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Ecuaciones bicuadradas - Contenido educativo
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Resolución de ecuaciones bicuadradas
Hola a todos, en este vídeo vamos a hablar de las ecuaciones bicuadradas.
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Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas que tienen una forma muy particular
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y es que tienen siempre un término de grado 4, un término de grado 2 y un término independiente.
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La ecuación siempre va a tener esta pinta.
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Una ecuación va a cambiar respecto a otra en función de los valores que tengan a, b y c simplemente,
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pero el x cuarto, x cuadrado y que haya un término independiente siempre se mantiene, ¿vale?
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Entonces, para resolver este tipo de ecuaciones vamos a usar una herramienta muy potente que se utiliza muchísimo en matemáticas
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que se llama cambio de variable.
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Un cambio de variable, como su propio nombre indica, no es otra cosa que coger la variable que tenemos,
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que en este caso es la x, y cambiarla por una nueva, que la puedo cambiar por la que a mí me dé la gana,
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y establecer una relación entre esas dos variables, la que tengo y la que voy a poner nueva.
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En el caso de las ecuaciones bicuadradas, el cambio de variable siempre va a ser el mismo.
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Voy a decir que x al cuadrado va a ser igual a z.
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Z es la nueva variable que ya os digo que puede ser z, t, m o la letra que nos guste.
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Entonces vamos a ver cómo con este cambio la ecuación se reduce a una ecuación de segundo grado
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que podemos resolver de manera muy fácil.
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Lo vemos con un ejemplo.
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Imaginaros que tengo esta ecuación de aquí, x a la cuarta menos 25x al cuadrado más 144 igual a cero.
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¿Veis? Lo primero que tengo que hacer es analizar si esta ecuación que yo tengo entre manos es una ecuación bicuadrada.
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Sí que lo es, ¿por qué? Porque los términos que tengo son x a la cuarta, x al cuadrado y término independiente,
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como en la estructura general que os he dicho arriba.
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Lo que valga a, b y c me importa bien poco, siempre y cuando la estructura se mantenga, ¿vale?
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Entonces voy a hacer el cambio de variable y voy a decir que x cuadrado va a ser igual a z.
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Entonces, fijaros, lo único que tengo que hacer es, este x cuadrado ya lo tengo perfecto para cambiarlo por z.
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Mirad, la z la voy a poner de otro color para que luego lo veáis muy bien.
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Entonces, x cuadrado igual a z.
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Lo que decía, que esta x al cuadrado ya está preparada, pero esta x cuarto la voy a cambiar
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y la voy a poner en términos de x al cuadrado para que luego yo lo pueda poner por z.
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¿Cómo hago eso? ¿Cómo puedo poner un x cuarta como x al cuadrado con una operación?
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Pues x cuarta es x al cuadrado elevado al cuadrado.
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Entonces ya tengo un x al cuadrado, ahí veis, menos 25x cuadrado más 144 igual a 0.
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Así que ahora lo que hago es hacer el cambio y entonces donde pone x al cuadrado voy a poner z.
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Pues ahora me cojo y me pongo x al cuadrado, ¿dónde está aquí? Pues a la z.
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¿Qué está haciendo esa x al cuadrado?
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Estar elevada al cuadrado, pues al cuadrado, menos 25, otra vez, x al cuadrado está aquí, ¿no?
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Pues pongo una z, más 144 igual a 0.
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¿Veis? Entonces, esta ecuación de aquí, de grado 4, la he transformado en una que es de grado 2,
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que puedo resolver con la ecuación de segundo grado de manera muy sencillita.
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Pues la resolvemos.
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tenemos que z es igual a menos b, 25 más menos la raíz de 25 al cuadrado, menos 4 por a por c, partido de 2 por a, esto es 25 más menos, si hacéis esa raíz cuadrada os va a salir 20, os va a salir 7, perdón, partido de 2, porque eso os va a salir la raíz de 49, ¿vale?
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Así que aquí me quedan dos soluciones para z, z1 y z2.
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La primera para la suma que sería 25 más 7 entre 2, 25 más 7 son 32 entre 2 que son 16
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y para la resta sería 25 menos 7 entre 2 que son 18 entre 2 que son 9.
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¿Veis? Entonces me salen dos soluciones para z, que son 16 y 9
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Pero claro, nos queda hacer un último paso, que es que yo no quiero saber lo que vale z
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Lo que quiero saber es lo que vale la x, ¿verdad?
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Así que para eso me vengo y deshago el cambio de variable
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Este cambio de variable que había dicho yo, x cuadrado igual a z
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Lo que voy a hacer es deshacerlo para cada una de las soluciones de z
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luego arriba diré que 16 es igual a x al cuadrado
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eso es una ecuación de segundo grado incompleta
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que se resuelve haciendo más menos la raíz cuadrada de 16
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o sea, más menos 4
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y abajo igual, digo 9 igual a x al cuadrado
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así que x va a ser igual a más menos la raíz de 9
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que es más menos 3
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por tanto me quedan 4 soluciones para x
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x1 igual a 4
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x2 igual a menos 4
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x3 igual a 3
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y x4 igual a menos 3
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y así quedaría resuelto el ejercicio
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solo comentaros que este tipo de ecuaciones
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por supuesto se pueden resolver también por el método habitual
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que estábamos usando hasta ahora
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que era utilizando Ruffini, entidades notables, etc.
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pero esto una vez que lo veáis despacito
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y lo practiquéis un poco os facilita tremendamente el trabajo
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y sale mucho así que hay que aprenderlo
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- Cristina R.
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- Fecha:
- 13 de enero de 2021 - 9:11
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CP INF-PRI-SEC PRINCIPE DON FELIPE
- Duración:
- 05′ 40″
- Relación de aspecto:
- 0.75:1
- Resolución:
- 1440x1920 píxeles
- Tamaño:
- 35.87 MBytes
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