La potencias y sus propiedades | Mediateca de EducaMadrid

Las potencias, ¿vale? Entonces, lo primero que tenemos que tener claro es que una potencia es una multiplicación repetida, ¿vale? 00:00:00

Tiene dos partes, el número que se escribe en grande abajo es la base y el número que se escribe arriba se llama exponente, ¿vale? 00:00:09

El exponente lo que me expresa es cuántas veces se va a multiplicar la base por sí misma, ¿vale? 00:00:21

Es decir, voy a multiplicar a por a por a por a, ta, ta, ta, ta, ta, x veces. 00:00:28

Eso es lo que es una potencia, ¿vale? 00:00:35

Eso significa a elevado a x. 00:00:37

Entonces, ¿qué me puedo encontrar? 00:00:41

Me puedo encontrar con diferentes tesituras. 00:00:43

Me puedo encontrar con bases, es decir, nos vamos a centrar en potencias de exponente entero. 00:00:45

O sea, que los exponentes van a ser siempre números enteros, no va a haber fracciones, no va a haber decimales, 00:00:50

pero la base sí, es decir, me puedo encontrar desde algo tan sencillo como 5 al cuadrado 00:00:57

que sería 5 por 5 y simplemente calculo 00:01:02

o me puedo encontrar cosas más complejas como puede ser raíz de 3 elevado a 7 00:01:05

que sería raíz de 3, raíz de 3, raíz de 3, raíz de 3, raíz de 4, raíz de 3, 7 veces 00:01:12

6 y 7 y eso saldrá lo que salga 00:01:21

también me puedo encontrar con tesituras 00:01:25

y esto es algo que tenemos que tener claro 00:01:28

cuando el exponente es positivo 00:01:31

pues está claro 00:01:33

pero qué pasa cuando el exponente es negativo 00:01:34

es decir, qué pasa cuando tengo 00:01:36

una base que elevo 00:01:39

a un exponente que es un número negativo 00:01:41

yo la regla de la motecnica 00:01:43

que utilizo es que es un mentiroso 00:01:45

es decir 00:01:47

que me está mintiendo 00:01:49

sobre dónde está 00:01:51

cuando el exponente es negativo 00:01:51

y está en el numerador, es decir, esta potencia tendría un denominador 00:01:54

que sería 1, que no he escrito 00:01:58

pero si el exponente está en el negativo, es que está en realidad 00:02:02

en el sitio donde no dice que está, si me dice que está arriba, pues en realidad 00:02:07

está abajo, ¿vale? si me dice que está 00:02:11

abajo, en realidad está arriba 00:02:14

otra forma de verlo es que si yo cambio el signo del exponente, subo o 00:02:19

bajo esa potencia, ¿vale? Por ejemplo, 5 a la menos 2 es igual que 1 partido de 5 al cuadrado, 00:02:24

o sea, 1 partido de 5 por 5, o lo que es lo mismo, 1 partido de 25, ¿vale? Me puede pasar que tenga 00:02:35

una base negativa y un exponente negativo, o sea, podría tener el caso de que sea menos 3 elevado 00:02:44

a la menos 3, a la menos 2 00:02:52

mejor, ¿vale? ¿qué significa 00:02:54

esto? pues que tengo 1 partido 00:02:56

de menos 3 00:02:58

elevado al cuadrado, o lo que es lo mismo 00:02:59

1 partido de menos 3 00:03:02

por menos 3 00:03:03

o sea, menos por menos más 00:03:05

1 partido por 9 00:03:08

¿vale? 00:03:10

más cosas 00:03:13

¿qué pasa cuando tengo 00:03:14

una fracción? cuando la base es una fracción 00:03:18

¿vale? cuando la base 00:03:20

es una fracción 00:03:22

2 tercios elevado 00:03:23

a 4, pues cuando la base es una fracción 00:03:26

lo que tengo que hacer es elevar 00:03:28

el numerador y el denominador 00:03:30

indistintamente, con lo cual esto será 00:03:31

2 elevado a 4 00:03:33

partido por 3 elevado a 4 00:03:35

¿vale? esto será 2 por 2 por 2 00:03:37

4 veces y 3 por 2 por 2, 4 veces 00:03:39

¿vale? ya está, no tiene más 00:03:42

si el exponente es negativo 00:03:44

si lo que tengo 00:03:46

es 2 tercios elevado a menos 4 00:03:48

lo que me dice es que esto 00:03:50

es 2 a la menos 4 por 3 a menos 4, o sea, que están cambiados de sitio. 3 a la 4 partido 00:03:51

2 a la 4, que sería lo mismo, voy a decir, 3 medios elevado a 4. Es decir, cuando el 00:03:59

exponente es negativo, como les cambio de sitio, puedo invertir la fracción. Lo que 00:04:06

está en el numerador lo pongo en el denominador y lo que estaba en el denominador lo pongo 00:04:11

en el numerador. Pero Nacho, aquí, o sea, lo elevas las dos cosas, ¿no? Claro, las dos 00:04:15

cosas para quitar el negativo no para quitar el negativo no es decir yo quito el negativo 00:04:21

cambiándoles de sitio vale es decir yo llevo las dos cosas porque tengo una fracción por un 00:04:26

paréntesis mejor dicho así un paréntesis pero me podría pasar por ejemplo imagínate que tengo 00:04:33

2 a la menos 4 partido de 3 al cuadrado no tengo paréntesis vale que me está diciendo me está 00:04:38

diciendo el 3 está en su sitio vale y el 2 es el que me está engañando entonces esto sería 00:04:45

Igual a 1 partido de 00:04:51

3 al cuadrado, ese no lo he tocado 00:04:53

Por 2 a la 4 00:04:55

Vale 00:04:57

Entonces, yo muevo 00:04:59

Las cosas 00:05:01

En función de 00:05:03

Si el exponente es negativo o no 00:05:04

¿Qué es lo que tienen de guay las potencias? 00:05:06

Pues que tienen una serie de propiedades 00:05:09

Que, sobre todo 00:05:11

Tienen que ver con el producto 00:05:13

Y con el 00:05:14

Con la división 00:05:16

La suma, no me queda otra más que calcular 00:05:18

la potencia por separado 00:05:21

y calcular los números 00:05:22

¿vale? entonces 00:05:24

propiedades 00:05:26

eso es 00:05:28

de potencias ¿vale? 00:05:29

y es que puedo cambiar 00:05:36

productos por sumas muy sencillas 00:05:38

esto me pasa cuando tengo 00:05:40

la misma base 00:05:42

la misma base 00:05:44

entonces yo tengo 00:05:46

el producto de potencias de la misma base 00:05:50

tengo una base que es igual 00:05:52

elevado a un número por la misma base elevado a otro número 00:05:54

¿vale? ¿esto a qué es igual? pues a la misma base, esa la voy a dejar igual 00:05:58

y sumo los exponentes, con lo cual, un producto que puede ser 00:06:02

dos números que pueden ser súper enormes, en un segundo 00:06:06

tengo esa multiplicación ya hecha, ¿vale? 00:06:10

me pasa igual con la división, es decir, si yo 00:06:14

tengo, en realidad, dos potencias que se están 00:06:18

dividiendo de la misma base 00:06:24

el que está abajo podría ponerlo 00:06:26

arriba cambiando el signo al exponente, es decir, yo puedo decir que esto 00:06:32

es lo mismo que a la menos i, o sea 00:06:36

el a a la i que estaba abajo, al cambiarle el signo, lo he empujado para arriba 00:06:39

y ahora tengo un producto de potencia de la misma base 00:06:44

que lo que pasa es que una es positiva y otra es negativa, con lo cual me va a quedar que esa suma 00:06:47

en realidad es una resta, cuando divido potencias de la misma base 00:06:52

únicamente tengo que restar los exponentes 00:06:57

¿vale? 00:07:00

esto me lleva, esto directamente me lleva, ¿qué pasa cuando las dos bases 00:07:04

son las mismas? a a la x partido 00:07:09

a a la x, o sea, tengo un número partido el mismo 00:07:12

¿cuánto da esto? sea cual sea ese número, si tengo un número y lo divido 00:07:17

entre sí mismos se multiplica por 2 da cualquier número entre sí mismo 5 entre 5 1 25 35 1 100 00:07:21

entre 100 1 esto siempre da 1 vale siempre da un número entre sí mismo siempre da 1 entonces vamos 00:07:31

a hacer el cálculo aquí tendríamos si aplicamos las propiedades de las potencias resto exponentes 00:07:39

y entonces me quedará a a la x menos x 00:07:46

¿cuánto es x menos x? 00:07:48

cero 00:07:50

entonces lo que me está diciendo esto es que cualquier 00:07:51

número que yo eleve a cero 00:07:54

es igual a uno 00:07:56

¿vale? cualquier número 00:07:58

elevado a cero da uno 00:08:00

y es consecuencia de estas propiedades 00:08:01

y me queda una última propiedad 00:08:05

con la misma base 00:08:07

que es que tenga la potencia de una potencia 00:08:08

es decir, tengo una potencia 00:08:10

y eso lo elevo 00:08:13

a un exponente 00:08:14

¿Qué es lo que tengo que hacer? 00:08:15

Yo tengo que multiplicar a elevado a x 00:08:19

Por sí mismo x veces 00:08:22

Entonces lo que me va a quedar 00:08:24

Si queréis lo demuestro 00:08:26

Pero si no me creéis 00:08:27

Es 00:08:30

Que tengo que multiplicar los exponentes 00:08:31

Y ya está 00:08:34

Muy fácil 00:08:34

¿Qué pasa cuando no tengo la misma base 00:08:37

Pero tengo el mismo exponente? 00:08:40

Es decir 00:08:43

Ahora no tengo 00:08:43

La misma base 00:08:46

pero tengo el mismo exponente 00:08:47

igual para la suma estoy fastidiado 00:08:48

no me ayuda nada 00:08:51

pero para la multiplicación y la división 00:08:52

sí, ahora lo que tengo son 00:08:54

una 00:08:56

base elevado a un número 00:08:58

y otra base distinta 00:09:00

elevado al mismo número 00:09:03

pues sería a por b 00:09:04

y lo elevado al número 00:09:07

efectivamente, puedo multiplicar 00:09:08

las bases y el exponente lo dejo igual 00:09:11

si tengo la división 00:09:13

Pues me pasa exactamente lo mismo 00:09:14

Perdón 00:09:17

A 00:09:19

X elevado a X 00:09:21

Y B elevado a X 00:09:23

Esto es lo mismo que A entre B a la X 00:09:24

Lo cual significa que 00:09:27

Si tengo una fracción 00:09:29

Puedo poner o quitar 00:09:30

El 00:09:32

El paréntesis 00:09:33

Según me interese 00:09:37

Puedo jugar con eso 00:09:39

¿Vale? 00:09:40

La potencias y sus propiedades - Contenido educativo

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