26
Es elevado a menos 2 00:23:28
Por lo tanto, 1 por elevado a menos 2 00:23:30
Es e elevado a 00:23:32
Menos 2 00:23:34
Atención 00:23:36
Ahora tienes dos opciones 00:23:38
Primera opción, no me complico la vida 00:23:41
Las coordenadas 00:23:43
de los posibles 00:23:47
máximos y mínimos 00:23:49
son 00:23:52
si la x es 0 00:23:53
la y es 0 00:23:56
y si la x es 1 00:23:57
la y es 00:24:00
e elevado a menos 2 00:24:01
yo lo dejaría ahí 00:24:04
pero 00:24:09
si quieres ir más allá 00:24:11
si quieres ir más allá 00:24:12
lo máximo que haría sería decir 00:24:15
oye, es 00:24:17
que es un 00:24:20
hemos dicho que era un mínimo 00:24:23
y este 00:24:26
que es un máximo 00:24:31
relativo. Si tú has hecho 00:24:36
lo anterior y le has puesto 00:24:38
esta flechita, incluso no haya falta poner la flechita, 00:24:40
está ya justificado. Esto 00:24:42
lo de que es mínimo y máximo 00:24:44
ya he dicho que no sea necesario. Es más, 00:24:46
oye, ¿y si yo quiero hacer e elevado a menos 2? 00:24:48
Pues tira para adelante. 00:24:51
Coge y hace e elevado a menos 2 00:24:53
y te va a salir 00:24:55
0,135 00:24:56
voy a coger 3 decimales con redondeo 00:24:59
y ya está 00:25:01
por cierto 00:25:03
te voy a poner la coma arriba 00:25:05
porque si te pongo la coma abajo después puede ser un follón 00:25:07
con esto, entonces cuidado con estos 00:25:09
detallitos que es un poquito asqueroso 00:25:11
realmente 00:25:13
pero que no te compliques la vida 00:25:14
no te están preguntando 00:25:17
si son máximo o mínimo, te lo vuelvo a enseñar 00:25:19
las coordenadas de los posibles 00:25:21
Máximo y mínimo 00:25:23
Yo pondría como mucho esto 00:25:24
Máximo y mínimo 00:25:26
Y esto de aquí 00:25:27
Incluso lo hubiese dejado como elevado a menos 00:25:32
Y no te hubiesen dicho nada 00:25:34
Siguiente 00:25:35
Vámonos con estas cosas tan bonitas 00:25:38
Que me gustan tanto, que son las matrices 00:25:40
Bien, considerarse las matrices 00:25:42
A y B 00:25:46
Calcula el determinante 00:25:48
De la matriz A cuadrado por B 00:25:51
Y el de la matriz B por A cuadrado 00:25:52
bien 00:25:55
sigamos 00:25:57
bien, sigamos 00:27:02
en este caso 00:27:04
apartado A, opción 00:27:07
una, no me acuerdo de las propiedades 00:27:12
muy bien, no pasa nada 00:27:14
si no me acuerdo de las propiedades 00:27:16
tengo que hacer A al cuadrado 00:27:18
formas 00:27:20
no, esto no es, perdón 00:27:23
A al cuadrado 00:27:25
que es hacer 00:27:27
lo mismo que hacer A por A 00:27:30
y luego tengo que hacer 00:27:32
perdón, luego tengo que hacer 00:27:37
a cuadrado por b y después hago la matriz 00:27:39
el determinante 00:27:40
esa opción 00:27:41
¿quiere ir despacio? 00:27:46
esa es la tuya, es decir, no tiene otra 00:27:49
pero 00:27:51
hay una propiedad, que no sé si estás 00:27:54
viendo la de esta, hay una propiedad 00:27:57
donde dice que el determinante 00:27:59
de a por b es lo mismo que el determinante 00:28:01
de A por el determinante de B 00:28:03
y eso hace que la cosa se suavice 00:28:05
mucho, es decir 00:28:09
el determinante de A por B 00:28:11
donde A y B 00:28:13
son cualquier tipo de matriz que tenga determinante 00:28:15
tenga ese cuadrado obviamente 00:28:17
es el determinante de A 00:28:18
por determinante de B 00:28:20
si algo está juzgada 00:28:22
¿cuál es el cachondeo? 00:28:30
que si te fijas 00:28:34
las dos son el mismo resultado 00:28:35
porque si el determinante de A por B 00:28:37
el determinante de A por B 00:28:39
b, el determinante de b por a, el determinante de b por el determinante de a. ¿Y quién 00:28:40
sería el determinante de a al cuadrado? Pues el determinante de a por el determinante de 00:28:44
a. Si te acuerdas de esto, la cosa va a ser muy suave. ¿Por qué? Porque el determinante 00:28:51
de a sería 1 por 1, 1, menos 0, igual a 1. El determinante de b sería menos 1 por 2, 00:28:56
menos 2 y más 0, menos 0, menos 2. ¿Hace falta seguir? El primer caso, determinante de a al cuadrado b, 00:29:07
determinante de a al cuadrado por b, sería el determinante de a por el determinante de a, 00:29:18
porque a al cuadrado es a por a, por el determinante de b. También podría haber dicho que era el determinante 00:29:36
de A, todo ya al cuadrado, pero bueno. 00:29:42
Bien. 00:29:46
Por lo tanto, da igual poner mayúscula minuto, ¿vale? 00:29:49
Lo de D. 00:29:50
Es decir, sería 1 por 1 00:29:52
por 00:29:54
menos 2. O sea, sé que 00:29:56
es menos 2. Pero atención, 00:29:58
lo divertido del asunto 00:30:01
es que el otro es igual. 00:30:02
Si a B por A por A... 00:30:04
Ahora, ¿no te acuerdas de esto? 00:30:06
Uf, bueno, pues vamos 00:30:08
para allá. Tenemos que hacer 00:30:10
lo de 1, 0 00:30:12
y no 00:30:13
2, 1 00:30:15
y esto lo tengo que multiplicar por 00:30:17
2, 1 00:30:23
vamos a poner aquí unas cosas 00:30:26
para que se diferencie más o menos 00:30:29
vale, este no es el simbolito clásico 00:30:31
pero bueno, pasa nada 00:30:35
jugaremos con esto 00:30:36
este aquí 00:30:37
este aquí 00:30:39
y el otro 00:30:42
este aquí 00:30:50
y este aquí 00:30:53
Y empezaría. Lo voy a hacer básicamente para que recuerdes cómo lo he hecho. Recuerda, se empezaba, nos va a salir. 00:30:58
Teníamos que empezar primera fila por primera columna. Y era, a ver si me sale, perdón. Aquí este y este. 00:31:07
Y era, se multiplicaba y se sumaba y se restaba en función de los signos. Entonces sería 1 por 1, 1. 0 por 2, 0. 1 más 0, el primero es 1. 00:31:19
Ahora, este por el segundo 00:31:28
1 por 0, 0 00:31:31
Ahí está, el segundo es 0 00:31:32
Primera fila, segunda columna 00:31:33
1 por 0, 0 por 1 00:31:36
Y al sumarlo nos da 0 00:31:38
Ahora nos vamos con la de abajo, con esta de aquí 00:31:39
Ahora vamos a ir a por esa 00:31:42
Mismo rollo 00:31:43
Segunda, primera, 2 por 1, 2 00:31:46
1 por 2, 2 00:31:48
Como los dos son positivos 00:31:50
2 más 2, 4 00:31:51
Y ahora 00:31:52
Primera 00:31:54
segunda fila, segunda columna 00:31:56
nos va a dar el elemento 2, 2 00:31:59
2 por 0, 0 00:32:01
1 por 1, 1, así que me da 1 00:32:03
esto sería 00:32:05
a al cuadrado 00:32:07
ahora tú solo 00:32:09
o tú sola 00:32:11
saca el determinante de s 00:32:12
que el determinante de s va a ser otra vez lo mismo que antes 00:32:14
el 1, ¿verdad? 00:32:19
pues ya está 00:32:22
entonces, que no os compliquéis la vida, que quieras hacerlo así 00:32:22
vas a tardar más 00:32:27
obviamente, pero 00:32:28
se acabó 00:32:30
pero vas a llegar al final 00:32:31
entonces ese es un punto relativamente fácil 00:32:34
y ahora el B 00:32:37
¿cuál es el problema? 00:32:39
que si el A 00:32:41
no te sabes esta propiedad 00:32:42
el B te vas a morir 00:32:44
porque tendrías que hacer A elevado a 20 00:32:46
pero es que el determinante 00:32:48
de A al cuadrado es lo mismo que el determinante de A al cuadrado 00:32:51
pero es que esto es lo mismo que 00:32:53
determinante 00:33:00
Determinante de a al cuadrado. 00:33:01
Por lo tanto, ¿qué significa? 00:33:09
Que si yo tengo... 00:33:11
Sí, para que quede más bonito. 00:33:15
Que si yo tengo determinante de a elevado a 20, 00:33:17
esto sería determinante de a por determinante de a por determinante de a 20 veces. 00:33:24
Es decir, sería... 00:33:27
Esto sería multiplicar tropecientos millones de veces. 00:33:29
O sea, si es tropecientos es 20. 00:33:31
Sería determinante de a elevado a 20. 00:33:34
Pero, ¿cuánto era el determinante de A? 00:33:38
Pues el determinante de A era 1. 00:33:42
Así que era 1 elevado a 20. 00:33:45
Y 1 elevado a 20, de alguna forma, es 1. 00:33:47
Cuidado no me digas, un 20, que lo hemos liado. 00:33:50
Porque 1 por 1 por 1 por 1 es 1. 00:33:52
Y ya acabáis de hacer el AM. 00:33:54
Recuerda esta propiedad. 00:34:01
Con los determinantes solamente con el producto y la división funciona. 00:34:02
Sumas y restas no, ¿eh? 00:34:05
Multiplicación y división funciona. 00:34:07
Sumas y restas no. 00:34:08
vayamos a que me cambie las normas. Siguiente, consideran dos sucesos, uy, probabilidad, tal que la probabilidad de A es igual a un tercio, 00:34:09
probabilidad de A y B es un quinto, probabilidad de A condicionada a B es dos séptimos. ¿Son los sucesos A y B independientes? 00:34:20
Esto es una pregunta teórica. Para que dos sucesos sean independientes tiene que pasar una de estas dos cosas, que la probabilidad de A, 00:34:29
¿dónde está? aquí 00:34:38
y B 00:34:44
sea igual a la probabilidad de A 00:34:44
por la probabilidad de B 00:34:48
la que vas a utilizar casi siempre 00:34:52
que la probabilidad de A 00:34:54
condicionado a B 00:34:55
también se puede hacer al revés, la de B condicionada a E 00:34:57
la otra te sirve 00:35:00
aquí 00:35:01
al revés 00:35:03
sea igual a 00:35:04
probabilidad de A 00:35:07
y ahora 00:35:12
Solamente con esta información es cierto que este no lo puedes aplicar, pero este sí, ¿de acuerdo? Ese sí. ¿Por qué? Porque aquí te está diciendo que la probabilidad de A condicionada a B son dos séptimos, pero la probabilidad de A es un tercio. 00:35:14
y dos séptimos no es 00:35:39
equivalente a un tercio, no son fracciones 00:35:41
equivalentes. Es más, si no te fías 00:35:43
a la división, un tercio 00:35:46
te va a salir 0,33333 00:35:48
periodo y dos séptimos 00:35:50
te va a salir 0,2857 00:35:52
Por lo tanto, conclusión 00:35:54
no son independientes 00:35:56
Ahora vamos al complicado 00:35:58
Perdón 00:36:05
No, en realidad, este es el complicado 00:36:07
Ojo, esto ya era 00:36:13
NUA 00:36:16
vale 00:36:19
intersección 00:36:22
NUE 00:36:24
recuerda que ese simbolito 00:36:27
significa lo contrario 00:36:29
idea 00:36:31
pues aquí tenemos el problema 00:36:40
porque aquí esta es la que te va a 00:36:42
arrobar la cabeza 00:36:44
probabilidad de NUA 00:36:45
y NUE 00:36:52
opciones, te voy a dar la opción más simple 00:36:53
lo que pasa es que 00:37:03
tenías que acordarte ya, pero bueno 00:37:05
Decir, oye, yo sé 00:37:06
Que la probabilidad de A 00:37:09
Es igual a la probabilidad de 00:37:11
A, intersección 00:37:13
Lo hemos hecho alguna vez 00:37:15
Además en las últimas clases lo hemos hecho también 00:37:16
Intersección B 00:37:18
Más la probabilidad de A 00:37:19
Intersección 00:37:23
B, no B 00:37:28
Despacito 00:37:32
Problema 00:37:35
Tú no quieres la probabilidad de A 00:37:40
Porque no tienes esto 00:37:41
¿Qué voy entonces? 00:37:43
Oye, pues como me están diciendo 00:37:46
La probabilidad de no A 00:37:47
Voy a hacerlo con la probabilidad de no A 00:37:48
A ver cómo funciona 00:37:50
Sería la probabilidad de no A 00:37:51
Sería la probabilidad de no A 00:37:52
Intersección 00:37:54
Y aquí 00:37:56
Eso es lo primero que se me ocurriría a mí 00:38:07
Problema 00:38:10
Estamos en la misma 00:38:12
Estamos en la misma 00:38:14
¿Por qué? 00:38:17
Porque esto sí lo tengo 00:38:21
Porque si A es un tercio, no A es dos tercios. 00:38:23
Este no lo tengo y este es el que me pide. 00:38:30
El problema sería sacar este. 00:38:39
Vale, entonces, ¿qué se nos ocurre? 00:38:45
Pensamos, oye, este no me funciona. 00:38:48
Vamos a ir a por otro. 00:38:52
Voy a ver cuál es la probabilidad de A condicionada a B. 00:38:54
Voy a coger la fórmula de la probabilidad. 00:39:00
Es decir, aquí ponte a hacer fórmula hasta que te salga alguna. 00:39:02
Proyea de A condicionado a B. 00:39:05
La fórmula de proyea de A condicionada a B, como no son independientes, era. 00:39:08
Es decir, cuando no tengas ni pajolera, te pones a hacer todo lo que sepas, todas las fórmulas que te sepas, hasta que alguna te encaje. 00:39:18
de A intersección B 00:39:24
intersección B 00:39:26
partido por la probabilidad 00:39:34
de B 00:39:36
bien 00:39:38
y ahora 00:39:42
con esto 00:39:43
que consigo 00:39:46
pues con esto conseguiría la probabilidad 00:39:47
de B 00:39:50
¿no? 00:39:51
porque, a ver, os lo pongo 00:39:58
probabilidad de acondicionado B 00:40:00
En la probabilidad de acondicionado B, dos séptimos. 00:40:02
Esto sería igual a 00:40:05
arriba probabilidad de A intersección B 00:40:06
que eso es un quinto 00:40:08
y abajo es la probabilidad de B. 00:40:10
Y ya jugar, tú ya decides 00:40:13
si quieres jugar con fracciones, sin fracciones o como sea. 00:40:15
Pero básicamente 00:40:18
desde aquí podrías llegar a 00:40:18
que la probabilidad de B 00:40:20
es igual a 00:40:22
7 decimales. 00:40:24
O sea, es el 0,7. 00:40:29
Si no lo pasas a decimales 00:40:40
te va a salir, ¿de acuerdo? 00:40:41
entonces ya tengo la prioridad de A, tengo la prioridad de B 00:40:42
pero no tengo esto 00:40:45
que es lo siguiente que se me ocurre 00:40:48
dice, oye, yo con esto puedo hacer algo 00:40:52
podría volver a jugar la misma jugada de antes 00:40:54
pero no me va a funcionar 00:40:58
vale, y aquí es cuando ya 00:41:01
tienes dos opciones 00:41:12
uno, dejar este ejercicio sin hacer 00:41:14
o decir, oye 00:41:16
me he estudiado todos los apuntes 00:41:20
o había una cosa que se llamaba la ley de Morgan 00:41:22
y la ley de Morgan 00:41:24
lo que te dice 00:41:26
es que la probabilidad de 00:41:27
contrario de A 00:41:29
a ver si lo puedo poner bien 00:41:31
aquí 00:41:34
voy más rápido así 00:41:38
te decía que la probabilidad de contrario de A 00:41:41
y contrario de B 00:41:43
símbolo 00:41:44
esto 00:41:49
es igual a la probabilidad 00:41:51
lo contrario de A 00:41:59
unión B 00:42:02
muchos de vosotros habéis dicho 00:42:03
pues ya está, ya hemos acabado 00:42:09
pero es que sepa 00:42:10
hasta ahora los demás ejercicios más o menos suaves 00:42:12
aquí sí había que saber si 00:42:15
una formulita adicional 00:42:17
vamos a ponerle así 00:42:19
ya está, ya 00:42:20
¿y cómo lo hago? pues lo hago por ahí 00:42:23
pero en vez de hacer la probabilidad de A unión 00:42:25
lo contrario hago 00:42:28
eso es igual 00:42:29
uno menos probabilidad 00:42:31
de A unión B 00:42:36
y ahora es 00:42:37
¿cuál es la probabilidad de A unión B? 00:42:39
fuera la prioridad de A 00:42:41
más la prioridad de B 00:42:43
menos la prioridad de A 00:42:45
y B 00:42:47
y a ver si encuentro aquí 00:42:49
un segundo 00:42:51
ya sin batería 00:42:53
perdón 00:42:56
perdón 00:43:06
ay Dios 00:43:06
¿dónde estás? 00:43:08
y B 00:43:10
y entre pisco y misco 00:43:12
como todos ya lo hemos hecho antes 00:43:17
pues ya dices, mira, es que esto es igual a 00:43:18
la probabilidad de A 00:43:22
eso era un tercio 00:43:23
más la probabilidad 00:43:25
de B, que la probabilidad de B era 00:43:28
hemos sacado antes 7 décimos 00:43:29
por lo que lo mismo 0,7 00:43:32
más, no, menos probabilidad de A y B 00:43:33
que eso me lo daban, que era un quinto 00:43:38
ya tienes la opción de 00:43:40
otra, pasas todos los decimales 00:43:42
o juegas con fracciones, pero tendrías que pasarlo a decimales, estarlo temprano 00:43:43
si jugamos 00:43:46
Si juguemos a fracciones, yo jugaría a 30, así que sería 10 más 21 menos 6, 25 partido por 30, que es más o menos 0,833 colombiano. 00:43:47
y por lo tanto 00:44:10
la prioridad que nos están pidiendo 00:44:12
sería 00:44:14
1 menos 00:44:18
0,833 00:44:20
y ha puesto más 0 de la cuenta 00:44:22
por cierto, esto yo lo pondría debajo 00:44:24
esto, si es el examen 00:44:28
haría ahora 00:44:30
copiar, en vez de ponerlo ahí 00:44:31
vendría debajo 00:44:36
para no liarle al profesor 00:44:38
y cuanto menos le liemos al profesor mejor 00:44:40
y lo ponemos aquí, en vez de ahí, fuera 00:44:41
1 menos 0,83 00:44:44
Y te sale 0,167 00:44:46
¿Alguna forma más fácil de hacerlo? 00:44:53
Pues lo mismo, pero ahora mismo no se me ocurre 00:45:01
Porque la otra sería 00:45:03
No ha condicionado, no lo ven 00:45:06
Pero no creo que vaya a ser más fácil de otra forma 00:45:07
Pero lo mismo, si veis que hay otra forma 00:45:11
Me lo decís, es simple 00:45:13
Pero no creéis más bien, ¿no? 00:45:14
hasta ahora llevaríamos un punto 00:45:19
que era más o menos fácil 00:45:21
lo de determinante, pues 2-3 00:45:22
el de esto 00:45:25
4-5 00:45:27
y 6-7, es decir, hasta ahora 00:45:28
llevaríamos 7 puntos, vamos a suponer que te equivocas en algo 00:45:31
vamos a suponer que son 6 y todavía me queda un ejercicio para hacer 00:45:33
vamos por último 00:45:35
la empresa 00:45:37
Cominrap 00:45:39
sirve menú a domicilio de diferentes restaurantes 00:45:39
en su aplicación publicita 00:45:43
que el tiempo medio de entrega 00:45:45
de 25 minutos, ya empezamos 00:45:47
aunque tiene una desviación típica de 10 00:45:49
ya sabes, te están diciendo 00:45:51
tiempo medio, desviación típica 00:45:52
uy, la normal 00:45:54
en el turno de mediodía sirvió 35 minutos 00:45:55
¿cuál es la probabilidad de que el tiempo 00:45:58
medio de entrega haya sido mayor de 00:46:01
30 minutos? no te lo dice 00:46:03
pero es que obviamente te están hablando 00:46:06
de la probabilidad de que X sea mayor 00:46:08
que 30 minutos 00:46:10
pero 00:46:13
te están diciendo, oye 00:46:14
que la media 00:46:15
que la media 00:46:17
es igual a 00:46:24
que la desviación típica 00:46:28
simbolito 00:46:30
no te veo 00:46:35
que la desviación típica 00:46:36
cuyo signo no veo ahora 00:46:38
aquí 00:46:40
es igual a 00:46:41
y que en total se han hecho 00:46:45
uy que bonito 00:46:48
20, 30, 35 00:46:50
mira, ya está 00:46:53
símbolo, y ya está 00:46:54
no hace falta poner la simulación 00:47:02
vale 00:47:04
entonces, en nuestro caso 00:47:08
¿qué teníamos que hacer? 00:47:15
teníamos que hacer la fi nueva 00:47:18
¿te acuerdas cómo se hacía la fi nueva? 00:47:19
10 dividido 00:47:28
entre raíz de n 00:47:30
en nuestro caso es así 00:47:34
fi partido por raíz de 35 00:47:37
problema, que te han puesto un número 00:47:39
que echarle con la parte 00:47:41
te va a salir con decimales, pues mira que te salga con decimales 00:47:43
el guía en la vida 00:47:46
10 dividido entre raíz de 35 00:47:47
igual a 00:47:50
1,69 00:47:53
1,69 00:47:54
y ahora ya sabes 00:47:57
esto que me están pidiendo 00:47:59
es igual a la probabilidad 00:48:01
de que 00:48:03
normalmente se suele poner otra letra, te voy a poner otra letra pero bueno 00:48:05
que no hace falta, si no lo pones no pasa nada 00:48:07
sea mayor que 30, 30 menos 25, dividido entre 1,69. 00:48:10
O sea, se hace la paridad de que z sea mayor que 2,959, cogiendo 3 decimales con redondeo. 00:48:21
Si cojo 3 decimales con redondeo, me sale esto. 00:48:35
Ah, pero no pueden ser tres decimales, porque recuerda que tenemos que jugar con la tabla, 00:48:43
y la tabla es con dos decimales, así que no veintiséis. 00:48:48
Pero no podemos tener el, ¿te acuerdas? Que no podemos tener el mayor, tiene que ser el menor. 00:48:51
Entonces esto es igual a uno menos, probabilidad de que esa z sea menor que dos coma noventa y seis. 00:48:58
ahora me voy a mi tabla 00:49:07
que si no lo he hecho mal lo tengo abajo 00:49:11
lo he hecho fatal 00:49:12
y el 2,96 00:49:14
2,901234569985 00:49:19
ya está cariño 00:49:25
9985 00:49:28
o sea 00:49:29
0,0015 00:49:34
y esto sería el A 00:49:39
hay una posible duda 00:49:45
que podría tener 00:49:56
esto no es mediodía 00:49:57
si el A se refiere a los 35 minutos 00:50:02
pero es que como no especifica 00:50:05
nada, tengo que suponer que sí 00:50:07
si no, preguntarlo 00:50:08
y si fuese sin eso 00:50:13
pues entonces sería la raíz de 10 00:50:15
digo, partido por 10 00:50:17
pero bueno 00:50:19
yo en teoría 00:50:23
tendría que ser con los 35 00:50:25
el apartado B, ¿cuál sería el rostro máximo 00:50:26
de estimación de los 35 menús servidos que están pidiendo la fórmula de la raíz. Recuerda, el z alfa 00:50:29
medio por, esto era, si no te recordamos mal, fin partido por raíz de n. Recuerda, era el fin partido por raíz de n. 00:50:36
es decir, que 00:51:08
copiar 00:51:11
dividido 00:51:16
raíz de n 00:51:19
pero es que esto lo hemos hecho antes 00:51:21
y ahora 00:51:29
lo primero, te hablan del 00:51:30
intervalo de confianza 00:51:34
con nivel de significación del 0,05 00:51:36
¿de acuerdo? 00:51:39
el problema es 00:51:47
esto de aquí, nivel de significación del 0,05 00:51:49
tienes que hacer 00:51:52
el Z pero el 0,05 00:51:53
entonces aquí tiene dos opciones, entonces como siempre 00:51:55
os recuerda que esto va a ser simétrico 00:51:57
es decir, que es lo mismo eso 00:52:00
que lo contrario 00:52:01
lo contrario de 0,05 00:52:02
1 menos 00:52:08
0,05 00:52:11
o sea, es 0,95 00:52:13
no te caigas 00:52:16
que es el famoso 00:52:17
95% 00:52:19
y de ahí 00:52:22
te llegas a recordar 00:52:24
O lo hace, ¿de acuerdo? O lo hace, que hemos hecho en clase, sería tan simple, entre comillas, como, si te acuerdas, era 1,96. 00:52:26
Por lo tanto, el error que nos están pidiendo sería 1,96 por 1,69, que es lo que, esto de aquí, esto de aquí, es lo que hemos sacado antes aquí, ¿de acuerdo? 00:52:43
y entonces ya lo hacemos 00:53:00
1.96 00:53:02
por 1.69 00:53:06
es igual a 00:53:08
3,3124 00:53:10
y estos son 00:53:13
minutos 00:53:15
y si lo dejamos en dos decimales 00:53:18
pues 3,31 minutos 00:53:24
ese es el error máximo de estimación 00:53:27
pero yo no me complicaría la vida 00:53:28
yo lo pondría todo 00:53:31
y fuera 00:53:32
porque puede haber segundo, milisegundo 00:53:36
y todas esas cosas 00:53:39
voy a dejar esto que se grabe 00:53:40
y ahora seguimos con el P 00:53:43
por 00:53:44
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Educación de personas adultas
    • Enseñanzas para el desarrollo personal y la participación
Autor/es:
Andrés GR
Subido por:
Jose Andres G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
10
Fecha:
18 de febrero de 2025 - 13:20
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB PAULO FREIRE
Duración:
53′ 48″
Relación de aspecto:
1.88:1
Resolución:
1920x1020 píxeles
Tamaño:
79.02 MBytes

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