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Trigonometría: 38.Reducción 4 - Resumen - Contenido educativo

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Subido el 7 de noviembre de 2007 por EducaMadrid

1207 visualizaciones

- Fórmulas de reducción al primer cuadrante. Ángulos complementarios, ángulos del II, III y IV cuadrantes.

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En este vídeo vamos a resumir todas las fórmulas de reducción de ángulos al primer cuadrante 00:00:00
que hemos explicado en los vídeos anteriores. Vamos a hacerlo a partir de un cuadro, un 00:00:08
cuadro resumen, y vamos a incluir además las razones trigonométricas del ángulo complementario 00:00:14
que se vieron para ángulos agudos. Vamos a trazar nuestro cuadro de trabajo. Colocamos 00:00:20
en la primera columna las razones trigonométricas del seno a la cotangente, dibujamos nuestra 00:00:27
circunferencia goniométrica y vamos a dibujar el ángulo alfa del primer cuadrante que nos 00:00:33
va a servir de punto de partida. Vamos a ir colocando columna a columna los ángulos sobre 00:00:38
los que vamos a calcular sus razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas 00:00:47
del ángulo alfa. En primer lugar vamos a escribir el complementario de alfa. El complementario 00:00:52
de alfa es 90 menos alfa o bien en radianes pi medio menos alfa. En la siguiente columna 00:00:58
escribimos el suplementario de alfa que es 180 menos alfa o bien pi menos alfa. En la 00:01:05
siguiente columna escribimos los ángulos que se diferencian en 180 grados o pi radianes 00:01:13
de manera que sería 180 grados más alfa o pi más alfa. Y escribimos en la última 00:01:21
columna los ángulos que suman 360 grados o como también dijimos opuesto. El ángulo 00:01:28
opuesto de alfa que si nos guiamos porque tenga que sumar 360 grados con él sería 00:01:36
360 menos alfa en radianes 2 pi menos alfa y si hablamos del opuesto pues sería menos 00:01:44
alfa. Recordemos que todo esto era igual, ¿verdad? Da lo mismo escribir 360 menos alfa 00:01:54
o menos alfa. Empezamos con la columna del complementario de alfa y vamos a ir calculando 00:02:00
las razones trigonométricas de 90 menos alfa en función de las del ángulo alfa. Dibujamos 00:02:08
el ángulo de 90 menos alfa de la circunferencia goniométrica y vamos a ir fijándolo en las 00:02:18
líneas correspondientes. El seno de 90 menos alfa sería la longitud de esta línea que 00:02:22
parpadea que es igual que esta línea del ángulo alfa. Por tanto el seno de 90 menos 00:02:29
alfa es igual a el coseno de alfa. Para el coseno resulta que el coseno de 90 menos alfa 00:02:36
es esta línea que mide lo mismo que esta otra línea que es justamente el seno de alfa. 00:02:44
Por tanto el coseno de 90 menos alfa es igual que el seno de alfa. La tangente es muy sencilla 00:02:52
de hallar a partir de lo que tenemos antes puesto que solo tenemos que dividir coseno 00:03:02
de alfa entre seno de alfa y eso es justamente la cotangente de alfa. La secante, la cosecante 00:03:06
y la cotangente es muy claro a partir de lo que acabamos de escribir. Sencillamente la 00:03:12
secante será la cosecante de alfa, la cosecante de 90 menos alfa será la secante de alfa 00:03:16
y por último la cotangente de 90 menos alfa será la tangente de alfa. Recordemos que 00:03:26
esto era lo que pasaba con el ángulo complementario. Intercambiaban el seno con el coseno, la 00:03:31
tangente con la cotangente y la secante con la cosecante. Vamos ahora a el suplementario. 00:03:37
Vamos a escribir las razones trigonométricas de 180 menos alfa en función de alfa. Para 00:03:47
ello dibujamos el ángulo de 180 menos alfa que será un ángulo del segundo cuadrante. 00:03:53
Ahí hemos trazado el seno y el coseno, las líneas azul-verde. Recordemos que si ese 00:03:59
ángulo es 180 menos alfa está claro que ahí queda alfa. Vamos a ir viendo poco a 00:04:04
poco. Para el seno, el seno de 180 menos alfa sería, eso es lo que mide la longitud de 00:04:09
esa línea, sería igual que esta. Por tanto, el seno de 180 menos alfa es igual que el 00:04:18
seno de alfa. Con respecto al coseno, tendríamos que esta línea es la que nos daría cuanto 00:04:26
mide el coseno de 180 menos alfa. Le da claro que esa es una longitud negativa. Recordemos 00:04:35
siempre que aunque estamos hablando de la línea, nosotros hacemos referencia al punto, 00:04:43
las coordenadas del punto en las que la segunda línea del ángulo corta es la circunferencia 00:04:47
goniométrica. Entonces eso es negativo, el coseno de 180 menos alfa es un valor negativo, 00:04:55
si bien coincide en valor absoluto con la medida de esta línea. Por tanto, aunque en 00:05:02
valor absoluto son iguales, pero el coseno tiene signo negativo. Entonces tendríamos 00:05:09
que escribir que el coseno de 180 menos alfa es igual que menos el coseno de alfa, es decir, 00:05:15
cambiar el signo al coseno de alfa. A partir de aquí es muy claro lo que va a ocurrir 00:05:22
con la tangente. De todas formas, vamos a trazar las líneas trigonométricas correspondientes. 00:05:27
Aquí estaría la línea trigonométrica tangente de 180 menos alfa, negativa. La vemos parpadeando. 00:05:35
De igual forma, ahí tenemos la línea trigonométrica de la tangente de alfa. También las longitudes 00:05:45
son iguales, pero ocurre lo mismo que antes. Aunque en valor absoluto miden lo mismo, pero 00:05:50
es negativa la tangente de 180 menos alfa. Por tanto, tendríamos que, valdría menos 00:05:57
tangente de alfa. Le digo que esto podría también verse simplemente de dividir seno 00:06:05
de alfa entre menos coseno de alfa, pues tiene que dar negativo. A partir de aquí sacamos 00:06:10
las tres últimas razones. La secante de 180 menos alfa sería igual a menos la secante 00:06:14
de alfa, es decir, son iguales pero hay que cambiar el signo porque la secante es negativa 00:06:23
en este segundo cuadrante. La cosecante es exactamente igual. Y por último, la cotangente 00:06:28
también hay que cambiar el signo. Tiene el mismo valor, si consideramos el valor absoluto 00:06:38
es igual, pero el signo es negativo. Vamos ahora a este ángulo, el ángulo ahora ya del 00:06:45
tercer cuadrante, los ángulos que se diferencian en 180 grados. Lo dibujamos, dibujamos el 00:06:54
ángulo, ahí tenemos el punto que nos da la clave para calcular su seno y su coseno, 00:07:00
en azul estaría el seno y en verde el coseno. Recordemos que en el tercer cuadrante ambas 00:07:07
razones trigonométricas, seno y coseno, son negativas. Por tanto, al compararlas con las 00:07:13
del primer cuadrante está claro que tendremos siempre que cambiar el signo. Comenzamos, 00:07:18
eso lo mediría alfa, aquí estaría el seno. Bien, este sería el seno de 180 más alfa 00:07:26
que es igual que esto, es igual que este segmento en valor absoluto, pero tenemos que 00:07:34
cambiar el signo. Vamos ahora por el coseno, este sería el coseno de 180 más alfa que 00:07:41
es igual, la longitud de ese cateto del triángulo es igual que la del otro cateto puesto que 00:07:49
los triángulos son iguales, pero tenemos que cambiar el signo del coseno de alfa para 00:07:58
que sea igual que el coseno de 180 más alfa. Con respecto a la tangente, ya vimos en su 00:08:05
vídeo que por construcción coinciden exactamente, por construcción la línea trigonométrica 00:08:12
es la misma exactamente y por tanto sería exactamente igual. Bien, la secante queda 00:08:18
claro lo que va a ocurrir, como la secante es la inversa del coseno, pues tendríamos 00:08:26
que sería menos la secante de alfa, la cosecante igualmente sería menos la cosecante de alfa 00:08:31
y por último la cotangente pues va a ser exactamente igual. Vamos ahora ya a la última 00:08:41
columna y vamos a escribir las razones trigonométricas del ángulo opuesto de alfa en función de 00:08:48
las razones trigonométricas de alfa. Dibujamos 360 menos alfa o como también hemos dicho 00:09:00
menos alfa. Bien, partimos de intentar calcular ahora el seno, este sería el seno de 360 00:09:09
menos alfa, sería igual que esto, ambas longitudes son iguales pero en negativo, por 00:09:16
tanto menos seno de alfa. Con respecto al coseno, recordemos que ese cateto es igual 00:09:23
tanto para un ángulo como para otro, por tanto coincide, el coseno de un ángulo coincide 00:09:32
con el de su opuesto. Con respecto a la tangente, trazamos las líneas, esta sería la tangente 00:09:39
de menos alfa o 360 menos alfa y esta sería la tangente de alfa. Resulta entonces que 00:09:49
son iguales pero una es negativa y por lo tanto hay que cambiar el signo de la positiva 00:09:57
para que sea igual que la que nosotros buscamos. Ahí lo tenemos. A partir de aquí la secante 00:10:02
es muy fácil, sería igual que la secante de alfa, coinciden, la secante, puesto que 00:10:08
el coseno coincide, pues la secante también. La cosecante, puesto que el seno cambia el 00:10:15
signo, pues la cosecante también va a cambiar el signo y por último la cotangente cambia 00:10:21
el signo igual que la tangente. Bien, en este cuadro hemos pretendido resumir todo lo visto 00:10:29
en los videos anteriores de una manera más sencilla, más rápida, pero creo que puede 00:10:36
servir de repaso o de resumen de todo lo anterior. 00:10:41
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1207
Fecha:
7 de noviembre de 2007 - 13:23
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
10′ 50″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
17.08 MBytes

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