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Relaciones entre razones trigonométricas 1BACH - Contenido educativo

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Subido el 11 de enero de 2021 por Lucía R.

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Hola, buenos días a todos, feliz año, espero que hayáis pasado unas muy buenas fiestas. 00:00:01

Bueno, seguimos con el tema 4, resolución de triángulos, que lo habíamos dejado aquí, 00:00:07

justo en el punto número 3, relaciones entre razones trigonométricas. 00:00:11

Vamos a empezar con la relación que existe entre las relaciones trigonométricas del ángulo alfa, 00:00:15

que lo tengo ya aquí dibujado, recordad que los ángulos empiezan en el eje OX, 00:00:22

Y van en sentido contrario a las agujas del reloj. Si yo quiero dibujar el ángulo menos x, este de aquí, tendré que ir para abajo. La misma amplitud, este de aquí, sería menos x. ¿Vale? Más o menos. 00:00:31

Bien, ¿qué son las razones trigonométricas? ¿Os acordáis de lo que son? ¿Cuáles eran? Pues eran el seno, el coseno y la tangente. La tangente recordad que es el seno entre el coseno y el seno y el coseno las podíamos dibujar, ¿verdad? 00:00:50

¿Cómo las dibujábamos? ¿El seno cuál era? El seno era esta distancia. Esta distancia es el seno de alfa. ¿Y el coseno? El coseno era esta distancia. 00:01:10

Bien, ¿qué era? Eran las coordenadas de este punto, ¿verdad? Coordinadas x, y. ¿Cuál iba primero? Primero va el coseno y después el seno. 00:01:29

Esas coordenadas, coordenada x es el coseno y coordenada y el seno. Vale, nosotros conocemos esto de aquí, conocemos el seno de alfa, 00:01:47

que es esa medida rosa, sea la que sea la conocemos, y conocemos también el coseno de alfa, esa medida sea la que sea. 00:01:59

Y ahora, conociendo lo de alfa, alfa es conocido en azul, alfa es conocido, queremos sacar las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de menos alfa, ¿vale? 00:02:10

De menos alfa. Lo vamos a poner, el de menos alfa, lo vamos a poner en este granatito de aquí, que esto que sería el seno, ¿verdad? El seno de menos alfa, y en gris, esto de aquí sería el coseno de menos alfa. 00:02:37

Vale, entonces, queremos poner el seno de menos alfa, granate, y el coseno de menos alfa en función de lo que conocemos, que conocemos el seno de alfa rosa y el coseno de alfa naranja. 00:03:11

Vale, yo creo que es bastante fácil ver que en este caso el naranja y el gris coinciden, ¿verdad? 00:03:33

No hay ninguna diferencia, de hecho el triángulo que se crea para alfa es este y el que se crea para menos alfa es este de aquí 00:03:44

Lo único que hemos hecho es girarlo en torno a este eje, ¿no? Esto sería simétrico con respecto al eje x 00:03:53

Por lo tanto, el coseno de menos alfa, que yo creo que es lo más sencillo, evidentemente es igual al coseno de alfa, si es que es la misma línea. 00:04:03

¿Y qué ocurre con el seno? ¿Qué ocurre con el seno de menos alfa? 00:04:12

La distancia es la misma, ¿verdad? Esta distancia es la misma que esta. 00:04:16

En valor absoluto la distancia es igual. ¿Pero qué le ocurre a la de menos alfa? Pues que es negativa. 00:04:23

mientras que alfa es positiva, ¿qué es lo único que tendré que hacer entonces? Cambiarle el signo, voy a ponerlo en rosa, menos seno de alfa, ¿vale? 00:04:30

Perfecto, ya tengo lo que yo quería, el seno y el coseno en función del ángulo que yo conocía, alfa y beta, ¿vale? 00:04:50

¿Y qué ocurre con la tangente de menos alfa? Pues nada, simplemente va a ser el seno de menos alfa entre el coseno de menos alfa, ¿verdad? Granatito lo de arriba y gris lo de abajo, ¿vale? 00:05:00

Vamos a ponerlo en función de lo que sí conocemos, que es menos seno de alfa entre coseno de alfa. 00:05:19

¿Con qué me voy a quedar? Seno de alfa partido coseno de alfa. ¿Esto qué es? La tangente de alfa, por lo tanto, menos tangente de alfa. 00:05:31

¿Qué me queda? Que el seno de menos alfa es igual al menos seno de alfa, el coseno de menos alfa es igual al coseno de alfa 00:05:42

y la tangente de menos alfa es igual a menos la tangente de alfa. 00:05:53

Ejemplo con números. Si yo tengo por ejemplo alfa igual a 30 grados, de esta tenemos que conocernos sus razones trigonométricas. 00:06:00

¿Cuáles son? Seno de alfa, un medio, voy a poner 30 grados, un medio, coseno de 30 grados, raíz de 3 partido por 2 y la tangente de 30 grados, 1 partido, raíz de 3, ¿vale? 00:06:10

Vale, ¿cuánto es menos alfa en este caso? Voy a borrar, voy a borrar esto de aquí, para tener espacio. Vale, ¿menos alfa cuánto será? Pues será menos 30 grados, ¿no? 00:06:35

y menos 30 grados no es lo mismo que 360 menos 30, que son 330 grados, uy, 330 grados, pues sí, menos alfa es menos 30, pero también 330 grados, vale, ¿cuánto será entonces el seno de 330 grados? 00:07:08

Pues según esto, el mismo que el de 30 cambiado de signo, menos un medio. 00:07:31

¿Y el coseno? Pues según esto, igual que el seno de 30, que el coseno de 30, perdón. 00:07:38

Por lo tanto, raíz de 3 partido de 2, partido de 2. 00:07:46

¿Y la tangente? Bueno, ¿y la tangente de 330 grados? 00:07:53

Pues según esto de aquí, lo mismo cambiado de signo, menos 1 partido raíz de 3, ¿vale? 00:07:59

Bastante sencillo. ¿Para qué sirve esto? Para sacar las razones trigonométricas, ¿vale? 00:08:08

Lo que yo quiero, las razones trigonométricas de ángulos que tengan relación con ángulos que yo conozco, ¿vale? 00:08:16

¿Cuáles son los que suelo conocer? Los del primer cuadrante, ¿vale? 00:08:22

Eso es lo que vamos a ver. Hay otros cuatro más que deberíamos saber. ¿Cómo nos podemos saber esto? Opción número uno, de memoria. Si os lo queréis aprender de memoria, estupendo, perfecto. 00:08:27

¿Qué ocurre? Que yo no soy muy fan de aprenderse las cosas de memoria, porque pienso que la memoria falla. 00:08:41

Entonces, que os suene que las cosas van así, estaría genial, pero yo me haría este dibujito siempre, 00:08:47

y más o menos vería cómo van coincidiendo los senos y los cosenos de los ángulos que yo quiero. 00:08:53

Seguimos, visto alfa y menos alfa. 00:08:59

Vamos al siguiente, que es, borro todo, vamos al siguiente, que es la relación entre el ángulo alfa y alfa más 180 grados. 00:09:03

Vale, vamos a dibujarlo, vamos a dibujar alfa tal que así, consejo dibujarlo que sea muy distinto el seno y el coseno. 00:09:20

Para que se vea claramente este triángulo que se forma, cómo cambia, ¿vale? 00:09:46

Para que se vea cuál es la dirección pequeña, cuál es la longitud pequeña, la longitud grande, qué es el seno, coseno, etc. 00:09:52

Que se vea bien la diferencia. 00:09:59

Si, por ejemplo, ponéis un ángulo muy parecido a 45 grados, ¿qué va a pasar? 00:10:01

Pues que el seno y el coseno van a ser prácticamente iguales. 00:10:09

Y cuando lo gires o lo quieras mover así, es que va a ser muy complicado ver cuál es la relación de uno y otro. 00:10:12

Entonces, hacerlo que se note bien la diferencia entre el seno y el coseno, ¿vale? Consejo personal para el examen. 00:10:18

Bien, tenemos alfa, tenemos el seno y el coseno de alfa, por lo tanto también la tangente de alfa. 00:10:25

Vamos a dibujar alfa más 180 grados, 180 grados que si lo queremos poner en radianes, ¿cómo sería? 00:10:42

Sería alfa más pi, que sería media vuelta, ¿no? Sería hasta aquí, porque esto de aquí son 180 grados. 00:10:50

Esto como es alfa, esto son alfa más 180 grados. 00:11:07

¿Vale? ¿Qué ocurre con este triangulito que teníamos aquí? 00:11:13

Pues que ahora pasa a ser este. ¿Qué hemos hecho? Simplemente lo hemos cogido y lo hemos girado hasta ahí, 180 grados. 00:11:17

en torno a este punto, vale, ¿cómo nos quedan el seno y el coseno de este nuevo ángulo que tenemos? 00:11:25

alfa más 180 grados, que eso es lo que queremos averiguar, ya no me acuerdo qué colores había puesto en el anterior 00:11:36

pero bueno, granate creo, no había puesto un verde, bueno no me acuerdo, pero este de aquí será el seno 00:11:42

porque es la dirección y, será el seno de alfa más 180 grados, y esta longitud de aquí, que es la longitud en x, será el coseno de alfa más 180 grados. 00:11:54

Bien, este seno de alfa más 180 grados lo quiero poner en función de lo que yo conozco, que es el seno de alfa y el coseno de alfa. 00:12:21

¿Con qué longitud se corresponde? Esta pequeñita. Pues con esta pequeñita, ¿no? En magnitud será igual que el seno de alfa. 00:12:33

Pero ¿qué ocurre? ¿Cuál es positiva y cuál es negativa? Esta de aquí era positiva, pero esta de aquí es negativa, con lo cual ¿qué tengo que hacer? Como cambian de signo, tengo que cambiarle el signo. 00:12:46

¿Qué ocurre? Que el seno de alfa más 180 grados, este de aquí, bueno, este de aquí, va a ser igual que el seno de alfa, pero cambiado de signo. 00:13:06

Perfecto. ¿Qué ocurre con el coseno de alfa más 180 grados? Pues lo mismo, en magnitud es igual que el coseno de alfa, 00:13:22

Pero con el signo, ¿qué nos ocurre? Pues ocurre que aquí, jolín, nos ocurre que aquí es positivo, mientras que aquí, como va para la izquierda, es negativo. 00:13:32

Le cambiamos el signo. Vale, la tangente, alfa más 180 grados. ¿Qué será? Pues el seno de alfa más 180 grados entre el coseno de alfa más 180 grados. 00:13:49

Lo ponemos en función de lo que conozco, el seno verde es igual a menos el seno de alfa y el coseno gris es igual al menos coseno de alfa, naranja, menos con menos, fuera, que nos queda seno de alfa entre coseno de alfa, que nos queda tangente de alfa. 00:14:03

La misma, ¿tiene sentido que la tangente sea positiva? Sí, porque negativo entre negativo la tangente va a ser positiva, ¿vale? ¿Qué nos queda entonces? 00:14:36

es seno de alfa más 180 grados es igual a menos el seno de alfa, coseno de alfa más 00:14:46

180 grados es igual al menos coseno de alfa y la tangente de alfa más 180 grados no cambia, 00:14:59

es igual a la tangente de alfa. Cuidado, seno y coseno cambian de signo, pero la tangente 00:15:09

No. Por poner un ejemplo, y por seguir con alfa igual a 30 grados. Antes nos lo dije, pero ¿esto qué sería? En radianes y sextos, ¿verdad? Vale. 00:15:16

¿Cuánto sería alfa más 180 grados? 00:15:41

Pues serían 210 grados. 00:15:47

Si quiero poner el seno de 180 grados, es el mismo que el de alfa, o sea, que el de 30, pero cambiado de signo. 00:15:49

Por lo tanto, bueno, no sé qué me está dando hoy. 00:15:57

Menos un medio. 00:16:02

Y el coseno de 180 grados, el mismo que el de 30, pero también cambiado de signo. 00:16:04

Menos raíz de 3 partido por 2. 00:16:10

¿Y la tangente? 00:16:12

¿Por qué estoy poniendo 180 si es 210? 00:16:14

No me decís nada, bueno. 00:16:18

La tangente de 210, pues será exactamente la misma que la tangente de 30, que es 1 partido raíz de 3. 00:16:29

Nada más, ¿vale? 00:16:37

Bien, de nuevo, os lo podéis aprender de memoria o razonarlo un poquito sabiendo más o menos cómo nos tiene que quedar. 00:16:39

bien, pasamos al tercero, borro todo, siguiente, ángulo alfa y alfa más 90 grados 00:16:49

hemos hecho alfa y menos alfa, alfa y alfa más 180 y ahora alfa y alfa más 90 00:17:11

vale, si queremos poner alfa más 90 en radianes, alfa más pi medios, 90 grados son pi medios 00:17:19

Vale, vamos a dibujarlo. Vale, alfa, esto de aquí es alfa, seno de alfa, esto de aquí, coseno de alfa, esta de aquí. Vale, alfa más 90 grados, un ángulo recto a partir de alfa, esto es un ángulo recto, por lo tanto esto de aquí, alfa más 90 grados. 00:17:28

Vale, ¿cómo nos queda? Pues nos queda esta longitud de aquí, el coseno de alfa más 90 grados y esta longitud de aquí, el seno de alfa más 90 grados. 00:18:02

Vale, ¿qué pasa con el triángulo que se me forma? Fijaros, aquí el triángulo es este, ¿no? 00:18:29

¿Qué hago? Simplemente lo estoy moviendo a 90 grados con respecto a este punto, que me queda este de aquí. 00:18:34

Esta longitud va a ser igual a esta, y esta igual a esta, que en realidad es esta. 00:18:42

¿Veis que esta longitud es igual que esta? 00:18:49

Vale. 00:18:53

Bien, empezamos con el seno. 00:18:55

Seno de alfa más 90 grados. 00:18:57

Lo queremos poner en función de lo que conocemos, el seno de alfa y el coseno de alfa. 00:19:00

¿A qué es igual en este caso? Es la longitud grande, ¿verdad? 00:19:08

Esta es más grande que esta de aquí, que la del coseno. 00:19:11

Por lo tanto, ¿con cuál se corresponderá? Con la naranja. 00:19:16

Por lo tanto, coseno de alfa. 00:19:19

El signo es el mismo. Vamos a ver, aquí teníamos que todo es positivo, ¿no? 00:19:22

¿Qué ocurre con alfa más 90 grados? ¿Es el seno y el coseno también positivo? Pues no, el seno sí que es positivo porque va hacia arriba, pero el coseno va hacia la izquierda, por lo tanto el coseno va a ser negativo. 00:19:26

En este caso de aquí que estamos comparando el seno de alfa más 90 grados con las razones trigonométricas de alfa, en este caso coseno de alfa, los dos son positivos, ¿no? Por lo tanto, hemos terminado, no tenemos que cambiarle el signo a nada. 00:19:45

¿Qué ocurre con el coseno? El coseno es la magnitud pequeña que se corresponde con el seno, pero en este caso sí que le tenemos que cambiar el signo. 00:20:05

Habíamos visto que este seno es positivo, pero este coseno es negativo, por lo tanto le cambiamos el signo. 00:20:28

Vale, fijaros, el seno de alfa más 90 cambia a ser igual al coseno de alfa y el coseno de alfa más 90 pasa a ser igual al seno de alfa pero cambiado de signo, ¿vale? 00:20:37

Digamos que se dan la vuelta, se invierten y uno de ellos pasa a tener signo negativo. 00:20:54

¿Qué ocurrirá con la tangente? Por lo de siempre, que será el seno de alfa más 90 grados entre el coseno de alfa más 90 grados, lo que tenemos en verde entre lo que tenemos en gris. 00:20:59

Bien, vamos a ponerlo en función de lo que conocemos. 00:21:22

Seno de alfa más 90 grados es igual al coseno de alfa y el coseno de alfa más 90 grados es igual a menos el seno de alfa. 00:21:29

Este menos en el denominador no queda bien, hay que ponerlo arriba o a la misma altura que la línea de fracción. 00:21:40

¿Vale? Bien, y nos queda coseno de alfa arriba y seno de alfa abajo 00:21:49

¿Cómo era la tangente normal? 00:21:55

La tangente de alfa es el seno de alfa entre el coseno de alfa, ¿verdad? 00:21:57

No es exactamente lo que yo tengo aquí 00:22:01

Yo aquí tengo lo mismo pero dado la vuelta 00:22:03

Aquí tengo esto dado la vuelta 00:22:09

¿Qué sería? Pues sería hacer 1 partido por la tangente de alfa 00:22:15

Si yo hago 1 entre la tangente de alfa, me queda 1 partido seno de alfa, coseno de alfa, y el coseno pasa arriba, ¿vale? 00:22:20

Entonces, esto ya sí que se parece más a lo que tengo allí, solo que he cambiado de signo. 00:22:31

¿Qué nos queda? 00:22:36

Menos 1 partido por la tangente de alfa. 00:22:38

Recapitulando, el seno de alfa más 90 grados es igual al coseno de alfa, el coseno de alfa más 90 grados es igual a menos el seno de alfa y la tangente de alfa más 90 grados es igual a menos 1 partido por la tangente de alfa. 00:22:42

Vamos a hacer un ejemplo, también con 30 grados. 00:23:09

Si tengo alfa igual a 30 grados, alfa más 90 grados serán 30 más 90, que son 120 grados. 00:23:40

¿Vale? Pues ¿cuánto será el seno de 120 grados? 00:23:57

El seno de 120 grados será igual al coseno de 120 grados, o sea, el coseno de 30 grados, perdón. 00:24:00

el seno de 120 grados será igual al coseno de 30 grados. Repito, el seno de 120 grados será igual al coseno de 30 grados, 00:24:08

que es raíz de 3 partido de 2. El coseno de 120 grados será igual al seno de 30 grados cambiado de signo, por lo tanto, menos 1 medio. 00:24:19

Y la tangente de 120 grados será menos 1 partido por la tangente de 30 grados, la tangente de 30 grados es 1 partido raíz de 3, este raíz de 3 pasa a estar arriba, nos queda 1 por raíz de 3 partido por 1 raíz de 3, menos raíz de 3, perfecto. 00:24:31

Vale, llevo grabando 25 minutos, pues lo voy a dejar ya. Me quedan otras dos, que son los ángulos suplementarios, es decir, alfa y 180 menos alfa, es decir, que en suma esos dos ángulos suman 180 grados, un ángulo llano, 00:24:56

y me quedan los ángulos complementarios, que son alfa y 90 menos alfa, que son los que en suma dan 90 grados, ¿vale? 00:25:20

Esos son los que me faltarían, lo vemos el próximo día que tengamos clase, ¿vale? 00:25:33

Con esto lo dejamos, ya está. 00:25:38

Idioma/s:
Autor/es:: Lucía Rodríguez Bayo
Subido por:: Lucía R.
Licencia:: Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:: 92
Fecha:: 11 de enero de 2021 - 14:19
Visibilidad:: Público
Centro:: IES GRANDE COVIAN
Duración:: 25′ 48″
Relación de aspecto:: 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:: 1920x1200 píxeles
Tamaño:: 49.61 MBytes