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Examen Matrices y Determinantes 2022 Modelo B - Ej5 - Contenido educativo

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Subido el 10 de octubre de 2022 por Manuel D.

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Examen Matrices y Determinantes 2022 Modelo B - Ej5

Bueno, pues vamos a por este quinto y último ejercicio en el cual yo voy a tener que resolver el siguiente problema. 00:00:01

Tengo esta matriz, me dicen determinar el número de columnas de A que son linealmente independientes y el rango de la matriz A. 00:00:16

Es decir, yo no tengo por qué asumir que la matriz A tiene rango máximo porque me lo están pidiendo calcular. 00:00:23

Entonces, para calcular una matriz de dimensión 3x3, para calcular su rango, hombre, pues yo puedo calcular su determinante, ¿verdad? Y entonces, ese determinante, fijaos, que yo voy a poder extraer por filas el factor A, el factor B y el factor C. 00:00:28

Así que de esa manera yo voy a obtener A por B por C por el determinante formado por esto. Pero daos cuenta que los números reales estos son no nulos, así que esto es distinto de 0. 00:00:46

Luego, en realidad, para saber si el determinante es distinto a 0 nos basta con calcular esto. 00:01:10

Vamos a ello. 00:01:15

Para calcular esto, pues podemos hacer Sarrus directamente o lo que yo quiera. 00:01:18

Y efectivamente, menos 4 menos 8 menos 12 más 12 es 0. 00:01:29

Bueno, da automáticamente 0. 00:01:37

Es decir, que independientemente de lo que valga ABC, el rango de la matriz no es 3. 00:01:41

Y si ocurre esto, es muy probable que nosotros podamos ver a ojo alguna combinación lineal. ¿Y cuál es? Pues daos cuenta de lo siguiente. Si yo sumo aquí las filas 1 con la fila 2, obtengo la fila 3. 00:01:50

Entonces, 1 más 2, 3, 1 menos 1, 0, 1 más 3, 4. Pasa lo mismo si lo hago aquí. Esta más esta me va a dar lugar a esta. A más 2A, 3A, B menos B, 0, C más 3C, 4C. 00:02:08

Es decir, que yo demuestro directamente que en realidad fila 1 más fila 2 es igual a fila 3, valga lo que valgan para cualesquiera A, B y C. 00:02:23

Además, la fila 1 y la fila 2, valgan lo que valgan la A, la B y la C, siendo A, B y C distintos de 0, F1 y F2 son linealmente independientes. 00:02:42

independientes. ¿Qué se deduce, por tanto? Bueno, pues se deduce que el rango de la matriz va a ser, siendo F1 y F2, linealmente independientes. 00:02:53

Es decir, hay dos líneas independientes, que son la primera y la segunda, en realidad cualquiera de ellas dos. 00:03:18

Razonar si hay valores de A, B y C para los que A tiene inversa. Bueno, pues ya lo tenemos. ¿Cuánto vale el determinante? Cero. Pues, ¿qué quiere decir? Que A nunca tiene inversa. Pues, el determinante de A es cero, valgan lo que valgan A, B y C. 00:03:27

Y ¿cuál es la última cuestión? Calcular el determinante de la matriz 100 por a elevado a 50. 00:03:57

Claro, esto no vamos a tener que calcularlo, ni hay que calcular a elevado a 50, ¿verdad? 00:04:06

100 veces el determinante de a elevado a 50, pues será lo mismo que 100 elevado a 3 por determinante de a elevado a 50, por las propiedades de los determinantes. 00:04:12

pero es que el determinante de A es 0 00:04:26

luego eso es 0 automáticamente 00:04:29

porque ya digo 00:04:31

determinante de A 00:04:33

y ya está, este era el último ejercicio 00:04:34

y con este acabamos la corrección 00:04:39

de todos los ejercicios del examen 00:04:40

nos vemos pronto 00:04:42

en el siguiente examen 00:04:44

y bueno, en realidad a vosotros chicos 00:04:47

os veo en clase enseguida 00:04:48

así que nada, hasta ahora 00:04:49